2022-2023学年山东省临沂市高二（下）期末数学试卷（含详细答案解析）

这是一份2022-2023学年山东省临沂市高二（下）期末数学试卷（含详细答案解析），共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知集合A={−1,1,2,4}，B={x||x−1|≤1}，则A∩B=( )
A. {−1,2}B. {1,2}C. {1,4}D. {−1,4}
2.已知命题p：∀x>0，ln(x+1)>0，则¬p为( )
A. ∀x>0，ln(x+1)≤0B. ∃x>0，ln(x+1)≤0
C. ∀x<0，ln(x+1)≤0D. ∃x≤0，ln(x+1)≤0
3.已知(x−1)7=a0+a1x+a2x2+⋯+a7x7，则a1+a2+…+a7=( )
A. −1B. 0C. 1D. 2
4.函数f(x)的导函数为y=f′(x)，则f′(x)=0有解是f(x)有极值的( )
A. 充要条件B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件
5.二维码与生活息息相关，我们使用的二维码主要是21×21大小的，即441个点，根据0和1的二进制编码，一共有2441种不同的码.假设我们1秒钟用掉1亿个二维码，1万年约为3×1011秒，那么大约可以用(参考数据：lg2≈0.3，lg3≈0.5)( )
A. 201万年B. 10201万年C. 113万年D. 10113万年
6.将六位数“724051”重新排列后得到不同的六位偶数的个数为( )
A. 312B. 216C. 180D. 152
7.如图是函数f(x)的导函数的图象，则f(x)的图象大致为( )
A.
B.
C.
D.
8.若a>0，b>0，且(4a−1)(b−1)=4，则( )
A. ab的最小值为52B. ab的最大值为94
C. 4a+b的最小值为6D. a+b的最大值为72
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.已知随机变量X∼N(10,52)，Y∼N(12,32)，则( )
A. P(X≤15)=P(Y≤15)B. P(X≤20)>P(Y≤20)
C. P(X≥0)>P(Y≤9)D. P(X≥25)>P(Y≥25)
10.已知随机变量X∼B(n,13)，则下列结论正确的是( )
A. 若n=8，则E(X)=83B. 若n=9，则E(X+1)=6
C. 若D(2X+1)=8，则n=9D. 若D(X+2)=6，则n=18
11.已知事件A，B满足P(A)=0.6，P(B)=0.3，则下列结论正确的是( )
A. 若B⊆A，则P(AB)=0.6B. 若A与B互斥，则P(A∪B)=0.9
C. 若P(B|A)=0.3，则A与B相互独立D. 若A与B相互独立，则P(AB−)=0.8
12.对∀x∈R，[x]表示不超过x的最大整数，例如：[−3.5]=−4，[2.1]=2，[1]=1，且有性质①∀x∈R，0≤x−[x]<1，性质②[x+1]=[x]+1，性质③[x]+[−x]=−1(x∉Z).十八世纪，函数y=[x]被“数学王子”高斯采用，因此得名为高斯函数，人们更习惯称之为“取整函数”.已知函数f(x)=(x−4[x+24])2−1，则( )
A. f(x)为偶函数B. f(x)的值域为[−1,3]
C. f(x)在[0,4]单调D. ∀x∈R，f(x+4)=f(x)
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.若(x−a)(1+2x)5的展开式中x3的系数为60，则实数a=______.
14.从3，4，5，6，7，8，9中任取两个不同的数，事件A为“取到的两个数的和为偶数”，事件B为“取到的两个数均为偶数”，则P(B|A)=______.
15.核桃与扁桃、腰果、榛子并称为世界著名的“四大干果”，它的种植面积很广，但因地域不一样，种植出来的核桃品质也有所不同.现已知甲、乙两地盛产核桃，甲地种植的核桃空壳率为4%，乙地种植的核桃空壳率为6%.将两地种植出来的核桃混放在一起，已知甲地和乙地核桃数分别占总数的45%，55%，从中任取一个核桃，则该核桃是空壳的概率为__________.
16.若函数f(x)满足f(x)=f(x+5π3)且f(π6+x)=f(π6−x)，则称f(x)为M函数.已知h(x)，g(x)均为M函数，当x∈[π6,π]时，h(x)=sinx，g(x)=(e3)x，则方程h(x)=g(x)在[−2π3,8π3]上所有根的和为______.(参考数据：ln2≈0.693，ln3≈1.099)
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
某食品加工厂拟购买一批智能机器人生产花生油，以提高生产效率，降低生产成本.已知购买x台机器人的总成本为f(x)=112x2+x+3(单位：万元).
