2022-2023学年江西省九江市高二（下）期末数学试卷（含详细答案解析）

这是一份2022-2023学年江西省九江市高二（下）期末数学试卷（含详细答案解析），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知集合A={x∈N|x<2}，则集合A的子集个数为( )
A. 1B. 2C. 4D. 8
2.已知命题p：∀x∈R，2023x+x2024>0，则p的否定是( )
A. ∀x∈R，2023x+x2024≤0B. ∃x∈R，2023x+x2024<0
C. ∃x∈R，2023x+x2024≤0D. ∃x∈R，2023x+x2024≠0
3.函数f(x)= x+x−3的零点所在区间是( )
A. (0,1)B. (1,2)C. (2,3)D. (3,4)
4.函数f(x)=x24−x+4x的部分图象大致为( )
A. B.
C. D.
5.中国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题：“某贾人擅营，月入益功疾(注：从第2个月开始，每月比前一月多入相同量的铜钱)，第3月入25贯，全年(按12个月计)共入510贯”，则该人第11月营收贯数为( )
A. 64B. 65C. 68D. 70
6.设a=0.20.5，b=0.040.1，c=lg0.50.2，则( )
A. a>c>bB. b>c>aC. c>a>bD. c>b>a
7.已知函数f(x)=lnx−2kx−1，当2≤x1A. [116,+∞)B. [14,+∞)C. (14,+∞)D. [12,+∞)
8.北京时间2023年2月10日0时16分，经过约7小时的出舱活动，神舟十五号航天员费俊龙、邓清明、张陆密切协同，圆满完成出舱活动全部既定任务，出舱活动取得圆满成功.载人飞船进入太空需要搭载运载火箭，火箭在发射时会产生巨大的噪声，已知声音的声强级d(x)(单位：dB)与声强x(单位：W/m2)满足关系式：d(x)=10lgx10−12，若某人交谈时的声强级约为60dB，且火箭发射时的声强与此人交谈时的声强的比值约为107.8，则火箭发射时的声强级约为( )
A. 125dBB. 132dBC. 138dBD. 156dB
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.已知b>a>0，则下列不等式一定成立的是( )
A. b2>a2B. ab>a2C. −1b<−1aD. ba−1>0
10.已知幂函数f(x)=(m−2)xm2−2m，则( )
A. m=1
B. f(x)的定义域为R
C. f(−x)=−f(x)
D. 将函数f(x)的图象向左平移1个单位长度得到函数g(x)=(x−1)3的图象
11.已知函数f(x)=xex−2ex+2，则( )
A. f(x)恰有2个极值点B. f(x)在(1,+∞)上单调递增
C. f(−0.1)>f(0.2)D. f(x)的值域为[2−e,+∞)
12.提丢斯-波得定则是关于太阳系中行星轨道的一个简单的几何学规则，它是在1766年由德国的一位中学老师戴维⋅提丢斯发现的，后来被柏林天文台的台长波得归纳成一个经验公式来表示，即数列{an}：0.4，0.7，1，1.6，2.8，5.2，10，19.6，…，表示的是太阳系第n颗行星与太阳的平均距离(以天文单位AU为单位).现将数列{an}的各项乘以10后再减4得到数列{bn}，可以发现数列{bn}从第3项起，每项是前一项的2倍，则下列说法正确的是( )
A. 数列{bn}的通项公式为bn=3×2n−2
B. 数列{an}的第20项为0.3×220+0.4
C. 数列{an}的前10项和为157.3
D. 数列{nbn}的前n项和Tn=3(n−1)⋅2n−1
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知函数f(x)=x2+1x，则f(x)的图象在点(2,f(2))处的切线的斜率为______.
14.已知m=2，n=3，则elnn+lg2(mn)−lg2n−(827)mn的值为______.
