2022-2023学年上海市普陀区晋元高级中学高二（下）期末数学试卷(含详细答案解析)

这是一份2022-2023学年上海市普陀区晋元高级中学高二（下）期末数学试卷(含详细答案解析)，共13页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.在一次试验中，测得(x,y)的五组数据分别为(1,3)，(2,4)，(4,5)，(5,13)，(10,12)，去掉一组数据(5,13)后，下列说法正确的是( )
A. 样本数据由正相关变成负相关B. 样本的相关系数不变
C. 样本的相关性变弱D. 样本的相关系数变大
2.在直角坐标平面内，点A，B的坐标分别为(−1,0)，(1,0)，则满足tan∠PAB⋅tan∠PBA=m(m为非零常数)的点P的轨迹方程是( )
A. x2−y2m=1(y≠0)B. x2−y2m=1
C. x2+y2m=1(y≠0)D. x2+y2m=1
3.如图所示的是函数f(x)=x3+bx2+cx+d的大致图象，则x12+x22等于( )
A. 23B. 43C. 83D. 163
4.已知F1，F2分别为双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点，双曲线的半焦距为c(c>0)，且满足b2=ac，点P为双曲线右支上一点，I为△PF1F2的内心，若S△IPF1=S△IPF2+(m−1)S△IF1F2成立(S表示面积)，则实数m=( )
A. 3B. 52C. 5+12D. 3+12
二、填空题：本题共12小题，每小题4分，共48分。
5.过点(1,3)且平行于直线x−2y+3=0的直线方程为______.
6.若f(x)=x2+x，则Δx→0limf(1+Δx)−f(1)Δx=______.
7.一个袋子中装有2个红球和2个白球(除颜色外其余均相同)，现从中随机摸出2个球，则摸出的2个球中至少有1个是红球的概率为______.
8.从4名男生和3名女生中抽取两人加入志愿者服务队.用A表示事件“抽到的两名学生性别相同”，用B表示事件“抽到的两名学生都是女生”，则P(B|A)=______.(结果用最简分数表示)
9.以抛物线y2=4x的焦点为圆心、且与该抛物线的准线相切的圆的方程为______.
10.受新冠肺炎的影响，部分企业转型生产口罩，如表为某小型工厂2∼5月份生产的口罩数(单位：万)
若y与x线性相关，且回归直线方程为y =1.5x−0.6，则表格中实数m的值为______.
11.已知椭圆C：x24+y23=1的右焦点为F，直线l经过椭圆右焦点F，交椭圆C于P、Q两点(点P在第二象限)，若点Q关于x轴对称点为Q′，且满足PQ⊥FQ′，求直线l的方程是______.
12.“东哥”上班的路上有4个红绿灯路口，假如他走到每个红绿灯路口遇到绿灯的概率为23，则他在上班的路上至少遇到2次绿灯的概率为______.
13.设Pn(xn,yn)是圆x2+y2−4x+2y=0与圆x2+y2=12n在第一象限的交点，则n→∞limynxn的值为______.
14.如图，F1、F2是双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点，过F1的直线l与双曲线的左右两支分别交于点A、B.若△ABF2为等边三角形，则双曲线的离心率为_________.
15.已知抛物线C1：y2=8x，圆C2：(x−2)2+y2=1，点M的坐标为(4,0)，P、Q分别为C1、C2上的动点，且满足|PM|=|PQ|，则点P的横坐标的取值范围是______.
16.已知实数a、b、c、d满足|b−lnaa|+|c−d+2|=0，则(a−c)2+(b−d)2的最小值为______.
三、解答题：本题共5小题，共58分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
记函数f(x)=lg(x2−x−2)的定义域为集合A，函数g(x)= 3−|x|的定义域为集合B.
(1)求A∩B和A∪B；
(2)若C={x|4x+pb>0)过点P(1, 22)记椭圆的左顶点为M，右焦点为F.
