四川省成都市金牛区2023-2024学年八年级上学期期末数学试题

这是一份四川省成都市金牛区2023-2024学年八年级上学期期末数学试题，共27页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、单选题
1．下列四个数中，最大的数是（ ）
A．3B．2C．D．
2．下列计算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
3．点关于轴的对称点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
4．下列函数中，的值随的值增大而减小的是（ ）
A．B．C．D．
5．下列命题是真命题的是（ ）
A．无限小数是无理数B．两直线平行，内错角相等
C．一组数据中最中间的一个数叫做中位数D．对顶角相等，两直线平行
6．如图所示，已知直线，则的度数为（ ）．
A．B．C．D．
7．金牛区某校八年级学生参加体质健康测试，有一组9个女生做一分钟的仰卧起坐个数如表中数据所示，则这组仰卧起坐个数的众数和中位数分别是（ ）
A．众数是58，中位数是48B．众数是58，中位数是52
C．众数是50，中位数是48D．众数是50，中位数是52
8．我国古代数学著作《孙子算经》中有“鸡兔同笼”问题：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？”意思是：笼子里有鸡和兔若干只，共有个头，共有只足，问笼子里鸡和兔各有多少只？设鸡有只，兔有只，下列方程组正确的是（）
A．B．
C．D．
二、填空题
9．已知直角三角形两直角边长分别为，，则直角三角形斜边长为 ．
10．若实数x、y满足，则x+y的值为 ．
11．已知是关于的二元一次方程的解，则的值为 ．
12．如图，中，，，，则等于 ．
13．如图已知一次函数和的图象交于点，则关于的二元一次方程组的解为 ．
三、解答题
14．计算：
(1)计算：
(2)解方程组：
15．如图，的外角的平分线与线段延长线交于点，点在线段上，且．
(1)求证：；
(2)若，求的度数．
16．为了加强心理健康教育，某校选取八年级部分学生进行心理健康常识测试（分数为整数，满分为10分），根据测试成绩绘制了如下所示的统计图．

参加测试的学生成绩条形统计图 参加测试的学生成绩扇形统计图
根据以上相关信息，请回答下来问题：
(1)参加测试的学生人数是______，测试成绩的中位数是______，众数是______．
(2)该校八年级学生共有350人，估计测试成绩能达到10分的人数．
17．如图，在平面直角坐标系中，已知点轴．
(1)作出关于轴对称的；
(2)求点的坐标；
(3)求的面积．
18．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，线段上有一点，点关于直线的对称点在轴上．

(1)求的面积；
(2)求直线的解析式；
(3)点是直线上一点，当为直角三角形时，求点的坐标．
四、填空题
19．如图，在数轴上，点与原点重合，点表示的数为，以为直角边作，以点为圆心，以长为半径作弧，与负半轴交于点，则点表示的数为 ．
20．已知关于的二元一次方程组，则的值为 ．
21．已知，则 ．
22．如图，点是平面直角坐标系原点，射线与轴重合，已知，过点作交轴于，过点作交直线于点，过作交轴于点，过点作交直线于点，重复操作，依次得到点，则点的坐标为 ，点的坐标为 ．（用含的式子表示）（提示：含角的直角三角形，三边之比为）
23．如图，已知，点在射线上，平移线段至线段，连接，以为底边向右作等腰直角三角形，连接，则周长的最小值是 ．

五、解答题
24．上游地与下游地相距，一艘游船计划先从地出发顺水航行到达地，然后立即返回地．已知航行过程中，水流速度和该船的静水速度都不变．右图是这艘游船离地的距离与航行时间（小时）之间关系图象．已知船顺水航行、逆水航行的速度分别是船在静水中的速度与水流速度的和与差．
(1)求与的函数表达式；
(2)一艘货船在地下游处，货船与处的游船同时前往地，已知货船的静水速度为．求货船在前往地的航行途中与游船相遇的时间．
25．如图，在平面直角坐标系中，已知直线分别交轴、轴于点，直线分别交轴、轴于点．
备用图
(1)求线段的中点坐标；
(2)若点是直线上的一点，连接，若，求点的坐标；
(3)在（2）的条件下，若点在第一象限内，以为顶点作，射线交轴于．求点的坐标．
26．如图，长方形纸片，，，点是线段上一点，连接，将沿折叠，得到，点对应点．
(1)连接，若，求的长；
(2)连接，若是以为底角的等腰三角形，求的长；