15.在中国，周朝时期的商高提出了“勾三股四弦五”的勾股定理的特例，其中“弦”指的是直角三角形的斜边.现将两个全等的直角三角形拼接成一个矩形，若其中一个三角形“弦”的长度为2 2，则该矩形周长的最大值为______.
16.长征五号B运载火箭是专门为中国载人航天工程空间站建设而研制的一款新型运载火箭，是中国近地轨道运载能力最大的新一代运载火箭，长征五号有效载荷整流罩外形是冯⋅卡门外形(原始卵形)+圆柱形，由两个半罩组成.某学校航天兴趣小组制作的整流罩模型近似于一个圆柱和圆锥组成的几何体，如图所示，若圆锥的母线长为 3，且圆锥的高与圆柱高的比为1：4，则该模型体积的最大值为______.
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
已知等差数列{an}的前n项和为Sn，S3=a1+a5+3=21.
(1)求{an}的通项公式；
(2)记数列{1anan+1}的前n项和为Tn，求Tn.
18.(本小题12分)
已知定义在[−m,2m−3]上的函数f(x)=mx2−nx−3m+n是偶函数.
(1)求m，n的值；
(2)求函数f(x)在其定义域上的最值.
19.(本小题12分)
已知集合A={x|x2−3x−10<0}，B={x|2−m≤x≤2+m,m>0}.
(1)若m=4，求A∪B及(∁RA)∩B；
(2)若“x∈A“是“x∈B“成立的______，求实数m的取值范围.
从“①充分不必要条件，②必要不充分条件”中任选一个，填在上面横线上并进行作答.注：如选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
20.(本小题12分)
已知函数f(x)=x3−32x2+3−a,a∈R.
(1)求f(x)的极大值与极小值之差；
(2)若函数f(x)在区间(0,3]上恰有2个零点，求a的取值范围.
21.(本小题12分)
若数列{an}满足an+1=an2，则称数列{an}为“平方递推数列”.已知数列{an}中，a1=8，点(an,an+1)在函数f(x)=x2+4x+2的图象上，其中n为正整数.
(1)证明：数列{an+2}是“平方递推数列”，且数列{lg(an+2)}为等比数列；
(2)设bn=lg(an+2)，cn=2n+7，dn={bn,n为奇数cn,n为偶数，求数列{dn}的前10项和S10.
22.(本小题12分)
已知函数f(x)=2lnx−12mx2+1(m∈R).
(1)当m=1时，证明：f(x)<1；
(2)若关于x的不等式f(x)<(m−2)x恒成立，求整数m的最小值.
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：∵A={x∈N|x<2}，则A={0,1}，
其子集为⌀，{0}，{1}，{0,1}.
故选：C.
将集合A确定下来，然后根据子集的定义确定子集．
本题考查子集的定义，属于基础题．
2.【答案】C
【解析】解：根据含有量词的命题的否定可知，p的否定是：∃x∈R，2023∘+x224≤0.
故选：C.
根据含有量词的命题的否定即可求解．
本题主要考查了含有量词的命题的否定，属于基础题．
3.【答案】B
【解析】解：由题意得f(x)在[0,+∞)上单调递增，
又f(1)=−1<0,f(2)= 2−1>0，
∴f(x)的零点在区间(1,2)，
故选：B.
根据函数的单调性、零点存在性定理，即可得出答案．
本题考查函数零点的判定定理，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．
4.【答案】C
【解析】解：根据题意，函数f(x)=x24−x+4x，其定义域为R，
有f(−x)=x24−x+4x=f(x)，f(x)为偶函数，排除A、B，
又由4x+4−x>0，故定义域上，f(x)≥0，排除D.
故选：C.
根据题意，先分析f(x)的奇偶性，排除A、B，再分析f(x)的取值范围，排除D，即可得答案．
本题考查函数的图象分析，涉及函数的奇偶性和单调性分析，属于基础题．
5.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查等差数列的实际应用，属于基础题.
