2024高考数学基础知识综合复习优化集训试题18复数

这是一份2024高考数学基础知识综合复习优化集训试题18复数，共4页。试卷主要包含了下列说法正确的有等内容，欢迎下载使用。
1.(2023浙江台州八校联盟)已知复数z=i2+(k+1)i+k是纯虚数,则实数k=( )
A.0B.2C.-1D.1
2.已知复数z1=1+2i,z2=2-i(i是虚数单位),则z1z2=( )
A.3iB.-4+3iC.4+3iD.4-3i
3.(2023浙江奉化)复数z=ai+b(a,b∈R)是纯虚数的充分不必要条件是( )
A.a≠0且b=0B.a=1且b=0
C.b=0D.a=b=0
4.(2023浙江杭州重高)设复数z=-1-i(i为虚数单位),则2-z的模等于( )
A.B.5C.D.10
5.(2023浙江浙北G2联盟)若a与b均为实数,且b-3i=4+ai,则|a+bi|=( )
A.3B.4C.5D.6
6.已知i为虚数单位,则下列各式的运算结果为纯虚数的是( )
A.i(1+i)B.i2(1+i)
C.i(1+i)2D.i2(1+i)2
7.设i是虚数单位,表示复数z的共轭复数,若z=1+i,则+i=( )
A.-2B.-2iC.2D.2i
8.(2023浙江金华)若z∈C且|z+3+4i|≤2,设|z-1-i|的最大值、最小值分别为M,m,则M-m的值等于( )
A.3B.4C.5D.9
9.(多选)(2023浙江杭州六县九校)下列说法正确的有( )
A.复数2-2i的虚部为-2i
B.若i为虚数单位,则i2 023=-i
C.复数-2-i在复平面内对应的点在第三象限
D.复数的共轭复数为-2-i
10.(多选)(2023浙江台州八校联盟)已知复数z1=i,z2=2-i,下列结论正确的有( )
A.
B.若|z-z2|=1,则|z|的最大值为
C.z1+z2∈R
D.z1在复平面内对应的点在第二象限
11.(多选)(2023浙江精诚联盟)已知i为虚数单位,则以下说法正确的有( )
A.i+i2+i3+i4=0
B.复数-2-i的虚部为-i
C.若复数z为纯虚数,则|z|2=z2
D.|z1z2|=|z1||z2|
12.(2023浙江温州新力量联盟)若复数m-3+(m2-9)i≥0,则实数m的值为 .
13.若△ABC是以C为直角顶点的等腰直角三角形,其中顶点A,B对应的复数分别是1+i,4+2i,则点C的坐标为 .
14.求实数m取什么数值时,复数z=m2-1+(m2-m-2)i分别是:
(1)实数;
(2)虚数;
(3)纯虚数.
15.已知复数z1,z2满足|z1|=+1,|z2|=-1,且|z1-z2|=4,求与|z1+z2|的值.
能力提升
16.复数z=a+bi满足=1+i,则下列说法不正确的是( )
A.在复平面内点(a,b)落在第四象限
B.(-1-i)z为实数1
C.|z|=
D.复数z的虚部为-
17.设z为复数,在复平面内z,对应的点分别为P,Q,坐标原点为O,则下列说法不正确的是( )
A.当z为纯虚数时,P,O,Q三点共线
B.当z=1+i时,△POQ为等腰直角三角形
C.对任意复数z,
D.当z为实数时,
18.(多选)(2023浙江温州A卷)已知复数z,其共轭复数为,下列结论正确的有( )
A.z=|z|2
B.z2=||2
C.z+=0
D.|z|+||≥|z+|
19.(2023浙江精诚联盟)复数z1,z2满足z1=m+(4-m2)i,z2=2cs θ+(λ+3sin θ)i(m,λ,θ∈R),若z1=z2,则λ的取值范围是 .
20.已知z是虚数,z+是实数.
(1)求z为何值时,|z+2-i|有最小值,并求出|z+2-i|的最小值;
(2)设u=,求证:u为纯虚数.
优化集训18 复数
基础巩固
1.D 解析 ∵z=k-1+(k+1)i是纯虚数,∴k=1.故选D.
2.C 解析 z1z2=(1+2i)(2-i)=2-i+4i-2i2=4+3i.故选C.
3.B
4.C
5.C 解析 ∵a与b均为实数,且b-3i=4+ai,
∴a=-3,b=4,∴|a+bi|=5.故选C.
6.D 解析 i(1+i)=i+i2=-1+i,i2(1+i)=-1-i,i(1+i)2=2i2=-2,i2(1+i)2=(-1)×2i=-2i.故选D.
7.C 解析 ∵z=1+i,∴=1-i,∴+i(1-i)=-i2+i=1-i+1+i=2.故选C.
8.B 解析 因为|z+3+4i|≤2,所以复数z在复平面内对应的点P在以A(-3,-4)为圆心,2为半径的圆内或圆上.
