2022-2023学年河南省开封市五校联考高二（下）期末数学试卷（含详细答案解析）

这是一份2022-2023学年河南省开封市五校联考高二（下）期末数学试卷（含详细答案解析），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.2023《中国好声音》报名即将开始，选手们可通过拨打热线电话或登陆官网两种方式之一来报名.现有甲、乙、丙三人均要报名参加，则不同的报名方法有( )
A. 4种B. 6种C. 8种D. 9种
2.若正实数a、b满足a+2b=1，则当ab取最大值时，a的值是( )
A. 12B. 14C. 16D. 18
3.已知集合A={x||x−1|≤4}，集合B={x|lg3x>1}，则A∩B=( )
A. (0,2)B. [−2,3)C. [0,2)D. (3,5]
4.若幂函数f(x)=(3m2−2m)x3m的图象不经过坐标原点，则实数m的取值为( )
A. 13B. −13C. −1D. 1
5.函数f(x)=ln1−x1+x的图象大致为( )
A. B.
C. D.
6.已知函数f(x)=x2−2ξx+3在(−∞,−1)上单调递减的概率为12，且随机变量ξ∼N(μ,1)，则P(1≤ξ≤2)=(附：若X∼N(μ,σ2)，则P(μ−σ≤X≤μ+σ)=0.6827，P(μ−2σ≤X≤μ+2σ)=0.9545，P(μ−3σ≤X≤μ+3σ)=0.9973)( )
A. 0.1359B. 0.01587C. 0.0214D. 0.01341
7.已知函数f(x)=x2−2x+4,x<232x+1x,x≥2设a∈R，若关于x的不等式f(x)≥|x+a|在R上恒成立，则a的取值范围为( )
A. [−154,32]B. [−154,74]C. [−112,74]D. [−112,32]
8.已知函数f(x)=x2e|x|，a=f(lg23)，b=f(−lg58)，c=f(−21.001)，则a，b，c的大小关系为( )
A. a>c>bB. a>b>cC. c>b>aD. c>a>b
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.有下列式子：
①x<4；
②0③−2④−2其中，可以是x2−2x−8<0的一个充分条件的序号为( )
A. ①B. ②C. ③D. ④
10.下列函数既是偶函数，又在(−∞,0)上是减函数的是( )
A. y=x45B. y=3C. y=lg(x2+1)D. y=x−1x
11.已知函数f(x)=−x2−2|x|+3,x≥−2−2x−11,x<−2若互不相等的实数x1，x2，x3满足f(x1)=f(x2)=f(x3)，则x1+x2+x3的值可以是( )
A. −8B. −7C. −6D. −5
12.已知函数f(x)对∀x∈R都有f(x)=f(x+4)+f(2)，若函数y=f(x+3)的图象关于直线x=−3对称，且对∀x1，x2∈[0,2]，当x1≠x2时，都有(x2−x1)(f(x2)−f(x1))>0，则下列结论正确的是( )
A. f(2)=0B. f(x)是偶函数
C. f(x)是周期为4的周期函数D. f(3)三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知定义在R上的函数f(x)的周期为2，当x∈[0,1]时，f(x)=lg2(x+1)，则f(2023)+f(−2024)=______.
14.已知函数f(x)=x3+3x2+x+9x2+3，且f(m)=10，则f(−m)的值为______.
15.已知实数x>0，y>0，则3x3x+2y+y2x+y的最小值为______.
16.已知函数f(x)的导函数f′(x)满足f′(x)>f(x)在R上恒成立，则不等式e2f(2x−1)−e3xf(1−x)>0的解集是______.
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
设f(x)=lga4⋅lg2(2+x)+2lga(4−x)(a>0,且a≠1).
(1)若f(2)=6，求实数a的值及函数f(x)的定义域；
(2)求函数f(x)的值域.
18.
19.(本小题12分)
已知函数f(x)=4x+1−2x.
(1)求函数f(x)的单调区间；
(2)若g(x)=f(x)−316a2+14a恰有两个零点，求实数a的取值范围.
20.(本小题12分)
为积极响应国家医药卫生体制改革及2023年全国文化科技“三下乡”活动要求，真正让“人民至上”理念落实落地，着力推动优质医疗资源重心下移、力量下沉，不断增强医疗服务的“深度”和“温度”.我市人民医院打算从各科室推荐的6名医生中任选3名去参加“健康送下乡，义诊暖人心”的活动.这6名医生中，外科医生、内科医生、眼科医生各2名.
