2022-2023学年江苏省连云港市高二（下）期末数学试卷(含详细答案解析)

这是一份2022-2023学年江苏省连云港市高二（下）期末数学试卷(含详细答案解析)，共19页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.抛掷一颗质地均匀的骰子，样本空间Ω={1,2,3,4,5,6}，事件A={1,3,5}，事件B={1,2,4,5,6}，则P(A|B)=( )
A. 15B. 25C. 35D. 45
2.设随机变量X∼N(3,36)，且P(X>m)=P(Xb>0)的离心率为 63，且点( 32, 32)在椭圆C上.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)斜率为正数k且不过原点的直线l交椭圆C于A，B两点，线段AB的中点为P，射线OP交椭圆C及直线y=3分别于点G和点D，且|OG||OD|=|OP||OG|.证明：直线l过定点.
22.(本小题12分)
已知函数f(x)=−2x3−2ax−12，g(x)=lnx.
(1)当a为何值时，x轴为曲线y=f(x)的切线；
(2)用max{m,n}表示m，n中的最大值，设函数h(x)=max{f(x),g(x)}(x>0)，试讨论函数h(x)零点的个数.
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：由题知，A∩B={1,5}，P(B)=56，P(AB)=26=13，
所以P(A|B)=P(AB)P(B)=1356=25.
故选：B.
先求出A∩B={1,5}，P(B)和P(AB)，然后利用条件概率公式求解即可．
本题主要考查条件概率公式，属于基础题．
2.【答案】D
【解析】解：因为X∼N(3,36)，P(X>m)=P(X3.841.
所以在犯错误的概率最多不超过0.05的前提下，可认为“注射疫苗”与“感染流感”有关系．
故答案为：0.05.
补充2×2列联表，计算可得K2≈4.762>3.841，即可得出答案．
本题主要考查独立性检验，考查运算求解能力，属于基础题．
15.【答案】1
【解析】解：如图，过B1作B1D//AA1，交圆O于D，连接CD，则∠CB1D为异面直线B1C与AA1所成角，根据条件知∠COD=π3，OD=OC=1，
∴CD=1，且B1D=1，B1D⊥CD，
∴tan∠CB1D=1.
故答案为：1.
可作B1D//AA1，交圆O于D，然后得出∠CB1D为异面直线B1C与AA1所成角，并连接CD，在Rt△CB1D中，可求出CD=1，然后即可求出tan∠CB1D的值．
本题考查了异面直线所成角的定义及求法，正切函数的定义，弧长公式，考查了计算能力，属于基础题．
16.【答案】454
【解析】解：根据组合知识可得S24=C22+C21+C32+C31+C42+C41+⋯+C132+C131
=(C21+C31+C41+⋯+C131)+(C22+C32+C42+⋯+⋯+C132)
=(2+3+4+⋯+13)+(C33+C32+C42++⋯+C132)
=12×(2+13)2+(C43+C42+⋯+C132)
=90+C143=454.
故答案为：454.
分组求和，结合组合数公式，计算出答案．
本题考查了分组求和，属于中档题．
17.【答案】解：(1)由sin2C= 3sinC，得2sinCcsC= 3sinC，
在△ABC中，sinC≠0，∴csC= 32，
在△ABC中，C∈(0,π)，∴C=π6.
(2)S△ABC=12absinC=12×a×4×12=2 3，
∴a=2 3，
由余弦定理得c2=a2+b2−2abcsC=12+16−2×2 3×4× 32=4，
∴c=2，∴a+b+c=2 3+4+2=6+2 3，
∴△ABC的周长为6+2 3.
【解析】(1)利用二倍角公式化简即可求得．
(2)利用面积公式和余弦定理即可求解．
本题主要考查解三角形，考查转化能力，属于中档题．
18.【答案】解：(1)设第二、三个路口遇到红灯的概率分别为p1，p2，p2>p1>12，
依题意可得(1−12)(1−p1)(1−p2)=124,12p1p2=14,
解得p1=23p2=34或p1=34p2=23(舍去)，
所以李平放学回家途中在第三个路口首次遇到红灯的概率12×13×34=18.
