2022-2023学年海南省儋州市川绵中学高二（下）期末数学试卷(含详细答案解析)

这是一份2022-2023学年海南省儋州市川绵中学高二（下）期末数学试卷(含详细答案解析)，共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知集合A={1,2,3,4}，B={−1,0,1}，则A∩B=( )
A. {0}B. {1}C. {2,3}D. {−1,0,1}
2.已知全部是正项的等比数列{an}的前n项和为Sn，若a1=2，S3=14，则其公比q为( )
A. 3B. −1C. 1D. 2
3.函数f(x)=12x2−lnx的极小值为( )
A. 12B. 1C. 0D. 不存在
4.已知数列{an}是等差数列，若a1−a9+a17=7，则a3+a15=( )
A. 7B. 14C. 21D. 7(n−1)
5.已知(ax+1)5的展开式中x3的系数是10，则实数a的值是( )
A. 1B. 12C. −1D. 2
6.某数学兴趣小组把两个0、一个2、一个1与一个7组成一个五位数(如20107)，若其中两个0不相邻，则这个五位数的个数为( )
A. 18B. 36C. 72D. 144
7.已知A，B为两个随机事件，0A. 0.1B. 17C. 0.33D. 37
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
8.已知函数f(x)的导函数f′(x)的图象大致如图所示，下列结论正确的是( )
A. f(x)在(−∞,2)上单调递增
B. f(x)在(−1,5)上单调递增
C. 曲线y=f(x)在x=2处的切线的斜率为0
D. 曲线y=f(x)在x=2处的切线的斜率为4
9.已知数列{an}中，a2=1，a6=16，下列说法正确的是( )
A. 若{an}是等比数列，则a5=8B. 若{an}是等比数列，则a5=±8
C. 若{an}是等差数列，则a5=8D. 若{an}是等差数列，则公差为154
10.随机变量ξ的分布列如表：其中xy≠0，下列说法正确的是( )
A. x+y=1B. E(ξ)=5y3
C. D(ξ)有最大值D. D(ξ)随y的增大而减小
11.袋中装有除颜色外完全相同的1个红球和2个白球，从袋中不放回的依次抽取2个球．记事件A=“第一次抽到的是白球”，事件B=“第二次抽到的是白球”，则( )
A. 事件A与事件B互斥B. 事件A与事件B相互独立
C. P(B)=23D. P(A|B)=12
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
12.在等差数列{an}中，a3=5，则S5=______.
13.曲线y=1+x1−x在点(2,−3)处的切线方程为______.
14.某校高二学生一次数学诊断考试成绩(单位：分)X图从正态分布N(110,102)，从中抽取一个同学的数学成绩ξ，记该同学的成绩90<ξ≤110为事件A，记该同学的成绩80<ξ≤100为事件B，则在A事件发生的条件下B事件发生的概率P(B|A)=______.(结果用分数表示)
附参考数据：P(μ−σ15.现有两个罐子，1号罐子中装有2个红球、1个黑球，2号罐子中装有3个红球、1个黑球.现先从1号罐子中随机取出一个球放入2号罐子，再从2号罐子中取一个球，则从2号罐子中取出的球是红球的概率为__________ .
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题10分)
等差数列{an}的首项a1=1，且满足a2+a5=12，数列{bn}满足bn=2an.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设数列{bn}的前n项和是Tn，求Tn.
17.(本小题12分)
已知函数f(x)=2x−lnx+3x.
(1)求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；
(2)求函数f(x)的极值．
18.(本小题12分)
已知(1−2x)7=a0+a1x+a2x2+⋯+a7x7.求：
(1)a0+a1+⋯+a7的值；
(2)a0+a2+a4+a6及a1+a3+a5+a7的值；
19.(本小题12分)
一盒中装有大小和质地相同的3个白球和2个红球，现从该盒中任取2球，记随机变量X表示从该盒中取出的红球个数.
(1)求随机变量X的分布列；
(2)求随机变量X的期望和方差.
20.(本小题12分)
甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球，命中率分别为13与p，且乙投球2次均命中的概率为116.
(1)求甲投球2次，命中1次的概率；
(2)若乙投球3次，设命中的次数为X，求X的分布列．
21.(本小题12分)
已知函数f(x)=lnx+x2+ax+2(a∈R).
(1)当a=−3时，求f(x)的极值；
(2)若函数f(x)至少有两个不同的零点，求a的最大值.
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：集合A={1,2,3,4}，B={−1,0,1}，所以A∩B={1}.
故选：B.
根据集合的交集运算即可．
本题考查交集的定义，属于基础题．
2.【答案】D
【解析】解：设公比为q，
因为a1=2，S3=14，
所以a1=2a1+a1q+a1q2=14，解得，q=2或q=−3，
因为an>0，a1=2，
所以q=2，
故选：D.
