2022-2023学年福建省福州市八县（市）协作校高二（下）期末数学试卷（含详细答案解析）

这是一份2022-2023学年福建省福州市八县（市）协作校高二（下）期末数学试卷（含详细答案解析），共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知集合A={x∈Z|x2−4≤0}，B={1,2}，则A∪B=( )
A. {0,1,2}B. {−2,−1,0,1,2}C. {−2,−1,1,2}D. {−1,0,1,2}
2.若复数z满足z⋅(1+i)=2，则复数z的虚部为( )
A. −iB. iC. −1D. 1
3.已知sinα+ 2csα=0，则tan2α=( )
A. 2 2B. −2 2C. 2D. 24
4.南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法⋅商功》中出现了如图所示的形状，后人称之为“三角垛”.“三角垛”的最上层(即第一层)有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，….若“三角垛”从第一层到第n层的各层的球数构成一个数列{an}，则( )
A. a6−a5=5B. a10=45
C. an+an+2=2an+1D. an+1−an=n+1
5.已知p：a+b≤6，q：ab≤9，则p是q的条件.( )
A. 充分不必要B. 必要不充分C. 充分必要D. 既不充分也不必要
6.已知四边形ABCD是平行四边形，AE=2EB，若EC与BD交于点O，且EO=λAB+14ED，则λ=( )
A. 14B. 38C. 12D. 34
7.设点F1，F2分别是椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点，点M，N在C上(M位于第一象限)，且点M，N关于原点对称，若|MN|=|F1F2|，|NF2|=3|MF2|，则C的离心率为( )
A. 108B. 104C. 58D. 5 58
8.已知a=cs12，b=2sin12，c=78，则( )
A. c>b>aB. c>a>bC. b>a>cD. a>c>b
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.对实数a，b，c，d，下列命题中正确的是( )
A. 若aB. 若a>b，cb−d
C. 若1≤a≤4，−2≤b≤1，则0≤a−b≤6
D. 若a>1，则a+1a的最小值是2
10.已知圆O：x2+y2=4和圆M：x2+y2−4x+2y+4=0相交于A，B两点，点C是圆M上的动点，定点P的坐标为(5,3)，则下列说法正确的是( )
A. 圆M的圆心为(−2,1)，半径为1B. 直线AB的方程为2x−y−4=0
C. 线段AB的长为4 55D. |PC|的最大值为6
11.已知ω>0，函数f(x)=cs(ωx+π6)，下列选项正确的有( )
A. 若f(x)的最小正周期T=2，则ω=π
B. 当ω=2时，函数f(x)的图象向右平移π6个单位长度后得到y=cs2x的图象
C. 若f(x)在区间(0,π)上只有一个零点，则ω的取值范围是(13,43]
D. 若f(x)在区间(π3,π2)上单调递增，则ω的取值范围是[52,6]
12.在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，E，F分别为AB，BC的中点，
则( )
A. 异面直线DD1与B1F所成角的余弦值为2 55
B. 过点D1，E，F的平面截正方体ABCD−A1B1C1D1所得的截面周长为2 13+ 2
C. 当三棱锥B−B1EF的所有顶点都在球O的表面上时，球O的体积为 62π
D. 点P为正方形A1B1C1D1内一点，当DP//平面B1EF时，DP的最小值为3 22
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.顾惜同学和小小老师准备开展高三“喊楼”活动，决定从学生会文娱部的3名男生和2名女生中，随机选取2人负责活动的主持工作，则恰好选中一名男生和一名女生的概率为______.
14.请写出一个同时满足下列3个条件的函数f(x)(x∈R)：f(x)=______.
①f(−x)=f(x)；
②f(x)=f(x+1)；
③f(x)在[12,1]上单调递增.
15.已知向量a,b的夹角为π3，且|a|=1,|b|=2，则向量a+2b在向量a上的投影向量为______.(用a表示)
16.已知函数f(x)=exx+2alnx−2ax存在唯一的极值点，则实数a的取值范围是______.
