2024高考数学基础知识综合复习优化集训试题9函数的应用

这是一份2024高考数学基础知识综合复习优化集训试题9函数的应用，共10页。试卷主要包含了函数f按照下列方式定义，已知函数f=则下列说法正确的是等内容，欢迎下载使用。

1.函数f(x)=ex+4x-3的零点所在的区间为( )
A.(-,0)B.(0,)
C.()D.()
2.某商场在销售空调旺季的4天内的利润如表所示.
现构建一个销售这种空调的函数模型,应是下列函数中的( )
A.y=lg2xB.y=2x
C.y=x2D.y=2x
3.函数f(x)=|lg x|-的零点个数为( )
A.3B.0C.1D.2
4.已知函数f(x)=若函数y=f(x)-m有两个不同的零点,则m的取值范围为( )
A.(-1,1)B.(-1,1]
C.(-1,+∞)D.[-1,+∞)
5.若aA.(a,b)和(b,c)内
B.(-∞,a)和(a,b)内
C.(b,c)和(c,+∞)内
D.(-∞,a)和(c,+∞)内
6.函数f(x)按照下列方式定义:f(x)=
方程f(x)=的所有实数根之和是( )
A.8B.13C.18D.25
7.(多选)(2023浙江衢州)已知函数f(x)=则下列说法正确的是( )
A.f[f(1)]=-3
B.f(x)的值域为R
C.方程f(x)=k最多只有两个实数解
D.方程f[f(x)]=0有5个实数解
8.(多选)已知函数f(x)=2x+x-2,g(x)=lg2x+x-2,h(x)=x3+x-2的零点分别为a,b,c,则有( )
A.c=1,a>0,b>1B.b>c>a
C.a+b=2,c=1D.a+b<2,c=1
9.用“二分法”求方程x3+x-4=0在区间(1,2)内的实根,首先取区间中点x=1.5进行判断,那么下一个取的点是x= .
10.已知a是正实数,函数f(x)=2ax2+2x-3-a.如果函数y=f(x)在区间[-1,1]上有零点,则a的取值范围是 .
11.设函数f(x)=|x-a|-+a,若关于x的方程f(x)=1有且仅有两个不同的实数根,则实数a的取值构成的集合为 .
12.设函数f(x)=a·2x-2-x(a∈R).
(1)若函数y=f(x)的图象关于原点对称,求函数g(x)=f(x)+的零点x0;
(2)若函数h(x)=f(x)+4x+2-x在x∈[0,1]的最大值为-2,求实数a的值.
13.(2023浙江杭州)某工厂产生的废气经过滤后排放,过滤过程中废气的污染物数量P(单位:mg/L)与时间t(单位:h)间的关系为P=P0e-kt(其中P0,k是正常数).已知在前5个小时消除了10%的污染物.
(1)求k的值(精确到0.01);
(2)求污染物减少50%需要花的时间(精确到0.1 h).
参考数据:ln 2≈0.693,ln 3≈1.099,ln 5≈1.609.
14.某乡镇以“共富果园”为目标,促进农业产业高质量发展,经调研发现,某特色果树的单株产量W(单位:千克)与施用肥料x(单位:千克)满足如下关系:W(x)=另肥料成本投入为10x元,其他成本投入(如培育管理、施肥等人工费)为20x元.已知这种水果的市场售价大约为18元/千克,且销路畅通供不应求,记该水果树的单株利润为f(x)(单位:元).
(1)写出f(x)关于x的函数解析式;
(2)当施用肥料为多少千克时,该果树的单株利润最大?最大利润是多少?
能力提升
15.(2023浙江杭州)杭州亚运会火炬如图1所示,小红在数学建模活动时将其抽象为图2所示的几何体.假设火炬装满燃料,燃烧时燃料以均匀的速度消耗,记剩余燃料的高度为h,则h关于时间t的函数的大致图象可能是( )
16.设定义域为R的函数f(x)=则关于x的方程[f(x)]2+bf(x)+c=0有7个不同实数解的充要条件是( )
A.b<0且c>0B.b>0且c<0
C.b<0且c=0D.b≥0且c=0
17.(2023浙江浙大附中)2010年,考古学家对良渚古城水利系统中一条水坝的建筑材料上提取的草茎遗存进行碳14年代学检测,检测出碳14的残留量约为初始量的55.2%,碳14的半衰期为5 730年,≈1.166 5,以此推断水坝建成的年份大概是公元前( )
A.3500年B.2900年
C.2600年D.2000年
18.(多选)(2023浙江台州)已知函数f(x)=则下列选项正确的是( )
A.函数f(x)在(0,+∞)内单调递增
B.函数f(x)的值域为[-1,+∞)
C.方程f(x)=f(f())有两个不同的实根
D.不等式f(f(x))<0的解集为()∪(2,8)
19.已知f(x)=x+-10是定义在(0,+∞)内的函数,则函数f(x)的零点是 ;若方程|f(x)|=m(m>0)有四个不相等的实数根x1,x2,x3,x4,则x1+x2+x3+x4= .
