2022-2023学年广西玉林市高二（下）期末数学试卷(含详细答案解析)

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这是一份2022-2023学年广西玉林市高二（下）期末数学试卷(含详细答案解析)，共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知R为实数集，集合A={x|x<1或x>3}，B={x|−1A. {x|−1B. {x|2C. {x|1≤x<2}
D. {x|−12.下列说法正确的是( )
A. 残差图中残差点所在的水平带状区域越宽，则回归方程的预报精确度越高
B. 样本相关系数r越大，成对样本数据的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱
C. 回归直线就是散点图中经过样本数据点最多的那条直线
D. 甲、乙两个模型的决定系数R2分别约为0.88和0.80，则模型甲的拟合效果更好
3.北京大学一个班级的6名同学准备去参加冬奥会志愿服务活动，其中甲和乙两位同学要么都去，要么都不去，其他人根据个人情况可选择去也可选择不去，则这6名同学不同的去法种数有( )
A. 16B. 32C. 48D. 64
4.若函数f(x)满足f(x−4)=f(x)，且当x∈[−2,0]时，f(x)=3−x+1，则f(2023)=( )
A. 10B. 4C. 2D. 43
5.函数y=ln(3−|x|)的大致图象为( )
A. B.
C. D.
6.随机变量X的分布列如表所示，若E(X)=13，则D(3X−2)=( )
A. 3B. 53C. 5D. 9
7.f(x)=−x2−ax−7,x≤1ax,x>1在R上是增函数的充分不必要条件是( )
A. [−4,−2]B. [−4,−1]C. [−3,−1]D. [−3,−2]
8.已知ξ∼N(2,52)，且P(ξ≤1)=P(ξ≥a+1)，则1x+4a−x(0A. 53B. 2C. 92D. 6
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.下列命题为真命题的是( )
A. 若ac2≥bc2，则a≥bB. 若aab>b2
C. 若a>b，c>d，则a−d>b−cD. 若a>b，则1a<1b
10.下列说法中正确的是( )
A. 若函数f(x)的定义域为[0,2]，则函数f(2x)的定义域为[0,4]
B. 若f(1+ x)=2x+1，则f(x)=2x2−4x+3，x∈[1,+∞)
C. 函数的y=4x+2x+1值域为(1,+∞)
D. f(x)=1x−1在(−∞,1)∪(1,+∞)上单调递减
11.有甲、乙、丙等6名同学，则说法正确的是( )
A. 6人站成一排，甲、乙两人不相邻，则不同的排法种数为480
B. 6人站成一排，甲、乙、丙按从左到右的顺序站位，则不同的站法种数为240
C. 6名同学平均分成三组到A、B、C工厂参观(每个工厂都有人)，则有90种不同的安排方法
D. 6名同学分成三组参加不同的活动，甲、乙、丙在一起，则不同的分组方法有6种
12.已知函数f(x)=(x−1)lnx，且f(ea)>f(b).则下列结论一定正确的是( )
A. 若a>0，则a−b>0B. 若a>0，则ea−b>0
C. 若a<0，则ea+b>2D. 若a<0，则a−lnb<0
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.若C342x=C344x−8，则x=______.
14.设随机变量ξ∼B(2,P)，若P(ξ≥1)=59，则p=______.
15.已知函数f(x)=b+2a−12x−a(a>0)是奇函数，则a+b=______.
16.已知函数f(x)=alnx−2x，若不等式f(x+1)>ax−2ex在x∈(0,+∞)上恒成立，则实数a的取值范围是______.
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
在(ax−13x)n的展开式中只有第7项的二项式系数最大.
(1)求n的值；
(2)若其展开式中的常数项为−220，求其展开式中所有项的系数的和.
18.(本小题12分)
已知关于x的不等式ax2−b≥2x−ax(a,b∈R).
(1)若不等式的解集为{x|−2≤x≤−1}，求a，b的值；
(2)若a<0，解不等式(ax−2)(x+1)≥0.
19.(本小题12分)
数独是源自18世纪瑞士的一种数学游戏，玩家需要根据9×9盘面上的已知数字，推理出所有剩余空格的数字，并满足每一行、每一列、每一个粗线宫(3×3)内的数字均含1−9，不重复.数独爱好者小明打算报名参加“丝路杯”全国数独大赛初级组的比赛.