(3)如图，过点作，垂足为，延长与交于点，若点在线段上，试探究四边形的周长与四边形的周长之比是否变化？若不变，请求出比值；若变化，请说明理由．
学生（序号）
1号
2号
3号
4号
5号
6号
7号
8号
9号
仰卧起坐个数
52
56
50
50
48
58
52
50
54
参考答案：
1．D
【分析】本题考查了实数的大小比较，算术平方根，根据正数大于0，0大于负数进行比较即可得出答案．
【详解】解：∵ ，
∴最大的数是，
故选：D．
2．C
【分析】本题主要考查了二次根式的运算，利用算术平方根的定义对A和C进行判断，利用二次根式的加法对B进行判断，利用二次根式的除法对D进行判断．
【详解】解：A. ，故选项错误，不符合题意；
B. ，故选项错误，不符合题意；
C. ，故选项正确，符合题意；
D. ，故选项错误，不符合题意；
故选：C．
3．A
【分析】本题主要考查了关于轴对称的点的坐标，根据关于轴对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变可得答案．
【详解】解: 点关于轴的对称点的坐标为，
故选： A．
4．C
【分析】本题考查了一次函数的性质，掌握性质“当时，的值随的值增大而增大；当时，的值随的值增大而减小．”是解题的关键．
【详解】解：A.，的值随的值增大而增大，故不符合题意；
B.，的值随的值增大而增大，故不符合题意；
C.，的值随的值增大而减小，故符合题意；
D.，的值随的值增大而增大，故不符合题意；
故选：C．
5．B
【分析】本题考查的是命题的真假判断，根据无理数的概念、平行线的性质、中位数的概念以及对顶角的概念判断即可．
【详解】解：A、无限不循环小数是无理数，故本选项命题是假命题，不符合题意；
B、两直线平行，内错角相等，是真命题，符合题意；
C、一组数据中最中间的一个数或中间两个数据的平均数叫做中位数，故本选项命题是假命题，不符合题意；
D、当两条直线有对顶角时，两直线不平行，故本选项命题是假命题，不符合题意；
故选：B．
6．A
【分析】本题主要考查了平行线的性质、邻补角的性质、三角形内角和定理等知识点，理清角之间的关系是解题的关键．
由平行线的性质可得，由邻补角的性质可得，最后根据三角形内角和定理即可解答．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
故选A．
7．D
【分析】本题考查了众数和中位数的知识，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
【详解】解：这组数据中50出现的次数最多，故众数为50，
先把这些数从小到大排列，第5个女生的成绩为中位数，
则中位数是52；
故选：D．
8．C
【分析】本题主要考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解题的关键是理解题意，找到题目的等量关系．根据“鸡的数量兔的数量，鸡的脚的数量兔子的脚的数量”可列方程组．
【详解】解：设鸡有只，兔有只，
根据题意，可列方程组为，
故选：C．
9．
【分析】本题考查了勾股定理，掌握勾股定理是解题的关键．根据勾股定理求解即可．
【详解】解：直角三角形两直角边长分别为，，
直角三角形斜边长为：，
故答案为：．
10．1
【分析】根据非负数的性质列出方程求出x、y的值，代入所求代数式计算即可．
【详解】根据题意得：x−3＝0，y+2=0，
解得：x＝3，y＝−2，
则x+y=3-2=1．
故答案是： 1．
【点睛】本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．
11．
【分析】本题考查了二元一次方程及其解，掌握方程解的意义及一元一次方程的解法是解决本题的关键．把方程的解代入二元一次方程得到关于k的一次方程，求解即可．
【详解】解：是二元一次方程的解，
故答案为：．
12．/46度
【分析】本题主要考查了平行线的性质和三角形内角和定理，熟练掌握平行线的性质和三角形内角和定理是解题关键．首先根据“两直线平行，同位角相等”可得，再结合三角形内角和定理，由求解即可．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，
∴．
故答案为：．
13．
【分析】本题考查了一次函数的交点与二元一次方程组解的关系，根据：一次函数的交点坐标就是以一次函数解析式所构成的二元一次方程组的解，即可求解，掌握一次函数的交点与二元一次方程组解的关系是解题的关键．
【详解】解：∵一次函数和的图象交于点，
∴关于的二元一次方程组的解为，
