2022-2023学年河北省保定市部分示范高中高二（下）期末数学试卷(含详细答案解析)

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这是一份2022-2023学年河北省保定市部分示范高中高二（下）期末数学试卷(含详细答案解析)，共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知集合A={x|−2A. {x|−32.命题“∀m∈N，m2∈N”的否定是( )
A. ∀m∈N，m2∉NB. ∀m∉N，m2∉N
C. ∃m∈N，m2∉ND. ∃m∈N，m2∈N
3.某人设计的一个密码由2个英文字母(不分大小写)后接2个数字组成，且2个英文字母不相同，2个数字也互不相同，则该密码可能的个数是( )
A. C262C102B. C262C102A44C. A262A102D. A262A102A22
4.已知a=lg40.3，b=60.5，c(13)2.1，则( )
A. c5.(9x+8 x)5的展开式中含x2的项的系数为( )
A. C52×92×83B. C54×9×84C. C51×94×8D. C52×93×82
6.已知函数f(x)=lnx,x≥1x2−x,x<1，则函数y=−f(−x+1)的大致图象是( )
A. B.
C. D.
7.已知−3A. (−13,1)B. (−16,4)C. (−11,−1)D. (−7,−5)
8.某种产品的加工需要经过6道工序，如果其中某2道工序必须相邻，另外有2道工序不能相邻，那么加工顺序的种数为.( )
A. 72B. 144C. 288D. 156
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.p是q的充分不必要条件，q是r的必要不充分条件，r是s的充要条件，p是r的既不充分也不必要条件，则( )
A. s是q的必要不充分条件B. r是q的充分不必要条件
C. q是s的充要条件D. p是s的既不充分也不必要条件
10.2022年9月19日，航天科技集团五院发布消息称，在法国巴黎召开的第73届国际宇航大会上，我国首次火星探测天问一号任务团队获得国际宇航联合会2022年度世界航天奖，为科普航天知识，某校组织学生参与航天知识竞赛活动，竞赛规则：从10道选题中随机抽取3道题作答，全部答对即可获奖.甲、乙两位同学参加知识竞赛，已知甲同学10道选题中只有2道题不会，乙同学每道选题答对的概率都为45.若甲、乙两位同学回答正确的题的个数的期望分别为E(X)，E(Y)，方差分别为D(X)，D(Y)，则( )
A. E(X)=E(Y)B. E(X)11.下列命题为真命题的是( )
A. 若aB. 若a>b>0，c0，则ea−c>eb−d
C. 若c>a>b>0，则ac−a>bc−b
D. 若a>b>c>0，则ab>a+cb+c
12.定义在R上的奇函数f(x)满足f(−x+2)=f(x+2)，当x∈(0,2]时，f(x)=x+ex，则( )
A. f(x+4)是奇函数B. f(x)的最小正周期为4
C. f(x)的图象关于点(4,0)对称D. f(2024)=1
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.若Cn+1n−1=3An−12，则n=______.
14.长时间玩手机可能影响视力.据调查，某学校大约40%的学生近视，而该校大约有30%的学生每天玩手机超过1h，这些人的近视率约为60%.现从该校每天玩手机不超过1h的学生中任意调查一名学生，则该学生近视的概率为______.
15.已知函数f(x)=cs3x−f′(0)sinx+2x，则f′(0)=______，曲线y=f(x)在(π,f(π))处的切线方程为______.
16.若a>0，b>0，且ab=a+2b+6，则a+2b的最小值为______.
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
为考察某种药物M对预防疾病N的效果，进行了动物实验，根据200个有放回简单随机样本的数据，得到的数据如表：
单位：只
(1)估计未服用药物M的动物中患疾病N的概率；
(2)根据α=0.005的独立性检验，能否认为药物M对预防疾病N有效果？
附临界值表及参考公式：
χ2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d),n=a+b+c+d.