(1)赛前小明在某数独 APP上进行一段时间的训练，每天的解题平均速度y(秒)与训练天数x(天)有关，经统计得到如表的数据：
现用y=a+bx作为回归方程模型，请利用表中数据，求出该回归方程，并预测小明经过100天训练后，每天解题的平均速度 y约为多少秒？
参考数据：(其中ti=1xi)
参考公式：对于一组数据(u1,v1)，(u2,v2)，…，(un,vn)，其回归直线v=α+βu的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：β=i=1nuivi−nu−⋅v−i=1nui2−nu−2，α=v−β⋅u.
(2)小明和小红在数独 APP上玩“对战赛”，每局两人同时开始解一道数独题，先解出题的人获胜，两人约定先胜4局者赢得比赛.若小明每局获胜的概率为23，已知在前3局中小明胜2局，小红胜1局.若不存在平局，请你估计小明最终赢得比赛的概率.
20.(本小题12分)
已知函数f(x)=x3+3ax2+3bx+a2在x=−1处有极值0.
(1)讨论函数f(x)的单调性；
(2)记g(x)=f(x)−k+1，若函数g(x)有三个零点，求实数k的取值范围.
21.(本小题12分)
2023年5月10日长征七号火箭剑指苍穹，搭载天舟六号货运飞船为中国空间站运送补给物资，为中国空间站的航天员们长时间探索宇宙奥秘提供强有力的后援支持.5月30日，再问苍穹，神州十六号发射成功.在“神箭”“神舟”的护送下，景海鹏、朱杨柱、桂海潮3名中国航天员顺利进入太空，开启为期约5个月的巡天之旅.某校部分学生十分关注中国空间站的发展，若将累计关注中国空间站发展的消息达到6次及以上者称为“航天达人”，未达到6次者称为“非航天达人”.现从该校随机抽取200人进行分析，得到数据如表所示：
(1)依据小概率值α=0.01的χ2独立性检验，能否认为“航天达人”与性别有关联？
(2)(Ⅰ)从随机抽取的这200名学生中采用比例分配的分层抽样的方法抽取20人，再从这20人中随机抽取3人.记事件A=“至少有2名是男生”，事件B=“至少有2名是航天达人的男生”，事件C=“至多有1名是航天达人的女生”.试计算P(A)⋅P(B|A)⋅P(C|AB)和P(ABC)的值，并比较它们的大小.
(Ⅱ)(Ⅰ)中P(ABC)与P(A)⋅P(B|A)⋅P(C|AB)的大小关系能否推广到更一般的情形？请写出结论，并说明理由.
参考公式及数据χ2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，n=a+b+c+d.
22.(本小题12分)
已知函数f(x)=xex−alnx在x=1处的切线方程为y=(2e+1)x−b(a,b∈R)
(1)求实数a，b的值；
(2)设函数g(x)=f(x)−2ex−x+3，当x∈[12,1]时，g(x)的值域为区间(m,n)(m,n∈Z)的子集，求n−m的最小值.
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：集合A={x|x<1或x>3}，B={x|−1则A∩B={x|−1故图中阴影部分表示的集合为：CB(A∩B)={x|1≤x<2}.
故选：C.
根据已知条件，结合补集、交集的定义，即可求解．
本题主要考查补集、交集的定义，属于基础题．
2.【答案】D
【解析】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，残差图中残差点所在的水平带状区域越窄，则回归方程的预报精确度越高，A错误；
对于B，样本相关系数r的绝对值越大，成对样本数据的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱，B错误；
对于C，线性回归直线在散点图中可能不经过任一样本数据点，C错误；
对于D，甲模型的决定系数大于乙模型的决定系数，故模型甲的拟合效果更好，D正确．
故选：D.
根据题意，由残插图的定义分析A，由相关系数r的统计意义分析B，由回归直线的定义分析C，由决定系数的定义分析D，综合可得答案．
本题考查回归分析，涉及残差图、相关系数和决定系数的意义，属于基础题．
3.【答案】B
【解析】解：将甲和乙两位同学捆绑在一起，
故这6名同学不同的去法种数有25=32，
故选：B.
将甲和乙两位同学捆绑在一起，利用分步计数原理求解即可．
本题考查了捆绑法及分步计数原理的应用，属于基础题．
4.【答案】B
【解析】解：根据题意，若函数f(x)满足f(x−4)=f(x)，即f(x+4)=f(x)，
函数f(x)是周期为4的周期函数，
则f(2023)=f(−1+2024)=f(−1)=31+1=4.