(2)由已知可得，X的可能值为0，1，2，3，
P(X=0)=124，
P(X=1)=12×(1−23)×(1−34)+(1−12)×23×(1−34)+(1−12)×(1−23)×34=14，
P(X=2)=12×23×(1−34)+12×(1−23)×34+(1−12)×23×34=1124，
P(X=3)=14，
所以X分布列为：
所以E(X)=0×124+1×14+2×1124+3×14=2312.
【解析】(1)设第二、三个路口遇到红灯的概率分别为p1，p2，由已知列出方程组，求解得出p1，p2的值，即可得出答案；
(2)X的可能值为0，1，2，3，根据独立事件的乘法公式以及互斥事件的概率加法公式，分别求出X取不同值的概率，列出分布列，然后根据期望公式，即可得出答案．
本题主要考查离散型随机变量分布列及数学期望，考查运算求解能力，属于中档题．
19.【答案】解：(1)证明：因为an+1=Sn+1−Sn，an+1=1+2 Sn，
∴Sn+1−Sn=1+2 Sn，即Sn+1=Sn+2 Sn+1=( Sn+1)2，
∴ Sn+1= Sn+1，即 Sn+1− Sn=1，
∴ Sn是1为首项，1为公差的等差数列．
(2)由(1)知， Sn= S1+(n−1)×1=n，
∴cn=(n+1)2n，
故Tn=2×2+3×22+4×23+⋯+(n+1)⋅2n①，
2Tn=2×22+3×23+4×24+⋯+(n+1)⋅2n+1②，
两式相减得，−Tn=2⋅21+22+23+⋯+2n−(n+1)2n+1=2+2(1−2n)1−2−(n+1)2n+1，
所以Tn=n⋅2n+1.
【解析】(1)根据an+1=Sn+1−Sn，变形得到Sn+1=( Sn+1)2，从而得到 Sn+1− Sn=1，得到答案；
(2)先在(1)的基础上求出cn=(n+1)2n，利用错位相减法求出答案．
本题考查数列递推关系以及错位相减法的运用，考查运算求解能力，属于中档题．
20.【答案】解：(1)法一：取AC中点O，连接PO，
∵PA=PC，∴PO⊥AC，
又平面ABC⊥平面PAC，平面ABC∩平面PAC=AC，故PO⊥平面ABC，
连接BO，则∠POB=90∘，
又∵AB=BC，O为AC中点，故BO⊥AC，
BO，PO⊂平面PBO，BO∩PO=O，故AC⊥平面PBO，
在平面PBO中，作OD⊥PB，则由OD⊥AC知OD为异面直线AC与PB间的距离，
由PO=2 3,OB=2,PB=4，PO×OB=PB×OB知OD= 3，
即异面直线AC与PB间的距离为 3；
法二：取AC中点O，连接PO，由PA=PC知PO⊥AC，
又平面ABC⊥平面PAC，平面ABC∩平面PAC=AC，故PO⊥平面ABC
以O为坐标原点，OB，OC，OP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则A(0,−2,0),B(2,0,0),C(0,2,0),P(0,0,2 3),PB=(2,0,−2 3),AC=(0,4,0)，
设n=(x,y,z)，且n⋅AC=0,n⋅PB=0，
则y=02x−2 3z=0，令z= 3，则n=(3,0, 3)，
又AB=(2,2,0)，则异面直线AC与PB间的距离为d=|n⋅AB|n||=62 3= 3；
(2)由(1)知PO⊥平面ABC，又PO⊂平面PAC，∴平面PAC⊥平面ABC，
如图，在平面ABC内作MN⊥AC，垂足为N，则MN⊥平面PAC，
在平面PAC内作FN⊥AP，垂足为F，连接MF，
PA⊂平面PAC，∴MN⊥PA，且MN∩FN=N，
∴PA⊥平面MFN，FM⊂平面MFN，∴PA⊥FM
故∠MFN为二面角M−PA−C的平面角，即∠MFN=30∘，
设MN=a，则NC=a，AN=4−a，在Rt△AFN中，FN= 32(4−a)，
在Rt△MFN中，由∠MFN=30∘知FN= 3MN，得a=43，
法一：设点C到平面PAM的距离为h，由VM−APC=VC−APM，得13S△APCMN=13S△APMh，
即13×12×AC×MN×PO=13×12×PA×MF×h，
又AC=PA=4,MF=2MN,PO=2 3，
解得h= 3，则PC与平面PAM所成角的正弦值为 34；
法二：如图，以O为坐标原点，OB、OC、OP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，
则A(0,−2,0),B(2,0,0),C(0,2,0),P(0,0,2 3),M(43,23,0)，
PC=(0,2,−2 3),AP=(0,2,2 3),AM=(43,83,0)，
设n=(x,y,z)为平面PAM的法向量，
则n⋅AP=2y+2 3z=0n⋅AM=43x+83y=0，令z= 3，则n=(6,−3, 3)，
则PC与n所成角的余弦值为csθ=n⋅PC|n||PC|=− 34，
则PC与平面PAM所成角的正弦值sinα=|csθ|= 34.
