2022-2023学年安徽省阜阳市高二（下）期末数学试卷v

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这是一份2022-2023学年安徽省阜阳市高二（下）期末数学试卷v，共23页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.设集合A={x∈Z|−2A. {−1,0,1,2}B. {0,1}C. {−2,−1,0,1,2}D. {0,1,2}
2.已知复数z满足(1+i)z=i，则z=( )
A. 12+12iB. 12−12iC. −12+12iD. −12−12i
3.已知向量a，b满足|a|=2，|b|=1，(a−b)⊥b，则a，b的夹角是( )
A. π3B. π6C. 2π3D. 5π6
4.若数列{an}为等比数列，则“a3=±2”是“a1，a5是方程x2−5x+4=0的两个根”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
5.从不超过15的质数中任取两个不同的数，其和是偶数的概率为( )
A. 25B. 35C. 23D. 56
6.函数f(x)=(1−2ex+1)⋅sinx的部分图象大致为( )
A. B.
C. D.
7.设a=e−0.8，b=ln1.2，c=2−0.8，则( )
A. a>b>cB. a>c>bC. c>a>bD. c>b>a
8.蹴鞠[cùjū]，又名“蹴球”“蹴圆”，传言黄帝所作(西汉⋅刘向《别录》).“蹴”有用脚蹴、踢的含义，“鞠”最早系外包皮革、内饰米糠的球，因而“蹴鞠”类似今日的踢足球活动，如图所示，已知某“鞠”的表面上有四个点A，B，C，D，平面ABD⊥平面BCD，直线AC与底面BCD所成角的正切值为13,AB=AD=2,CD=CB=2 3，则该“鞠”的表面积为( )
A. 8πB. 12πC. 16πD. 20π
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π)的部分图象如图所示，则下列说法正确的是( )
A. f(x)的最小正周期为π
B. f(x)的单调递增区间为(kπ+π12,kπ+7π12),k∈Z
C. f(x)的图象关于直线x=π12对称
D. f(x)的图象可由函数y=2sin2x的图象向左平移π3个单位长度得到
10.为了解中学生参与课外阅读的情况，某校一兴趣小组持续跟踪调查了该校某班全体同学10周课外阅读的时长，经过整理，得到男生、女生这10周课外阅读的平均时长(单位：h)的数据如下表：
以下判断中正确的是( )
A. 该班女生每周课外阅读的平均时长的平均值为8.2
B. 该班男生每周课外阅读的平均时长的80%分位数是8.4
C. 该班女生每周课外阅读的平均时长波动性比男生小
D. 可估计该校男生每周课外阅读的平均时长大于8h的概率为0.4
11.已知双曲线C：x2a2−y2=1(a>0)的左、右焦点分别是F1，F2，P为双曲线C右支上的动点，|F1F2|=4，则下列说法正确的是( )
A. 双曲线C的离心率e=2 33
B. 双曲线C与双曲线y23−x2=1共渐近线
C. 若点P的横坐标为3，则直线PF1的斜率与直线PF2的斜率之积为25
D. 若∠F1PF2=π3，则△PF1F2的内切圆半径为4 33
12.已知函数f(x)=ax+xex−lnx，则下列说法正确的是( )
A. 当a=1时，f(x)的图象在x=1处的切线方程为y=2ex−e+1
B. 当a<1−2e时，f(x)在x∈[1,+∞)上有2个极值点
C. 当a=0时，f(x)在x∈(0,+∞)上有最小值、无最大值
D. 若f(x)的图象恒在直线y=2x+1的上方，则a>1
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.(x2+2)(1x−1)4的展开式中常数项为__________.(用数字作答)
14.已知圆C的圆心坐标为(m,0)(m>0).若直线l：3x+4y+n=0与圆C相切于点A(1,−2)，则圆C的标准方程为__________.
15.有一堆规格相同的铁制(铁的密度是7.9×103kg/m3)六角螺母，共重5.8kg.如图，每一个螺母的底面是正六边形，边长为12mm，内孔直径为10mm，高为10mm，这堆螺母大约有__________个(参考数据：π≈3.14， 3≈1.73).
16.已知F为抛物线C：x2=4y的焦点，点P为抛物线C外一点，过点P作抛物线C的两条切线，切点分别为A，B，若PA⊥PB，则AF⋅BF+2PF2的最小值为__________.