(1)求选出的外科医生人数多于内科医生人数的概率；
(2)设X表示选出的3人中外科医生的人数，求X的均值与方差.
21.(本小题12分)
已知函数f(x)=(x−a)ex+1−12x2，且曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线与x轴平行.
(1)求实数a的值和f(x)的单调区间；
(2)若f(x1)=f(x2)=f(x3)，且x122.(本小题12分)
已知函数f(2x−1)=8x2−10x.
(1)求f(x)的解析式；
(2)若对任意x∈[−2,2]，f(ex)≤tex−3+e2恒成立，求实数t的取值范围；
(3)已知函数g(x)=f(x)+2x3−(a+2)x2+x+5，其中0答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：根据题意，甲、乙、丙三人都可通过拨打热线电话或登陆官网两种方式之一来报名，
即每人都有2种报名方法，则3人有2×2×2=8种报名方法．
故选：C.
根据题意，分析可得每人都有2种报名方法，由分步计数原理计算可得答案．
本题考查分步计数原理的应用，注意每人都有2种选择方法，属于基础题．
2.【答案】A
【解析】解：因为正实数a、b满足a+2b=1，则a+2b≥2 2ab，可得ab≤18，
当且仅当a=2ba+2b=1时，即当a=2b=12时，等号成立．
故选：A.
利用基本不等式等号成立的条件可求得ab取最大值时a的值．
本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于基础题．
3.【答案】D
【解析】解：因为A={x||x−1|≤4}={x|−4≤x−1≤4}={x|−3≤x≤5}，
B={x|lg3x>1}={x|x>3}，
所以A∩B={x|3故选：D.
先化简集合A，B，再利用交集运算，即可得解．
本题考查了绝对值不等式的解法，对数函数的单调性，交集的运算，考查了计算能力，属于基础题．
4.【答案】B
【解析】解：由于幂函数f(x)=(3m2−2m)x3m的图象不经过坐标原点，
∴3m2−2m=1，且3m≤0，求得m=−13，
故选：B.
由题意利用幂函数的定义和性质，求得m的值．
本题主要考查幂函数的定义和性质，属于基础题．
5.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查函数的图象与性质，一般从函数的单调性、奇偶性或特殊点处的函数值等方面着手思考，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．
先根据函数奇偶性的概念可判断出函数f(x)为奇函数，于是排除选项A和D；再对比选项B和C，只需计算x=12时的函数值y，并与0比较大小即可作出选择．
【解答】
解：因为f(−x)=ln1+x1−x=−ln1−x1+x=−f(x)，
所以f(x)为奇函数，排除选项A和D；
又因为f(12)=ln1−121+12=ln13<0，所以排除选项C.
故答案选：B.
6.【答案】C
【解析】解：根据题意f(x)在(−∞,−1)上单调递减，可得ξ≥−1，
故P(ξ≥−1)=12，
∵ξ∼N(u,1)，
∴μ=−1，
∴P(1≤ξ≤2)=P(−1≤x≤2)−P(−1≤ξ≤1)
=12×[P(−4≤ξ≤2)−P(−3≤ξ≤1)]=12×(0.9973−0.9545)=0.0214.
故选：C.
根据二次函数的单调性可求得P(ξ≥−1)=12，从而可得μ=−1，再根据三段区间法即可求解．
本题主要考查正态分布的对称性，属于基础题．
7.【答案】A
【解析】解：已知函数f(x)=x2−2x+4,x<232x+1x,x≥2，设a∈R，若关于x的不等式f(x)≥|x+a|在R上恒成立，
当x<2时，−x2+2x−4≤x+a≤x2−2x+4，a≥−x2+x−4a≤x2−3x+4，
y1=−x2+x−4=−(x−12)2−154，当x=12时，ymax=−154，
y2=x2−3x+4=(x−32)2+74，当x=32时，y2min=74，则−154≤a≤74，
当x≥2时，−32x−1x≤x+a≤32x+1x，
a≥−52x−1xa≤x2+1x，
y3=−52x−1x=−(52x+1x)≤−2 52(当且仅当x2=25时等号成立)，
当x=2时，y3max=−112,y4=x2+1x≥2 12(当且仅当x2=2时等号成立)，当x=2时，y4min=32，
则−112≤a≤32，
综上，−154≤a≤32.
故选：A.