【解析】(1)法一：根据等腰三角形性质得PO垂直AC，BO⊥AC，根据线面垂直的判定定理得AC⊥面PBO，在面PBO中，作OD⊥PB，知OD为异面直线AC与PB间的距离可得答案；法二：以O为坐标原点，OB，OC，OP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，设n=(x,y,z)，且n⋅AC=0,n⋅PB=0可得n，由异面直线AC与PB间的距离向量求法可得答案；
(2)方法一：在平面ABC内作MN⊥AC，则MN⊥平面PAC，在平面PAC内作NF⊥AP，则MF⊥AP，得∠MFN为二面角M−PA−C的平面角，法一：设点C到平面PAM的距离为h，利用VM−APC=VC−APM得h可得答案；法二：以O为坐标原点，OB、OC、OP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建空间直角坐标系，求出平面PAM的法向量，由线面角的向量求法可得答案．
本题主要考查异面直线之间距离的求法，直线与平面所成角的求法，考查运算求解能力，属于中档题．
21.【答案】解：(1)由题知ca= 6334a2+34b2=1a2=b2+c2，解得：a2=3，b2=1，
所以椭圆C：y23+x2=1；
(2)设直线l的方程为：y=kx+t，k>0，
由y23+x2=1y=kx+t，得(k2+3)x2+2ktx+t2−3=0，
Δ=(2kt)2−4(k2+3)(t2−3)>02得k2+3>t2，
设A(x1,y1)，B(x2,y2)，则x1+x2=−2ktk2+3，y1+y2=k(x1+x2)+2t=6tk2+3，
所以P(−ktk2+3,3tk2+3)，
所以kOP=3t−kt=−3k，射线OP的方程为y=−3kx，
由y23+x2=1y=−3kx，得xG2=k2k2+3，yG2=9k2+3；由y=3y=−3kx，得D(−k,3)，
由|OG||OD|=|OP||OG|，得xG2=xP⋅xDyG2=yP⋅yD，即k2k2+3=−ktk2+3⋅(−k)9k2+3=3tk2+3×3，
解得t=1，
∴直线l：y=kx+1恒过定点(0,1).
【解析】(1)根据椭圆的离心率与椭圆上的点列方程求解a，b即可得椭圆方程；
(2)设直线的方程为：y=kx+t，k>0，联立直线与椭圆得交点坐标关系，再结合线段坐标表示求解t的值即可得结论．
本题考查直线与椭圆的综合问题，属于中档题．
22.【答案】解：(1)已知f(x)=−2x3−2ax−12，函数定义域为R，
可得f′(x)=−6x2−2a，
若x轴为曲线y=f(x)的切线，
不妨设曲线y=f(x)与x轴相切于点(x0,0)，
此时f′(x0)=f(x0)=0，
即6x02+2a=02x03+2ax0+12=0，
解得x0=12，a=−34；
(2)已知函数h(x)=max{f(x),g(x)}(x>0)，
当x∈(1,+∞)时，g(x)>0，h(x)=max{f(x),g(x)}≥g(x)>0，
所以函数h(x)在(1,+∞)无零点；
当x=1时，若a≥−54，
此时f(1)=−2a−52≤0，h(1)=max{f(1),g(1)}=g(1)=0，
所以x=1是h(x)的零点；
若a0,h(1)=max{f(1),g(1)}=f(1)>0，
所以x=1不是h(x)的零点；
当x∈(0,1)时，g(x)