2022-2023学年辽宁省部分学校高二（下）期末数学试卷(含详细答案解析)

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这是一份2022-2023学年辽宁省部分学校高二（下）期末数学试卷(含详细答案解析)，共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.设集合M={x|x2+4x−5<0}，N={x|−3A. {x|−3C. {x|12.已知0A. b−a>1B. ab>1C. ba<1D. a+b>1
3.等差数列{an}的前n项和为Sn，且a1+a3=10，a5+a7=26，则S7=( )
A. 63B. 45C. 49D. 56
4.函数f(x)=x3⋅ln|x|e|x|的部分图像大致为( )
A. B.
C. D.
5.已知函数f(x)=ax2+2x−3,x<2ax,x≥2，在R上单调递增，则a的取值范围是( )
A. (−∞,0)B. [−12,0)C. (−∞,−27]D. [−12,−27]
6.“a≥−14”是“方程|x|+x2=a有实数解”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
7.已知定义在R上的奇函数f(x)满足对任意的x1，x2∈(0,+∞)，且x1≠x2，都有f(x1)−f(x2)x1−x2<0，若f(1)=0，则xf(x)≥0的解集为( )
A. [−1,1]B. [−1,0]∪[1,+∞)C. (−1,0)∪(0,1)D. (−∞,−1]∪[0,1]
8.已知过点A(0,b)作的曲线y=lnxx的切线有且仅有两条，则b的取值范围为( )
A. (0,1e)B. (0,2e)C. (0,e)D. (0,2e32)
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.已知x>y>0，则( )
A. x−1>y−1B. x> yC. 2x>2yD. lnx>lny
10.若函数f(x)=lnx+ax2+bx既有极大值又有极小值，则( )
A. a>0B. b>0C. b2−8a>0D. b2=8a
11.设a=lg2e，b=ln3，则( )
A. ab=ln32B. a+b<3C. b−1a<12D. ba<1
12.已知函数f(x)=−x2+4x,x>0ln(−x+1)+3,x≤0，函数g(x)=f(f(x))−m，则下列结论正确的是( )
A. 若m=0，则g(x)有2个零点
B. 若m=3，则g(x)有6个零点
C. 若g(x)有5个零点，则m的取值范围为(0,3)
D. g(x)一定有零点
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知幂函数f(x)=(m2−72m+52)xm是奇函数，则m=______.
14.已知函数f(x)的定义域为(1,3)，则函数g(x)=f(x+1) x−1的定义域为______.
15.黄金比又称黄金律，是指事物各部分间一定的数学比例关系，即将整体一分为二，较大部分与较小部分之比等于整体与较大部分之比.其中，较大部分与整体之比的比值称为黄金分割数，黄金分割数被公认为最具有审美意义的比例数字.若数列{an}是以黄金分割数为公比的等比数列，且a2024+a2025=2023，则a2023=______.
16.已知函数y=−x+m的图象与函数y=2x+1和函数y=2x−2+1的图象分别交于A，B两点，若|AB|= 2，则m=______.
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
已知定义在R上的奇函数f(x)满足当x>0时，f(x)=ex+1.
(1)求f(x)的解析式；
(2)若f(lnt)=−3，求t的值.
18.(本小题12分)
已知正实数a，b满足2a+b=ab.
(1)求a+2b的最小值；
(2)求ab的最小值.
19.(本小题12分)
已知大气压强p(帕)随高度h(米)的变化满足关系式lnp0−lnp=kh，p0是海平面大气压强.
(1)世界上有14座海拔8000米以上的高峰，喜马拉雅承包了10座，设在海拔4000米处的大气压强为p′，求在海拔8000米处的大气压强(结果用p0和p′表示).
(2)我国陆地地势可划分为三级阶梯，其平均海拔如下表：
若用平均海拔的范围直接代表海拔的范围，设在第二级阶梯某处的压强为p2，在第三级阶梯某处的压强为p3,k=10−4，证明：p2≤p3≤e0.18p2.