故选：B.
根据题意，先分析函数的周期性，由此可得f(2023)=f(−1+2024)=f(−1)，结合函数的解析式计算可得答案．
本题考查抽象函数的性质以及应用，涉及函数的周期性，属于基础题．
5.【答案】A
【解析】解：函数y=ln(3−|x|)的定义域为(−3,3)，排除选项C；
又ln(3−|−x|)=ln(3−|x|)，所以函数为偶函数，则图象关于y轴对称，排除选项D；
当x=52时，y=ln12<0，排除选项B.
故选：A.
由函数的定义域排除选项C，由函数的奇偶性排除选项D，利用特殊的函数值排除选项B，即可得到答案．
本题考查了函数图象的识别，解题的关键是掌握识别图象的方法：可以从定义域、值域、函数值的正负、特殊点、特殊值、函数的性质等方面进行判断，考查了直观想象能力与逻辑推理能力，属于基础题．
6.【答案】C
【解析】解：根据随机变量X的分布列可得到E(X)=−1×16+0×a+1×b=−16+b=13，
∴b=12，
∵16+a+b=1，∴a=13，
D(X)=(−1−13)²×16+(0−13)2×13+(1−13)2×12=59，
则D(3X−2)=3²D(X)=9×59=5.
故选：C.
本题根据离散型随机变量的期望和方差公式，即可求出D(3X−2)的值．
本题考查的是离散型随机变量的数学期望和方差公式，属于基础题．
7.【答案】D
【解析】解：∵f(x)=−x2−ax−7,x≤1ax,x>1在R上是增函数，
∴−a2≥1a<0−1−a−7≤a，解得−4≤a≤−2，
故满足条件的只有D.
故选：D.
根据分段函数的单调性，可得a的范围，再由充分必要条件的含义，得解．
本题考查充分必要条件的判断，函数单调性的应用，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
8.【答案】C
【解析】解：因为ξ∼N(2,52)，且P(ξ≤1)=P(ξ≥a+1)，
由正态分布的性质可得：a+1=3，即a=2，
∵x+(2−x)=2，且0∴1x+42−x=12[x+(2−x)](1x+42−x)
=12(5+2−xx+4x2−x)
≥12×(5+2 2−xx×4x2−x)
=92，当且仅当x=23时等号成立．
故选：C.
首先由正态曲线的性质求得a=2，然后利用基本不等式求式子的最小值．
本题考查正态分布与基本不等式的综合运用，属基础题．
9.【答案】BC
【解析】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，当a=−1，b=1，c=0时，满足ac2≥bc2，但a≥b不成立，A错误；
对于B，若a−b>0，则有(−a)(−a)>(−a)(−b)>(−b)(−b)，即a2>ab>b2成立，B正确；
对于C，若c>d，则有−d>−c，又由a>b，则a−d>b−c，C正确；
对于D，当a=1，b=−1时，满足a>b，但1a<1b不成立，D错误．
故选：BC.
根据题意，由不等式的性质依次分析选项是否正确，综合可得答案．
本题考查不等式的性质，涉及代数式大小的比较，属于基础题．
10.【答案】BC
【解析】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，若函数f(x)的定义域为[0,2]，对于f(2x)，有0≤2x≤2，即0≤x≤1，函数f(2x)的定义域为[0,1]，A错误；
对于B，若f(1+ x)=2x+1，则f(1+ x)=2(1+ x)2−4(1+ x)+3，则f(x)=2x2−4x+3，
又由1+ x≥1，则f(x)的定义域为[1,+∞),则f(x)=2x2−4x+3，x∈[1,+∞),B正确；
对于C，对于y=4x+2x+1，设t=2x，t>0，则y=t2+t+1=(t+12)2+34，
由于t>0，则y>1，即函数的值域为(1,+∞)，C正确；
对于D，函数的单调区间不能用∪连接，D错误．
故选：BC.