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
已知数列{an}满足a1=2，an+1=2an+1(n∈N*).
(1)证明数列{an+1}是等比数列，并求数列{an}的通项公式；
(2)求数列{an}落入区间(2,2024)的所有项的和.
18.(本小题12分)
为了促进五一假期期间全区餐饮服务质量的提升，霜寒同学和他的朋友们需了解游客对餐饮服务工作的认可程度.为此该部门随机调查了500名游客，根据这500名游客对餐饮服务工作认可程度给出的评分，分成[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]五组，得到如图所示的频率分布直方图.
(1)求直方图中x的值和第80百分位数；
(2)为了解部分游客给餐饮服务工作评分较低的原因，该部门从评分低于80分的游客中用分层抽样的方法随机选取30人作进一步调查，求应选取评分在[60,70)的游客人数；
(3)若游客的“认可系数”(认可系数=认可程度平均分100)不低于0.85，餐饮服务工作按原方案继续实施，否则需进一步整改.根据你所学的统计知识，结合“认可系数”，判断餐饮服务工作是否需要进一步整改，并说明理由.
19.(本小题12分)
已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，且sin(A−B)=2sinC.
(1)证明：a2=b2+2c2；
(2)若A=2π3,a=6,BM=2MC，求AM的长度.
20.(本小题12分)
如图，三棱台ABC−A1B1C1中，AB=BC=2B1C1=4，D是AC的中点，E是棱BC上的动点.
(1)试确定点E的位置，使得AB1//平面DEC1；
(2)已知CC1⊥平面ABC，且AB⊥BC1.设直线BC1与平面DEC1所成的角为θ，试在(1)的条件下，求sinθ的最大值.
21.(本小题12分)
如图，正六边形ABCDEF的边长为4.已知双曲线Γ的焦点分别为A，D，两条渐近线分别为直线BE，CF.
(1)建立适当的平面直角坐标系，求Γ的方程；
(2)过点A的直线l与Γ交于P，Q两点，AP=λAQ(λ≠−1)，若点M满足PM=λMQ，证明：点M在一条定直线上.
22.(本小题12分)
已知函数f(x)=ax+bx−lnx，其中a，b∈R.
(1)若b=0，讨论函数f(x)的单调性；
(2)已知x1，x2是函数f(x)的两个零点，且x1答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：由题，A={x∈Z|x2−4≤0}={−2,−1,0,1,2}，B={1,2}，
则A∪B={−2,−1,0,1,2}.
故选：B.
根据题意列举法表示集合A，再根据并集的运算求解即可．
本题主要考查了集合并集运算，属于基础题．
2.【答案】C
【解析】解：z⋅(1+i)=2，
则z=21+i=2(1−i)(1+i)(1−i)=1−i，虚部为−1.
故选：C.
根据已知条件，结合复数的四则运算，以及虚部的定义，即可求解．
本题主要考查复数的四则运算，以及虚部的定义，属于基础题．
3.【答案】A
【解析】解：因为sinα+ 2csα=0，
所以sinα=− 2csα，
可得tanα=sinαcsα=− 2，
则tan2α=2tanα1−tan2α=2×(− 2)1−(− 2)2=2 2.
故选：A.
由已知利用同角三角函数基本关系式可求tanα的值，进而利用二倍角的正切公式即可求解tan2α的值．
本题考查了同角三角函数基本关系式以及二倍角的正切公式在三角函数求值中的应用，属于基础题．
4.【答案】D
【解析】解：根据题意，有a1=1，a2=3，a3=6，a4=10，……
则有：a2−a1=2，a3−a2=3，a4−a3=4，……，
归纳可得：an+1−an=n+1，D正确；
故a6−a5=6，A错误；
同时有：an+2−an+1=n+2，an+1−an=n+1，两式相减可得：an+2+an−2an+1=1，即an+2+an=2an+1+1，C错误；
同时：an=(an−an−1)+(an−1−an−2)+……+(a2−a1)+a1=n+(n−1)+……+2+1=n(n+1)2，
则a10=10×112=55，B错误；
故选：D.