分类讨论，分别解不等式求出a的取值范围．
本题考查了函数的恒成立问题，属于中档题．
8.【答案】D
【解析】解：f(x)=x2e|x|，定义域是R，
x≥0时，f(x)=x2ex，
f′(x)=(x2+2x)ex≥0，
故f(x)在[0,+∞)递增，
显然f(x)是偶函数，
故b=f(−lg58)=f(lg58)，c=f(−21.001)=f(21.001)，
∵2=lg24>lg23=12lg29>12lg28=32，
lg58=3lg52=32lg54<32，
21.001>2，
∴lg58∴b故选：D.
根据函数的单调性，奇偶性判断即可．
本题考查了函数的单调性，奇偶性问题，考查导数的应用，考查数的大小比较，是中档题．
9.【答案】BCD
【解析】解：由x2−2x−8<0，得−2则取值范围是(−2,4)的子集即可，
则{x|−2∴②③④是x2−2x−8<0的充分条件．
故选：BCD.
解不等式x2−2x−8<0，利用集合的包含关系判断可得出结论．
本题主要考查充分条件和必要条件的应用，求出不等式的等价条件根据不等式解集关系进行判断是解决本题的关键，是基础题．
10.【答案】AC
【解析】解：对于A，由幂函数的性质可知，y=x45为偶函数，在(0,+∞)上单调递增，在(−∞,0)上是减函数，A正确；
对于B，y=3在(−∞,0)上是常函数，不是减函数，B错误；
对于C，由对数函数及复合函数的性质可知，y=lg(x2+1)为偶函数且在(−∞,0)上是减函数，C正确；
对于D，函数y=f(x)=x−1x，满足f(−x)=−f(x)，为奇函数，D错误．
故选：AC.
由已知结合基本初等函数的单调性及奇偶性分别检验各选项即可判断．
本题主要考查了基本初等函数单调性及奇偶性的判断，属于基础题．
11.【答案】CD
【解析】接：根据f(x)解析式作出f(x)的图像，再作y=k交f(x)于三点，横坐标分别为x1，x2，x3，
由图像易知x2+x3=0，所以x1+x2+x3=x1，
令f(x)=−5，解得x1=−3；
令f(x)=3，解得x1=−7；
故x1+x2+x3∈(−7,−3],
故选：CD.
作出分段函数的图像，数形结合分析满足的条件即可求解．
本题主要考查分段函数的性质，属于中档题．
12.【答案】ABC
【解析】解：y=f(x+3)的图象关于直线x=−3对称，故y=f(x)关于y轴对称，f(x)是偶函数，B正确；
f(x)=f(x+4)+f(2)中，令x=−2得：f(−2)=2f(2)，
因为f(−2)=f(2)，所以f(2)=2f(2)，解得：f(2)=0，A正确；
故f(x)=f(x+4)，f(x)是周期为4的周期函数，C正确；
对∀x1，x2∈[0,2]，当x1≠x2时，都有(x2−x1)(f(x2)−f(x1))>0，
故f(x)在[0,2]上单调递增，又f(x)是周期为4的周期函数，且f(x)是偶函数，
故f(0)=f(−4)，f(3)=f(−1)=f(1)，
因为f(1)>f(0)，
所以f(3)>f(−4)，D错误．
故选：ABC.
由y=f(x+3)的图象关于直线x=−3对称，得到y=f(x)关于y轴对称，赋值后得到f(2)=0，进而得到f(x)=f(x+4)，判断出ABC均正确；根据∀x1，x2∈[0,2]，当x1≠x2时，都有(x2−x1)(f(x2)−f(x1))>0，得到f(x)在[0,2]上单调递增，结合函数的周期及奇偶性得到f(0)=f(−4)，f(3)=f(−1)=f(1)，判断出f(3)>f(−4).
本题考查的知识点是函数的奇偶性，函数的周期性，函数值大小的比较，考查逻辑推理能力，属于中档题．
13.【答案】1
【解析】解：根据题意，定义在R上的函数f(x)的周期为2，且当x∈[0,1]时，f(x)=lg2(x+1)，
则f(2023)=f(1)=lg22=1，
同时f(−2024)=f(0)=lg21=0，
故f(2023)+f(−2024)=1+0=1.
故答案为：1.
由周期性可知f(2023)+f(−2024)=f(1)+f(0)，代入函数解析式求值即可．
本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
14.【答案】−4
【解析】解：根据题意，f(x)=x3+3x2+x+9x2+3=x3+xx2+3+3，
令g(x)=x3+xx2+3，函数定义域为R，
∵g(−x)=(−x)3+(−x)(−x)2+3=−x3−xx2+3=−g(x)，∴g(x)为奇函数，∴g(m)+g(−m)=0，
则f(−m)+f(m)=g(−m)+3+g(m)+3=6，f(−m)=6−10=−4.