(1)要使所购买的机器人的平均成本最低，应购买多少台机器人？
(2)现将按(1)所求得的数量购买的机器人全部投入生产，并安排m名工人操作这些机器人(每名工人可以同时操作多台机器人).已知每名工人操作水平无差异，但每台机器人每日生产花生油的质量Q(单位：吨)与操作工人的人数有关，且满足关系式：Q(m)=14m(12−m),1≤m≤69,m>6.求引进机器人后，每台机器人日生产量达到最大值时，操作工人的人数m的最小值.
18.(本小题12分)
近几年，大健康产业快速兴起，现已成为国民经济新的增长点，受益于人们对健康认识的增强和新媒体的发展，很多健康产业迎来了史无前例的发展与机遇.某按摩椅厂家的一个经销商进行网络直播带货，通过5次试销得到销量y(单位：台)与销售单价x(单位：千元)的数据如下：
(1)根据以上数据，求y关于x的经验回归方程；
(2)若使每次直播带货销量不低于41台，预估销售单价最多是多少？
参考公式：①r=i=1n(xi−x−)(yi−y−) i=1n(xi−x−)2②a =y−−b x−.参考数据：i=15xiyi=409，i=15xi2=205.2.
19.(本小题12分)
已知函数f(x)=xex−1.
(1)判断f(x)的单调性，并求f(x)的极值；
(2)若函数g(x)=f(x)−a(a∈R)，求g(x)的零点个数.
20.(本小题12分)
为了解某班学生喜欢下中国象棋是否与性别有关，现对本班50名同学问卷调查分析，得到如下的2×2列联表：
(1)补全2×2列联表，根据小概率值α=0.001的独立性检验，能否认为喜欢下中国象棋与性别有关联？
(2)现从该班喜欢下中国象棋的同学中，按性别采用比例分配的分层抽样的方法抽取6人，然后从这6人中随机抽取2人，记这2人中喜欢下中国象棋的女同学人数为X，求X的分布列和数学期望.
附：χ2=n(ad−bc)2(a+c)(b+d)(a+b)(c+d)，其中n=a+b+c+d.
21.(本小题12分)
已知函数f(x)=lnx−x.
(1)求f(x)的图象在x=1处的切线方程；
(2)证明：∃ξ∈(a,b)(其中a>0)，使得f(b)−f(a)b−a=1ξ−1.
22.(本小题12分)
甲、乙两人组团参加答题挑战赛，规定：每一轮甲、乙各答一道题，若两人都答对，该团队得1分；只有一人答对，该团队得0分；两人都答错，该团队得−1分.假设甲、乙两人答对任何一道题的概率分别为23，12.
(1)记X表示该团队一轮答题的得分，求X的分布列及数学期望E(X)；
(2)假设该团队连续答题n轮，各轮答题相互独立，记P表示“没有出现连续三轮每轮得1分”的概率.
①求P3，P4的值；
②若Pn=aPn−1+bPn−2+cPn−3(n≥4)，求a，b，c.
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：|x−1|≤1，解得：0≤x≤2，
∴集合B={x|0≤x≤2}
∴A∩B={1,2}.
故选：B.
解不等式求集合B，再根据集合的运算求解即可．
本题主要考查集合的基本运算，利用集合的关系是解决本题的关键．
2.【答案】B
【解析】解：命题p：∀x>0，ln(x+1)>0，则¬p为∃x>0，ln(x+1)≤0.
故选：B.
利用全称命题的否定是特称命题，写出结果即可．
本题考查命题的否定，注意量词的变化，是基础题．
3.【答案】C
【解析】解：∵(x−1)7=a0+a1x+a2x2+⋯+a7x7，
令x=0可得：−1=a0，
令x=1可得：a0+a1+a2+…+a7=0，
∴a1+a2+…+a7=1，
故选：C.