根据题意，分析数列{an}的前几项，由此归纳an+1−an的表达式，由此分析选项可得答案．
本题考查合情推理的应用，注意归纳数列的通项公式，属于基础题．
5.【答案】A
【解析】解：根据题意，若a+b≤6，则ab≤(a+b2)2=9，
反之，当a=1，b=9时，满足ab≤9，但a+b=10>6，
故p是q的充分不必要条件．
故选：A.
根据题意，由基本不等式的性质证明充分性，举出反例说明不必要，综合可得答案．
本题考查充分必要条件的判定，涉及不等式的性质，属于基础题．
6.【答案】A
【解析】解：由四边形ABCD是平行四边形，且AE=2EB，
可知△BOE∽△DOC，且EOOC=BEDC=13，
所以EO=14EC=14(DC−DE)
=14AB+14ED，
则λ=14.
故选：A.
根据E为AB边上三等分点，可得三角形BOE与三角形DOC的相似比为1：3，从而得到EO与EC的关系，进而利用向量线性运算进行代换即可求得．
本题考查平面向量线性运算，属基础题．
7.【答案】B
【解析】解：∵F1，F2分别是椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点，
又点M，N在C上(M位于第一象限)，且点M，N关于原点对称，且|MN|=|F1F2|，
∴根据对称性可知四边形MF1NF2为矩形，又|NF2|=3|MF2|，
∴|MF1|=|NF2|=3|MF2|，又|MF1|+|MF2|=2a，
∴|MF1|=3a2，|MF2|=a2，又MF1⊥MF2，|F1F2|=2c，
∴|MF1|2+|MF2|2=|F1F2|2，
∴9a24+a24=4c2，
∴c2a2=58，
∴e=ca= 52 2= 104.
故选：B.
根据对称性可知四边形MF1NF2为矩形，再根据椭圆的性质，勾股定理，化归转化，即可求解．
本题考查椭圆的几何性质，方程思想，化归转化思想，属中档题．
8.【答案】C
【解析】解：设f(x)=csx+12x2−1，0则f′(x)=−sinx+x，f′′(x)=1−csx>0，则f′(x)在(0,1)上单调递增，
所以f′(x)>f′(0)=0，所以f(x)在(0,1)上单调递增，
所以f(12)>f(0)，即cs12+18−1>0，则cs12>78，即a>c，
设g(x)=tanx−x，0则g′(x)=1cs2x−1=sin2xcs2x>0，所以g(x)在(0,1)上单调递增，
则g(12)>g(0)，即tan12−12>0，所以sin12cs12>12，即cs12<2sin12，所以b>a，
则b>a>c.
故选：C.
设f(x)=csx+12x2−1，0本题考查了三角函数值比较大小的问题，涉及到函数，导数的应用，考查了学生的运算转化能力，属于中档题．
9.【答案】BC
【解析】解：对于A，若a对于B，若a>b，c−d，
所以a−c>b−d，故B正确；
对于C，若1≤a≤4，−2≤b≤1，则−1≤−b≤2，
所以0≤a−b≤6，故C正确；
对于D，由对勾函数y=x+1x的性质可知，函数y=x+1x在(1,+∞)上单调递增，
若a>1，则a+1a>2，故D错误．
故选：BC.
利用不等式的性质，结合作差法逐个判断各个选项即可．
本题主要考查了不等式的性质，考查了作差法比较大小，属于基础题．
10.【答案】BCD
【解析】【分析】
本题考查直线与圆、圆与圆位置关系的应用，属于中档题．
根据题意，由圆的方程分析两圆的圆心和半径，由此依次分析4个选项，即可得答案．
【解答】
解：根据题意，圆O：x2+y2=4，其圆心为(0,0)，半径R=2，
圆M：x2+y2−4x+2y+4=0，即(x−2)2+(y+1)2=1，
其圆心为(2,−1)，半径r=1，故A错误；
联立圆O：x2+y2=4和圆M：x2+y2−4x+2y+4=0，消去二次项，
可得直线AB的方程为2x−y−4=0，故B正确；
圆O：x2+y2=4的圆心为O(0,0)，半径R=2，
圆心O(0,0)到直线AB的距离为d=|−4| 1+4=4 55，
所以线段AB的长为|AB|=2 R2−d2=2 22−(4 55)2=4 55，故C正确；
|PM|= (2−5)2+(−1−3)2=5，则|PC|的最大值为5+1=6，D正确．
故选：BCD.