根据题意，由函数的定义域分析可得选项A错误，由函数解析式求法分析，可得选项B正确，分析y=4x+2x+1值域，可得选项C正确，由单调性的定义分析可得D错误，综合可得答案．
本题考查函数的单调性、值域，涉及函数的定义域和解析式的求法，属于基础题．
11.【答案】AC
【解析】解：6人站成一排，甲、乙两人不相邻，先将除甲、乙外的4人进行全排列，有A44=24种排法，
再将甲、乙两人插空，有A52=20种排法，则共有24×20=480种不同的排法，A正确；
6人站成一排，甲、乙、丙按从左到右的顺序站位，可用倍缩法进行求解，即A66A33=120种不同的站法，B错误；
6名同学平均分成三组到A、B、C工厂参观(每个工厂都有人)，
则有C62C42C22A33A33=90种不同的安排方法，C正确；
6名同学分成三组参加不同的活动，甲、乙、丙在一起，则三组同学分为3人一组，2人一组和1人一组，
先将除甲、乙、丙外的剩余3人分为两组，有C32C11=3种分法，
再将三组同学和三个活动进行全排列，则有A33=6种安排方法，
故不同的分组方法有3×6=18种方法，D错误．
故选：AC.
A选项，利用插空法求解甲、乙两人不相邻的排法；
B选项，利用倍缩法求解；
C选项，先进行平均分组，再进行全排列，得到答案；
D选项，先将除甲、乙、丙外的剩余3人分为两组，再进行全排列，得到答案．
本题主要考查排列、组合及简单计数问题，属于中档题．
12.【答案】BD
【解析】解：因为f(x)=(x−1)lnx(x>0)，
所以f′(x)=lnx+1−1x，
令h(x)=lnx+1−1x，
则h′(x)=1x+1x2>0，
所以函数h(x)在(0,+∞)上单调递增，
又h(1)=0，
所以当01时，h(x)>0，即f′(x)>0，
所以f(x)在(0,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增，
所以f(x)min=f(1)=0.
所以当a>0，取a=2，b=e，
因为e2>e>1，
所以f(ea)>f(b)，此时a−b<0，A错误；
当a>0时，ea>1，由f(ea)>f(b)得ea>b，即ea−b>0，B正确；
当a<0时，取a=−1，b=1，e−1<1，满足f(ea)>f(b)，此时ea+b<2，C错误；
当a<0时，0f(b)得b>ea，则lnb>a，即a−lnb<0，D正确．
故选：BD.
利用导数研究函数的单调性，结合选项及函数单调性逐项判断即可．
本题考查导数的综合运用，考查运算求解能力，属于中档题．
13.【答案】4或7
【解析】解：C342x=C344x−8，
可得2x=4x−8，或2x+4x−8=34，
解得x=4或x=7.
故答案为：4或7.
直接利用组合数的性质，列出方程求解即可．
本题考查组合数的性质的应用，是基础题．
14.【答案】13
【解析】解：∵变量ξ∼B(2,P)，且P(ξ≥1)=59，
∴P(ξ≥1)=1−P(ξ<1)=1−C20⋅(1−p)2=59，
∴p=13，
故答案为：13
先根据变量ξ∼B(2,P)，且P(ξ≥1)=1−P(ξ<1)=59，即可求出p的值，
本题主要考查了二项分布与n次独立重复试验的模型，属于基础题．
15.【答案】32
【解析】解：依题意函数f(x)是一个奇函数，
又2x−a≠0，所以x≠lg2a，
所以f(x)定义域为{x|x≠lg2a}，
因为f(x)的图象关于坐标原点对称，所以lg2a=0，
解得a=1，
又f(−x)=−f(x)，所以b+12−x−1=−(b+12x−1)，
所以b−2x2x−1=−(b+12x−1)，即2b=2x2x−1−12x−1=2x−12x−1=1，
所以b=12，所以a+b=32.
故答案为：32.
根据定义域关于原点对称及奇函数的性质求得结果．
本题主要考查了奇函数的性质，属于基础题．
16.【答案】(−∞,2]
【解析】解：由f(x)=alnx−2x，得f(ex)=alnex−2ex=ax−2ex，
∵f(x+1)>ax−2ex，∴f(x+1)>f(ex)，
∵当x>0时，1∴只需f(x)=alnx−2x在(1,+∞)上单调递减，
即x>1时，f′(x)=ax−2≤0恒成立，
∴a≤2x在(1,+∞)上恒成立，∴a≤2，
∴a的取值范围为(−∞,2].
故答案为：(−∞,2].
根据f(x+1)>ax−2ex在x∈(0,+∞)上恒成立，结合条件得到a≤2x在(1,+∞)上恒成立，然后求出a的取值范围．
本题考查了利用导数研究函数的单调性和根据不等式恒成立求参数的取值范围，考查了数学抽象和数学运算核心素养，属中档题．
17.【答案】解：(1)∵只有第7项的二项式系数最大，∴n2=6，则n=12.