18.(本小题12分)
2023年女足世界杯于7月20日至8月20日在新西兰和澳大利亚两国9个城市举办，这是历史上第一次有32支球队参赛，规模空前.某公司专门为该赛事设计了一款产品并进行试销售，统计了不同的售价x(单位：元)与销量y(单位：千枚)的5组数据：(9,21)，(9.5,20)，(10,18)，(10.5,16)，(11,15).该公司以此来作为正式销售时的售价参考.
(1)请根据相关系数r的值，判断售价x与销量y的线性相关强弱程度(计算结果精确到0.01)；
(2)建立y关于x的线性回归方程，预测售价为15元时的销量.
参考公式：r=i=1n(xi−x−)(yi−y−) i=1n(xi−x−)2i=1n(yi−y−)2,b =i=1n(xi−x−)(yi−y−)i=1n(xi−x−)2,a =y−−b x−.
参考数据： 65≈8.06.
19.(本小题12分)
已知函数f(x)=x3−ax2+x的一个极值点为1.
(1)求a；
(2)若过原点作直线与曲线y=f(x)相切，求切线方程.
20.(本小题12分)
世界卫生组织建议成人每周进行2.5至5小时的中等强度运动.已知A社区有20%的居民每周运动总时间超过5小时，B社区有30%的居民每周运动总时间超过5小时，C社区有50%的居民每周运动总时间超过5小时，且A，B，C三个社区的居民人数之比为3：3：4.
(1)从这三个社区中随机各选取1名居民，求至少有1名居民每周运动总时间超过5小时的概率；
(2)从这三个社区中随机抽取1名居民，求该居民每周运动总时间超过5小时的概率；
(3)假设这三个社区每名居民每周运动总时间为随机变量X(单位：小时)，且X∼N(4,σ2)，现从这三个社区中随机选取1名居民，求该居民每周运动总时间为3至5小时的概率.
21.(本小题12分)
某比赛前，甲、乙两队约定来一场热身赛，比赛采用三局两胜制.据以往经验，甲、乙两队实力相当，但是若甲队前一场胜，则下一场胜的概率为23，若前一场负，则下一场胜的概率为25，比赛没有平局.正式比赛分为预赛、半决赛和决赛，只有预赛、半决赛都获胜才能进入决赛.已知甲队在预赛和半决赛中获胜的概率分别为23和34；乙队在预赛和半决赛中获胜的概率分别为34和45；丙队在预赛和半决赛中获胜的概率分别为45和56.
(1)求热身赛中甲队获胜的概率；
(2)设甲、乙、丙三队中进入决赛的队伍数为X，求X的分布列与数学期望.
22.(本小题12分)
已知函数f(x)=alnx+12x2−x.
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)若x1>x2>0，且f(x1)−f(x2)ex1−1−ex2−1=1，证明：x1x2答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：因为A={x|−2所以A∪B={x|−3故选：A.
可求出集合B，然后进行并集的运算即可．
本题考查了集合的描述法的定义，一元二次不等式的解法，并集的定义及运算，考查了计算能力，属于基础题．
2.【答案】C
【解析】解：全称量词命题的否定是存在量词命题，
所以命题“∀m∈N，m2∈N”的否定是∃m∈N，m2∉N.
故选：C.
根据含有量词的命题的否定即可得到结论．
本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．
3.【答案】C
【解析】解：从26个英文字母选2个的排列有A262种．
从0到9，10个数字中选2个的排列有A102种，
则该密码可能的个数是A262A102.
故选：C.
根据分步计数原理以及排列公式进行计算即可．
本题主要考查简单的计数问题，利用分步计数原理以及排列公式进行计算是解决本题的关键，是基础题．
4.【答案】D
【解析】解：由题意a<0，b>1，0所以a故选：D.
选取中间数进行比较即可．
本题主要考查对数的大小比较，属中档题．
5.【答案】D
【解析】解：根据 (9x+8 x)5的通项Tr+1=C5r⋅95−r⋅8r⋅x5−3r2，
令5−3r2=2，解得r=2，可得展开式中含x2的项为T2+1=C52×93×82x2，
故展开式中含x2的项的系数为C52×93×82.
故选：D.