11.【答案】AC
【解析】解：∵ω>0，函数f(x)=cs(ωx+π6)，
若f(x)的最小正周期T=2πω=2，则ω=π，故A正确．
当ω=2时，函数f(x)=cs(2x+π6)的图象向右平移π6个单位长度后，
得到y=cs(2x−π6)的图象，故B错误．
当x∈(0,π)时，ωx+π6∈(π6,ωπ+π6)，
∵f(x)在区间(0,π)上只有一个零点，
∴π2<ωπ+π6≤3π2，解得13<ω≤43，则ω的取值范围是(13,43],故C正确．
当x∈(π3,π2)时，ωx+π6∈(ωπ3+π6,ωπ2+π6)，
若f(x)在区间(π3,π2)上单调递增，
则ωπ3+π6≥π，ωπ2+π6≤2π，解得52≤ω≤113，
∴ω的取值范为[52,113]，故D错误．
故选：AC.
由题意，利用余弦函数的图象和性质，分别判断各选项即可得出结论．
本题主要考查余弦函数的图象和性质，属于中档题．
12.【答案】ABD
【解析】解：对于A，由于DD1//BB1，又B1F= 12+22= 5，
所以DD1与B1F所成角的余弦值为22+5−122×2× 5=2 55，A正确；
对于B，过点D1，E，F的平面截正方体ABCD−A1B1C1D1所得的截面如下图五边形D1GEFH，
其中G为线段AA1上靠近A的的三等分点，H为线段CC1上靠近C的三等分点，D1G//FH，
根据几何关系可得HF=EG= 12+(23)2= 133，D1G=DH=2HF=2 133，EF= 2，
所以五边形D1GEFH的周长为2× 133+2×2 133+ 2，B正确．
对于C，如下图可知三棱锥B−B1EF的外接球半径即为棱长分别为1，1，2的长方体的体对角线的一半，
球O的半径为12× 12+12+22= 62，球O的体积为4π3×( 62)3= 6π，C错误；
对于D，如下图，以D为原点，以DA，DC，DD1所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
则D(0,0,0)，E(2,1,0)，F(1,2,0)，B1(2,2,2)，
所以EB1=(0,1,2)，FB1=(1,0,2)，所以平面EFB1的一个法向量z=(2,2,−1)，
设P(x,y,2)，则DP=(x,y,2)，
令DP⋅z=0，即2x+2y−2=0，所以有x+y=1，
所以x2+y2=(x+y)2−2xy≤(x+y)2−2×(x+y2)2=12，
当且仅当x=y=12时等号成立，
所以DP= x2+y2+22≤ 12+2=3 22，D正确．
故选：ABD.
根据立体几何知识，结合图形对各选项进行分析即可．
本题主要考查立体几何相关计算，属中档题．
13.【答案】35
【解析】解：由题意，从3名男生和2名女生中，随机选取2人，
恰好选中一名男生和一名女生的概率为C31C21C52=35.
故答案为：35.
由古典概型公式直接可得．
本题考查古典概型及其概率计算，属基础题．
14.【答案】cs2πx(答案不唯一).
【解析】解：根据题意，若f(−x)=f(x)，则f(x)为偶函数，
若f(x)=f(x+1)，则f(x)是周期为1的周期函数，
又由f(x)在[12,1]上单调递增，则f(x)可以为余弦函数的变形形式，如f(x)=cs2πx.