(2)根据(1)可知，二项式为(ax−13x)12，
故(ax−13x)12的展开式的通项公式为Tr+1=C12r(ax)12−r(−13x)4=C12r⋅a12−r⋅(−1)rx12−43r，
令12−43r=0，解得r=9，
∴展开式的常数项为−C129⋅a3=−220，
得a3=1，∴a=1，
令x=1可得展开式的所有项的系数和为(a−1)12=(1−1)12=0.
【解析】(1)由已知可得n2=6，可解得n的值；
(2)求出二项展开式的通项公式，令x的指数为0，求出r的值，从而可得常数项，求出a的值，再令x=1可得展开式的所有项的系数和．
本题主要考查二项式定理，考查运算求解能力，属于中档题．
18.【答案】解：(1)原不等式化为ax2+(a−2)x−b≥0，
∵不等式的解集为{x|−2≤x≤−1}，∴−2，−1是方程ax2+(a−2)x−b=0的两根，
由根与系数的关系得a<0−a−2a=−3−ba=2，解得a=−1b=2.
(2)当a<0时，原不等式化为(x−2a)(x+1)≤0，
当2a>−1，即a<−2时，解得−1≤x≤2a；
当2a=−1，即a=−2时，解得x=−1；
当2a<−1，即−2综上所述，当−2当a=−2时，不等式的解集为{−1}；
当a<−2时，不等式的解集为{x|−1≤x≤2a}.
【解析】(1)根据不等式的解集可得对应方程的两个根，利用根与系数的关系即可得；(2)分类讨论不等式的解集即可．
本题考查一元二次不等式的解法，属于基础题．
19.【答案】解：(1)由题意，y−=17(990+990+450+320+300+240+210)=500，
令t=1x，设y关于t的线性回归方程为y=bt+a，则
b=i=17ti⋅yi−7t⋅yi=17ti2−7t2=1845−7×0.37×5000.55=1000，
则a=500−1000×0.37=130.∴y=1000t+130，
又t=1x，∴y关于x的回归方程为y=1000x+130，故x=100时，y=140.
∴经过100天训练后，每天解题的平均速度y约为140秒；
(2)设比赛再继续进行X局小明最终获得比赛，则最后一局一定是小明获胜，
由题意知，最多再进行4局就有胜负．
当X=2时，小明4：1胜，∴P(X=2)=23×23=49；
当X=3时，小明4：2胜，∴P(X=3)=C21×23×(1−23)×23=827；
当X=4时，小明4：3胜，∴P(X=4)=C31×23×(1−23)2×23=427.
∴小明最终赢得比赛的概率为49+827+427=89.
【解析】本题考查线性回归方程的求法，考查相互独立事件及其概率的求法，考查运算求解能力，属于中档题．
(1)由已知求得y−，令t=1x，设y关于t的线性回归方程为y=bt+a，求出b与a的值，可得y关于t的线性回归方程，进一步得到y关于x的回归方程，取x=100求得y值即可；
(2)利用互斥事件及相互独立事件的概率计算公式求解．
20.【答案】解：(1)∵f(x)=x3+3ax2+3bx+a2，
∴f′(x)=3x2+6ax+3b，
又f(x)=x3+3ax2+3bx+a2在x=−1处有极值0，
∴f′(−1)=3−6a+3b=0f(−1)=−1+3a−3b+a2=0，
解得a=1b=1或a=2b=3，
当a=1，b=1时，f′(x)=3x2+6x+3=3(x+1)2≥0，
此时函数f(x)在R上单调递增，不满足在x=−1时有极值，故舍去，
故a=2，b=3，
∴f(x)=x3+6x2+9x+4，
∴f′(x)=3x2+12x+9=3(x+1)(x+3)，
∴当x<−3时，f′(x)>0；
当−3当x>−1时，f′(x)>0，
∴函数f(x)在(−∞,−3)，(−1,+∞)上单调递增，在(−3,−1)上单调递减．
(2)由(1)可知g(x)=x3+6x2+9x−k+5，
∴g′(x)=f′(x)=3(x+1)(x+3)，
∴由(1)知g(x)在(−∞,−3)和(−1,+∞)上单调递增，在(−3,−1)上单调递减，
∴g(x)的极大值为g(−3)=−k+5，g(x)的极小值为g(−1)=−k+1，
要使函数g(x)有三个零点，则须满足−k+5>0−k+1<0，
解得1【解析】(1)先根据题意建立方程组，从而可求出a，b，从而得f(x)的解析式，再利用导数研究函数的单调性，即可求解；