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
已知数列{an}的前n项和为Sn，若a1=1，S4=2a5，且an+2−2an+1+an=0(n∈N*).
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)记bn=(−1)nan2，求数列{bn}的前n项和Tn.
18.(本小题12分)
记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2a−b=2ccsB.
(1)求C；
(2)设AB边上的高为CD，且CD=1，求△ABC面积的最小值.
19.(本小题12分)
为丰富中学生校园文化生活，某中学社团联合会设立了“数学社”.在某次社团活动中，数学社组织同学进行数学答题有奖游戏，参与者可从A，B两类数学试题中选择作答.答题规则如下：
规则一：参与者只有在答对所选试题的情况下，才有资格进行第二次选题，且连续两次选题不能是同一类试题，每人至多有两次答题机会；
规则二：参与者连续两次选题可以是同一类试题，答题次数不限.
(1)小李同学按照规则一进行答题.已知小李同学答对A类题的概率均为0.8，答对一次可得1分；答对B类题的概率均为0.5，答对一次可得2分.如果答题的顺序由小李选择，那么A，B两类题他应优先选择答哪一类试题？请说明理由；
(2)小王同学按照规则二进行答题，小王同学第1次随机地选择其中一类试题作答，如果小王第1次选择A类试题，那么第2次选择A类试题的概率为0.5；如果第1次选择B类试题，那么第2次选择A类试题的概率为0.8.求小王同学第2次选择A类试题作答的概率.
20.(本小题12分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，BD⊥PC，∠ABC=60∘，四边形ABCD是菱形，PA=AB=1，PB= 2,E,F是棱PD上的两点，且PF=13PD.
(1)证明：平面PAD⊥平面ABCD；
(2)若再从下面两个条件中选择一个作为已知条件，求平面EAC与平面ACD所成二面角的大小.
①BF//平面ACE；
②三棱锥C−ABE的体积V= 336.
21.(本小题12分)
已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为12，且椭圆C过点T(1,32)，点F为椭圆C的左焦点.
(Ⅰ)求椭圆C的标准方程；
(Ⅱ)平行于y轴的动直线l与椭圆C相交于不同两点P，Q，直线PF与椭圆C的另一个交点为M，证明：直线QM过定点.
22.(本小题12分)
已知函数f(x)=xlnx+12ex2−x.
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)令g(x)=f(x)+12ex2+(a+1)x+2e，若不等式g(x)≥0恒成立，求a的最小值.
答案和解析
1.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了交集运算，属于基础题．
可求出集合A，然后进行交集的运算即可．
【解答】
解：∵A={−1,0,1}，B={0,1,2}，
∴A∩B={0,1}.
故选：B.
2.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查了复数代数形式的乘除运算，是基础题．
把已知的等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简求值．
【解答】
解：由(1+i)z=i，得
z=i1+i=i(1−i)(1+i)(1−i)=1+i2=12+12i.
故选：A.
3.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查了平面向量的数量积求夹角，也考查了运算求解能力，是基础题．
根据平面向量的数量积与夹角公式，计算即可．
【解答】
解：设向量a，b的夹角为θ，由|a|=2，|b|=1，(a−b)⊥b，
所以(a−b)⋅b=a⋅b−b2=0，
即2×1×csθ−12=0，
解得csθ=12；
又θ∈[0,π]，
所以θ=π3；
即a，b的夹角是π3.
故选：A.
4.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查必要不充分条件的应用，考查等比数列的性质，属于基础题．
由等比数列的性质求出a3，再根据必要不充分条件的定义判断即可．
【解答】
解：由题意，方程x2−5x+4=0的两个根为1和4，
则a1=1，a5=4或a1=4，a5=1，
设等比数列{an}的公比为q，
若a1=1，a5=4，则q4=a5a1=4，即q2=2，此时a3=a1q2=2；
若a1=4，a5=1，则q4=a5a1=14，即q2=12，此时a3=a1q2=4×12=2；
即若a1，a5是方程x2−5x+4=0的两个根，可得a3=2，
故“a3=±2”是“a1，a5是方程x2−5x+4=0的两个根”的必要不充分条件．
故选：B.
5.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查古典概型的计算，注意古典概型的计算公式，属于基础题．
根据题意，易得不超过15的质数有6个，由组合数公式分析“从中任选2个”和“和为偶数”的情况数目，由古典概型公式计算可得答案．
【解答】
解：根据题意，不超过15的质数有2、3、5、7、11、13，共6个，
从中任选2个，有C62=15种选法，
其中和为偶数只需从3、5、7、11、13中选两个数相加即可，
故和为偶数的情况有C52=10种，
则和是偶数的概率P=1015=23.