设公比为q，根据条件列出方程求解即可．
本题考查了等比数列的通项公式，属于基础题．
3.【答案】A
【解析】解：f(x)=12x2−lnx，x>0，
f′(x)=x−1x=(x+1)(x−1)x2，由f′(x)=0⇒x=1，
x∈(0,1)时，f′(x)<0，x∈(1,+∞)时，f′(x)>0，
所以f(x)的极小值f(1)=12.
故选：A.
求出定义域，导数及导数的零点，再判断导数附近的符号，确定结论．
本题考查函数极值(点)的判断和计算，属于中档题．
4.【答案】B
【解析】解：∵数列{an}是等差数列，a1−a9+a17=7，
∴2a9−a9=7，可得a9=7.
则a3+a15=2a9=14.
故选：B.
利用等差数列的性质即可得出．
本题考查了等差数列的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
5.【答案】A
【解析】【分析】
本题主要考查二项展开式的通项公式以及解决二项展开式的特定项问题的重要方法，属于基础题．
在展开式的通项公式，令x的指数为3，利用(ax+1)5的展开式中x3的系数是10，即可得实数a的值．
【解答】
解：(ax+1)5的展开式的通项公式为Tr+1=C5r(ax)5−r，则
∵(ax+1)5的展开式中x3的系数是10，
∴C52a3=10，
∴a=1.
故选：A.
6.【答案】A
【解析】解：利用插空法，第一步排列一个2，一个1，一个7，
共有A33=6种排法，
第二步最前面不能排0，再把0插入其中3个空，
所以有C32=3种排法，
所以共有A33C32=6×3=18个五位数．
故选：A.
由于三个0均不相邻，所以采用插空法，第一步排列一个2，一个1，一个7，第二步再把0插入其中五个空，即可得答案．
本题考查排列组合，考查运算求解能力，属于基础题．
7.【答案】B
【解析】解：由全概率公式得，
P(B)=P(A)P(B|A)+P(A−)P(B|A−)，
∴P(A)×0.9+[1−P(A)]×0.2=0.3，
∴P(A)=17.
故选：B.
利用全概率公式求解即可．
本题考查全概率公式的运用，属于基础题．
8.【答案】BD
【解析】解：由导函数f′(x)的图象可知当x<−1时，f′(x)<0，f(x)在(−∞,−1)上单调递减，
当−10，f(x)在(−1,2)上单调递增，A错误；
由图象可知当−10，f(x)在(−1,5)上单调递增，B正确；
由于f′(2)=4，根据导数的几何意义可知y=f(x)在x=2处的切线的斜率为4，C错误，D正确，
故选：BD.
根据导数的正负与函数单调性的关系可判断A，B；根据导数的几何意义可判断C，D.
本题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查导数的几何意义，考查运算求解能力，属于基础题．
9.【答案】BD
【解析】解：若{an}是等比数列，则a6a2=q4=16，∴q=±2，
∴a5=a2⋅q3=±8，B正确；
若{an}是等差数列，则公差d=a6−a26−2=154，D正确．
故选：BD.
分情况讨论，分别代入等差等比的通项公式计算即可．
本题考查等差，等比数列的通项公式，属于基础题．
10.【答案】ABC
【解析】解：由题意可知x+y3+2y3=1，即x+y=1，故A正确；
E(ξ)=0×x+1×y3+2×2y3=5y3，故B正确；
D(ξ)=x(0−5y3)2+y3(1−5y3)2+2y3(2−5y3)2=−259y2+3y，
因为xy≠0，x+y=1，易得0而f(y)=−259y2+3y，开口向下，对称轴为y=2750，
所以f(y)在(0,2750)上单调递增，在(2750,1)上单调递减，
故f(y)在y=2750处取得最大值，
所以D(ξ)随着 y的增大先增大后减小，当y=2750时取得最大值，故C正确，D错误．
故选：ABC.
利用分布列的性质以及期望与方差公式，列出表达式，结合二次函数的性质判断选项的正误即可．
本题考查离散型随机变量的分布列的性质，考查期望方差的计算，是中档题．
11.【答案】CD
【解析】【分析】
本题考查条件概率，考查学生的运算能力，属于中档题．
根据互斥事件以及相互独立事件的概念，可判断A，B；事件B=“第二次抽到的是白球”，分两种情况，即第一次抽到红球第二次抽到白球和第一次抽到白球第二次也抽到白球，由此判断C；根据条件概率的公式计算P(A|B)=12，可判断D.