(2)利用导数研究函数单调性，再根据函数零点的概念，即可求解．
本题考查利用导数研究函数的单调性与极值，利用导数研究函数的零点，方程思想，化归转化思想，属中档题．
21.【答案】解：(1)零假设H0：假设“航天达人”与性别无关，
根据表中数据，计算得到χ2=200×(80×50−40×30)2120×80×110×90≈16.498>6.635，
所以根据小概率值α=0.010的χ2独立性检验，我们推断H0不成立，
即认为“航天达人”与性别有关联，该推断犯错误的概率不大于0.01；
(2)(Ⅰ)由已知事件ABC表示：“抽取的3人为2男生1女生，男生都是航天达人”和“抽取的3人为3男生，至少两人是航天达人”，
设D=“抽取的3人中为2男生1女生，男生都是航天达人”，
设E=“抽取的3人中为3男生且至少两人是航天达人”，
则P(D)=C82(C31+C51)C203=56285，P(E)=C82C41+C83C203=42285=1495，
所以P(ABC)=P(D)+P(E)=98285，
P(A)⋅P(B|A)P(C|AB)=C122C81+C123C203⋅C82(C41+C31+C51)+C83C122C81+C123⋅C82(C31+C51)+C82C41+C83C82(C41+C31+C51)+C83=98285，
所以P(ABC)=P(A)⋅P(B|A)⋅P(C|AB)；
(Ⅱ)由(Ⅰ)得P(ABC)与P(A)⋅P(B|A)⋅P(C|AB)相等的关系可以推广到更一般的情形，
证明过程如下：
P(A)⋅P(B|A)⋅P(C|AB)=P(A)⋅P(AB)P(A)⋅P(ABC)P(AB)=P(ABC)，得证．
【解析】(1)计算χ2的值，再与临界值比较，即可得出结论；
(2)(Ⅰ)利用古典概型公式和条件概率公式求解；
(Ⅱ)利用条件概率公式证明即可．
本题主要考查了独立性检验的应用，考查了条件概率公式，属于中档题．
22.【答案】解：(1)定义域为(0,+∞)，f′(x)=(x+1)ex−ax.
由题意知f′(1)=2e−a=2e+1f(1)=2e+1−b=e，解得a=−1，b=e+1.
(2)g(x)=f(x)−2ex−x+3=(x−2)ex+lnx−x+3，
则g′(x)=(x−1)ex+1x−1=(x−1)(ex−1x).
令h(x)=ex−1x，其中x∈[12,1]，则h′(x)=ex+1x2>0，
所以函数h(x)=ex−1x在x∈[12,1]上单调递增，
因为h(12)= e−2<0，h(1)=e−1>0，所以存在唯一x0∈(12,1)，
使得h(x0)=ex0−1x0=0，即ex0=1x0，可得x0=−lnx0，
当120，此时函数g(x)单调递增，
当x0所以当x∈[12,1]时，g(x)max=g(x0)=(x0−2)ex0+lnx0−x0+3
因为ex0=1x0，x0=−lnx0，所以g(x)max=4−2(x0+1x0)<4−4 x0⋅1x0=0，
即g(x)<0，因为g(1)=2−e>−1，g(12)=52−ln2−32 e>52−ln2−32×53=−ln2>−1，
所以当x∈[12,1]时，−1即n≥0，m≤−1(m,n∈Z)，
所以n−m≥1，即n−m的最小值为1.
【解析】(1)对函数f(x)求导数，由切线斜率及切点坐标，列出方程组，解出a，b的值；
(2)利用导数研究g(x)的单调性，得函数的最值的取值范围，求得m，n的取值范围．
本题主要考查利用导数研究函数的最值，利用导数研究曲线上某点的切线方程，考查运算求解能力，属于难题．X
−1
0
1
P
16
a
b
x(天)
1
2
3
4
5
6
7
y(秒)
990
990
450
320
300
240
210
i=17tiyi
t−
i=17ti2−7×t−2
1845
0.37
0.55
航天达人
非航天达人
合计
男
80
40
120
女
30
50
80
合计
110
90
200
α
0.10
0.05
0.010
0.001
xα
2.706
3.841
6.635
10.828

2022-2023学年广西玉林市高二（下）期末数学试卷(含详细答案解析)

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