先求出二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于02，求得r的值，即可求得展开式中含x2的项．
本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，属于基础题．
6.【答案】C
【解析】解：函数f(x)=lnx,x≥1x2−x,x<1，则函数y=−f(−x+1)，
当x=0时，y=−f(1)=0，所以排除D；
当x=1时，y=−f(0)=0，所以排除B；
当x=−1时，y=−f(2)=−ln2<0，所以排除A.
故选：C.
利用已知条件，结合特殊值排除选项，推出结果即可．
本题考查函数的图象的判断，是中档题．
7.【答案】A
【解析】解：−3令n−3m=x(m+n)+y(m−n)，
则x+y=−3,x−y=1,所以x=−1,y=−2.
因为−3因为1故−13故选：A.
利用已知条件，令n−3m=x(m+n)+y(m−n)，结合已知条即可，通过表达式的基本性质，转化求解即可．
本题考查表达式的基本性质，也可以利用线性规划求解，是基础题．
8.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查排列组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于一般题.
设两道必须相邻的工序为a、b，不能相邻的工序为c、d，剩下的两道工序为e、f，先用捆绑法分析a、b，将a、b整体与e、f进行全排列，再用插空法分析c和d，由分步计数原理计算可得答案．
【解答】
解：根据题意，设两道必须相邻的工序为a、b，不能相邻的工序为c、d，剩下的两道工序为e、f，
先将a与b看成一个整体，与e、f进行全排列，排好后有4个空位可用，
在4个空位中任选2个，安排c和d，
则有A33A22A42=144种安排方法．
故选：B.
9.【答案】BD
【解析】解：结合题意知p⇒q⇐r⇔s，p⇏r，r⇏p，
故s是q的充分不必要条件，r是q的充分不必要条件，
q是s的必要不充分条件，
∵p是r的既不充分也不必要条件，
∴p是s的既不充分也不必要条件．
故选：BD.
根据充分必要条件的定义分别判断即可．
本题考查了充分必要条件的定义，是基础题．
10.【答案】AD
【解析】解：由题知甲同学回答正确的题的个数X可能取值为1，2，3，
P(X=1)=C81C22C103=115,P(X=2)=C82C21C103=715,P(X=3)=C83C103=715，
所以E(X)=1+14+2115=125,D(X)=(1−125)2×115+(2−125)2×715+(3−125)2×715=2875；
由题可知，乙同学回答正确的题的个数Y∼B(3,45)，所以E(Y)=125,D(Y)=3×45×15=1225，
E(X)=E(Y)，D(X)故选：AD.
分别求得E(X)，E(Y)，D(X)，D(Y)，进行比较即可．
本题考查离散型随机变量的期望与方差，是中档题．
11.【答案】ACD
【解析】解：对于A，若a对于B，若a>b>0，c0，则a−c>0，b−d>0，b−a<0，c−d<0，
所以ea−c−eb−d=e(b−d)−e(a−c)(a−c)(b−d)=e(b−a+c−d)(a−c)(b−d)<0，
所以ea−c对于C，若c>a>b>0，则c−a>0，c−b>0，a−b>0，
所以ac−a−bc−b=a(c−b)−b(c−a)(c−a)(c−b)=c(a−b)(c−a)(c−b)>0，即C正确；
对于D，若a>b>c>0，则a−b>0，
所以ab−a+cb+c=a(b+c)−b(a+c)b(b+c)=c(a−b)b(b+c)>0，即D正确．
故选：ACD.
根据不等式的性质，采用作差法逐一分析选项，即可．
本题考查不等式的大小比较，熟练掌握作差法是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．
12.【答案】AC
【解析】解：因为f(x)为奇函数，且f(−x+2)=f(x+2)，
所以f(−x+2)=f(x+2)=−f(x−2)，
所以f(x+4)=−f(x)，
所以f(x+8)=−f(x+4)=f(x)，
所以f(x)的最小正周期为8，故B错误．
则f(2024)=f(0)=0，所以D错误．
因为f(x)为奇函数，
所以f(−x)=−f(x).