故选：C.
6.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查函数的图象，考查函数的奇偶性，属于基础题．
根据函数的奇偶性，函数值的正负即可判断．
【解答】
解：f(x)=(1−2ex+1)sinx=ex−1ex+1sinx，
f(−x)=e−x−1e−x+1sin−x=ex−1ex+1sinx
则f(−x)=f(x)，则函数f(x)是偶函数，图象关于y轴对称，排除A，C；
当x∈(0,π2)时，f(x)>0，排除B.
故选：D.
7.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查导数的综合应用，解题关键是构造函数分析单调性，属于较难题．
构造函数，利用导数研究函数的单调性，进行判断即可．
【解答】
解：设f(x)=ex−x−1，则f′(x)=ex−1，
令f′(x)=0得x=0，
所以当x>0时，f′(x)>0，f(x)单调递增，
当x<0时，f′(x)<0，f(x)单调递减，
所以f(x)min=f(0)=0，
所以f(x)≥0，即ex−x−1≥0，
所以ex≥x+1在R上恒成立，
所以a=e−0.8>−0.8+1=0.2，
设g(x)=lnx−x+1，
g′(x)=1x−1=1−xx，
所以当x>1时，g′(x)<0，g(x)单调递减，
当00，g(x)单调递增，
所以g(x)max=g(1)=ln1−1+1=0，
所以g(x)≤0，
所以lnx−x+1≤0，即lnx≤x−1在(0,+∞)上恒成立，
所以b=ln1.2<1.2−1=0.2函数y=x0.8在(0,+∞)上单调递增，
所以(12)0.8>(1e)0.8，即2−0.8>e−0.8，c>a，
所以c>a>b，
故选：C.
8.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了三棱锥外接球的表面积计算，属于较难题．
设△BCD外心为O1，△ABD外心为O2，DB的中点为E，由题意得到O1E⊥O2E，过O2，O1分别作平面ABD，平面BCD的垂线，则垂线交点O为外接球球心，设△BCD外接圆半径为r1，△ABD外接圆半径为r2，设BE=x，利用线面垂直的性质即可求解．
【解答】
解：设△BCD外心为O1，△ABD外心为O2，DB的中点为E，
因为O1E⊥DB，O1E⊂平面BCD，平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD=BD，
所以O1E⊥平面ABD.又O2E⊂平面ABD，所以O1E⊥O2E，
过O2，O1分别作平面ABD，平面BCD的垂线，
则垂线交点O为外接球球心，则四边形O2EO1O为矩形，
设△BCD外接圆半径为r1，△ABD外接圆半径为r2，
设BE=x，则由13= 4−x2 12−x2，得x= 3,BD=2 3，
△BDC为等边三角形，r1=O1B=BD2sin60∘=2，
又因为AB=AD=2,BD=2 3，所以∠BAD=120∘，
故△ABD外接圆半径r2=O2B=BD2sin120∘=2，
又OO1=O2E= O2B2−EB2= 4−3=1，
OO1⊥平面BCD，BO1⊂平面BCD，则OO1⊥BO1，
所以外接球半径R=OB= OO12+BO12= 4+1= 5，
从而外接球表面积为4πR2=20π.
故选：D.
9.【答案】AC
【解析】【分析】
本题考查正弦函数的周期性、单调性、对称轴、对称中心以及图象变换，属于中档题．
根据已知中函数的图象，可确定A的值，分析出函数的周期，确定ω的值，将(7π12,−2)代入解析式，结合|φ|<π，可求出φ值，进而求出函数的解析式，即可逐一判断各个选项．
【解答】
解：由图可得：A=2，
又∵T4=7π12−π3，ω>0，
∴T=π，ω=2，
∴y=2sin(2x+φ)，
将(7π12,−2)代入y=2sin(2x+φ)得sin(7π6+φ)=−1，
即7π6+φ=3π2+2kπ，k∈Z，
即φ=π3+2kπ，k∈Z，
∵|φ|<π，
∴φ=π3，
∴f(x)=2sin(2x+π3)，
对于A，最小正周期T=2π2=π，故正确；
对于B，令2kπ−π2≤2x+π3≤2kπ+π2，k∈Z，解得kπ−5π12≤x≤kπ+π12，k∈Z，
可得f(x)的单调递增区间为[kπ−5π12,kπ+π12]，k∈Z，故不正确；
对于C，f(π12)=2sin(2×π12+π3)=2为最大值，所以f(x)的图象关于直线x=π12对称，故正确．
对于D，函数y=2sin2x的图象向左平移π3个单位长度，所得到的函数解析式为：f(x)=2sin2(x+π3)=2sin(2x+2π3)，故不正确；
故选：AC.