先根据题意将该人每个月的收入铜钱的贯数构成一个数列{an}，进一步判断出数列{an}是一个等差数列，设等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，再根据题干已知条件列出关于a1与公差d的方程组，解出a1与d的值，最后根据等差数列的通项公式即可计算出a11的值，即该人第11月营收贯数．
【解答】
解：由题意，可将该人每个月的收入铜钱的贯数构成一个数列{an}，
∵从第2个月开始，每月比前一月多入相同量的铜钱，
∴数列{an}是一个等差数列，
设等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，
则有a3=25，S12=510，
即a1+2d=2512a1+12×112d=510，
整理，得a1+2d=252a1+11d=85，
解得a1=15d=5，
∴该人第11月营收贯数为a11=a1+10d=15+10×5=65.
故选：B.
6.【答案】D
【解析】解：由题意可知a<0.20=1，b<0.040=1，c>，
又a=(0.25)0.1=(13125)0.1<0.040.1，
即a所以c>b>a.
故选：D.
选取合适的中间数进行比较．
本题主要考查对数的大小比较，属中档题．
7.【答案】B
【解析】解：f′(x)=1x−2k，
依题意可得f(x)在区间[2,8]上单调递减，
则f′(x)≤0在区间[2,8]上恒成立，
所以1x−2k≤0在区间[2,8]上恒成立，
所以12x≤k在区间[2,8]上恒成立，
当x=2时，y=12x取得最大值14，
所以k≥14，
所以k的取值范围是[14,+∞),
故选：B.
根据题意可得f′(x)≤0在区间[2,8]上恒成立，12x≤k在区间[2,8]上恒成立，只需k≥(12x)max，即可得出答案．
本题考查导数的综合应用，解题中注意转化思想的应用，属于中档题．
8.【答案】C
【解析】解：设人交谈时的声强为x1/m2，根据题意得到火箭发射时的声强为107.8x1，
而且60=10lgx110−12，
所以得到x1=10−6，
故火箭发射时的声强约为107.8×10−6=101.8W/m2，
将其代入d(x)=10lgx10−12中，
得d(101.8)=10lg101.810−12=138B，
故火箭发射时的声强级约为138dB，
故选：C.
由指数与对数的互化关系结合函数关系式计算即可．
本题主要考查根据实际问题选择合适的函数模型，属于中档题．
9.【答案】ABD
【解析】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，b2−a2=(b−a)(b+a)>0，则有b2>a2，A正确；
对于B，ab−a2=a(b−a)>0，则有ab>a2，B正确；
对于C，(−1b)−(−1a)=1a−1b=b−aab>0，则有(−1b)>(−1a)，C错误；
对于D，ba−1=b−aa>0，则D正确．
故选：ABD.
根据题意，依次分析选项，由作差法比较不等式的大小，综合可得答案．
本题考查不等式的性质以及应用，涉及不等式大小的比较，属于基础题．
10.【答案】BC
【解析】解：由幂函数f(x)=(m−2)xm2−2m，幂函数的定义可知m−2=1，所以m=3.
所以f(x)=x3，其定义域为R，故A错误，B正确．
由于(x)=x3为奇函数，所以f(−x)=−f(x)，故C正确．
将(x)=x3的图象向左平移1个单位长度得到函数y=(x+1)3的图象，故D错误．
故选：BC.
由题意，利用幂函数的定义和性质，逐一判断各个选项是否正确，从而得出结论．
本题主要考查幂函数的定义和性质，属于基础题．
11.【答案】BCD
【解析】解：∵f(x)=xex−2ex+2，
∴f′(x)=(x+1)ex−2ex=(x−1)ex，
令f′(x)=0，得x=1，
当x∈(−∞,1)时，f′(x)<0，此时f(x)单调递减，
当x∈(1,+∞)时，f′(x)>0，此时f(x)单调递增，
故f(x)恰有一个极小值点1，无极大值点，A错误，B正确；
由f(x)在(−∞,1)上单调递减，可知f(−0.1)>f(0.2)，C正确；
由于f(x)min=f(1)=2−e，而当x趋近于∞时，f(x)趋近于+∞，
故f(x)的值域为[2−e,+∞),D正确．
故选：BCD.