(1)若椭圆C的离心率e∈(0,12],求b的范围；
(2)已知a= 2b，过点F作直线与椭圆分别交于E，G两点(异于左右顶点)连接ME，MG，试判定EM与EG是否可能垂直，请说明理由；
(3)已知a= 2b，设直线l的方程为y=k(x−2)，它与C相交于A，B.若直线AF与C的另一个交点为D.证明：|BF|=|DF|.
21.(本小题12分)
已知函数f(x)=13x3−ax+1，
(1)若x=1时，f(x)取得极值，求实数a的值；
(2)当a1，所以e=1+ 52，
设△PF1F2内切圆半径为r，
因为I为△PF1F2的内心，S△IPF1=S△IPF2+(m−1)S△IF1F2成立(S表示面积)，
所以12|PF1|r=12|PF2|r+12(m−1)|F1F2|r，
所以|PF1|−|PF2|=(m−1)|F1F2|=2c(m−1)，
因为点P为双曲线右支上一点，所以|PF1|−|PF2|=2a，
所以2c(m−1)=2a，
所以m−1=ac=1e=2 5+1=2( 5−1)4= 5−12，
所以m= 5−12+1= 5+12，
故选：C.
由b2=ac可求出双曲线的离心率，设△PF1F2内切圆半径为r，则由S△IPF1=S△IPF2+(m−1)S△IF1F2可得|PF1|−|PF2|=2c(m−1)，而|PF1|−|PF2|=2a，则2c(m−1)=2a，从而可求出m的值．
本题主要考查双曲线的性质，考查运算求解能力，属于中档题．
5.【答案】x−2y+5=0
【解析】解：设与直线x−2y+3=0平行的直线方程为x−2y+c=0，把点(1,3)代入可得1−2×3+c=0，c=5，
故所求的直线的方程为x−2y+5=0，
故答案为x−2y+5=0.
设与直线x−2y+3=0平行的直线方程为x−2y+c=0，把点(1,3)代入求得c的值，即可求得所求的直线的方程．
本题主要考查利用待定系数法求直线的方程，属于基础题．
6.【答案】3
【解析】解：f(x)=x2+x，
则f′(x)=2x+1，
故Δx→0limf(1+Δx)−f(1)Δx=f′(1)=2+1=3.
故答案为：3.
先对f(x)求导，再结合导数的几何意义，即可求解．
本题主要考查导数的运算，属于基础题．
7.【答案】56
【解析】解：一个袋子中装有2个红球和2个白球(除颜色外其余均相同)，
现从中随机摸出2个球，
基本事件总数n=C42=6，
摸出的2个球中至少有1个是红球包含的基本事件个数m=C22+C21C21=5，
∴摸出的2个球中至少有1个是红球的概率p=mn=56.
故答案为：56.
基本事件总数n=C42=6，摸出的2个球中至少有1个是红球包含的基本事件个数m=C22+C21C21=5，由此能求出摸出的2个球中至少有1个是红球的概率．
本题考查概率的求法及应用，考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．
8.【答案】13
【解析】解：由题意可知，P(B|A)=n(AB)n(A)=C32C32+C42=13.
故答案为：13.
根据已知条件，结合条件概率公式，即可求解．
本题主要考查条件概率公式，属于基础题．
9.【答案】(x−1)2+y2=4
【解析】解：因为抛物线y2=4x的焦点(1,0)，准线x=−1，
故所求圆的圆心(1,0)，半径为2，
故圆的方程为(x−1)2+y2=4.
故答案为：(x−1)2+y2=4.
先确定出圆的圆心及半径，进而可求圆的方程．
本题主要考查了抛物线的性质，直线与圆相切的性质，圆方程的求解，属于基础题．
10.【答案】7.1
【解析】解：x−=3.5，故y−=1.5×3.5−0.6=4.65，
故2.2+3.8+5.5+m4=4.65，
故m=7.1，
故答案为：7.1.