10.【答案】BCD
【解析】【分析】
本题考查数据的数字特征，属于基础题．
根据平均数，百分位数的定义直接计算即可判断A，B项；C项，根据数据直接观察可得；D项，利用概率公式求解即可．
【解答】
解：由表可知该班女生每周课外阅读的平均时长的平均值为：
7.0+7.6+8.1+8.2+8.5+8.6+8.6+9.0+9.3+9.310=8.42，A错误；
该班男生每周课外阅读的平均时长的80%分位数是8.2+8.62=8.4，B正确；
由表格所提供的数据可知，该班女生每周课外阅读的平均时长波动性比男生小，C正确；
估计该校男生每周课外阅读的平均时长大于8h的概率为410=0.4，D正确．
故选BCD.
11.【答案】AC
【解析】【分析】
本题考查双曲线的性质的应用，属于较难题．
先根据题意求出双曲线的方程，由双曲线的性质可直接判断A、B;由双曲线方程结合直线的斜率公式可判断C；由双曲线性质结合余弦定理和三角形面积公式可判断D.
【解答】
解：由双曲线的方程可得c= a2+1，又因为|F1F2|=4，
所以2c=2 a2+1=4，解得a2=3，
所以双曲线的方程为：x23−y2=1；
A中，双曲线的离心率e=ca=2 3=2 33，所以A正确；
B中，双曲线C的渐近线的方程为：y=± 33x，
双曲线y23−x2=1的渐近线的方程为y=± 3x，所以渐近线的方程不同，所以B不正确；
C中，可得焦点F1(−2,0)，F2(2,0)，设P(3,y0)，则323−y02=1，
可得y02=2，则k PF1⋅k PF2=y03+2⋅y03−2=y025=25，所以C正确；
D中，若∠F1PF2=π3，
则csπ3=|PF1|2+|PF2|2−|F1F2|22|PF1||PF2|
=(|PF1|−|PF2|)2+2|PF1||PF2|−|F1F2|22|PF1||PF2|
=4a2−4c22|PF1||PF2|+1=−2|PF1||PF2|+1，
即12=−2|PF1||PF2|+1，解得|PF1||PF2|=4，
csπ3=|PF1|2+|PF2|2−|F1F2|22|PF1||PF2|
=(|PF1|+|PF2|)2−|F1F2|22|PF1||PF2|−1
=(|PF1|+|PF2|)2−168−1，
即12=(|PF1|+|PF2|)2−168−1，解得|PF1|+|PF2|=2 7，且|F1F2|=4，
设△PF1F2的内切圆的半径为r，
则12|PF1||PF2|sinπ3=12(|PF1|+|PF2|+|F1F2|)⋅r，
即4⋅ 32=(4+2 7)⋅r，解得r= 3( 7−2)3，所以D不正确；
故选AC.