求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值，最值，值域，判断函数值的大小．
本题考查了函数的单调性，极值，最值问题，考查导数的应用以及转化思想，是中档题．
12.【答案】CD
【解析】【分析】
本题考查了分段数列求和及利用错位相减法求和，是中档题．
由题意，数列{bn}：从第2项起构成首项为3，公比为2的等比数列，所以bn=0,n=1,3×2n−2,n≥2,，从而an=bn+410=0.4,n=1,0.3×2n−2+0.4,n≥2,然后结合数列的前n项和公式求解．
【解答】
解：由题意，数列{an}各项乘以10后再减4得到数列{bn}：0，3，6，12，24，48，96，192，…，
故该数列从第2项起构成首项为3，公比为2的等比数列，所以bn=0,n=1,3×2n−2,n≥2,故A错误；
从而an=bn+410=0.4,n=1,0.3×2n−2+0.4,n≥2,所以a20=0.3×218+0.4，故B错误；
数列{an}的前10项和为
S10=a1+a2+⋅⋅⋅+a10
=0.4+0.3×(20+21+⋅⋅⋅+28)+0.4×(10−1)
=4+0.3×1−291−2
=4+0.3×29−0.3
=157.3，故C正确；
因为nbn=0,n=1,3n⋅2n−2,n≥2,
所以当n=1时，T1=b1=0，
当n≥2时，
Tn=b1+2b2+3b3+⋅⋅⋅+nbn
=0+3×(2×20+3×21+4×22+⋅⋅⋅+n×2n−2)，
2Tn=0+3×(2×21+3×22+⋅⋅⋅+n×2n−1)，
所以−Tn=3×(2+21+22+⋅⋅⋅+2n−2−n⋅2n−1)
=3×(2+2−2n−11−2−n⋅2n−1)
=3(1−n)⋅2n−1，
则Tn=3(n−1)⋅2n−1，
当n=1时，T1=0满足上式.
综上，Tn=3(n−1)⋅2n−1，n∈N*.
故D正确.
故选：CD.
13.【答案】154
【解析】解：由f(x)=x2+1x，得f′(x)=2x−1x2，
∴f′(2)=4−14=154，即f(x)的图象在点(2,f(2))处的切线的斜率为154.
故答案为：154.
求出原函数的导函数，得到函数在x=2时的导数值得答案．
本题考查导数的几何意义及应用，是基础题．
14.【答案】329
【解析】解：因为m=2，n=3，
所以elnn+lg2(mn)−lg2n−(827)mn=3+lg2(2×3)−lg23−(827)23=3+1−49=329.
故答案为：329.
由已知结合指数及对数的运算性质即可求解．
本题主要考查了指数及对数的运算性质，属于基础题．
15.【答案】8
【解析】解：设矩形的一组邻边长为a，b，则该矩形的周长为(a+b)，a2+b2=8，
a2+b2=(a+b)2−2ab≥(a+b)2−2×(a+b2)2=(a+b)22，
即a+b≤ 2(a2+b2)=4，当且仅当a=b=2时取等号，
所以2(a+b)≤8，即该矩形周长的最大值为8.
故答案为：8.
设矩形的一组邻边长为a，b，则该矩形的周长为2(a+b)且a2+b2=8，由基本不等式的结论可求a+b的范围，进而可求．
本题主要考查了基本不等式及相关结论在最值求解中的应用，属于基础题．
16.【答案】26π3
【解析】解：设圆锥与圆柱底面圆的半径为r，又圆锥的母线长为 3，
∴圆锥的高为 3−r2，圆柱的高为4 3−r2，(0∴该模型的体积V=13πr2⋅ 3−r2+πr2⋅4 3−r2=133πr2⋅ 3−r2
=26π3 r22⋅r22⋅(3−r2)≤26π3 (r22+r22+3−r23)3=26π3，
当且仅当r22=3−r2，即r= 2时取得等号，
∴该模型的体积最大值为26π3.