又|z-1-i|表示点P到复数z2=1+i对应的点B(1,1)之间的距离,所以该距离的最大值为M=|AB|+2=+2=+2,最小值为m=|AB|-2=-2,故M-m=4.故选B.
9.BC 解析 对于A,复数2-2i的虚部为-2,故A错误;
对于B,i2023=(i4)505i3=-i,故B正确;
对于C,复数-2-i在复平面内对应的点(-2,-1)在第三象限,故C正确;
对于D,=-2-i,其共轭复数为-2+i,故D错误.故选BC.
10.ACD 解析 对于A,因为复数z1=i,z2=2-i,则=-i(2+i)=1-2i,=1-2i,所以,故A正确;
对于B,设复数z=x+yi(x,y∈R),则|z-z2|==1,则(x-2)2+(y+1)2=1,所以复数z在复平面内对应的点的轨迹是以(2,-1)为圆心,以1为半径的圆,而|z|表示圆上一点到坐标原点的距离,因为原点到圆心的距离d=,所以-1≤|z|≤+1,则|z|的最大值为+1,故B错误;
对于C,z1+z2=2∈R,故C正确;
对于D,因为复数z1=i,z2=2-i,则z1=i(2+i)=-1+2i,其在复平面内对应的点(-1,2)在第二象限,故D正确,故选ACD.
11.AD 解析 i+i2+i3+i4=i-1-i+1=0,故A正确;
复数-2-i的虚部为-1,故B不正确;
若z=i,则z2=-1,|z|2=1,故C不正确;
设z1=a+bi,z2=c+di,a,b,c,d∈R,则z1z2=ac-bd+(ad+bc)i,|z1z2|==|z1||z2|,故D正确.
故选AD.
12.3 解析 因为复数不能比较大小,所以m-3+(m2-9)i为实数,可得解得m=3,所以实数m的值为3.
13.(2,3)或(3,0) 解析 根据复数的几何意义可知A(1,1),B(4,2).
设C(x,y),则由
得
解得
∴点C的坐标为(2,3)或(3,0).
14.解 (1)当m2-m-2=0,即m=2或m=-1时,复数z是实数.
(2)当m2-m-2≠0,即m≠2且m≠-1时,复数z是虚数.
(3)当即m=1时,复数z是纯虚数.
15.解 设复数z1,z2在复平面内对应的点分别为Z1,Z2,由于(+1)2+(-1)2=42,故|z1|2+|z2|2=|z1-z2|2,故以OZ1,OZ2为邻边的平行四边形是矩形,从而,则|z1+z2|=|z1-z2|=4,=±i=±=±i.
能力提升
16.B 解析 易得z=i,所以a=,b=-,点,-落在第四象限,故A正确;(-1-i)z=(-1-i)i=-1,故B错误;|z|=,故C正确;易知D正确.故选B.
17.C 解析 设z=a+bi(a,b∈R),则=a-bi.
对于A,当z为纯虚数时,z=bi(b≠0),=-bi对应的点分别为P(0,b),Q(0,-b),O,P,Q均在y轴上,所以P,O,Q三点共线,故A正确;
对于B,当z=1+i时,=1-i,所以P(1,1),Q(1,-1),所以|OP|=|OQ|=,而|PQ|=2,所以|OP|2+|OQ|2=|PQ|2,所以△POQ为等腰直角三角形,故B正确;
对于C,=(a,b),=(a,-b),当b=0时,,故C不正确;
对于D,当z为实数时,z==a,此时=(a,0),故D正确.故选C.
18.AD 解析 设z=a+bi(a,b∈R),则=a-bi.
对于A,z=(a+bi)(a-bi)=a2+b2,|z|2=()2=a2+b2,则z=|z|2,故A正确;
对于B,z2=(a+bi)2=a2-b2+2abi,||2=()2=a2+b2,则z2不一定等于||2,故B不正确;
对于C,z+=(a+bi)+(a-bi)=2a不一定等于0,故C错误;
对于D,|z|+||=2,|z+|=2|a|,因为2≥2=2|a|,当且仅当b=0时,等号成立,所以|z|+||≥|z+|,故D正确.故选AD.
19.-,7 解析 因为z1=z2,则
所以λ=4-4cs2θ-3sinθ=4sin2θ-3sinθ=4sinθ-2-,因为-1≤sinθ≤1,故λ∈-,7.
20.(1)解 设z=a+bi(a,b∈R,b≠0),则z+=a+bi+=a+bi+=a++b-i,
所以b-=0.
又b≠0,可得a2+b2=1,则z在复平面内对应的点的轨迹为以原点O为圆心的单位圆(去除x轴上两点).
|z+2-i|=|(a+2)+(b-1)i|=表示点P(a,b)到点A(-2,1)的距离,所以|z+2-i|的最小值为|AO|-1=-1.
解方程组并结合图形得z=-i.
(2)证明 由(1)易知a2=1-b2≠1,则a≠±1.
u=,又b≠0,所以u为纯虚数.