在所给的等式中，分别x=0，x=1，可得结论．
本题主要考查二项式定理的应用，注意根据题意，分析所给代数式的特点，通过给二项式的x赋值，求展开式的系数和，可以简便的求出答案，属于基础题．
4.【答案】C
【解析】解：函数y=f(x)可导，则“f′(x)=0有实根”无法得出“f(x)有极值”，只有f′(x)=0的两侧导数符号发生变化，才有极值，
反之，“f(x)有极值”，则“f′(x)=0有实根”．
因此“f′(x)=0有实根”是“f(x)有极值”的必要不充分条件．
故选：C.
利用函数取得极值的定义即可判断出结论．
本题考查了函数取得极值的定义、充要条件的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
5.【答案】D
【解析】【分析】
本题主要考查了对数的运算性质的应用，属于基础题．
由已知结合对数的运算性质即可求解．
【解答】
解：由题意得大约能用10−4×24413×1011×104=24413×1019万年，
而lg24413×1019=441lg2−lg3−19≈441×0.3−0.5−19≈113，
所以24413×1019≈10113.
故选：D.
6.【答案】A
【解析】解：根据题意，分2种情况讨论：
①个位数字为2或4时，首位数字不能为0，可以有2×4×A44=192个偶数，
②个位数字为0时，其余5个数字全排列即可，有A55=120个偶数，
则有192+120=312个偶数．
故选：A.
根据题意，按个位数字是否为0，分2种情况讨论，进而由加法原理计算可得答案．
本题考查排列组合的应用，涉及分类计数原理的应用，属于基础题．
7.【答案】D
【解析】解：根据题意，结合导函数图象可知，在区间(0,1)上，f′(x)>0且先增大再减小，
则在区间(0,1)上，f(x)为增函数，其图象先平缓再变陡峭，最后边平缓，
只有D选项符合．
故选：D.
根据题意，利用导数与单调性的关系，结合导函数图象，判断f(x)的单调性，进而可得结论．
本题考查函数的图象分析，涉及函数的导数与单调性的关系，属于中档题．
8.【答案】C
【解析】解：由于a>0，b>0，且(4a−1)(b−1)=4，
故4ab−4a−b+1=4，整理得4ab−3=4a+b≥4 ab，当且仅当b=4a时取等号，
即4ab−4 ab−3≥0，
故(2 ab+1)(2 ab−3)≥0，即 ab≥32或 ab≤−12(舍去)，此时b=4a=3，
所以4a+b≥4 ab≥6，
∴4a+b的最小值为6.
故选：C.
直接利用关系式的恒等变换和基本不等式的应用求出结果．
本题考查的知识要点：关系式的恒等变换，基本不等式的运用，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．
9.【答案】ACD
【解析】解：因为X∼N(10,52)，Y∼N(12,32)，
所以P(5≤X≤15)=P(9≤Y≤15)≈0.6827，
P(0≤X≤20)=P(6≤Y≤18)≈0.9545，
P(−5≤X≤25)=P(3≤Y≤21)≈0.9973，
选项A，P(X≤15)=0.5+P(10≤X≤15)≈0.5+0.68272=0.84135，
P(Y≤15)=0.5+P(12≤X≤15)≈0.5+0.68272=0.84135，
所以P(X≤15)=P(Y≤15)，即选项A正确；
选项B，P(X≤20)=0.5+P(10≤X≤20)≈0.5+0.95452=0.97725，
P(Y≤20)>P(Y≤18)=0.5+P(12≤X≤18)≈0.5+0.95452=0.97725，
所以P(X≤20)选项C，P(X≥0)=P(X≤20)=0.97725，
P(Y≤9)=0.5−P(9≤Y≤12)≈0.5−0.68272=0.15865，
所以P(X≥0)>P(Y≤9)，即选项C正确；
选项D，P(X≥25)=0.5−P(10≤X≤25)≈0.5−0.99732=0.00135，
P(Y≥25)所以P(X≥25)>P(Y≥25)，即选项D正确．
故选：ACD.
参考正态分布的3σ原理，结合正态分布的对称性，逐一分析选项，即可．
本题考查正态分布的性质，熟练掌握正态分布的对称性与3σ原理是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
10.【答案】AC
【解析】解：对A选项，∵X∼B(n,13)，
∴当n=8时，E(X)=8×13=83，∴A选项正确；
对B选项，∵X∼B(n,13)，
∴当n=9时，E(X)=9×13=3，
∴E(X+1)=E(X)+1=4，∴B选项错误；
对C选项，∵X∼B(n,13)，
∴D(X)=n×13×23=2n9，
∴D(2X+1)=4D(X)=8n9=8，
∴n=9，∴C选项正确；
对D选项，∵X∼B(n,13)，
∴D(X)=n×13×23=2n9，
∴D(X+2)=D(X)=2n9=6，
∴n=27，∴D选项错误．
故选：AC.