12.【答案】ACD
【解析】【分析】
本题考查利用导数研究函数的单调性和极值，考查了逻辑推理能力、转化思想和运算能力．
由题意，将a=1代入函数f(x)的解析式中，对函数f(x)进行求导，得到f′(1)和f(1)，利用导数的几何意义即可判断选项A；对函数f(x)进行求导，构造函数g(x)=f′(x)，对函数g(x)进行求导，利用零点存在性定理即可判断选项B；将a=0代入函数f(x)的解析式中，对函数f(x)进行求导，利用零点存在性定理即可判断选项C；将f(x)的图象恒在直线y=2x+1的上方转化成2−a【解答】
解：已知f(x)=ax+xex−lnx，函数定义域为(0,+∞)，
当a=1时，f(x)=x+xex−lnx，
可得f′(x)=1+(x+1)ex−1x，
所以f′(1)=2e，
又f(1)=1+e，
所以f(x)的图象在x=1处的切线方程为y−(1+e)=2e(x−1)，
即y=2ex−e+1，故选项A正确；
易知f′(x)=a+(x+1)ex−1x，
不妨设g(x)=a+(x+1)ex−1x，函数定义域为[1,+∞),
可得g′(x)=(x+2)ex+1x2>0，
所以g(x)单调递增，即f′(x)单调递增，
当a<1−2e时，f′(1)=a−1+2e<0，
f′(1−a)=a+(2−a)e1−a−11−a>a+(2−a)−1=1，
所以存在x0∈(1,1−a)，使得f′(x0)=0，
当1≤x当x>x0时，f′(x)>0，f(x)单调递增，
所以f(x)在[1,+∞)上恰有一个极值点，故选项B错误；
当a=0时，f(x)=xex−lnx，
可得f′(x)=(x+1)ex−1x，
所以函数f′(x)在(0,+∞)上单调递增，
又f′(13)=43e13−3=4e13−93<0，f′(1)=−1+2e>0，
所以存在x1∈(13,1)，使得f′(x1)=0，
当0当x>x1时，f′(x)>0，f(x)单调递增，
所以f(x)min=f(x1)，
易知f(x)无最大值，故选项C正确；
要使f(x)的图象恒在直线y=2x+1的上方，
此时f(x)−2x−1=(a−2)x+xex−lnx−1>0恒成立，
即2−a不妨设h(x)=ex−lnx+1x，函数定义域为(0,+∞)，
可得h′(x)=ex+lnxx2=x2ex+lnxx2，
不妨设k(x)=x2ex+lnx，函数定义域为(0,+∞)，
可得k′(x)=(x2+2x)ex+1x>0，
所以k(x)在定义域上单调递增，
又k(1e)=e1ee2−1=e1e−2−1<0，k(1)=e>0，
所以存在x2∈(1e,1)，使得k(x2)=x22ex2+lnx2=0，
整理得x2ex2=1x2ln1x2=eln1x2ln1x2，
不妨设m(x)=xex，函数定义域为(0,+∞)，
可得m′(x)=(x+1)ex>0，
所以m(x)在定义域上单调递增，
此时m(x2)=m(ln1x2)，
解得x2=ln1x2，
当0当x>x2时，k(x)>0，h′(x)>0，h(x)单调递增，
所以h(x)min=h(x2)=ex2−lnx2+1x2=1x2−−x2+1x2=1，
则2−a<1，
解得a>1，故选项D正确．
故选ACD.
13.【答案】8
【解析】【分析】
本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，属于基础题．
由题意利用二项式定理把(1x−1)4展开，可得(x2+2)(1x−1)4展开式中的常数项．
【解答】
解：∵(x2+2)(1x−1)4=(x2+2)(x−4−4x−3+6x−2−4x−1+1)，
故它的展开式中常数项为6+2=8.
故答案为：8.
14.【答案】(x−52)2+y2=254
【解析】【分析】
本题考查直线与圆相切的性质的应用、求圆的标准方程，属于基础题．
由题意A点代入直线l的方程可得n的值，利用相切求出m，再利用圆心到切点的距离得到r，进而即可得到圆的标准方程.
【解答】
解：由题意可知A点在直线l上，可得3×1+4×(−2)+n=0，解得n=5，
即直线l的方程为：3x+4y+5=0，其斜率k=−34，
由相切可得0−(−2)m−1×(−34)=−1，
解得m=52，
即圆心(52,0)，半径r=|AC|= (52−1)2+22=52，
所以圆的标准方程为(x−52)2+y2=254.
故答案为：(x−52)2+y2=254.
15.【答案】248
【解析】【分析】
本题考查了组合体的体积计算，属于基础题．
计算出每个螺母的体积、质量，由此计算出螺母的个数．
【解答】
解：每个螺母的体积为(6× 34×122−π×52)×10=(216 3−25π)×10立方毫米，
所以每个螺母的质量为(216 3−25π)×10×10−9×7.9×103=(216 3−25π)×10−5×7.9千克，
所以螺母个数5.8(216 3−25π)×10−5×7.9≈248个．
故答案为：248.
16.【答案】4
【解析】【分析】
本题考查直线与抛物线位置关系，向量运算，基本不等式求最值，属于中档题.
设直线PA的方程为y=kx+m(k,m∈R,k≠0).联立抛物线方程，利用判别式为0，得到m=−k2，求出A(2k,k2)，B(−2k,1k2)，P(k−1k,−1)，利用向量的坐标运算解决.