因为f(−x+4)=−f(x−4)=−f(x+4)，
所以f(x+4)是奇函数，
所以f(x)的图象关于点(4,0)对称，故A，C正确．
故选：AC.
根据题意可得f(x)的最小正周期为8，由此可知选项B错误；根据周期以及奇函数的性质可求得f(2024)的值，可判断选项D；结合f(x)为奇函数，可判断f(x+4)也为奇函数，可判断选项AC.
本题考查抽象函数及其性质，考查运算求解能力，属于中档题．
13.【答案】3
【解析】解：由Cn+1n−1=3An−12，得Cn+12=3An−12，
∴(n+1)n2=3(n−1)(n−2)，
整理得5n2−19n+12=(n−3)(5n−4)=0，
解得：n=3或45(舍去).
故答案为：3.
由已知直接展开组合与排列数公式求解．
本题考查排列与组合数公式的应用，是基础题．
14.【答案】1135
【解析】解：设事件A=“任意调查一名学生，每天玩手机超过1h”，事件B=“任意调查一名学生，该学生近视”，
则P(A)=0.3，P(B|A)=0.6，
所以P(A−)=0.7，
则P(B)=P(B|A)P(A)+P(B|A−)P(A−)=0.6×0.3+P(B|A−)×0.7=0.4，
所以P(B|A−)=1135.
利用全概率公式求解．
本题主要考查了全概率公式，属于基础题．
15.【答案】1y=3x−π−1
【解析】解：由f(x)=cs3x−f′(0)sinx+2x，得f′(x)=−3cs2xsinx−f′(0)csx+2，
取x=0，可得f′(0)=−f′(0)+2，则f′(0)=1；
∴f(x)=cs3x−sinx+2x，f′(x)=−3cs2xsinx−csx+2，
则f(π)=−1+2π，f′(π)=3，
∴所求切线方程为y−(−1+2π)=3(x−π)，即y=3x−π−1.
故答案为：1；y=3x−π−1.
求出原函数的导函数，取x=0求解f′(0)；再求出f(π)与f′(π)的值，利用直线方程的点斜式得答案．
本题考查函数解析式的求解及常用方法，考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，是中档题．
16.【答案】12
【解析】解：因为ab=a+2b+6，所以a⋅2b=2(a+2b)+12，
因为a>0，b>0，所以a⋅2b≤(a+2b2)2，
所以2(a+2b)+12≤(a+2b2)2，整理得(a+2b)2−8(a+2b)−48≥0，
所以a+2b≥12或a+2b≤−4(舍去)，
故a+2b的最小值为12，当且仅当a=2b=6时，等号成立．
故答案为：12.
根据条件得出a⋅2b=2(a+2b)+12，然后根据基本不等式得出(a+2b)2−8(a+2b)−48≥0，然后即可得出a+2b的范围，进而得出a+2b的最小值．
本题考查了基本不等式的运用，一元二次不等式的解法，考查了计算能力，属于中档题．
17.【答案】解：(1)由题意得，未服用药物M的动物有100只，患疾病N的有40只，
所以估计未服用药物M的动物中患疾病N的概率为40100=25.
(2)χ2=200×(40×80−20×60)2140×60×100×100=20021≈9.524>7.879，
所以根据α=0.005的独立性检验，认为药物M对预防疾病N有效果．
【解析】(1)根据古典概型概率公式计算即可；
(2)计算K2，对照题目中的表格，得出统计结论．
本题考查了独立性检验的应用问题，也考查了计算能力的应用问题，是基础题．
18.【答案】解：(1)∵x−=15(9+9.5+10+10.5+11)=10，
y−=15(21+20+18+16+15)=18，
i=15(xi−x−)2=(9−10)2+(9.5−10)2+(10−10)2+(10.5−10)2+(11−10)2=2.5，
i=15(yi−y−)2=(21−18)2+(20−18)2+(18−18)2+(16−18)2+(15−18)2=26，
i=15(xi−x−)(yi−y−)=(9−10)(21−18)+(9.5−10)(20−18)+(10−10)(18−18)+(10.5−10)(16−18)+(11−10)(15−18)=−8，
∴r=i=15(xi−x−)(yi−y−) i=15(xi−x−)2i=15(yi−y−)2=−8 65≈−0.99.