【解答】
解：对于A，由于第一次抽到的是白球和第二次抽到白球，可以同时发生，
故事件A与事件B不互斥，故A错误；
对于B，由于是从袋中不放回的依次抽取2个球，
因此第一次抽球的结果对第二次抽到什么颜色的球是有影响的，
因此事件A与事件B不是相互独立关系，故B错误；
对于C，事件B=“第二次抽到的是白球“，分两种情况，
即第一次抽到红球第二次抽到白球和第一次抽到白球第二次也抽到白球，
故P(B)=13+23×12=23，故C正确；
对于D，P(AB)=23×12=13，故P(A|B)=P(AB)P(B)=1323=12，故D正确.
故选CD.
12.【答案】25
【解析】解：因为{an}为等差数列，
所以S5=a1+a2+a3+a4+a5=5a3=25.
故答案为：25.
根据等差数列性质分析运算．
本题主要考查了等差数列的性质的应用，属于基础题．
13.【答案】2x−y−7=0
【解析】解：由y=1+x1−x(x≠1)，
所以y′=1−x−(1+x)×(−1)(1−x)2=2(1−x)2，
所以y′|x=2=2(1−2)2=2，
所以曲线y=1+x1−x在点(2,−3)处的切线斜率为2，
所以所求切线方程为y+3=2(x−2)，即2x−y−7=0.
故答案为：2x−y−7=0.
根据导数的几何意义求解即可．
本题考查利用导数求函数的切线问题，化归转化思想，属中档题．
14.【答案】2795
【解析】解：由题意，P(A)=0.475，P(B)=12(0.99−0.68)=0.155.P(AB)=12(0.95−0.68)=0.135，
∴P(B|A)=，
故答案为2795.
利用条件概率公式，即可得出结论．
本题考查条件概率，考查正态分布，考查想的计算能力，属于中档题．
15.【答案】1115
【解析】【分析】
本题主要考查了全概率公式，属于基础题．
设事件A表示“从2号罐子中取出的球是红球”，事件B1表示“从1号罐子中取出的是红球”，事件B2表示“从1号罐子中取出的是黑球”，则P(B1)=23，P(B2)=13，P(A|B1)=45，P(A|B2)=35，再利用全概率公式求解即可．
【解答】
解：设事件A表示“从2号罐子中取出的球是红球”，事件B1表示“从1号罐子中取出的是红球”，事件B2表示“从1号罐子中取出的是黑球”，
则P(B1)=23，P(B2)=13，P(A|B1)=45，P(A|B2)=35，
所以P(A)=P(A|B1)⋅P(B1)+P(A|B2)⋅P(B2)=45×23+35×13=1115.
故答案为：1115.
16.【答案】解：(1)设{an}公差为d.
由a2+a5=12可得，2a1+5d=12.
又a1=1，所以d=2.
所以an=1+2(n−1)=2n−1.
(2)由(1)知，bn=2an=22n−1=12×4n.
则bn+1bn=4，故{bn}是b1=2为首项，以4为公比的等比数列．
所以Tn=b1+b2+⋯bn=2×(1−4n)1−4=2×4n−23=22n+13−23.
【解析】(1)由已知可得2a1+5d=12，代入a1=1，求出d=2，即可得到通项公式；
(2)由(1)知，bn=12×4n，得到{bn}是b1=2为首项，以4为公比的等比数列．进而根据等比数列前n项和公式，即可求出答案．
本题主要考查等差数列的通项公式，等比数列的前n项和，考查运算求解能力，属于基础题．
17.【答案】解：(1)因为函数f(x)=2x−lnx+3x.
所以f′(x)=2−1x−3x2=2x2−x−3x2，
所以f′(1)=−2，
又f(1)=5，
所以切点坐标为(1,5)，
所以切线方程为y−5=−2(x−1)，
整理得，2x+y−7=0，
即曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为2x+y−7=0；
(2)定义域为(0,+∞)，
由(1)可知，f′(x)=2x2−x−3x2，
令f′(x)=0，即2x2−x−3=0，解得x=32或x=−1(舍去)，
当0当x>32时，f′(x)>0，f(x)在(32,+∞)上单调递增，
所以当x=32时，f(x)有极小值为5−ln32，无极大值．
【解析】(1)求导，根据导数的几何意义可求得切线的斜率，求出f(1)的值，代入点斜式方程可得结果；
(2)根据导数研究函数的单调性可得函数的极值．
本题考查了导数的几何意义以及利用导数研究函数的极值问题，属于基础题．
18.【答案】解：(1)令f(x)=(1−2x)7=a0+a1x+a2x2+⋯a7x7.
令x=1，可得a0+a1+⋯+a7=f(1)=(1−2)7=−1.