【解答】
解：由题可知直线PA，PB斜率存在，设直线PA的方程为y=kx+m(k,m∈R,k≠0).
由y=kx+m,x2=4y,得x2−4kx−4m=0，
所以△=16k2+16m=0，即m=−k2，
所以直线PA的方程为y=kx−k2，同理可得直线PB的方程为y=−1kx−1k2.
由y=kx−k2,y=−1kx−1k2,可得x=k−1k,y=−1,
所以A(2k,k2)，B(−2k,1k2)，P(k−1k,−1)，
所以AF=(−2k,1−k2)，BF=(2k,1−1k2)，PF=(1k−k,2)，
所以AF⋅BF+2PF2=2+k2+1k2≥4(当且仅当k2=1k2，
即k=±1时，等号成立)，所以AF⋅BF+2PF2的最小值为4.
17.【答案】解：(1)依题意，由an+2−2an+1+an=0(n∈N*)，
可得2an+1=an+2+an，
故数列{an}为等差数列，
设等差数列{an}的公差为d，
则S4=4×1+4×32⋅d=4+6d，
a5=1+4d，
∵S4=2a5，
∴4+6d=2(1+4d)，解得d=1，
∴an=1+1⋅(n−1)=n，n∈N*.
(2)由(1)可得，bn=(−1)nan2=(−1)n⋅n2，
①当n为偶数时，n−1为奇数，
Tn=b1+b2+b3+b4+⋯+bn−1+bn
=−12+22−32+42−⋯−(n−1)2+n2
=(22−12)+(42−32)+⋯+[n2−(n−1)2]
=(2−1)(2+1)+(4−3)(4+3)+⋯+[n−(n−1)][n+(n−1)]
=1+2+3+4+⋯+(n−1)+n
=n(n+1)2，
②当n为奇数时，n−1为偶数，
Tn=Tn−1+bn
=(n−1)n2−n2
=−n(n+1)2，
综合①②，可得Tn=(−1)n⋅n(n+1)2.
【解析】本题主要考查数列求通项公式，分组求和法，属中档题．
(1)先根据已知条件结合等差中项判别法推导出数列{an}为等差数列，再设等差数列{an}的公差为d，根据已知条件列出关于公差d的方程，解出d的值，即可计算出数列{an}的通项公式；
(2)先根据第(1)题的结果计算出数列{bn}的通项公式，再分n为偶数与奇数两种情况分别计算出前n项和Tn的表达式，最后综合两种情况即可得到前n项和Tn.
18.【答案】解：(1)由正弦定理及2a−b=2ccsB，知2sinA−sinB=2sinCcsB，
因为sinA=sin(B+C)=sinBcsC+csBsinC，
所以2(sinBcsC+csBsinC)−sinB=2sinCcsB，整理得2sinBcsC−sinB=0，
因为sinB>0，所以csC=12，
又C∈(0,π)，所以C=π3.
(2)△ABC的面积S=12absinC=12CD⋅c，
所以absinπ3=1⋅c，即c= 32ab，
在△ABC中，由余弦定理知，c2=a2+b2−2abcsC，
所以( 32ab)2=a2+b2−2abcsπ3≥2ab−ab=ab，
整理得3(ab)2−4ab≥0，即ab≥43，当且仅当a=b时，等号成立，
所以△ABC的面积S=12absinC≥12×43×sinπ3= 33，
故△ABC面积的最小值为 33.
【解析】本题考查解三角形，熟练掌握正余弦定理，三角形面积公式，两角和的正弦公式，基本不等式是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
(1)利用正弦定理化边为角，并结合诱导公式与两角和的正弦公式，化简可得csC=12，进而可得解；
(2)由S=12absinC=12CD⋅c，知c= 32ab，结合余弦定理与基本不等式，推出ab≥43，再代入三角形的面积公式，即可得解．
19.【答案】解：(1)根据题意，小李同学按照规则一进行答题，
若先选择答A类题，设小李获得的积分为随机变量为X，则X的所有可能取值为0、1、3，
P(X=0)=1−0.8=0.2，
P(X=1)=0.8×(1−0.5)=0.4，
P(X=3)=0.8×0.5=0.4，
则E(X)=0×0.2+1×0.4+3×0.4=1.6；
若先选择答B类题，设小李获得的积分为随机变量为Y，则Y的所有可能取值为0、2、3，
P(Y=0)=1−0.5=0.5，
P(Y=2)=0.5×(1−0.8)=0.1，
P(Y=3)=0.8×0.5=0.4，
则E(Y)=0×0.5+2×0.1+3×0.4=1.4；
由于1.4<1.6，则小李应该优先选择A类题作答；
(2)由于小王同学按照规则二进行答题，设A1=“第1次选择A类题目作答”，A2=“第1次选择B类题目作答”，
B=“第2次选择A类试题作答”，
则P(A1)=P(A2)=0.5，P(B|A1)=0.5，P(B|A2)=0.8，
故P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)=0.5×0.5+0.5×0.8=0.65，
即小王同学第2次选择A类试题作答的概率为0.65.