20.(本小题12分)
已知数列{an}满足a1=14,anan+1=22n−5.
(1)求{an}的通项公式；
(2)若bn=(5−n)an，求数列{bn}的前n项和Tn.
21.(本小题12分)
已知函数f(x)=lga(ax+1)−x(a>0且a≠1).
(1)试讨论f(x)的值域；
(2)若关于x的方程f(x)=lga(c⋅ax−c)有唯一解，求c的取值范围.
22.(本小题12分)
已知函数f(x)满足x2f′(x)+xf(x)=elnx，且f(e)=1，函数g(x)=−x2+2ax+4.
(1)求f(x)的图象在x=e处的切线方程；
(2)若对任意x1∈(1,e],存在x2∈[1,2]，使得f(x1)>g(x2)，求a的取值范围.
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：因为M={x|x2+4x−5<0}={x|−5所以M∩N={x|−3故选：A.
根据题意，将集合M化简，然后结合交集的运算，即可得到结果．
本题主要考查了集合交集运算，属于基础题．
2.【答案】D
【解析】解：因为01+a>1，故D正确；
对于A：若b=1.1，a=0.9，满足0对于B：若b=1.1，a=0.1，满足0对于C：因为01，故C错误．
故选：D.
根据不等式的性质判断C、D，利用特殊值判断A、B.
本题主要考查不等式的性质，属于基础题．
3.【答案】A
【解析】解：等差数列{an}的前n项和为Sn，且a1+a3=10，a5+a7=26，
设公差为d，由a1+a3=10a5+a7=26可得2a1+2d=102a1+10d=26，
解得a1=3d=2，故S7=7a1+7×62d=63.
故选：A.
先根据已知求出公差d，再利用求和公式得出结果．
本题考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
4.【答案】C
【解析】解：因为f(x)=x3⋅ln|x|e|x|，所以f(x)的定义域为(−∞,0)∪(0,+∞).且关于原点对称．
又f(−x)=(−x)3⋅ln|−x|e|−x|=−x3⋅ln|x|e|x|=−f(x)，
所以f(x)是奇函数，则排除A，D.
当01时，f(x)>0，排除B，
故选：C.
求f(x)=x3⋅ln|x|e|x|的定义域，并判断奇偶性，可排除不满足相应对称性的图像，再通过判断相应区间函数值的正负，即可选出答案．
本题考查了函数的奇偶性，函数的图像的对称性，是中档题．
5.【答案】D
【解析】解：因为函数y=f(x)在R上单调递增，
所以题意可得−1a≥2,a<0,4a+1≤a2,解得−12≤a≤−27.
故选：D.
根据函数y=f(x)在R上单调性可得答案．
本题主要考查函数的单调性，考查运算求解能力，属于基础题．
6.【答案】B
【解析】解：当a=−14时，此时的方程为x2+|x|+14=0，即(|x|+12)2=0无解，
所以由“a≥−14”推不出”|x|+x2=a”有实数解，
因为|x|≥0，所以a=|x|+x2=(|x|+12)2−14≥0，即a≥−14，
所以方程|x|+x2=a有实数解⇒a≥−14，
所以“a≥−14”是“方程|x|+x2=a有实数解”的必要不充分条件．
故选：B.
根据充分条件与必要条件的定义求解．
本题主要考查了充分条件和必要条件的定义，属于基础题．
7.【答案】A
【解析】解：对任意的x1，x2∈(0,+∞)，且x1≠x2，都有f(x1)−f(x2)x1−x2<0，
即f(x)在(0,+∞)上是减函数，因为x∈R，所以f(x)在(−∞,0)上是减函数，
y=f(x)为奇函数，可得f(0)=0，f(1)=0，可得f(−1)=0，
因为xf(x)≥0，
所以当x=0时，xf(x)=0；
当x>0时，f(x)>0=f(1)，根据f(x)在(0,+∞)上单调递减可得0当x<0时，f(x)<0=f(−1)，根据f(x)在(−∞,0)上单调递减可得−1综上可知，不等式xf(x)<0的解集为[−1,1].
