2022-2023学年广东省汕头市高二（下）期末数学试卷(含详细答案解析)

这是一份2022-2023学年广东省汕头市高二（下）期末数学试卷(含详细答案解析)，共19页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知集合A={x∈N|x2−4x−5≤0}，B={x∈R|lg2023(x−2)≤0}，则A∩B=( )
A. (2,3]B. [2,3]C. {3}D. ⌀
2.已知复数z满足z(3+i)=3+i2023，则z的共轭复数z−的虚部为( )
A. −35iB. 35iC. −35D. 35
3.已知向量a,b的夹角为2π3，且|a|=2,|b|=4，则2a−b在a上的投影向量为( )
A. 2aB. 4aC. 3aD. 8a
4.一个圆台的侧面展开图是半圆面所在的扇环，两个半圆半径分别为2和4，则该圆台的体积是( )
A. 7 2π24B. 7 3π24C. 7 2π12D. 7 3π3
5.已知数列{an}的通项公式为an=nsinnπ3，则a1+a2+a3+⋯+a2023=( )
A. 32B. 5 32C. −5 32D. − 32
6.数学对于一个国家的发展至关重要，发达国家常常把保持数学领先地位作为他们的战略需求.现某大学为提高数学系学生的数学素养，特开设了“古今数学思想”，“世界数学通史”，“几何原本”，“什么是数学”四门选修课程，要求数学系每位同学每学年至多选3门，大一到大三三学年必须将四门选修课程选完，则每位同学的不同选修方式有( )
A. 60种B. 78种C. 84种D. 144种
7.已知椭圆方程x24+y23=1,F是其左焦点，点A(1,1)是椭圆内一点，点P是椭圆上任意一点，若|PA|+|PF|的最大值为Dmax，最小值为Dmin，那么Dmax+Dmin=( )
A. 4 3B. 4C. 8D. 8 3
8.已知函数f(x)=xex，g(x)=2xln2x，若f(x1)=g(x2)=t，t>0，则lntx1x2的最大值为( )
A. 1e2B. 4e2C. 1eD. 2e
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.对变量y和x的一组样本数据(x1,y1)，(x2,y2)，…，(xn,yn)进行回归分析，建立回归模型，则( )
A. 残差平方和越大，模型的拟合效果越好
B. 若由样本数据得到经验回归直线y =b x+a ，则其必过点(x−,y−)
C. 用决定系数R2来刻画回归效果，R2越小，说明模型的拟合效果越好
D. 若y和x的样本相关系数r=−0.95，则y和x之间具有很强的负线性相关关系
10.已知函数f(x)=2cs2(x+π2)+sin(2x+π6)−1，则下列说法正确的是( )
A. 函数f(x)最大值为1
B. 函数f(x)在区间(−π3,π6)上单调递增
C. 函数f(x)的图像关于直线x=π12对称
D. 函数g(x)=sin2x的图像向右平移π12个单位可以得到函数f(x)的图像
11.已知双曲线C：x22−y2=1和圆P：x2+(y−3)2=r2(r>0)，则( )
A. 双曲线C的离心率为 62
B. 双曲线C的渐近线方程为x±2y=0
C. 当r= 6时，双曲线C与圆P没有公共点
D. 当r=2 2时，双曲线C与圆P恰有两个公共点
12.在四棱锥S−ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，SA⊥底面ABCD，SA=AB，AC，BD交于点O，M是棱SD上的动点，则( )
A. 存在点M，使OM//平面SBC
B. 三棱锥S−ACM体积的最大值为43
C. 点M到平面ABCD的距离与点M到平面SAB的距离之和为定值
D. 存在点M，使直线OM与AB所成的角为30∘
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.(x−3x)n展开式中所有奇数项的二项式系数和为32，则展开式中的常数项为______.(用数字作答)
14.已知tan(α+π6)=2，则tan(2α+712π)=______.
15.已知直线y=ax+b(a∈R,b>0)是曲线f(x)=ex与曲线g(x)=lnx+2的公切线，则a+b的值为______.
16.已知数列{an}中，a1=1，an−an−1=n(n≥2,n∈N*)，设bn=1an+1+1an+2+1an+3+…+1a2n，若对任意的正整数n，当m∈[1,2]时，不等式m2−mt+13>bn恒成立，则实数t的取值范围是__________.
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
在△ABC中，D为BC上一点，AD=CD，BA=7，BC=8.
(1)若B=60∘，求△ABC外接圆的半径R；
(2)设∠CAB−∠ACB=θ，若sinθ=3 314，求△ABC面积．
18.(本小题12分)
已知正项数列{an}的前n项和为Sn，4Sn=an2+2an.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn=3⋅2an(2an−1)(2an+1−1)，数列{bn}的前n项和为Tn，证明：Tnb>0)的右焦点F与抛物线E：y2=2px(p>0)的焦点相同，曲线C的离心率为12,P(2,y)为E上一点且|PF|=3.