【解析】本题考查均值、方差与风险评估和决策、全概率公式、相互独立事件的概率乘法公式，属于中档题．
(1)根据题意，分别计算小李选择A类题和B类题作答的期望，比较可得答案；
(2)根据题意，设A1=“第1次选择A类题目作答”，A2=“第1次选择B类题目作答”，B=“第2次选择A类试题作答”，由全概率公式计算可得答案．
20.【答案】(1)证明：因为四边形ABCD是菱形，所以BD⊥AC，
因为BD⊥PC，AC，PC⊂平面PAC，且AC∩PC=C，
所以BD⊥平面PAC，
因为PA⊂平面PAC，所以BD⊥PA，
因为PA=AB=1，PB= 2，所以PB2=AB2+PA2，所以AB⊥PA，
因为AB，BD⊂平面ABCD，且AB∩BD=B，所以PA⊥平面ABCD，
因为PA⊂平面PAD，所以平面PAD⊥平面ABCD.
(2)解：若选条件①，
记BD与AC交于点O，则O为BD的中点，连接OE，
由BF//平面ACE，平面BFD∩平面ACE=OE，则BF//OE，
所以E为FD的中点，PE=23PD，
取棱CD的中点G，连接AG，则AB，AG，AP两两垂直，
以A为原点，分别以AB，AG，AP的方向为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系，
则A(0,0,0)，C(12, 32,0)，D(−12, 32,0)，P(0,0,1)，
所以AC=(12, 32,0)，PD=(−12, 32,−1)，AP=(0,0,1)，
因为PE=23PD，所以PE=(−13, 33,−23)，
则AE=AP+PE=(−13, 33,13)，
设平面ACE的法向量为n=(x,y,z)，则n⋅AE=−13x+ 33y+13z=0n⋅AC=12x+ 32y=0，
令x= 3，得n=( 3,−1,2 3)，
平面ACD的一个法向量为m=(0,0,1)，
设二面角E−AC−D的大小为θ，则二面角E−AC−D为锐角，
计算csθ=|cs|=|n⋅m||n||m|=0+0+2 31× 3+1+12= 32，
所以二面角E−AC−D的大小为π6.
若选条件②，记点E到平面ABC的距离为h，
由VC−ABE=VE−ABC=13S△ACC⋅h=13× 34×12×h= 336，
解得h=13，
由(1)知PA⊥平面ABCD，所以h=13PA，即PE=23PD，
取棱CD的中点G，连接AG，则AB，AG，AP两两垂直，
以A为原点，分别以AB，AG，AP的方向为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系，
则A(0,0,0)，C(12, 32,0)，D(−12, 32,0)，P(0,0,1).
故AC=(12, 32,0)，PD=(−12, 32,−1)，AP=(0,0,1).
因为PE=23PD，所PE=(−13, 33,−23)，
则AE=AP+PE=(−13, 33,13)，
设平面ACE的法向量为n=(x,y,z)，则n⋅AE=−13x+ 33y+13z=0n⋅AC=12x+ 32y=0，
令x= 3，得n=( 3,−1,2 3)，
所以平面ACD的一个法向量为m=(0,0,1)，
设二面角E−AC−D为θ，则二面角E−AC−D为锐角，
计算csθ=|cs|=|n⋅m||n||m|=0+0+2 31× 3+1+12= 32，
所以二面角E−AC−D的大小为π6.

【解析】本题考查了空间中的垂直关系应用问题，也考查了二面角的计算问题，是中档题．
(1)证明BD⊥平面PAC，得出BD⊥PA，利用勾股定理的逆定理证明AB⊥PA，从而证明平面PAD⊥平面ABCD.