故答案为：−4.
根据题意，令g(x)=x3+xx2+3，有f(x)=g(x)+3，g(x)为奇函数，则有f(−m)+f(m)=g(−m)+3+g(m)+3=6，可求f(−m)的值．
本题考查函数奇偶性的性质以及应用，涉及函数值的计算，属于基础题．
15.【答案】4 3−6
【解析】解：令m=3x+2yn=2x+y，得x=2n−my=2m−3n，
3x3x+2y+y2x+y=6n−3mm+2m−3nn=6nm+2mn−6
≥2 6nm2mn−6=4 3−6.
当且仅当m= 3n，即(2 3−3)x=(2− 3)y时，取等号，
∴3x3x+2y+y2x+y的最小值为4 3−6.
故答案为：4 3−6.
由换元法和基本不等式的性质直接求解．
本题考查换元法、基本不等式的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
16.【答案】(23,+∞)
【解析】解：令g(x)=f(x)ex，
∵函数f(x)的导函数f′(x)满足f′(x)>f(x)在R上恒成立，
∴g′(x)=f′(x)−f(x)ex>0，即g(x)在R上单调递增，
又e2f(2x−1)−e3xf(1−x)>0，即f(2x−1)e2x−1>f(1−x)e1−x，
∴g(2x−1)>g(1−x)，
又g(x)在R上单调递增，则2x−1>1−x，解得x>23，
∴不等式e2f(2x−1)−e3xf(1−x)>0的解集是(23,+∞).
故答案为：(23,+∞).
由题意构造函数g(x)=f(x)ex，可得g(x)在R上单调递增，将所求不等式转化为g(2x−1)>g(1−x)，利用单调性可解不等式，即可得出答案．
本题考查利用导数研究函数的单调性，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
17.【答案】解：(1)因为f(x)=lga4⋅lg2(2+x)+2lga(4−x)(a>0,a≠1)，且f(2)=6，
所以f(2)=2×2lga2+2lga2=6，解得a=2，
所以f(x)=2lg2(2+x)+2lg2(4−x)的定义域需满足2+x>04−x>0，
解得−2(2)因为lga4lg2(2+x)=lga4lg4(2+x)2=lga(2+x)2，
则f(x)=lga(2+x)2+lga(4−x)2=2lga(−x2+2x+8)=2lga[−(x−1)2+9]，
由−2根据二次函数的性质可得0<−(x−1)2+9≤9，
①当a>1时，y=lgax在(0,+∞)上单调递增，函数f(x)的值域为(−∞,4lga3],
②当0【解析】(1)根据f(2)=2×2+2lga2=6，解出a值，再根据对数真数大于0即可求出其定义域；
(2)对原函数化简得f(x)=2lga[−(x−1)2+9]，再结合复合函数的单调性和值域对a进行分类讨论即可．
本题考查了对数的换底公式，对数的运算性质，对数的定义域，配方求二次函数值域的方法，对数函数的单调性，考查了计算能力，属于中档题．
18.【答案】

【解析】
19.【答案】解：(1)由题意得函数f(x)的定义域为R，
令2x=t，t∈(0,+∞)，则f(t)=4t2−t=4(t−18)2−116，
∴f(t)在(0,18)上单调递减，f(t)在(18,+∞)上单调递增，
又t=2x是单调递增函数，∴2x≤18，解得x≤−3，
∴f(x)的单调递减区间为(−∞,−3)，单调递增区间为(−3,+∞)；
(2)令2x=t，t∈(0,+∞)，
g(x)=f(x)−316a2+14a恰有两个不同的零点，即y=4t2−t−316a2+14a在(0,+∞)上恰有两个不同的零点，
令y=4t2−t−316a2+14a=0，
∴Δ=1−4×4(−316a2+14a)>0−316a2+14a>0，解得0故实数a的取值范围是(0,13)∪(1,43).
【解析】(1)令2x=t，t>0，利用复合函数单调性，即可得出答案；
(2)利用判别式和韦达定理即可得到Δ>0−316a2+14a>0，求解即可得出答案．
本题考查利用导数研究函数的单调性，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
20.【答案】解：(1)易知推荐的6名医生中任选3名去参加活动基本事件总数n=C63=20，
在这6名医生中，外科医生2名，内科医生2名，眼科医生2名，
记“选出的外科医生人数多于内科医生人数”为事件A，
记“恰好选出1名外科医生和2名眼科医生”为事件B，
记“恰好选出2名外科医生”为事件C，
因为B，C互斥，且A=B∪C，
所以P(B)=C21C22C63=110，P(C)=C22C41C63=15，
则选出外科医生人数多于内科医生人数的概率P=P(B)+P(C)=110+15=310；
(2)易知X的所有取值为0，1，2，
此时P(X=0)=C20C43C63=15，P(X=1)=C21C42C63=35，P(X=2)=C22C41C63=15，
所以E(X)=0×15+1×35+2×15=1，D(X)=(0−1)2×15+(1−1)2×35+(2−1)2×15=25.