故选：A.
根据条件可知函数f(x)在(0,+∞)上单调递减，再根据奇函数性质即可得出函数f(x)的单调性，结合条件xf(x)≥0并对x进行分类讨论即可解出不等式．
本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，考查运算能力，属于中档题．
8.【答案】D
【解析】解：设切点为(x0,y0)，由题意得y′=1−lnxx2，
所以k=1−lnx0x02=y0−bx0=lnx0x0−bx0，
整理得b=2lnx0−1x0，此方程有两个不等的实根．
令函数f(x)=2lnx−1x，则f′(x)=3−2lnxx2.
当00，所以f(x)在(0,e32)上单调递增；
当x>e32时，f′(x)<0，所以f(x)在[e32,+∞)上单调递减，且f(x)>0.
f(x)极大值=f(e32)=2e32，方程有两个不等的实根，故b∈(0,2e32).
故选：D.
先根据导数求出切线斜率，再构造函数把有两条切线转化为函数有两个交点解决问题即可．
本题考查导数的运用：求切线方程，考查方程思想和转化思想、运算能力，属于中档题．
9.【答案】BCD
【解析】解：当x=2，y=1时，12<1，故A错误．
函数y= x在(0,+∞)上单调递增，故B正确．
函数y=2x在(0,+∞)上单调递增，故C正确．
函数y=lnx在(0,+∞)上单调递增，故D正确．
故选：BCD.
根据题意，令x=2，y=1，即可判断A，由幂函数的单调性即可判断B，由指数函数的单调性即可判断C，由对数函数的单调性即可判断D.
本题考查不等式性质、函数的单调性等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
10.【答案】AC
【解析】解：f(x)的定义域为(0,+∞)，f′(x)=1x+2ax+b=2ax2+bx+1x
因为若函数f(x)=lnx+ax2+bx既有极大值又有极小值，
所以方程2ax2+bx+1=0有两个不等的正根x1，x2，
所以a≠0Δ=b2−8a>0x1+x2=−b2a>0x1x2=12a>0，解得a>0，b<0，b2−8a>0，
所以A和C正确，B和D错误．
故选：AC.
先判断函数定义域，再求导，将题意转化为方程2ax2+bx+1=0有两个不等的正根x1，x2，根据一元二次方程相关知识直接求解即可．
本题主要考查利用导数研究函数的极值，考查运算求解能力，属于中档题．
11.【答案】BCD
【解析】解：选项A：ab=lg2e⋅ln3=lg2e⋅lg23lg2e=lg23，A错误；
因为(2.8)2=7.84，(232)2=8，所以2.8<232，
选项B：因为a=lg2e∵3<1.53，则3<(2.25)32，
有b=ln3选项C：b−1a=ln3−ln2=ln32选项D：ba=ln3×ln2<(ln3+ln22)2=(ln62)2<(lne22)2=1，D正确．
故选：BCD.
选项A：根据对数运算相关知识即可解决；选项B：根据对数运算相关知识进行适当放缩即可解决；选项C：根据对数运算相关知识即可解决；选项D：根据对数运算相关知识及基本不等式进行放缩即可解决．
本题考查两个实数的大小比较，以及指数、对数函数的性质，考查转化思想和运算能力、推理能力，属于中档题．
12.【答案】ABD
【解析】解：令f(x)=4，解得x=1−e或2；令f(x)=3，解得x=0或1或3.
根据函数图象的平移变换，可画出f(x)的简图，如图所示．
令g(x)=0，则f(f(x))=m，令f(x)=t，则f(t)=m.
当m>4时，f(t)=m只有1解，且t<1−e，此时f(x)=t只有1解，所以g(x)只有1个零点．
当m=4时，f(t)=4有2解，即t=1−e或2.
f(x)=1−e有1解；f(x)=2有2解．所以g(x)有3个零点．
当m∈(3,4)时，f(t)=m有3解t1，t2，t3，t1∈(1−e,0)，t2∈(1,2)，t3∈(2,3).