根据二项分布的期望与方差的结论，期望与方差的性质，即可分别求解．
本题考查二项分布的期望与方差，期望与方差的性质，属中档题．
11.【答案】BC
【解析】解：对于A，若B⊆A，
则P(AB)=P(B)=0.3，故A错误；
对于B，A与B互斥，
则P(AB)=0，
故P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(AB)=0.9，故B正确；
对于C，P(B)=P(B|A)=0.3，
则A与B相互独立，故C正确；
对于D，A与B相互独立，
则A与B−也相互独立，
故P(AB−)=P(A)[1−P(B)]=0.6×0.7=0.42，故D错误．
故选：BC.
根据已知条件，结合条件概率公式，以及互斥事件的概率公式，即可求解．
本题主要考查条件概率公式，以及互斥事件的概率公式，属于基础题．
12.【答案】ABD
【解析】解：对于A，f(−x)=(−x−4[−x+24])2−1=(−x−(−4−4[x−24]))2−1
=(−x−(−4−(4[x+24]−4))2−1=(−x+4[x+24])2−1=f(x),所以f(x)是偶函数，A正确；
对于B，f(x)=(4x+24−4[x+24]−2)2−1，
由于0≤4x+24−4[x+24]<4，所以−2≤4x+24−4[x+24]−2<4=2，
所以f(x)的值域是[−1,3]，B正确；
对于C，由于f(x+4)=(x+4−4[x+24+1])2−1=(x+4−(4[x+24]+4))2−1=(x−4[x+24])2−1=f(x)，
所以f(0)=f(4)，可见f(x)在[0,4]不是单调的，C错误；
对于D，由上可知D正确．
故选：ABD.
按照定义判断函数f(x)的奇偶性、值域和周期性即可．
本题主要考查函数的奇偶性和周期性，属中档题．
13.【答案】−14
【解析】解：根据(x−a)(1+2x)5=(x−a)(C50+C51⋅(2x)+C52⋅(2x)2+C53⋅(2x)3+C54⋅(2x)4+C55⋅(2x)5)
的展开式中x3的系数为C52⋅22−a⋅C53⋅23=60，
可得实数a=−14.
故答案为：−14.
由题意，把(1+2x)5按照二项式定理展开，可得(x−a)(1+2x)5的展开式中x3的系数，再根据系数为60，求出实数a的值．
本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，属于基础题．
14.【答案】13
【解析】解：事件A：取到的两个数之和为偶数，所包含的基本事件有：(3,5)、(3,7)、(3,9)，(5,7)、(5,9)，(6,9)，(4,6)，(4,8)，(6,8)，
∴p(A)=9C72=37，
事件B：取到的两个数均为偶数，所包含的基本事件有(4,6)，(4,8)，(6,8)，
∴P(AB)=3C72=17，
由条件概率公式，可得P(B|A)=P(AB)P(A)=13.
故答案为：13.
用列举法，可得事件A包含的基本事件有9个，事件B包含的基本事件有3个，用古典概型计算公式算出P(A)、P(AB)，再由条件概率公式加以计算，可得P(B|A)的值．
本题考查了古典概型计算公式、条件概率的计算等知识，属于中档题．
15.【答案】0.051
【解析】【分析】
本题考查条件概率，考查全概率公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
利用全概率公式求解即可．
【解答】
解：设事件所取核桃产地为甲地为事件A1，事件所取核桃产地为乙地为事件A2，
所取核桃为空壳为事件B，
则P(A1)=45%，P(A2)=55%，P(B|A1)=4%，P(B|A2)=6%，
P(B)=P(BA1)+P(BA2)
=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)
=45%×4%+55%×6%=0.051.
所以该核桃是空壳的概率是0.051.
故答案为：0.051.