【解析】(1)由题意，先得到所有基本事件数，再分别求出“选出的外科医生人数多于内科医生人数”包含的各事件的概率，利用互斥事件的加法公式进行求解即可；
(2)得到X的所有取值，求出相对应的概率，代入期望公式和方差公式进行求解即可．
本题考查离散型随机变量的期望和方差，考查了逻辑推理和运算能力．
21.【答案】解：(1)∵f(x)=(x−a)ex+1−12x2，
∴f′(x)=(x−a+1)ex+1−x，
由题可知f′(0)=0，即(−a+1)e=0，∴a=1，
∵f′(x)=xex+1−x=x(ex+1−1)，
∴当x<−1或x>0时，f′(x)>0，当−1∴f(x)的单调递增区间为(−∞,−1)和(0,+∞)，单调递减区间为(−1,0)；
(2)证明：由(1)可知x1<−1设g(x)=f(x)−f(−x)，−1∵−1∴g′(x)>0，
∴g(x)在(−1,0)上单调递增，
∵g(0)=0，
∴g(x)<0在(−1,0)上恒成立，即f(x)∵x2∈(−1,0)，
∴f(x2)∵f(x3)=f(x2)，
∴f(x3)∵f(x)在(0,+∞)上单调递增，且x3，−x2∈(0,+∞)，
∴x3<−x2，即x2+x3<0.
【解析】(1)对f(x)求导，由f′(0)=0可求出实数a的值，结合导数与单调性关系即可求解f(x)的单调区间；
(2)构造函数g(x)=f(x)−f(−x)，利用导数判断g(x)的单调性，得到g(x)<0在(−1,0)上恒成立，即可证明f(x3)本题考查导数的几何意义，考查利用导数研究函数的单调性，极值及最值，考查不等式的证明，考查逻辑推理能力及运算求解能力，属于中档题．
22.【答案】解：(1)∵f(2x−1)=8x2−10x=2(2x−1)2−(2x−1)−3，
∵f(x)=2x2−x−3；
(2)由f(ex)≤tex−3+e2⇒2e2x−ex−3≤tex−3+e2⇒t≥2e2x−ex−e2ex=2ex−1−e2ex，即t≥(2ex−1−e2ex)max，
令ex=m，则m∈[e−2,e2]，
设φ(m)=2m−e2m−1，则φ′(m)=2+e2m2>0，
故φ(m)在区间[e−2,e2]上单调递增，
∴φmax=φ(e2)=2e2−2，
故t的取值范围为[2e2−2,+∞)；
(3)g(x)=2x2−x−3+2x3−(a+2)x2+x+5=2x3−ax2+2，g′(x)=6x2−2ax=6x(x−a3)，由g′(x)<0可得0由g′(x)>0可得x>a3，则函数g(x)在区间[0,a3)上单调递减，在(a3,1]上单调递增，
所以当x∈[0,1]时，n=g(a3)=2−a327，
又∵g(0)=2，g(1)=4−a，当g(0)=g(1)时，a=2，∴N=4−a,0令N−n=h(a)，
当a∈(0,2]时，h(a)=4−a−(2−a327)=a327−a+2,h′(a)=19a2−1，
∵a∈(0,2),h′(a)<0,h(a)∈[827,2),N−n∈[827,2),
当a∈(2,3)时，h(a)=2−(2−a327)=a327∈(827,1),N−n∈(827,1)，
综上所述，N−n的取值范围[827,2).
【解析】(1)利用凑配法，求函数的解析式；
(2)化简不等式，并转化为t≥(2ex−1−e2ex)max，通过换元转化为求函数的最大值，即可求t的取值范围；
(3)首先化简函数g(x)=2x3−ax2+2，利用导数求函数的最大值和最小值，设N−n=h(a)，分情况讨论求函数的取值范围．
本题主要考查函数解析式的求法，不等式恒成立求参数范围问题，利用导数求函数的最值，考查运算求解能力，属于中档题．