故答案为：cs2πx(答案不唯一).
根据题意，分析可得f(x)的周期和奇偶性，结合余弦函数的性质分析可得答案．
本题考查函数的解析式求法，涉及函数的周期、奇偶性的分析，属于基础题．
15.【答案】3a
【解析】解：∵向量a，b的夹角为π3，且|a|=1,|b|=2，
∴a⋅b=|a||b|cs=1×2×12=1，
∴(a+2b)⋅a=a2+2a⋅b=1+2=3，
∴向量a+2b在向量a上的投影向量为(a+2b)⋅a|a|×a|a|=31×a1=3a.
故答案为：3a.
根据已知条件，先求出a⋅b的值，即可推出(a+2b)⋅a的值，再结合投影向量的公式，即可求解．
本题主要考查投影向量的公式，属于基础题．
16.【答案】(−∞,e2)
【解析】解：因为f(x)=exx+2alnx−2ax，x∈(0,+∞)，
所以f′(x)=(x−1)exx2+2ax−2a=(x−1)(ex−2ax)x2，
依题意可得f′(x)=0存在唯一的变号正实根，
即(x−1)(ex−2ax)=0存在唯一的变号正实根，
当a≤0时，ex−2ax>0，方程只有唯一变号正实根1，符合题意，
当a>0，方程ex−2ax=0，即exx−2a=0没有除1之外的正实根，
令g(x)=exx，则g′(x)=(x−1)exx2，
所以当01时，g′(x)>0，
即g(x)在(0,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增，
所以g(x)min=g(1)=e，所以0<2a综上可得a∈(−∞,e2).
故答案为：(−∞,e2).
求出函数的导函数，依题意f′(x)=0存在唯一的变号正实根，即(x−1)(ex−2ax)=0存在唯一的变号正实根，当a≤0符合题意，当a>0时参变分离可得exx−2a=0没有除1之外的正实根，构造函数g(x)=exx，利用导数求出函数的单调性，即可求出函数的最小值，从而求出a的取值范围．
本题考查导数的综合运用，考查分类讨论思想以及运算求解能力，属于中档题．
17.【答案】解：(1)证明：∵an+1=2an+1(n∈N*)，
∴an+1+1=2(an+1)，
∴{an+1}是以a1+1=2为首项，2为公比的等比数列；
∴an+1=2n，
∴an=2n−1；
(2)令1<2n−1<2024，
即2<2n<2025，
由于n∈N⋅，
则1又数列{an}的前n项和为2(1−2n)1−2−n=2n+1−2−n，
则数列{an}落入区间(2,2024)的所有项的和为29+1−2−9−1=1024−12=1012.
【解析】(1)将数列的递推公式变形，可得an+1+1=2(an+1)，即可得到结论，进而可求数列{an+1}的通项，再求数列{an}的通项公式；
(2)易知此时1本题考查数列通项的求法以及数列的求和，由数列的递推公式，通过构造新的等比数列求数列的通项公式，是常考知识点，正确变形是关键，属于中档题．
18.【答案】解：(1)由图可知：10×(x+0.015+0.02+0.03+0.025)=1，解得x=0.01，
设第80百分位数为t，则0.1+0.15+0.2+0.3+(t−90)×0.025=0.8，解得t=92，
即第80百分位数为92；
(2)低于80分的游客中三组游客的人数比例为0.1：0.15：0.2=2：3：4，
则应选取评分在[60,70)的游客人数为：30×32+3+4=10(人)；
(3)由图可知，认可程度平均分为：
55×0.1+65×0.15+75×0.2+85×0.3+95×0.25=79.5<0.85×100=85，
∴餐饮服务工作工作需要进一步整改．
【解析】(1)由频率分布直方图中所有频率和为1可求得x，在频率分布直方图中频率0.8对应的数为第80分位数；
(2)由低于80分的游客中三组游客的人数比例进行计算；
(3)由频率分布直方图求出平均值后比较可得．
本题考查频率分布直方图，百分位数，分层抽样等知识，属基础题．
19.【答案】解：(1)证明：在三角形中，sin(A−B)=2sinC=2sin(A+B)，
则sinAcsB−csAsinB=2sinAcsB+2csAsinB，
整理可得：sinAcsB+3csAsinB=0，
由正弦定理及余弦定理可得a⋅a2+c2−b22ac+3b⋅b2+c2−a22bc=0，
整理可得：a2=b2+2c2；
即证得a2=b2+2c2成立；
(2)A=23π，a=6，
由余弦定理可得csA=b2+c2−a22bc，即−12=b2+c2−a22bc，
即b2+c2+bc=a2，而a2=b2+2c2，a=6，
可得b=c=2 3，因为BM=2MC，
所以AM=AB+BM=AB+23BC=AB+23(AC−AB)=23AC+13AB，
所以AM=|AM|= AM2= 49AC2+19AB2+49AC⋅AB= 49b2+19c2+49bccsA= 49×12+19×12+49×2 3×2 3×(−12)=2.