∵相关系数r近似为−0.99，∴说明y与x的线性相关性很强．
(2)∵b =i=15(xi−x−)(yi−y−)i=15(xi−x−)2=−82.5=−3.2，
∴a =y−+3.2x−=18+3.2×10=50，
∴y关于x的线性回归方程为y =−3.2x+50.
当x=15时，y =2，故当售价为15元时，预测销量可达到2千枚．
【解析】(1)计算x−，y−，根据相关系数公式计算并判断即可；
(2)根据最小二乘法计算b ,a ，得到回归方程，从而预测出售价为15元时的销量．
本题考查线性回归方程的应用，属于中档题．
19.【答案】解：(1)∵f(x)=x3−ax2+x，∴f′(x)=3x2−2ax+1，
∵f(x)的一个极值点为1，∴f′(1)=3−2a+1=0，∴a=2，
∴f′(x)=3x2−4x+1=(x−1)(3x−1)，
令f′(x)>0，解得x>1或x<13，令f′(x)<0，解得13∴f(x)在(13,1)上单调递减，在(−∞,13),(1,+∞)上单调递增，
∴f(x)的极小值点为1，符合题意，
∴a=2.
(2)设切点为(x0,f(x0))，
则f(x0)=x03−2x02+x0，f′(x0)=3x02−4x0+1，
故切线方程为y−(x03−2x02+x0)=(3x02−4x0+1)(x−x0)，
将点(0,0)代入得−(x03−2x02+x0)=(3x02−4x0+1)(−x0)，
整理得x02(x0−1)=0，所以x0=0或x0=1，
当x0=0时，切线方程为y=x；
当x0=1时，切线方程为y=0.
【解析】本题考查了切线方程问题，考查函数的单调性，极值问题，考查导数的应用以及转化思想，是中档题．
(1)求出函数的导数，根据f′(1)=0，求出a的值检验即可；
(2)设出切点坐标，表示出切线方程，代入点(0,0)，求出切点的横坐标，从而求出切线方程．
20.【答案】解：(1)设从A，B，C三个社区中各选取的1名居民的每周运动总时间超过5小时分别为事件A，B，C，
则P(A)=15,P(B)=310,P(C)=12.
设选取的3名居民中至少有1名居民每周运动总时间超过5小时为事件M，
则事件M的对立事件为选取的3名居民每周运动总时间都没有超过5小时，
所以P(M)=1−P(M−)=1−(1−15)(1−310)(1−12)=1825，
故选取的3名居民中至少有1名居民每周运动总时间超过5小时的概率为1825.
(2)设A，B，C三个社区的居民人数分别为3a，3a，4a，
则A社区每周运动总时间超过5小时的人数为3a×20%=0.6a，
B社区每周运动总时间超过5小时的人数为3a×30%=0.9a，
C社区每周运动总时间超过5小时的人数为4a×50%=2a，
所以P=0.6a+0.9a+2a3a+3a+4a=0.35，
故从这3个社区中随机抽取1名居民且每周运动总时间超过5小时的概率P=0.35.
(3)因为X∼N(4,σ2)，所以P(X>4)=0.5.
因为P(X>5)=0.35，所以P(4所以P(3【解析】(1)根据概率公式，先算出该居民是各社区且每周运动时间没有超过5小时的概率，由对立事件的概率公式求解即可；
(2)由于A，B，C三个社区的居民人数之比为3：3：4，设出三个社区的居民人数，计算出各社区每周运动总时间超过5小时的人数，然后由频率估计概率即可；
(3)由正态分布的性质结合条件求解即可．
本题考查离散型随机变量的应用，属于中档题．
21.【答案】解：(1)由题意，记事件A=“热身赛中甲队获胜“，
则事件A包含胜胜、胜负胜、负胜胜三种情况，
甲连胜两局的概率为12×23=13，
甲胜负胜的概率为12×13×25=115，
甲负胜胜的概率为12×25×23=215，
所以P(A)=12×23+12×13×25+12×25×23=815.