(1)求曲线C和曲线E的标准方程；
(2)过F的直线交曲线C于H、G两点，若线段HG的中点为M，且MN=2OM，求四边形OHNG面积的最大值.
22.(本小题12分)
已知函数f(x)=lnx−mx+1，g(x)=x(ex−2).
(1)若f(x)的最大值是0，求m的值；
(2)若对其定义域内任意x，f(x)≤g(x)恒成立，求m的取值范围.
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解；由x2−4x−5≤0，得(x+1)(x−5)≤0，解得−1≤x≤5，
所以A={x∈N|x2−4x−5≤0}={0,1,2,3,4,5}，
由lg2023(x−2)≤0，得06.635，
根据小概率值α=0.010的χ2的独立性检验，我们推断H0不成立，而认为数学成绩与语文成绩有关；
(2)∵L(B|A)=P(B|A)P(B−|A)=P(AB)P(A)P(AB−)P(A)=P(AB)P(AB−)=n(AB)n(AB−)=8030=83，
∴估计L(B|A)的值为83；
(3)按分层抽样，语文成绩优秀的5人，语文成绩不优秀的3人，
随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3，
则P(X=0)=C33C83=156，P(X=1)=C51C32C83=1556，P(X=2)=C52C31C83=3056=1528，P(X=3)=C53C83=1056=528，
∴X的概率分布列为：
∴数学期望E(X)=0×156+1×1556+2×1528+3×528=10556=158.
【解析】(1)零假设H0后，计算χ2的值与6.635比较即可；
(2)根据条件概率公式计算即可；
(3)分层抽样后运用超几何分布求解．
本题主要考查了独立性检验的应用，考查了离散型随机变量的分布列和期望，属于中档题．
21.【答案】解：(1)e=ca=12⇒a=2c,b2=a2−c2=3c2⇒椭圆C:x24c2+y23c2=1，
又|PF|=xP+p2=2+p2=3⇒p=2,c=p2=1，
所以椭圆C:x24+y23=1，
抛物线E：y2=4x；
(2)因为直线HG斜率不为0，设为x=ty+1，
设G(x1,y1)，H(x2,y2)，
联立x=ty+1,x24+y23=1，得(3t2+4)y2+6ty−9=0，
所以Δ=36t2+36(3t2+4)=144(t2+1)>0，
所以y1+y2=−6t3t2+4,y1y2=−93t2+4，
所以S△OHG=12|OF||y1−y2|=6 t2+13t2+4，
∵MN=2OM，∴S△GHN=2S△OHG，
设四边形OHNG的面积为S，
则S=S△OHG+S△GHN=3S△OHG=18 t2+13t2+4=183t2+4 t2+1=183 t2+1+1 t2+1，
令 t2+1=m,(m≥1)，再令y=3m+1m，
易知y=3m+1m在[1,+∞)单调递增，
所以m=1时，ymin=4，
此时t=0,3 t2+1+1 t2+1取得最小值4，所以Smax=92.
【解析】(1)根据离心率以及抛物线的焦半径即可求解p=2，c=1，进而可根据a，b，c 的关系求解，
(2)联立直线与抛物线的方程得韦达定理，根据弦长公式求解弦长，进而根据向量共线得面积的关系为S△GHN=2S△OHG，结合对勾函数的性质即可求解最值．
本题考查有的几何性质，抛物线的几何性质，直线与椭圆的位置关系，函数思想，属中档题．
22.【答案】解：(1)∵f(x)的定义域是(0,+∞)，f′(x)=1x−m，
若m≤0，f′(x)>0，f(x)在定义域内单调递增，无最大值，
若m>0，x∈(0,1m)，f′(x)>0，f(x)单调递增，
x∈(1m,+∞)，f′(x)0，
∴h(x)在(0,+∞)递增且h(1e)0，
故h(x)有唯一零点x0且x02ex0+lnx0=0，
即x0ex0=−lnx0x0，
两边取对数得x0+lnx0=ln(−lnx0)+(−lnx0)，
易知y=x+lnx是增函数，
∴x0=−lnx0，即ex0=1x0，由φ′(x)=−h(x)x2知，
φ′(x)在(0,x0)递增，在(x0,+∞)递减，
∴φ(x)≤φ(x0)=1+lnx0x0−ex0=1−x0x0−1x0=−1，
∴m−2≥−1，
∴m≥1，
故m的取值范围是[1,+∞).
【解析】本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，考查转化思想，分类讨论思想，属于较难题．
(1)求出函数的导数，通过讨论m的范围，求出函数的单调区间，求出函数的最大值，得到关于m的方程，解出m的值即可；
(2)问题转化为m−2≥1+lnxx−ex在(0,+∞)上恒成立，设φ(x)=1+lnxx−ex，根据函数的单调性求出φ(x)的最大值，求出m的范围即可．语文成绩
合计
优秀
不优秀
数学成绩
优秀
50
30
80
不优秀
40
80
120
合计
90
110
200
α
0.050
0.010
0.001
xα
3.841
6.635
10.828
X
0
1
2
3
P
156
1556
1528
528