20.已知函数f(x)=-x2+2x+a(a>0),若f(f(x))有三个零点,则a= .
21.为了预防某病毒,某中学对教室进行药熏消毒,室内每立方米空气中的含药量y(单位:毫克)随时间x(单位:h)的变化情况如图所示,在药物释放过程中,y与x成正比,药物释放完毕后,y与x的函数关系式为y=()x-a(a为常数),根据图中提供的信息,回答下列问题:
(1)写出从药物释放开始,y与x之间的函数关系;
(2)据测定,当空气中每立方米的含药量降低至0.25毫克以下时,学生方可进入教室,那么从药物释放开始,至少需要经过多少小时后,学生才能回到教室?
22.某化工厂每一天中污水污染指数f(x)与时刻x(单位:时)的函数关系为f(x)=|lg25(x+1)-a|+2a+1,x∈[0,24],其中a为污水治理调节参数,且a∈(0,1).
(1)若a=,求一天中哪个时刻污水污染指数最低;
(2)规定每天中f(x)的最大值作为当天的污水污染指数,要使该厂每天的污水污染指数不超过3,则调节参数a应控制在什么范围内?
23.(2023浙江宁波)某夜市的一位文化工艺品售卖者,通过对每天销售情况的调查发现:该工艺品在过去的一个月内(按30天计),每件的销售价格f(x)(单位:元)与时间x(单位:天)(1≤x≤30,x∈N*)的函数关系满足f(x)=10+(k为常数,且k>0),日销售量g(x)(单位:件)与时间x的部分数据如下表所示:
设该文化工艺品的日销售收入为M(x)(单位:元),且第15天的日销售收入为1 057元.
(1)求k的值.
(2)给出以下四种函数模型:
①g(x)=ax+b;②g(x)=a|x-m|+b;③g(x)=a·bx;④g(x)=a·lgbx.
请你根据上表中的数据,从中选择最合适的一种函数模型来描述日销售量g(x)与时间x的变化关系,并求出该函数的解析式.
(3)利用问题(2)中的函数g(x),求M(x)的最小值.
优化集训9 函数的应用
基础巩固
1.C 解析 因为函数f(x)=ex+4x-3在R上连续且单调递增,且所以函数的零点在区间上,故选C.
2.B 解析 y=lg2x,当x=1时,y=0,x=2时,y=1,与表格相差比较大,A不正确;y=2x,满足x=1时,y=2,x=2时,y=4,x=3时,y=8,x=4时,y=16,结合表格可知函数的表达式,比较接近,B正确;y=x2,当x=1时,y=1,x=2时,y=4,x=3时,y=9,x=4时,y=16,与表格相差比较大,C不正确;y=2x,当x=1时,y=2,x=2时,y=4,x=3时,y=6,x=4时,y=8,与表格相差比较大,D不正确.故选B.
3.D 解析 由f(x)=|lgx|-=0得|lgx|=,分别作出函数y=|lgx|与y=的图象(图略),由图象可知两个函数有2个交点,即函数f(x)=|lgx|-的零点个数为2,故选D.
4.A 解析 作出函数f(x)=的图象,考察它与直线y=m有两个不同点,即可得m的取值范围是(-1,1).
5.A 解析 由于a0,f(b)=(b-c)(b-a)<0,f(c)=(c-a)(c-b)>0,因此有f(a)·f(b)<0,f(c)·f(b)<0.又因为f(x)是关于x的二次函数,函数的图象是连续不断的曲线,所以函数f(x)的两个零点分别位于区间(a,b)和(b,c)上,故选A.