16.【答案】8π
【解析】解：因为M函数满足f(x)=f(x+5π3)且f(π6+x)=f(π6−x)，
∴M函数的周期为5π3，对称轴为x=π6，
∴h(x)，g(x)的周期都为5π3，对称轴都为x=π6，
由正弦函数的性质可知h(x)=sinx在[π6,π2]上单调递增，在[π2,π]上单调递减，
且h(π6)=12，h(π2)=1，h(2π3)= 32，h(π)=0，
由指数函数的性质可知g(x)=(e3)x在x∈[π6,π]上单调递减，
且g(π6)=(e3)π6，g(π2)=(e3)π2，g(2π3)=(e3)2π3，g(π)=(e3)π，
又∵ln(e3)π6−ln12=π6lne3+ln2=π6(1−ln3)+ln2≈π6(1−1.099)+0.693>0，
∴(e3)π6>12，即g(π6)>h(π6)，
g(π2)<1=h(π2)，
又∵ln(e3)2π3−ln 32=2π3lne3+ln2−12ln3=2π3(1−ln3)+ln2−12ln3≈2π3(1−1.099)+0.693−12×1.099<0，
∴(e3)2π3< 32，即g(2π3)0=h(π)，
作出y=h(x)与y=g(x)在[π6,π]上图象，如图所示：
又∵h(x)，g(x)的周期都为5π3，对称轴都为x=π6，
作出f(x)与g(x)在[−2π3,8π3]上的图象，如图所示．
∴方程h(x)=g(x)在[2π3,8π3]上8个根的和为4×(π6+11π6)=8π，
故答案为：8π.
根据M函数满足f(x)=f(x+5π3)且f(π6+x)=f(π6−x)，可得M函数的周期为5π3，对称轴为x=π6.当x∈[π6,π]时，h(x)=sinx，g(x)=(e3)x，画出其图象，再根据其对称性与周期画出给出的区间图象，进而得出结论．
本题考查了三角函数与指数函数的图象与性质、函数的对称性与周期性、方程的解转化为函数图象的交点，考查了数形结合思想方法、推理能力与计算能力，属于难题．
17.【答案】解：(1)因为购买x台机器人的总成本为f(x)=112x2+x+3，
所以每台机器人的平均成本为：112x2+x+3x=112x+3x+1≥2 x12⋅3x+1=2，当112x=3x，即x=6时，等号成立．
所以应购买6台机器人；
(2)当1≤m≤6时，6台机器人每日生产花生油的质量为6×14m(12−m)=32m(12−m)，
所以当m=6时，6台机器人每日生产花生油的质量的最大值为32×6×6=54(吨)；
当m>6时，6台机器人每日生产花生油的质量为6×9=54(吨)；
所以当m=6时，每台机器人日生产量达到最大值，此时人数最少．
【解析】(1)由题意可得每台机器人的平均成本为：112x+3x+1，结合基本不等式求解即可；
(2)分1≤m≤6、m>6分别求出每台机器人日生产量达到最大值，即可得答案．
本题考查了函数在实际生活中的运用、基本不等式的应用、二次函数的性质，属于中档题．
18.【答案】解：(1)x−=6+6.2+6.4+6.6+6.85=6.4，y−=20+15+15+10+55=13，
i=15xiyi=409，i=15xi2=205.2，
∴b =i=15xiyi−5x−y−i=15xi2−5x−2=409−5×6.4×13205.2−5×6.42=−70.4=−17.5，
a =y−−b x−=13−(−17.5)×6.4=125.
∴y关于x的经验回归方程为y =−17.5x+125；
(2)由y =−17.5x+125，取y ≥41，得−17.5x+125≥41，
解得：x≤4.8.
∴若使每次直播带货销量不低于41台，预估销售单价最多是4.8(千元).
【解析】(1)由已知求得b 与a 的值，可得y关于x的经验回归方程；
(2)由y ≥41列式求解x的范围即可．
本题考查线性回归方程的求法，考查运算求解能力，是基础题．
19.【答案】解：(1)∵f′(x)=ex−1(x+1)，x∈R，
∴当x∈(−∞,−1)时，f′(x)<0，f(x)单调递减；
当x∈(−1,+∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增，
∴f(x)仅有极小值为f(−1)=−1e2；
(2)当x→−∞时，f(x)→0；当x→+∞时，f(x)→+∞，且f(0)=0，
同时结合(1)，可得f(x)的图象为：
又g(x)=f(x)−a的零点个数，即为y=f(x)与y=a的交点个数，
∴数形结合可得：
当a∈(−∞,−1e2)时，g(x)的零点个数为0；
当a∈(−1e2,0)时，g(x)的零点个数为2；
当a∈[0,+∞)∪{−1e2}时，g(x)的零点个数为1.
