2022-2023学年上海市青浦区高二（下）期末数学试卷(含详细答案解析)

这是一份2022-2023学年上海市青浦区高二（下）期末数学试卷(含详细答案解析)，共14页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.设α，β是两个不同的平面，直线m⊂α，则“对β内的任意直线l，都有m⊥l”是“α⊥β”的( )
A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
2.某高级中学高一年级、高二年级、高三年级分别有学生1400名、1200名、1000名，为了解学生的健康状况，用分层随机抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n的样本，若从高三年级抽取25名学生，则n为( )
A. 75B. 85C. 90D. 100
3.点A为椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>1)的右顶点，P为椭圆C上一点(不与A重合)，若PO⋅PA=0(O是坐标原点)，则椭圆C的离心率的取值范围是( )
A. (12,1)B. ( 22,1)C. ( 32,1)D. (0, 22)
4.已知非常数数列{an}满足an+2=αan+1+βanα+β(n∈N,n≥1,α,β为非零常数).若α+β≠0，则( )
A. 存在α，β，对任意a1，a2，都有数列{an}为等比数列
B. 存在α，β，对任意a1，a2，都有数列{an}为等差数列
C. 存在a1，a2，对任意α，β，都有数列{an}为等差数列
D. 存在a1，a2，对任意α，β，都有数列{an}为等比数列
二、填空题：本题共12小题，共54分。
5.点(2,−1)到直线x−y+3=0的距离为______.
6.已知一组数据8.6，8.9，9.1，9.6，9.7，9.8，9.9，10.2，10.6，10.8，11.2，11.7，则该组数据的第80百分位数为______.
7.在空间直角坐标系中O−xyz，点(1,−2,3)关于坐标平面yOz的对称点的坐标为______.
8.(x+1x)10的二项展开式中x2项的系数为______.
9.已知正方形ABCD的边长为4，若BP=3PD，则PA⋅PB的值为______.
10.若双曲线x2−y2b2=1(b>0)的一条渐近线与直线y=2x−1平行，则b=______.
11.在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AD=AA1=1，AB=2，点E为棱AB的中点，则二面角D1−EC−D的大小为______(结果用反三角函数值表示)
12.设等比数列{an}的公比为2，前n项和为Sn，若S4=2S2+1，则a3=______.
13.有3男3女共6位高三同学在高考考场外合影留念.若从这6人中随机选取2人拍双人照，则选中的2人恰为1男1女的概率是______.
14.某校开展“全员导师制”.有2名导师可供5位学生选择，若每位学生必须也只能选取一名导师且每位导师最多只能被3位学生选择，则不同的选择方案共有______种(用数字作答).
15.如图，将正四面体每条棱三等分，截去顶角所在的小正四面体，余下的多面体称作“阿基米德体”.若一个正四面体的棱长为12，则对应的“阿基米德体”的表面积为______.
16.对于项数为10的数列{an}，若{an}满足1≤|ai+1−ai|≤2(其中i为正整数，i∈[1,9])，且a1=a10∈[−1,0]，设k∈{an|an>0}，则k的最大值为______.
三、解答题：本题共5小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题14分)
记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知S9=−a5.
(1)若a3=4，求{an}的通项公式；
(2)若a1>0，求使得Sn≥an的n的取值范围．
18.(本小题14分)
已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，底面半径为2.
(1)若圆锥的侧面积为8π，求圆锥的体积；
(2)设PO=4，点A、B在底面圆周上，且满足∠AOB=90∘，M是线段AB的中点，如图.求直线PM与平面POB所成的角的大小.
19.(本小题14分)
已知，如图是一张边长为a的正方形硬纸板，先在它的四个角上裁去边长为x的四个小正方形，再折叠成无盖纸盒.
(1)试把无盖纸盒的容积V表示成裁去边长x的函数；
(2)当x取何值时，容积V最大？最大值是多少？(纸板厚度忽略不计)
20.(本小题18分)
已知抛物线Γ：y2=4x的焦点为F，准线为l.