6.C 解析 根据题意得出函数f(x)的图象如图所示,y=与f(x)有6个交点,从小到大依次设为x1,x2,x3,x4,x5,x6,根据图象的对称性可知x1+x2=2,x3+x4=6,x5+x6=10,所以方程f(x)=的所有根之和是18,故选C.
7.ABD 解析 f[f(1)]=f(ln1-2)=f(-2)=-3,故A正确.f(x)=0等价于故x=-3或x=e2,故方程f(x)=0有2个实数解,下面考虑f[f(x)]=0的解,令t=f(x),则f(t)=0的解为t=-3或t=e2,再考虑f(x)=-3或f(x)=e2的解,即故x=-2或x=0或x=-1-或x=或x=,共5个不同的解,故D正确.f(x)的图象如图所示.
由图象可得f(x)的值域为R,故B正确.当-48.ABC 解析 f(x)在R上单调递增,f(0)=-1,f(1)=1,∴0c>a,A,B选项正确.∵函数y=2x,y=lg2x,y=2-x的图象均关于直线y=x对称,设y=2x,y=lg2x与y=2-x的交点为A,B,则A,B关于直线y=x对称,故A(a,b),B(b,a)在直线y=2-x上,∴a+b=2,故选ABC.
解析 令f(x)=x3+x-4,当x=1时,x3+x-4=1+1-4=-2<0,当x=1.5时,x3+x-4=1.53+1.5-4=0.875>0,所以方程x3+x-4=0在区间(1,1.5)内有实根,所以下一个取的点是1.25.
10.[1,+∞) 解析 f(x)=2ax2+2x-3-a图象的对称轴为直线x=-.
①当-≤-1,即0②当-1<-<0,即a>时,需解得a≥1,
∴实数a的取值范围是[1,+∞).
11.{,2} 解析 由方程f(x)=1,得|x-a|+a=+1有两个不同的解,
令h(x)=|x-a|+a,g(x)=+1,
当x≥a时,h(x)=x,
当x则h(x)=|x-a|+a的顶点(a,a)在y=x上,而y=x与g(x)=+1的交点坐标为(2,2),(-1,-1),
联立得x2+(1-2a)x+2=0,
由Δ=(1-2a)2-8=0,解得a=,
作出图象,数形结合,要使得|x-a|+a=+1有两个不同的解,则实数a的取值是或2.
12.解 ∵f(x)的图象关于原点对称,
∴f(-x)+f(x)=0,
∴a·2-x-2-x+a·2x-2x=0,
即(a-1)·(2-x+2x)=0,
∴a=1.
令g(x)=2x-2-x+=0,
则2·+3·(2x)-2=0,
∴(2x+2)·(2×2x-1)=0,又2x>0,
∴x=-1.
∴函数g(x)的零点为-1.
(2)h(x)=a·2x-2-x+4x+2-x,
x∈[0,1],令2x=t∈[1,2],
h(x)=H(t)=t2+at,t∈[1,2],对称轴t=-,
①当-,即a≥-3时,
H(t)max=H(2)=4+2a=-2,
∴a=-3;
②当-,即a<-3时,
H(t)max=H(1)=1+a=-2,
∴a=-3(舍).
综上,实数a的值为-3.
13.解 (1)由P=P0e-kt知,当t=0时,P=P0;
当t=5时,P=(1-10%)P0,
即0.9P0=P0e-5k,所以k=-ln0.9,
即k=-ln=-×(2ln3-ln10)=-×(2ln3-ln2-ln5)≈0.02.
(2)当P=0.5P0时,0.5P0=P0e-0.02t,即0.5=e-0.02t,则t=50ln2≈34.7.
故污染物减少50%需要花的时间约为34.7h.
14.解 (1)由已知f(x)=18W(x)-20x-10x=18W(x)-30x
=
=
即f(x)=
(2)由(1)得当0≤x≤2时,f(x)=90x2-30x+450=90(x-)2+447.5;
当x=2时,f(x)max=750;
当2当且仅当=x+3,即x=3时,等号成立,
因为750<810,所以当x=3时,f(x)max=810,所以当施用肥料为3千克时,种植该果树获得的最大利润是810元.
能力提升
15.A 解析 由题图可知,该火炬中间细,上下粗,燃烧时燃料以均匀的速度消耗,当燃料在燃烧时,燃料的高度一直在下降,刚开始时下降的速度越来越快,燃料液面到达火炬最细处后,燃料的高度下降得越来越慢,结合所得的函数图象,A选项较为合适.故选A.