所以AM的长度为4.
【解析】(1)在三角形中，由正余弦定理可证得结论；
(2)由余弦定理及(1)可得b，c的值，由向量的运算性质可得AM的大小．
本题考查正弦定理及余弦定理的应用，向量的运算性质的应用，属于中档题．
20.【答案】解：(1)连接DC1，DE，
∵三棱台ABC−A1B1C1中，AB=BC=2B1C1=4，D是AC的中点，E是棱BC上的动点，
∴A1C1//AD，A1C1=AD，
∴四边形ADC1A1为平行四边形，∴AA1//DC1，
AA1⊄平面DEC1，DC1⊂平面DEC1，∴AA1//平面DEC1，
又AB1//平面DEC1，且AB1，AA1⊂平面ABB1A1，AB1∩AA1=A，
∴平面ABB1A1//平面DEC1，
又平面ABB1A1∩平面ABC=AB，平面ABC∩平面DEC1=DE，∴DE//AB，
∵D是AC中点，∴E是BC的中点，
∴E在BC的中点处，AB1//平面DEC1；
(2)∵CC1⊥平面ABC，AB⊂平面ABC，
∴CC1⊥AB，又AB⊥BC1，CC1∩BC1=C1，
∴AB⊥平面BCC1B1，
∵BC⊂平面BCC1B1，∴AB⊥CB，
由(1)知E是BC的中点，D是AC的中点，
∴DE//AB，∴DE⊥BC，
连接B1E，∵B1C1//EC，B1C1=EC，∴四边形B1C1CE是平行四边形，
∴CC1//B1E，∵CC1⊥平面ABC，∴B1E⊥平面ABC，
∴ED，EC，EB1两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，设B1E=a，
则E(0,0,0)，B(−2,0,0)，C(2,0,0)，D(0,2,0)，C1(2,0,a)，B1(0,0,a)，
∴ED=(0,2,0)，EC1=(2,0,a)，
设平面DEC1的法向量为m=(x,y,z)，
则ED⋅m=2y=0EC1⋅m=2x+az=0，取x=a，则m=(a,0,−2)，
又BC1=(4,0,a)，
∴sinθ=|cs|=|BC1⋅m||BC1||m|=2a a2+4⋅ a2+16=2 a2+64a2+20≤2 2 a2⋅64a2+20=13，
当且仅当a2=64a2，即a=2 2时，取等号，
∴sinθ的最大值为13.