当t1∈(1−e,0)时，f(x)=t1只有1解；
当t2∈(1,2)时，f(x)=t2有2解；
当t3∈(2,3)时，f(x)=t3有2解．所以g(x)有5个零点．
当m=3时，f(t)=3有3解，即t=0或1或3.f(x)=0只有1解；
f(x)=1有2解；f(x)=3有3解．所以g(x)有6个零点．
当m∈(0,3)时，f(t)=m有2解t4，t5，t4∈(0,1)，t5∈(3,4).
当t4∈(0,1)时，f(x)=t4有2解；当t5∈(3,4)时，f(x)=t5有3解．所以g(x)有5个零点．
当m=0时，f(t)=0只有1解t=4，f(x)=4有2解，所以g(x)有2个零点．
当m<0时，f(t)=m只有1解，且t>4，此时f(x)=t只有1解，所以g(x)只有1个零点．
综上，A，B，D正确．
故选：ABD.
画出f(x)的简图，令g(x)=0，则f(f(x))=m，令f(x)=t，则f(t)=m，然后结合图象，分m>4，m=4，m∈(3,4)，m∈(0,3)，m=0和m<0六种情况讨论函数的零点即可．
此题考查函数与方程，考查分段函数的性质，解题的关键是画出f(x)的图象，结合图象分情况求解，考查数形结合的思想和分类讨论的思想，属于较难题．
13.【答案】3
【解析】解：幂函数f(x)=(m2−72m+52)xm是奇函数，
由m2−72m+52=1，解得m=3或12，
m=12时，f(x)=x12不是奇函数，
m=3时，f(x)=x3是奇函数，
所以m=3.
故答案为：3.
由幂函数定义求得m，再判断奇偶性可得答案．
本题考查幂函数的定义和性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
14.【答案】(1,2)
【解析】解：依题意，10，解得1所以函数g(x)的定义域为(1,2).
故答案为：(1,2).
根据给定条件，利用函数g(x)有意义，结合复合函数的意义，列出不等式求解作答．
本题主要考查分式函数的性质，函数的定义域的定义，属于基础题．
15.【答案】2023
【解析】解：由题意，设整体为1，较大部分为x，则较小部分为1−x，则x1−x=1x，
即x2+x−1=0，解得x= 5−12(x=− 5−12舍去)，故黄金分割数为 5−12.
令q= 5−12，则q2+q−1=0，即an(q2+q−1)=0，
所以an+2+an+1−an=0，故a2023=a2024+a2025=2023.
故答案为：2023.
先根据题意列方程求出黄金分割数，则可得等比数列的公比，然后根据等比数列的通项公式和黄金分割数的性质求解即可．
本题主要考查了等比数列的性质及通项公式的应用，属于基础题．
16.【答案】4
【解析】解：因为2x+1−(2x−2+1)=2x−2x−2=34×2x>0，
所以函数y=2x+1的图象恒在函数y=2x−2+1上方，
设A(x1,y1)，B(x2,y2)，且x1y2，
由|AB|= 2，得(x1−x2)2+(y1−y2)2=2，
又因为AB所在直线的斜率为y1−y2x1−x2=−1，所以x2−x1=y1−y2=1，
因为y1=2x1+1y2=2x2−2+1，所以y1−y2=(2x1+1)−(2x2−2+1)=1，
即2x1−2x1−1=1，解得x1=1，
因为y1=2x1+1=3，所以A(1,3)，代入函数y=−x+m，解得m=4.
故答案为：4.
设A(x1,y1)，B(x2,y2)，且x1本题考查了两点间的距离公式及两点的斜率公式应用问题，也考查了运算求解能力，是中档题．
17.【答案】解：(1)因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(0)=0.
当x<0时，−x>0，f(−x)=e−x+1=−f(x)，则f(x)=−e−x−1，
故f(x)=ex+1,x>0,0,x=0,−e−x−1,x<0.
(2)由(1)可得只有当x<0时，f(x)<0.