故答案为：26π3.
设圆锥与圆柱底面圆的半径为r，根据题意将该模型的体积表示为r的函数，再由基本不等式求最值得答案．
本题考查函数思想，基本不等式的应用，属中档题．
17.【答案】解：(1)设等差数列{an}的公差为d，
由S3=a1+a5+3=21，可得2a1+4d=18，
又3a1+3d=21，
解得a1=5，d=2，
所以an=a1+(n−1)d=5+2(n−1)=2n+3；
(2)1anan+1=1(2n+3)(2n+5)=12(12n+3−12n+5)，
所以Tn=12(15−17+17−19+...+12n+3−12n+5)
=12(15−12n+5)=110−14n+10.
【解析】(1)设等差数列{an}的公差为d，由等差数列的通项公式和求和公式，解方程可得首项和公差，进而得到所求；
(2)由数列的裂项相消求和，化简可得所求和．
本题考查等差数列的通项公式和数列的裂项相消求和，考查方程思想和运算能力，属于中档题．
18.【答案】解：(1)∵f(x)=mx2−nx−3m+n是定义在[−m,2m−3]上的偶函数，
∴−m+2m−3=0，解得m=3；
∴f(x)=3x2−nx−9+n，由f(−x)=f(x)得3x2+nx−9+n=3x2−nx−9+n，即2nx=0，
∴n=0；
(2)由(1)得f(x)=3x2−9，其定义域为[−3,3]，
∵f(x)在[0,3]上单调递增，在[−3,0]上单调递减，
∴当x=0时，f(x)取得最小值f(0)=−9；
当x=±3时，f(x)取得最大值f(±3)=3×9−9=18.
【解析】(1)利用偶函数的定义域关于原点对称，可得−m+2m−3=0，解得m，再由f(−x)=f(x)求得n；
(2)由(1)得f(x)=3x2−9，其定义域为[−3,3]，利用二次函数的性质可求得函数f(x)在其定义域上的最值．
本题考查函数奇偶性的性质与判断，属于基础题．
19.【答案】解：(1)由已知得A=(−2,5)，∁RA=(−∞,−2]∪[5,+∞)，
当m=4时，B=[−2,6]，
所以A∪B=[−2,6]，
所以(∁RA)∩B={−2}∪[5,6]；
(2)若选①：“x∈A”是“x∈B”成立的充分不必要条件，则A⫋B，
所以m>02−m≤−22+m≥5，
解得m≥4，
所以实数m的取值范围是[4,+∞)；
若选②：因为“x∈A”是“x∈B”成立的必要不充分条件，所以B⫋A，
所以m>02−m>−22+m<5，
解得0所以实数m的取值范围是(0,3).
【解析】(1)根据集合的基本运算求解；
(2)若选①，则A是B的真子集，从而得到关于m的不等式，求出m的取值范围即可；若选②，所以B是A的真子集，从而得到关于m的不等式，求出m的取值范围即可．
本题主要考查了集合的基本运算，考查了充分条件和必要条件的定义，属于中档题．
20.【答案】解：(1)由f(x)=x3−32x2+3−a，得f′(x)=3x2−3x=3x(x−1)，
令f′(x)=0，解得x=0或x=1.