(2)甲队进入决赛的概率为23×34=12，
乙队进入决赛的概率为34×45=35，
丙队进入决赛的概率为45×56=23，
进入决赛的队伍数X的可能取值为0，1，2，3，
P(X=0)=(1−12)(1−35)(1−23)=115，
P(X=1)=12×(1−35)×(1−23)+(1−12)×35×(1−23)+(1−12)×(1−35)×23=310，
P(X=2)=12×35×(1−23)+12×(1−35)×23+(1−12)×35×23=1330，
P(X=3)=12×35×23=15，
所以X的分布列为：
E(X)=310+1315+35=5330.
【解析】(1)根据相互独立事件的乘法公式计算即可；
(2)求得X的可能取值及对应概率，完成分布列，根据期望公式求解即可．
本题考查离散型随机变量的分布列和期望，是中档题．
22.【答案】(1)解：已知f(x)=alnx+12x2−x，函数定义域为(0,+∞)，
可得f′(x)=ax+x−1=x2−x+ax2，
若1−4a≤0，即a≥14时，f′(x)>0恒成立，f(x)单调递增；
若1−4a>0，即0当00，f(x)单调递增；
当1− 1−4a2当x>1+ 1+4a2时，f′(x)>0，f(x)单调递增，
若a≤0时，
当01+ 1+4a2时，f′(x)>0，f(x)单调递增，
综上，当a≥14时，函数f(x)在(0,+∞)上单调递增；
当0在(1− 1−4a2,1+ 1−4a2)上单调递减；
当a≤0时，函数f(x)在(0,1+ 1−4a2)上单调递减，在(1+ 1−4a2,+∞)上单调递增；
(2)证明：因为f(x1)−f(x2)ex1−1−ex2−1=1，
所以alnx1+12x12−x1−alnx2−12x22+x2ex1−1−ex2−1=1，
即a=ex1−1−12x12+x1−ex2−1+12x22−x2lnx1−lnx2.
又x1>x2>0，
所以lnx1>lnx2，
要证x1x2即证lnx1+lnx2<2ae，
此时2a>e(lnx1+lnx2)，
只需证ex1−1−12x12+x1−e2(lnx1)2>ex2−1−12x22+x2−e2(lnx2)2，
不妨设g(x)=ex−1−12x2+x−e2(lnx)2，
此时即证g(x1)>g(x2)，
易知g′(x)=ex−1−x+1−elnxx，
不妨设h(x)=elnxx，函数定义域为(0,+∞)，
可得h′(x)=e(1−lnx)x2，
当00，h(x)单调递增；
当x>e时，h′(x)<0，h(x)单调递减，
所以h(x)≤h(e)=1，
不妨设k(x)=ex−1−x+1，函数定义域为(0,+∞)，
可得k′(x)=ex−1−1，
当0当x>1时，k′(x)>0，k(x)单调递增，
所以k(x)≥k(1)=1，
此时ex−1−x+1≥1≥elnxx在(0,+∞)上恒成立，
故x1x2【解析】(1)由题意，对函数f(x)进行求导，分别讨论a≥14，0(2)根据f(x1)−f(x2)ex1−1−ex2−1=1，得到a=ex1−1−12x12+x1−ex2−1+12x22−x2lnx1−lnx2.结合x1>x2>0，可得lnx1>lnx2，要证x1x2ex2−1−12x22+x2−e2(lnx2)2，构造函数g(x)=ex−1−12x2+x−e2(lnx)2，即证g(x1)>g(x2)，此时需满足函数g(x)在定义域上单调递增即可，对函数g(x)进行求导，构造新函数，将问题转化成函数的最值问题，进而即可求解．
本题考查利用导数研究函数的单调性和最值，考查了逻辑推理、分类讨论、转化思想和运算能力．药物M服用情况
疾病N
未患疾病N
患疾病N
未服用
60
40
服用
80
20
a
0.10
0.05
0.01
0.005
0.001
xa
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
X
0
1
2
3
P
115
310
1330
15