因为f(lnt)=−3，所以−e−lnt−1=−3，解得t=12.
故t的值为12.
【解析】(1)由奇函数的定义求解析式；
(2)根据函数值的正负确定lnt<0，选用相应的函数式计算求解．
本题考查函数奇偶性的性质以及应用，涉及函数值的计算，属于基础题．
18.【答案】解：(1)因为2a+b=ab，所以1a+2b=1，
a+2b=(a+2b)(1a+2b)=1+4+2ba+2ab≥5+2 2ba⋅2ab=9，
当且仅当2ba=2ab且2a+b=ab，即a=b=3时，等号成立，
故a+2b的最小值为9；
(2)因为a，b为正实数，所以ab>0，
又2a+b=ab≥2 2ab，所以(ab)2−8ab≥0，解得ab≥8，
当且仅当a=2，b=4时，等号成立；
综上，ab的最小值为8.
【解析】由已知运用基本不等式及相关结论即可求解(1)(2).
本题主要考查了基本不等式及相关结论在最值求解中的应用，属于中档题．
19.【答案】解：(1)设在海拔8000米处的大气压强为p′′，
lnp0−lnp′=4000klnp0−lnp″=8000k，
所以2lnp0p′=lnp0p″，解得p′′=p′2p0；
(2)证明：设在第二级阶梯某处的海拔为h2，在第三级阶梯某处的海拔为h3，
则lnp0−lnp2=10−4h2lnp0−lnp3=10−4h3，
两式相减可得lnp3p2=10−4(h2−h3)，
因为h2∈[1000,2000]，h3∈[200,1000]，所以h2−h3∈[0,1800]，
则0≤lnp3p2≤10−4×1800=0.18，
即1≤p3p2≤e0.18，
故p2≤p3≤e0.18p2.
【解析】(1)设在海拔8000米处的大气压强为p′′，根据已知条件列出关于p′、p′′的方程组可得答案；
(2)设在第二级阶梯某处的海拔为h2，在第三级阶梯某处的海拔为h3，根据已知条件列出关于p2、p3的方程组，两式相减可得lnp3p2=10−4(h2−h3)，再根据h2、h3的范围可得答案．
本题主要考查函数在实际问题中的应用，考查运算求解能力，属于中档题．
20.【答案】解：(1)∵anan+1=22n−5，∴an+1an+2=22n−3，
两式相比得an+2an=4.
∵a1=14,a1a2=2−3≠0，∴a2=12≠0.
∴数列{a2n−1}是以14为首项，4为公比的等比数列；
数列{a2n}是以12为首项，4为公比的等比数列．
∴a2n−1=14×4n−1=2(2n−1)−3,a2n=12×4n−1=22n−3.
综上，{an}的通项公式为an=2n−3.
(2)∵bn=(5−n)×2n−3.
∴Tn=(5−1)×21−3+(5−2)×22−3+(5−3)×23−3+⋅⋅⋅+(5−n)×2n−3，
2Tn=(5−1)×22−3+(5−2)×23−3+(5−3)×24−3+⋅⋅⋅+(5−n)×2n−2.
两式相减得−Tn=1−2−1−20−⋅⋅⋅−2n−3−(5−n)×2n−2
=1−2−1(1−2n−1)1−2−(5−n)×2n−2=32+(n−6)×2n−2，
所以Tn=−32−(n−6)×2n−2.
【解析】(1)由anan+1=22n−5可知应将n用n+1代替，迭代可得an+1an+2=22n−3，再将两式相比可得隔项比为an+2an=4，验证首项不为零可得数列{a2n−1}是以14为首项，4为公比的等比数列，数列{a2n}是以12为首项，4为公比的等比数列，再求通项．
(2)由bn=(5−n)×2n−3可得通项结构为等差数列乘等比构成，可用错位相减法求和．
本题考查等比数列的定义和通项公式、求和公式和数列的错位相减法求和，考查转化思想和运算能力，属于中档题．
21.【答案】解：(1)f(x)=lga(ax+1)−x=lga(ax+1)−lgaax=lgaax+1ax=lga(1+1ax).