当x∈(−∞,0)∪(1,+∞)时，f′(x)>0，可得f(x)的单调递增区间为(−∞,0)，(1,+∞)；
当x∈(0,1)时，f′(x)<0，f(x)单调递减．
∴f(x)的极大值为f(0)=3−a，极小值为f(1)=52−a，
∴f(x)的极大值与极小值之差为3−a−(52−a)=12；
(2)由(1)可知f(x)在(0,1)上单调递减，在(1,3]上单调递增，
又f(0)=3−a，f(1)=52−a，f(3)=332−a，
且函数f(x)在(0,3]上恰有2个不同的零点，
∴3−a>052−a<0，解得52∴实数a的取值范围为(52,3).
【解析】(1)求出原函数的导函数，利用导数可得函数的单调性与极值，从而可得f(x)的极大值与极小值之差；
(2)由(1)可得f(x)在区间(0,3]上的单调性，求出f(0)、f(1)、f(3)的值，结合题意可得关于a的不等式组，求解得答案．
本题考查利用导数研究函数的单调性与极值，考查运算求解能力，是中档题．
21.【答案】(1)证明：因为点(an,an+1)在函数f(x)=x2+4x+2的图象上，
所以an+1=an2+4an+2，
即an+1+2=(an+2)2，
即数列{an+2}是“平方递推数列”，
又a1=8，
则 lg(a1+2)=lg(8+2)=1>0，
对an+1+2=(ax+2)2两边同时取对数得lg(an+1+2)=2lg(an+2)，
∴数列{lg(an+2)}是以1为首项、2为公比的等比数列；
(2)解：由(1)知bn=lg(an+2)=2n−1，
所以S10=(b1+b3+b5+b7+b9)+(c2+c4+c6+c8+c10)
=1−451−4+(2×2+7+2×10+7)×52
=13×(1024−1)+95
=436.
【解析】(1)由数列递推式可得an+1+2=(an+2)2，两边同时取对数得lg(an+1+2)=2lg(an+2)，得证；
(2)结合等差数列及等比数列的求和公式求解即可．
本题考查了利用数列递推式求数列的通项公式，重点考查了等差数列及等比数列的求和公式，属中档题．
22.【答案】解：(1)证明：当m=1时，f(x)=2lnx−12x2+1，函数定义域为(0,+∞)，
可得f′(x)=2x−x=2−x2x，
当00，f(x)单调递增；
当x> 2时，f′(x)<0，f(x)单调递减，
所以当x= 2时，函数f(x)取得极大值也是最大值，最大值f( 2)=ln2，
则f(x)≤ln2，
又ln2所以f(x)<1；
(2)若关于x的不等式f(x)<(m−2)x恒成立，
不妨设g(x)=f(x)−(m−2)x=2lnx−12mx2+(2−m)x+1，函数定义域为(0,+∞)，
可得g′(x)=2x−mx+(2−m)=−mx2+(2−m)x+2x，
当m≤0时，g′(x)>0，g(x)单调递增，
又g(1)=−32m+3>0，
此时关于x的不等式g(x)<0不成立；
当m>0时，
因为g′(x)=−mx2+(2−m)x+2x=−m(x+1)(x−2m)x，
当00，g(x)单调递增；
当x>2m时，g′(x)<0，g(x)单调递减，
所以g(x)≤g(2m)=2m−2lnm+2ln2−1，
不妨设h(m)=2m−2lnm+2ln2−1，函数定义域为(0,+∞)，
可得h′(m)=−2m2−2m<0，
所以函数h(m)单调递减，
又h(1)=1+2ln2>0，h(2)=0，h(3)=2ln2−2ln3−<0，
所以当m≥3时，h(m)<0，
故整数m的最小值为3.
【解析】(1)由题意，将m=1代入函数f(x)解析式中，对函数f(x)进行求导，利用导数得到函数f(x)的单调性和最值，进而即可求解；
(2)构造函数g(x)=f(x)−(m−2)x，将问题转化成关于x的不等式g(x)<0恒成立，分别讨论当m≤0和m>0这两种情况，结合导数的几何意义进行求解即可．
本题考查利用导数研究函数的单调性和最值，考查了逻辑推理、转化思想和运算能力．