【解析】(1)根据线线平行可得四边形ADC1A1为平行四边形，进而可得AA1//平面DEC1，又得平面ABB1A1//平面DEC1.由面面平行的性质即可得线线平行，即可求解；
(2)根据线线垂直可得线面垂直，即可建立空间直角坐标系，利用线面角的向量求法可得sinθ=2 a2+64a2+20，结合基本不等式即可求解．
本题主要考查线面平行的判定，直线与平面所成角的求法，考查运算求解能力与逻辑推理能力，属于中档题．
21.【答案】解：(1)依题意，以直线AD为x轴，线段AD的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系，如图，
因为在正六边形ABCDEF中，△EOD为正三角形，∠EOD=60∘，OD=ED=4，
设双曲线Γ的方程为x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)，
由已知得Γ的渐近线方程为y=± 3x，
∴ba= 3，
又焦距2c=|AD|=8，
则c=4，
又ca= 1+b2a2=2，
则a=2，
从而b=2 3，
所以双曲线Γ的方程为x24−y212=1；
(2)证明：由(1)知A为(−4,0)，
依题意，设P(x1,y1)，Q(x2,y2)，M(x0,y0)，
当直线l为x轴时，不失一般性，则P(−2,0)，Q(2,0)，
故AP=(2,0)，AQ=(6,0)，
所以AP=13AQ，
从而λ=13，
由PM=13MQ，
可得(x0+2,y0)=13(2−x0,y0)，
解得M(−1,0)；
当直线l不为x轴时，设l的方程为x=ty−4(|t|≠± 33)，
由λ≠−1可知t≠0，联立x=ty−4x24−y212=1，消去x得(3t2−1)y2−24ty+36=0，
则Δ=(24t2−4×(3t2−1)×36=144(1+t2)>0,
由韦达定理可得，y1+y2=24t3t2−1，y1⋅y2=363t2−1，
因为AP=λAQPM=λMQ，
所以y1=λy2y0−y1=λ(y2−y0)，
消去λ，得y2(y0−y1)=y1(y2−y0)，
所以y0=2y1y2y1+y2=7224t=3t，
从而x0=ty0−4=3−4=−1，
又M(−1,0)也在直线x=−1上，
所以点M在定直线x=−1上．
【解析】(1)以直线AD为x轴，线段AD的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系，设双曲线Γ的方程为x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)，根据题意可得a，b的值，由此得解；
(2)分直线l为x轴和直线l不为x轴讨论即可．
本题考查双曲线的标准方程及其性质，考查直线与双曲线的综合运用，考查分类讨论思想和运算求解能力，属于中档题．
22.【答案】解：(1)若b=0，即f(x)=ax−lnx(x>0)，
则f(x)=a−1x=ax−1x，
①若a≤0，则f′(x)<0，即f(x)在(0,+∞)单调递减；
②若a>0，令f(x)>0，解得x>1a，令f′(x)<0，解得0所以f(x)在(0,1a)上单调递减，(1a,+∞)上单调递增，
综上，当a≤0时，f(x)在(0,+∞)单调递减；
当a>0时，f(x)在(0,1a)上单调递减，(1a,+∞)上单调递增；
(2)证明：由题意知：已知x1，x2是f(x)的两个零点，x1则ax1+bx1−lnx1=0，ax2+bx2−lnx2=0，
所以a(x1−x2)+b(1x1−1x2)+lnx2−lnx1=0，
则b=ax1x2−x1x2⋅lnx2−lnx1x2−x1，
要证x2(ax1−1)只需证ax1x2−x2即证−x2<−x1x2lnx2−lnx1x2−x1<−x1，
即证1−x1x2令t=x2x1>1，
即证1−1t令p(t)=lnt−1+1t(t>1)，则p′(t)=1t−1t2=t−1t2>0，
所以p(t)在(1,+∞)上单调递增，
则p(t)>p(1)=0，即lnt>1−1t，
设q(t)=lnt−t+1(t>1)，则q′(t)=1t−1<0，
所以q(t)在(1,+∞)上单调递减，
则q(t)综上可得：x2(ax1−1)【解析】(1)将b=0代入，对函数f(x)求导，然后分a≤0以及a>0讨论即可；
(2)令t=x2x1>1，问题等价于证明1−1t1)，q(t)=lnt−t+1(t>1)，再利用导数研究其单调性和最值，即可得证．
本题考查利用导数研究函数的单调性，考查不等式的证明，考查逻辑推理能力及运算求解能力，属于中档题．