故答案为：．
14．(1)3
(2)
【分析】本题考查二次根式的混合运算，零指数幂公式，代入消元法等知识，掌握相关运算法则、公式和方法是解题的关键．
（1）运用二次根式的运算法则和零指数幂公式计算即可；
（2）运用代入消元法求解即可．
【详解】（1）解：原式
；
（2），
由①得：，
将代入②得：，
解得：，
∴，
∴原方程组的解是：．
15．(1)证明见详解
(2)
【分析】本题考查的是三角形外角的性质、平行线的判定、角平分线的定义，熟知三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键．
（1）根据，可知，据此得出结论；
（2）由是的平分线可知，再由三角形外角的性质即可得出结论．
【详解】（1）证明：
（2）是的平分线，
．
16．(1)人数是50，中位数是8，众数是8．
(2)八年级350名学生中，估计测试成绩有70人能达到10分．
【分析】本题考查扇形统计图与条形统计图的关联，从统计图中提取相关信息解题即可．
（1）利用分的人数除以所占百分比即可求出总人数，然后利用中位数和众数的定义解题即可；
（2）利用10分的人数所占百分比乘以八年级的人数即可解题．
【详解】（1）解：人，
9分的人数为人，
从大到小排列后居于中间的两个数分别为分和分，即中位数为，
在这组数据中出现的次数最多，即众数为，
故答案为：，，；
（2）解：人，
答：八年级350名学生中，估计测试成绩有70人能达到10分．
17．(1)见解析
(2)
(3)3.5
【分析】本题考查了画轴对称图形，坐标与图形的性质，割补法求图形的面积，熟练掌握各知识点是解答本题的关键．
（1）先作出点的对称点，然后连线即可；
（2）根据轴可知点P与点C的横坐标相等，据此求解即可；
（3）用割补法求解即可．
【详解】（1）如图，
（2）∵轴
∴，
∴，
∴，
∴
（3）．
18．(1)6；
(2)；
(3)或
【分析】（1）求出点、的坐标，然后根据三角形的面积公式即可解答；
（2）连接交于，求出，根据对称的性质得，根据中点坐标公式得，，利用待定系数法求出直线的函数解析式即可；
（3）设，表示出，再利用勾股定理求出，然后分三种情况∶①当为直角顶点时，②当为直角顶点时，③当为直角顶点时，列出方程求解即可．
【详解】（1）解：∵一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，令，则，解得，
令，则，
∴点，点，
∴，，
；
（2）解：连接交于，

∵点，点，
∴，
∵点、点关于直线对称，
∴，
∴
∵，
∴，
设直线的解析式为，则
解得，
∴直线的解析式为；
（3）解：∵点是直线上一点，直线的解析式为．
设，
∵点，点，
∴，
，
．
①当为直角顶点时，，
∴，
解得或（舍去，
∴点的坐标为；
②当为直角顶点时，，
∴，
解得（舍去，
∴此种情况不存在；
③当为直角顶点时，，
∴，
解得，
∴点的坐标为；
综上，点的坐标为或
【点睛】本题是一次函数综合题，主要考查了三角形的面积，待定系数法求一次函数解析式，直角三角形的性质，勾股定理等知识，解决问题的关键是数形结合与分类思想的运用．
19．
【分析】根据题意结合勾股定理可求出长，即得长，再根据数轴的性质即可得出D点对应的数．本题考查实数与数轴、勾股定理等知识，求出的长是解答本题的关键．
【详解】根据题意可知．
在中，，
∴，
∵以点为圆心，以长为半径作弧，与负半轴交于点，
∴D点对应的数为．
故答案为：．
20．3
【分析】本题考查的是利用加减消元法解二元一次方程组，掌握“整体法求值”是解本题的关键．把两个方程相加即可得到结论．
【详解】解：
方程组上下两式相加得：，
故答案为：3．
21．//2.5
【分析】本题主要考查了代数式求值、二次根式运算、利用完全平方公式等知识，熟练掌握相关运算法则和运算公式是解题关键．首先根据题意解得，，再将整理为，然后代入求值即可．
【详解】解：∵，
∴，，
∴．
故答案为：．
22．
【分析】本题主要考查了坐标与图形，含角的直角三角形，解题的关键是根据求出的数据得出规律．过点作轴于点，过点作轴于点，过点作 轴于点，根据含角的直角三角形，三边之比为，，可得，，从而求出点的坐标；根据题意可求出、、等的长度，进而求出，，，，可推出的纵坐标，再根据边的长度关系，可得到的横坐标．
【详解】解：过点作轴于点，过点作轴于点，过点作 轴于点，
，
，
由题意，，
，，
；
，
，，
又，，
，
，
，，
同理求出，，，，
可推出的纵坐标为，
，，
同理可得的横坐标为，
的坐标为；
故答案为：，．
23．/