根据线性回归直线方程经过样本中心，将x−,y−代入求解．
本题主要考查了线性回归方程的求解，属于基础题．
11.【答案】x+y−1=0
【解析】解：椭圆C：x24+y23=1的右焦点为F(1,0)，
直线l经过椭圆右焦点F，交椭圆C于P、Q两点(点P在第二象限)，
若点Q关于x轴对称点为Q′，且满足PQ⊥FQ′，
可知直线l的斜率为−1，所以直线l的方程是：y=−(x−1)，
即x+y−1=0.
故答案为：x+y−1=0.
求出椭圆的右焦点坐标，利用已知条件求出直线的斜率，然后求解直线方程．
本题考查椭圆的简单性质的应用，直线与直线的对称关系的应用，直线方程的求法，是基本知识的考查．
12.【答案】89
【解析】解：由题意，他在上班路上遇到绿灯的次数X服从二项分布，即X∼B(4,23)，
则他至少遇到两次绿灯的概率P=P(X=2)+P(X=3)+P(X=4)
=C42(23)2(13)2+C43(23)3(13)1+C44(23)4=7281=89.
故答案为：89.
遇到绿灯的次数服从二项分布，据此求解即可．
本题考查服从二项分布随机变量的概率，属基础题．
13.【答案】2
【解析】解：圆x2+y2−4x+2y=0与圆x2+y2=12n，
则两圆相减可得，两圆的公共弦方程，4x−2y=12n，
Pn(xn,yn)是圆x2+y2−4x+2y=0与圆x2+y2=12n在第一象限的交点，
则点Pn(xn,yn)在两圆公共弦方程上，
当n∈∞时，直线趋向于4x−2y=0，即y=2x，
故n→∞limynxn的值为2.
故答案为：2.
根据已知条件，先求出两圆的公共弦方程，
本题主要考查极限及其运算，属于基础题．
14.【答案】 7
【解析】【分析】
本题考查双曲线的定义，考查余弦定理的运用，属于中档题.
设△ABF2的边长为m，则由双曲线的定义，可求m的值，在△AF1F2中，由余弦定理，可得结论．
【解答】
解：设△ABF2的边长为m，
则由双曲线的定义，可得|BF1|=m+2a，
∴|AF1|=2a，
∵|AF2|−|AF1|=2a，∴|AF2|=4a，
∴m=4a，
在△AF1F2中，|AF1|=2a，|AF2|=4a，
|F1F2|=2c，∠F1AF2=120∘，
∴由余弦定理可得
4c2=(4a)2+(2a)2+2×4a×2a×12，
∴c= 7a，∴e=ca= 7，
故答案为 7.
15.【答案】[76,152]
【解析】解：由抛物线C1：y2=8x，可得焦点F(2,0)，准线方程为x=−2，
由圆C2：(x−2)2+y2=1，可得圆心C2即为抛物线的焦点F，
∴|PF|−1≤|PQ|≤|PF|+1，
∴x+2−1≤|PQ|≤x+2+1，
∵|PM|=|PQ|，∴x+2−1≤|PM|≤x+2+1，
∴x+2−1≤ (x−4)2+y2≤x+2+1，
∴x2+2x+1≤x2−8x+16+8x≤x2+6x+9，
解得76≤x≤152，
∴点P的横坐标的取值范围是[76,152].
故答案为：[76,152].
由已知可得x+2−1≤|PQ|≤x+2+1，进而可得x+2−1≤ (x−4)2+y2≤x+2+1，求解即可．
本题考查抛物线的性质，考查运算求解能力，属中档题．
16.【答案】92
【解析】解：由|b−lnaa|+|c−d+2|=0得b=lnaa，c−d+2=0
设f(x)=lnxx，y=x+2，
则P(a,b)是f(x)上的一点，A(c,d)是y=x+2上一点，
则(a−c)2+(b−d)2=|PA|2，
f′(x)=1−lnxx2，(x>0)，
由f′(x)>0得0