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2024高考数学基础知识综合复习优化集训试题试题2基本不等式
展开这是一份2024高考数学基础知识综合复习优化集训试题试题2基本不等式，共5页。试卷主要包含了下列不等式恒成立的是，若m+n=1,则的最小值为等内容，欢迎下载使用。
1.(2022浙江温州新力量联盟)已知正实数x,y满足=2,则xy的最小值为( )
A.2B.C.D.1
2.下列各式中,对任何实数x都成立的一个式子是( )
A.x+1≥2B.x2+1>2x
C.≤1D.x+≥2
3.已知0
4.(2021浙江温州模拟)已知x,y为实数,则“x>0,y>0”是“”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
5.下列不等式恒成立的是( )
A.a2+b2≤2abB.a2+b2≥-2ab
C.a+b≥2D.a+b≤-2
6.(2023浙江嘉兴期末)若正数a,b满足a+b=ab,则a+4b的最小值是( )
A.7B.9C.13D.25
7.(2022浙江杭州学军中学)若m+n=1(m>0,n>0),则的最小值为( )
A.4B.6C.9D.12
8.已知第一象限内的点P(a,b)在一次函数y=-8x+5的图象上,则的最小值为( )
A.25B.5C.4D.
9.(2023浙江绍兴)已知a>0,b>0,且a+b=4,则下列取值有可能的是( )
A.=2B.a+=2
C.D.a2+b2=4
10.(多选)(2023浙江温州)已知正实数x,y满足2x+y=xy,则( )
A.xy≥8B.x+y≥6
C.≥4D.2x2y+y2≥48
11.(多选)(2023浙江丽水)已知正数a,b满足a+b=1,则下列结论正确的是( )
A.0
12.已知x<,则函数y=4x-2+的最大值为 .
13.(2022浙江宁波中学)若实数x,y满足x>y>0且lg2x+lg2y=1,则的最小值为 .
14.若正数x,y满足x+3y=5xy,则3x+4y的最小值为 .
15.对任意的正数x,不等式ax≤x2+4恒成立,则实数a的最大值为 .
16.已知x>0,y>0,且2x+8y-xy=0.
求:(1)xy的最小值;
(2)x+y的最小值.
17.(1)当x>0时,求函数y=的最小值;
(2)当x<1时,求函数y=的最大值.
能力提升
18.(多选)(2022浙江宁波中学)下列说法正确的是( )
A.不等式a+b>2恒成立
B.存在实数a,使得不等式a+≤2成立
C.若a,b为正实数,则≥2
D.若正实数x,y满足x+2y=1,则≥8
19.已知正数x,y满足x2+2xy-1=0,则3x2+4y2的最小值为( )
A.1B.2C.3D.4
20.(2023浙江镇海中学)已知实数x,y满足x2+xy-2y2=1,则3x2-2xy的最小值是 .
21.(2023浙江宁波期末)炎炎夏日,古代人们乘凉时用的纸叠扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形加工制作而成.如图,扇形纸叠扇完全展开后,得到的扇形ABC面积为100π2cm2,则当该纸叠扇的周长最小时,AB的长度为 cm.
22.已知实数a,b,c∈R,且a+b+c=1,求证:a2+b2+c2≥.
23.为了加强“平安校园”建设,保障师生安全,某校决定在学校门口利用一侧原有墙体,建造一间墙高为3米,底面为24平方米,且背面靠墙的长方体形状的校园警务室.由于此警务室的后背靠墙,无需建造费用,甲工程队给出的报价为:屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元,左右两面新建墙体报价为每平方米300元,屋顶和地面以及其他报价共计14 400元.设屋子的左右两面墙的长度均为x米(3≤x≤6).
(1)当左右两面墙的长度为多少时,甲工程队报价最低?并求出最低报价.
(2)现有乙工程队也要参与此警务室的建造竞标,其给出的整体报价为元(a>0),若无论左右两面墙的长度为多少米,乙工程队都能竞标成功,试求a的取值范围.
优化集训2 基本不等式
基础巩固
1.D 解析 ∵x>0,y>0,∴2=,∴xy≥1,当且仅当x=y=1时,等号成立.
2.C 解析 对于选项A,当x<0时不成立;对于选项B,当x=1时不成立;对于选项D,当x<0时不成立;对于选项C,因为x2+1≥1,所以≤1成立.故选C.
3.B 解析 因为0
5.B 解析 由a,b∈R可知a2+b2≥2|ab|≥-2ab,所以选项B正确.
6.B 解析 (方法1)由a+b=ab,得(a-1)(b-1)=1,∴a-1>0,b-1>0,∴a+4b=(a-1)+4(b-1)+5≥5+2=9,当且仅当a=3,b=时,等号成立.
(方法2)由a+b=ab,得=1,∴a+4b=(a+4b)·()=5+≥5+2=9,当且仅当a=3,b=时,等号成立.
7.A 解析 因为m+n=1(m>0,n>0),
则=2+≥2+2=4,当且仅当m=n=时,等号成立.故选A.
8.B 解析 由题意知b=-8a+5,且a>0,b>0,故=1,
从而=()·(17+)≥(17+2)=5,当且仅当b=1,a=时,等号成立.故选B.