【分析】过点F作的平行线，交射线于点G，交并延长与点H，作点B关于的对称点，得到，，根据是等腰直角三角形，得到，为定值，当点D，F，三点共线时，周长有最小值为，证明，得到，再证明四边形是矩形，得到，，进而得到，利用勾股定理求出，即可得出结果．
【详解】解：如图，过点F作的平行线，交射线于点G，交并延长与点H，作点B关于的对称点，则，，

是等腰直角三角形，
，
为定值，
当点D，F，三点共线时，周长有最小值为，
，
，，
，
，
，
由题意得：，
四边形是矩形，
，，
，
，即，
，
在中
，
周长的最小值为，
故答案为：．
【点睛】本题考查的是轴对称-最短路线问题，一线三垂直模型，线段垂直平分线的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理解直角三角形，熟知一线三垂直模型证明三角形全等是解答此题的关键．
24．(1)；
(2)两船相遇时间为2小时或5小时．
【分析】本题考查了一次函数的应用，一元一次方程的应用；
（1）可得图象经过，，用待定系数法即可求解；
（2）设经过小时，游船与货船相遇，①当时，等量关系式：游船去时行驶的路程货船去时行驶的路程，列方程，即可求解；②当时，等量关系式：游船回来时行驶的路程货船去时行驶的路程，列方程，即可求解；
理解自变量和因变量的实际意义，找出等量关系式是解题的关键．
【详解】（1）解：由题意得在图象上，
①当时，
设，图象经过，则有
，
解得：，
；
②当时，
设，图象经过，，则有
，
解得：，
；
；
（2）解：游船从到的速度为（），
游船从到的速度为（），
水流速度为（），
货船到达时间为：（小时），
设经过小时，游船与货船相遇，
①当时，
，
解得：，
此时经过小时，游船与货船相遇；
②当时，
，
解得：，
此时经过小时，游船与货船相遇；
综上所述：两船相遇时间为2小时或5小时．
25．(1)；
(2)或；
(3)．
【分析】（1）根据题意先求出点，，的坐标，根据中点坐标公式即可得出线段的中点坐标；
（2）设，分两种情况，当点在直线上方时，当点在直线下方时，根据三角形面积的关系分别求解即可；
（3）过作于，过作轴，过作于，过作于，设，证明，则，，可得，解方程可得，由，得直线解析式为，即可得点的坐标．
【详解】（1）解：当时，，
∴，
令，解得：，
，
令，解得：，
，
线段的中点坐标为；
（2）设，
当点在直线上方时，
，
，
，，，
，
，，
，解得，
点的坐标为；
当点在直线下方时，
，
，
，，，
，
，，
，解得，
点的坐标为；
综上，点的坐标为或；
（3）过作于，过作轴，过作于，过作于，
设，
又点的坐标为，，
∴，，
，，
是等腰直角三角形，
，，
又，
，
，，
，
解得，
，
设直线的解析式是，
将点，代入得：，
解得：，
直线解析式为，
令，得，解得，
点的坐标为，．
【点睛】本题是一次函数综合题，考查中点坐标公式，三角形的面积，等腰直角三角形性质及应用，全等三角形判定与性质等知识，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形解决问题，以及分类讨论思想的应用．
26．(1)
(2)或
(3)
【分析】（）由沿折叠，得到，可推出，根据得出，，则可证，故有，从而求解；
（）分当时，和当 时，，两种情况讨论即可；
（）设与交于点，，，则，由勾股定理得，根据得出，则有，，进而求出，再根据周长即可求解；
本题考查了矩形的性质，等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解决题的关键是熟练掌握以上知识点的应用．
【详解】（1）∵将沿折叠，得到，
∴，，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）如图，
当时，，
∴点在和的垂直平分线上，连接，
∴，
∵将沿折叠，得到，
∴，，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
由勾股定理得：，即，
∴，
如图，
当 时，，
由上可知：，，
∴，，
∴点在和的垂直平分线上，
∴，
由勾股定理得，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
综上所述：或 ；
（3）如图，
四边形的周长与四边形的周长之比值不变，理由如下：
设与交于点，
∵，
∴，
∴，
设，，则，
在中，由勾股定理得，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴， ，
∴，
即：四边形的周长与四边形的周长，比值不变．