因为1+1ax>1，
所以当a∈(0,1)时，lga(1+1ax)∈(−∞,0)；当a∈(1,+∞)时，lga(1+1ax)∈(0,+∞).
故当a∈(0,1)时，f(x)的值域为(−∞,0)；当a∈(1,+∞)时，f(x)的值域为(0,+∞).
(2)因为关于x的方程lga(1+1ax)=lga(c⋅ax−c)只有一个解，
所以c⋅ax−c=c⋅(ax−1)>01+1ax=c⋅ax−c有唯一解．
令t=ax，t∈(0,+∞)，所以ct−c=c(t−1)>01+1t=ct−c有唯一解．
关于t的方程ct2−(c+1)t−1=0有唯一解，
设g(t)=ct2−(c+1)t−1.
当c=0时，−t−1=0，解得t=−1，不符合题意．
当c>0时，t>1，g(1)=−2<0，所以一定有一个解，符合题意．
当c<0时，t∈(0,1)，Δ=(c+1)2+4c=0，解得c=−3±2 2.
当c=−3−2 2,t= 2−1时，符合题意，当c=−3+2 2,t=−1− 2时，不符合题意．
综上，c的取值范围为{−3−2 2}∪(0,+∞).
【解析】(1)由f(x)=lga(1+1ax)，根据1+1ax>1，分a∈(0,1)和a∈(1,+∞)讨论求解；
(2)根据方程lga(1+1ax)=lga(c⋅ax−c)只有一个解，转化为c⋅ax−c=c⋅(ax−1)>01+1ax=c⋅ax−c有唯一解，令t=ax，t∈(0,+∞)，转化为关于t的方程ct2−(c+1)t−1=0有唯一解求解．
本题主要考查函数的值域的求法，函数的零点与方程根的关系，考查运算求解能力，属于中档题．
22.【答案】解：(1)令x=e得e2f′(e)+ef(e)=elne，即ef′(e)+f(e)=1.
因为f(e)=1，所以f′(e)=0，故f(x)在x=e处的切线方程为y=1.
(2)由题意知：f(x)，g(x)分别在x∈(1,e]、x∈[1,2]上f(x)min>g(x)min，
由x2f′(x)+xf(x)=elnx，得f′(x)=elnx−xf(x)x2.
令t(x)=elnx−xf(x)，则t′(x)=ex−f(x)−xf′(x)=ex−f(x)−x⋅elnx−xf(x)x2=e(1−lnx)x.
因为x1∈(1,e],所以1−lnx∈[0,1),则t′(x)≥0，t(x)在(1,e]上单调递增．
t(x)max=t(e)=elne−ef(e)=0，即t(x)≤0.
所以f′(x)≤0，f(x)在(1,e]上单调递减，f(x)min=f(e)=1.
g(x)图象的对称轴方程是x=a.
当a≤32时，g(x)min=g(2)=4a当a>32时，g(x)min=g(1)=2a+3综上，a的取值范围为(−∞,14).
【解析】(1)将x=e代入已知等式得ef′(e)+f(e)=1，进而求得f′(e)=0，即可写出切线方程；
(2)问题化为f(x)，g(x)分别在x∈(1,e]、x∈[1,2]上f(x)min>g(x)min，再由已知得f′(x)=elnx−xf(x)x2，构造t(x)=elnx−xf(x)利用导数研究x∈(1,e]上函数符号，判断f(x)单调性，即可得最小值，根据二次函数性质确定g(x)在x∈[1,2]上最小值，即可求参数范围．
本题主要考查利用导数研究函数的单调性与最值，利用导数研究曲线上某点的切线方程，考查运算求解能力，属于中档题．平均海拔(单位：米)
第一级阶梯
≥4000
第二级阶梯
1000∼2000
第三级阶梯
200∼1000

2022-2023学年辽宁省部分学校高二（下）期末数学试卷(含详细答案解析)

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