16.C 解析 设f(x)=t如下图,
由函数图象得:
(1)当t>0时,方程f(x)=t有不同的实数解4个;
(2)当t=0时,方程f(x)=t有不同的实数解3个;
(3)当t<0时,方程f(x)=t没有实数解.
所以,关于x的方程f2(x)+bf(x)+c=0有7个不同实数解的充要条件是方程x2+bx+c=0有两个根,其中一个根等于0,另一个根大于0.此时应b<0且c=0.
17.B 解析 根据题意设原来的量为1,经过t年后则变成1×55.2%=0.552,可得1×(=0.552,两边取对数,可得=,即t=5730××≈4912,又由4912-2010+1=2903,所以以此推断水坝建成的年份大概是公元前2900年.故选B.
18.
BC 解析 作出函数f(x)=的图象,如图所示,可知A错误,B正确;对C,∵f(f())=f(2)=0,∴f(x)=f(f())=0有两个不同实根,C正确;不等式f(f(x))<0,设f(x)=t,即f(t)<0,由f(t)<0得19.2,8 20 解析 由题意可知,令f(x)=x+-10=0,即x2-10x+16=0,解得x=2或x=8,故函数在(0,+∞)内的零点为2和8;方程|f(x)|=m(m>0)有四个不相等的实数根x1,x2,x3,x4,方程|f(x)|=m(m>0)即|x+-10|=m,x∈(0,+∞),即|x2-10x+16|=mx,当f(x)≥0即x2-10x+16≥0时,方程可转化为x2-10x+16=mx,即x2-(10+m)x+16=0;当x2-10x+16<0时,方程可转化为x2-10x+16=-mx,即x2-(10-m)x+16=0.故要有四个实数根,则两种情况都有两个不同的实数根,不妨设x1,x4为x2-(10+m)x+16=0的两根,则x1+x4=10+m,则x2,x3为x2-(10-m)x+16=0的两根,则x2+x3=10-m,则x1+x2+x3+x4=10-m+10+m=20.
20. 解析 依题意a>0,f(x)的图象开口向下,对称轴为x=1,f(1)=1+a,由f(x)=-x2+2x+a=0,解得x1==1-,x2==1+,x121.解 (1)依题意,当0≤x≤0.1时,可设y=kx,且1=0.1k,解得k=10,又由1=()0.1-a,解得a=0.1,
所以y=
(2)令()x-0.1<0.25,即()2x-0.2<,得2x-0.2>1,解得x>0.6,
即至少需要经过0.6h后,学生才能回到教室.
22.解 (1)因为a=,则f(x)=+2≥2.
当f(x)=2时,lg25(x+1)-=0,得x+1=2=5,即x=4.
所以一天中早上4点该厂的污水污染指数最低.
(2)设t=lg25(x+1),则当0≤x≤24时,0≤t≤1.
设g(t)=|t-a|+2a+1,t∈[0,1],
则g(t)=
显然g(t)在[0,a]上是减函数,在(a,1]上是增函数,则f(x)max=max{g(0),g(1)},因为g(0)=3a+1,g(1)=a+2,则有解得a≤,
又a∈(0,1),故调节参数a应控制在内.
23.解 (1)因为第15天的日销售收入为1057元,
所以M(15)=f(15)g(15)=(10+)×105=1057,解得k=1.
(2)由表中的数据知,当时间x变化时,g(x)先单调递增后单调递减.
而函数模型①g(x)=ax+b;③g(x)=a·bx;④g(x)=algbx都是单调函数,
所以选择函数模型②g(x)=a|x-m|+b.
由解得
所以日销售量g(x)与时间x的变化关系为g(x)=-|x-20|+110(1≤x≤30,x∈N*).
(3)由(2)知g(x)=-|x-20|+110=所以M(x)=f(x)g(x)=
即M(x)=
当1≤x≤20,x∈N*时,M(x)=10x++901≥2+901=961,
当且仅当10x=,即x=3时,等号成立.
当20961.
综上所述,当x=3时,M(x)取得最小值,最小值为961.
时间
1
2
3
4
利润/千元
2
3.98
8.01
15.99
x
15
20
25
30
g(x)
105
110
105
100