(1)若F为双曲线C：x2a2−2y2=1(a>0)的一个焦点，求双曲线C的方程；
(2)设l与x轴的交点为E，点P在第一象限，且在Γ上，若|PF||PE|= 22，求直线EP的方程；
(3)经过点F且斜率为k(k≠0)的直线l′与Γ相交于A、B两点，O为坐标原点，直线OA、OB分别与l相交于点M、N.试探究：以线段MN为直径的圆C是否过定点，若是，求出定点的坐标；若不是，说明理由.
21.(本小题18分)
已知函数g(x)=ax2−(a+2)x，h(x)=lnx，令f(x)=g(x)+h(x).
(1)当a=1时，求函数y=g(x)在x=1处的切线方程；
(2)当a为正数且1≤x≤e时，f(x)min=−2，求a的最小值；
(3)若f(x1)−f(x2)x1−x2>−2对一切00)，
∵点P在Γ上，|PF||PE|= 22，
∴y2=4xx+1 (x+1)2+y2= 22，x>0，解得x=1，y=2，
∴E(1,2)，
∴直线EP的方程为：y−0=0−2−1−1(x+1)，化为：x−y+1=0.
(3)设A(x1,y1)，B(x2,y2)，
直线l′的方程为：y=k(x−1)，(k≠0)，
联立y=k(x−1)y2=4x，化为：ky2−4y−4k=0，
∴y1+y2=4k，y1y2=−4，
直线OA的方程为：y=y1x1x=4y1x，可得M(−1,−4y1)，
直线OB的方程为：y=4y2x，可得N(−1,−4y2)，
∴线段MN的中点C(−1,−2y1−2y2)，
−2y1−2y2=−2(y1+y2)y1y2=2k，
∴C(−1,2k).
其半径r2=14×(−4y2+4y1)2=14×16[(y1+y2)2−4y1y2](y1y2)2=4k2+4.
∴以线段MN为直径的圆C方程为：(x+1)2+(y−2k)2=4k2+4，化为(x+1)2+y2−4ky=0，
令y=0，则x=−3，或1.
∴以线段MN为直径的圆C过定点(−3,0)，或(1,0).
【解析】由抛物线Γ：y2=4x，可得焦点F(1,0)，准线l：x=−1.
(1)由F为双曲线C：x2a2−2y2=1(a>0)的一个焦点，可得c= a2+12=1，解得a，即可得出双曲线C的离心率e.
(2)l与x轴的交点为E(−1,0)，设点P(x,y)(x>0)，根据点P在Γ上，|PF||PE|= 22，可得y2=4xx+1 (x+1)2+y2= 22，x>0，解得x，y，进而得出直线EP的方程．
(3)设A(x1,y1)，B(x2,y2)，直线l′的方程为：y=k(x−1)，(k≠0)，与抛物线方程联立化为：ky2−4y−4k=0，可得根与系数的关系，直线OA的方程为：y=y1x1x=4y1x，可得M坐标，直线OB的方程为：y=4y2x，可得N坐标，可得线段MN的中点C，进而得出以线段MN为直径的圆C方程，即可判断出结论．
本题考查了抛物线与双曲线的标准方程及其性质、圆的标准方程、直线与抛物线相交问题、一元二次方程的根与系数的关系、直线相交问题、两点之间的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
21.【答案】解：(1)a=1时，g(x)=x2−3x，g′(x)=2x−3，
故g(1)=−2，g′(1)=−1，
所以y=g(x)在x=1处的切线方程为y+2=−(x−1)，即x+y+1=0；
(2)f(x)=g(x)+h(x)=ax2−(a+2)x+lnx，1≤x≤e，
则f′(x)=2ax−(a+2)+1x=2ax2−(a+2)x−1x=(2x−1)(ax−1)x，
因为a>0，
当a≥1时，易得f(x)在[1,e]上单调递增，f(x)min=f(1)=−2，
当1e