9.A 解析 对于A,已知a>0,b>0,所以≥2=2,当且仅当a=b=2时,等号成立,故A正确;对于B,已知a>0,b>0,所以a+=a+=a+-1≥2-1=3,当且仅当a=,即a=2,b=2时,等号成立,所以a+=2不成立,故B错误;对于C,已知a>0,b>0,且a+b=4,所以(a+b)2=16,=1++1+≥2+2+2=8,当且仅当a=b=2时,等号成立,所以16()≥8,即得,所以不成立,故C错误;对于D,因为a2+b2≥2ab,当且仅当a=b=2时,等号成立,所以2(a2+b2)≥(a+b)2=16,所以a2+b2≥8,a2+b2=4不成立,故D错误.故选A.
10.AD 解析 由题知,正实数x,y满足2x+y=xy,所以=1,对于A,因为2x+y≥2,当且仅当2x=y时,等号成立,所以xy≥2,所以x2y2≥8xy,即xy≥8,故A正确;对于B,x+y=(x+y)·()=+3≥2+3=2+3,当且仅当,且=1,即x=+1,y=2+时,等号成立,故B错误;对于C,因为2x+y=xy,所以x=,所以-1,所以-1≥2-1=3,当且仅当,且x=,即x=2,y=4时,等号成立,故C错误;对于D,由选项A得xy≥8,所以2x2y+y2=2x·xy+y2=2x(2x+y)+y2=4x2+2xy+y2=4x2+4x+2y+y2=(2x+1)2+(y+1)2-2≥2·(2x+1)·(y+1)-2=4xy+4x+2y=6xy≥48,当且仅当2x+1=y+1,且=1,即x=2,y=4时,等号成立,故D正确.故选AD.
11.CD
12.1 解析 因为x<,所以4x-5<0,所以y=4x-2+=-[ (5-4x)+]+3≤3-2=1,当且仅当5-4x=,x=1时,等号成立.
13.4 解析 由lg2x+lg2y=1,得xy=2,=x-y+≥4,当且仅当x-y=时,等号成立,则的最小值为4.
14.5 解析 因为x+3y=5xy,所以=1.所以3x+4y=(3x+4y)·()=+2=5,当且仅当,即x=1,y=时,等号成立.
15.4 解析 因为x>0,所以不等式ax≤x2+4恒成立即为a≤x+恒成立.因为x+≥2=4,当且仅当x=,x=2时等号成立.所以a≤4,所以实数a的最大值为4.
16.解 (1)因为x>0,y>0,2x+8y-xy=0≥2-xy,
所以有≥8,解得xy≥64.
当且仅当2x=8y,即x=16,y=4时,等号成立.
所以xy的最小值为64.
(2)因为2x+8y-xy=0,所以有=1,
所以x+y=(x+y)·()=8+2+≥10+2=18.
当且仅当,即x=12,y=6时,等号成立.
所以x+y的最小值为18.
17.解 (1)因为x>0,所以y=≥2,当且仅当,即x=2时,等号成立.所以函数的最小值为.
(2)因为x<1,所以t=1-x>0.所以y==-=-(t+)+2≤2-2.
当且仅当t=,t=1-x=,即x=1-时,等号成立.
所以函数的最大值为2-2.
能力提升
18.BCD 解析 对于A选项,当a<0,b<0时不成立,故错误;对于B选项,当a<0时,a+=-[(-a)+(-)]≤-2,当且仅当a=-1时,等号成立,故正确;对于C选项,若a,b为正实数,则>0,>0,所以≥2=2,当且仅当a=b时等号成立,故正确;对于D选项,x>0,y>0,=()(x+2y) =4+≥4+2=8,当且仅当x=2y时,等号成立,故正确.故选BCD.
19.B 解析 (方法1)3x2+4y2=2x2+x2+4y2≥2x2+2=2x2+4xy=2(x2+2xy)=2,当且仅当即x=,y=时,等号成立.
(方法2)根据题意可得2xy=1-x2,由x>0,所以y=,由y=>0,可得x2<1,即0
(方法2)由x2+xy-2y2=1得(x+2y)(x-y)=1,
设∴mn=1,
∴3x2-2xy=3×()2-2×=2,
当且仅当时,等号成立,
∴3x2-2xy的最小值是2.
21.10π 解析 设扇形ABC的半径为rcm,弧长为lcm,则扇形面积S=rl.
由题意得rl=100π2,所以rl=200π2,所以纸叠扇的周长C=2r+l≥2=2=40π,当且仅当时,等号成立,所以此时AB的长度为10πcm.
22.证明 因为a+b+c=1,
两边平方,展开有a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=1.
因为当a,b,c∈R时,有a2+b2≥2ab,b2+c2≥2bc,c2+a2≥2ca,所以有a2+b2+b2+c2+c2+a2=2a2+2b2+2c2≥2ab+2bc+2ca=1-a2-b2-c2,
所以3a2+3b2+3c2≥1,即a2+b2+c2≥,
当且仅当a=b=c时,等号成立.
23.解 (1)设甲工程队的总报价为y元,
则y=3(300×2x+400×)+14400=1800(x+)+14400(3≤x≤6),1800(x+)+14400≥1800×2+14400=28800,当且仅当x=,即x=4时等号成立,即当左右两侧墙的长度为4米时,甲工程队的报价最低,且最低报价为28800元.
(2)由题意可得,1800(x+)+14400>对任意的x∈[3,6]恒成立,
即,从而>a恒成立,
令x+1=t,=t++6,t∈[4,7],
又y=t++6在[4,7]上单调递增,故ymin=12.25.
所以0
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