(2)由赋值法可得f(1)=a0+a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7=(1−2)7=−1f(−1)=a0−a1+a2−a3+a4−a5+a6−a7=(1+2)7=2187，
所以，a0+a2+a4+a6=f(1)+f(−1)2=−1+21872=1093，
a1+a3+a5+a7=f(1)−f(−1)2=−1−21872=−1094；
【解析】(1)将x=1代入等式计算即可．
(2)利用赋值法可得a0+a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7=−1和a0−a1+a2−a3+a4−a5+a6−a7=2187，两式加减计算即可．
本题主要考查二项式定理的应用，是给变量赋值的问题，关键是根据要求的结果，选择合适的数值代入，属于基础题．
19.【答案】解：(1)根据题意可得X=0，1，2，
又P(X=0)=C32C52=310,P(X=1)=C31C21C52=610,P(X=2)=C22C52=110，
所以X的分布列如下：
(2)根据(1)可得E(X)=0×310+1×610+2×110=45;D(X)=E(X2)−(E(X))2=1−1625=925.
【解析】(1)根据古典概型的概率公式，组合数公式，离散型随机变量的分布列的概念，即可求解；
(2)根据离散型随机变量的期望与方差的概念及性质，即可求解．
本题考查离散型随机变量的分布列与期望方差的求解，古典概型的概率公式的应用，属中档题．
20.【答案】解：(1)设“甲投球一次命中”为事件A，
则P(A)=13，P(A−)=23，
故甲投球2次命中1次的概率为P=2P(A)⋅P(A−)=2×13×23=49.
(2)设“乙投球一次命中”为事件B，
由题意得P(B)⋅P(B)=p2=116，解得p=14，
所以P(B)=14，P(B−)=34，
由题意得X∼B(3,14)，则P(X=0)=C30(14)0×(34)3=2764，
P(X=1)=C31(14)1×(34)2=2764，P(X=2)=C32(14)2×(34)1=964，P(X=3)=C33(14)3×(34)0=164，
故X的分布列为：

【解析】(1)甲投球2次，命中1次人两种情况：第一次命中第二次没有命中，第一次没有命中第二次命中，然后利用互斥事件的概率加法公式求解即可，
(2)由题意可求得p=14，X服从B(3,14)，则利用二项分布的概率公式求解出对应的概率，从而可列出分布列．
本题主要考查离散型随机变量分布列的求解，属于中档题．
21.【答案】解：(1)已知f(x)=lnx+x2+ax+2(a∈R)，函数定义域为(0,+∞)，
当a=−3时，f(x)=lnx+x2−3x+2，
可得f′(x)=1x+2x−3=(2x−1)(x−1)x，
当00，f(x)单调递增；
当12当x>1时，f′(x)>0，f(x)单调递增，
所以当x=12时，函数f(x)取得极大值，极大值f(12)=34−ln2，
当x=1时，函数f(x)取得极小值，极小值f(1)=0；
(2)若函数f(x)至少有两个不同的零点，
此时方程lnx+x2+ax+2=0至少有两个相异实数根，
即方程−a=lnxx+x+2x至少有两个相异实数根，
不妨设g(x)=lnxx+x+2x，函数定义域为(0,+∞)，
可得g′(x)=1−lnxx2+1−2x2=x2−lnx−1x2，
不妨设h(x)=x2−lnx−1，函数定义域为(0,+∞)，
可得h′(x)=2x−1x=2x2−1x，
当0当x> 22时，h′(x)>0，h(x)单调递增，
所以当x= 22时，函数h(x)取得极小值也是最小值，最小值f( 22)=( 22)2−ln 22−1<0，
又h(1)=0，
所以当x>1时，h(x)>0，
因为h(1e)=(1e)2>0，
所以在区间(1e, 22)上存在一点x0，使得h(x0)=0，
当00，g′(x)>0，g(x)单调递增；
当x0当x>1时，h(x)>0，g′(x)>0，g(x)单调递增，
所以当x=x0时，函数g(x)取得极大值；当x=1时，函数g(x)取得极小值，极小值g(1)=3，
又g(1)=3，g(1e2)<3，
当x→+∞时，g(x)→+∞，
此时g(1)≤−a≤g(x0)，
则当−g(x0)≤a≤−3时，函数g(x)与直线y=a的图象至少有两个交点，
故a的最大值为−3.
【解析】(1)由题意，将a=−3代入函数f(x)的解析式中，对函数f(x)进行求导，利用导数得到函数f(x)的单调性，进而即可求解；
(2)函数f(x)至少有两个不同的零点，转化成方程−a=lnxx+x+2x至少有两个相异实数根，构造函数g(x)=lnxx+x+2x，即函数g(x)与直线y=a的图象至少有两个交点，对函数g(x)进行求导，结合导数的几何意义以及零点存在性定理进行求解即可．
本题考查利用导数研究函数的单调性和最值，考查了逻辑推理、转化思想和运算能力．ξ
0
1
2
P
x
y3
2y3
X
0
1
2
P
310
610
110
X
0
1
2
3
P
2764
2764
964
164