(2)选条件①，建立空间直角坐标系，利用坐标表示向量，求出平面的法向量，计算二面角E−AC−D的大小．
选条件②，建立空间直角坐标系，利用坐标表示向量，求出平面的法向量，计算二面角的大小．
21.【答案】(Ⅰ)解：椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为12，且椭圆C过点T(1,32)，
所以1a2+94b2=1ca=12b2+c2=a2，解得a2=4b2=3，
因此，椭圆C的标准方程为x24+y23=1；
(Ⅱ)证明：由题可知，直线PF的斜率存在，
设直线PF：y=k(x+1)，P(x1,y1)，M(x2,y2)，
则Q(x1,−y1)，联立直线与椭圆方程y=k(x+1)x24+y23=1，
得(3+4k2)x2+8k2x+4k2−12=0，
则Δ=64k4−4(3+4k2)(4k2−12)=144(k2+1)>0，
x1+x2=−8k23+4k2，x1x2=4k2−123+4k2，
所以lQM:y−y2=y2+y1x2−x1(x−x2)，
整理得y=y2+y1x2−x1(x−x1y2+x2y1y1+y2)，
又x1y2+x2y1y1+y2=kx1(x2+1)+kx2(x1+1)k(x1+x2)+2k=2kx1x2+k(x1+x2)k(x1+x2)+2k
=2k(4k2−12)3+4k2+k×−8k23+4k2k×−8k23+4k2+2k=−4，
所以直线QM的方程为y=y2+y1x2−x1(x+4)，故直线QM过定点(−4,0).
【解析】本题考查求椭圆方程，考查直线与椭圆的位置关系，直线过定点问题，属于较难题．
(Ⅰ)根据椭圆离心率及椭圆过点T列方程组，可解得椭圆方程；
(Ⅱ)设点P(x1,y1)，M(x2,y2)，设直线PF：y=k(x+1)，与椭圆方程联立，利用韦达定理对直线QM的方程进行整理，从而可得直线QM过定点．
22.【答案】解：(1)已知f(x)=xlnx+12ex2−x，函数定义域为(0,+∞)，
可得f′(x)=lnx+ex，
不妨设h(x)=f′(x)=lnx+ex，函数定义域为(0,+∞)，
可得h′(x)=1x+e>0，
所以h(x)单调递增，即f′(x)单调递增，
又f′(1e)=−1+1=0，
可知：当0当x>1e时，f′(x)>0，f(x)单调递增，
综上，函数f(x)在(0,1e)上单调递减，在(1e,+∞)上单调递增；
(2)若g(x)=f(x)+12ex2+(a+1)x+2e=xlnx+ex2+ax+2e，函数定义域为(0,+∞)，
可得g′(x)=lnx+1+2ex+a，
不妨设k(x)=g′(x)=lnx+1+2ex+a，函数定义域为(0,+∞)，
可得k′(x)=1x+2e>0，
所以k(x)在(0,+∞)上单调递增，即g′(x)在(0,+∞)上单调递增，
又g′(e−(2+|a|))=−(2+|a|)+1+2e⋅e−(2+|a|)+a≤−1+2ee2+|a|<0，
g′(e−a)=−a+1+2e⋅e−a+a>0，
所以存在x0∈(e−(2+|a|),e−a)，使得g′(x0)=lnx0+1+2ex0+a=0，①
当0当x>x0时，g′(x)>0，g(x)单调递增，
要使不等式g(x)≥0恒成立，
需满足g(x)min=g(x0)=x0lnx0+ex02+ax0+2e≥0，②
联立①②，解得0由①式知，−a=lnx0+2ex0+1≤2，
解得a≥−2，
则a的最小值为−2.
【解析】本题考查利用导数研究函数的单调性和最值，考查了逻辑推理能力、转化思想和运算能力．
(1)由题意，对函数f(x)进行求导，构造函数h(x)=f′(x)，对h(x)进行求导，利用导数得到h(x)的单调性，反推出函数f(x)的单调性；
(2)对函数g(x)进行求导，构造函数k(x)=g′(x)，对k(x)进行求导，利用导数得到k(x)的单调性，结合零点存在性定理得到函数g(x)的单调性，将不等式g(x)≥0恒成立，转化成函数的最值问题，进而即可求解．女生
7.0
7.6
8.1
8.2
8.5
8.6
8.6
9.0
9.3
9.3
男生
5.1
6.0
6.3
6.8
7.2
7.7
8.1
8.2
8.6
9.4

2022-2023学年安徽省阜阳市高二（下）期末数学试卷v

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