【解析】(1)导数，利用导数研究函数的单调性，即可求解；
(2)作出f(x)的图象，数形结合，即可求解．
本题考查导数的综合应用，利用导数研究函数的单调性与极值，函数零点问题的求解，化归转化思想，数形结合思想，属中档题．
20.【答案】解：(1)根据题意可得补全后的列联表如下：
∴χ2=50×(20×15−10×5)230×20×25×25=506≈8.3<10.828，
∴不能认为喜欢下中国象棋与性别有关联；
(2)由(1)及分层抽样的概念可得：
所抽取的6人中，男同学4人，女同学2人，
∴这2人中喜欢下中国象棋的女同学人数为X=0，1，2，
∴P(X=0)=C20⋅C42C62=25；
P(X=1)=C21⋅C41C62=815；
P(X=2)=C22⋅C40C62=115，
∴X的分布列为：
∴E(X)=0×25+1×815+2×115=23.
【解析】(1)先根据题意补全列联表，再计算χ2，最后根据独立性检验原理，即可求解；
(2)根据分层抽样，古典概型的概率公式及组合数公式，离散型随机变量的分布列的概念与期望的定义，即可求解．
本题考查独立性检验原理的应用，离散型随机变量的分布列与期望的求解，属中档题．
21.【答案】解：(1)f′(x)=1x−1，
则f′(1)=0，
又f(1)=−1，
则f(x)的图象在x=1处的切线方程为y=−1；
(2)证明：设f(b)−f(a)b−a=k，则f(b)−kb=f(a)−ka，
令F(x)=f(x)−kx=lnx−(k+1)x，x∈[a,b]，
易知F(x)满足F(a)=F(b)，且F′(x)=1x−(k+1)，
若F(x)在区间(a,b)上单调递增，此时F(a)若F(x)在区间(a,b)上单调递减，此时F(a)>F(b)，不满足题意；
所以函数F(x)在区间(a,b)上不是单调函数，
则函数F(x)在区间(a,b)上必有极值点，
即∃ξ∈(a,b)，使得F′(ξ)=1ξ−(k+1)=0，即k=1ξ−1，
即∃ξ∈(a,b)(其中a>0)，使得f(b)−f(a)b−a=1ξ−1.
【解析】(1)对函数f(x)求导，求得f′(1)=0，f(1)=−1，再利用导数的几何意义得解；
(2)构造函数F(x)=f(x)−kx，分析可知函数F(x)在区间(a,b)上不是单调函数，则∃ξ∈(a,b)，使得F′(ξ)=1ξ−(k+1)=0，由此容易得证．
本题考查导数的几何意义，考查导数的综合运用，考查逻辑推理能力及运算求解能力，属于中档题．
22.【答案】解：(1)由题意知，随机变量X的可能取值为−1，0，1，
计算P(X=−1)=(1−23)×(1−12)=16，
P(X=0)=23×(1−12)+(1−23)×12=12，
P(X=1)=23×12=13；
所以X的分布列为：
数学期望为E(X)=−1×16+0×12+1×13=16；
(2)①由题意知，P1=1，P2=1，
P3=1−(13)3=2627，
P4=1−(13)3−23×(13)3=7681；
②经分析知，
所以Pn=23Pn−1+29Pn−2+227Pn−3(n≥4)，
所以a=23，b=29，c=227.
【解析】(1)由题意知X的可能取值，计算对应的概率值，写出X的分布列，求出数学期望值；
(2)①由题意求出P1、P2，再计算P3和P4的值；
②分析题意，得出Pn与Pn−1、Pn−2和Pn−3的递推关系，即可求出a、b和c的值．
本题考查了离散型随机变量的分布列与数学期望的计算问题，也考查了运算求解能力，是难题．x
6
6.2
6.4
6.6
6.8
y
20
15
15
10
5
喜欢
不喜欢
合计
男
20
25
女
15
合计
α
0.100
0.050
0.010
0.005
0.001
xα
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
喜欢
不喜欢
合计
男
20
5
25
女
10
15
25
合计
30
20
50
X
0
1
2
P
25
815
115
X
−1
0
1
E(X)
16
12
13
P
第n轮
第n−1轮
第n−2轮
23Pn−1
没有得1分
29Pn−2
得1分
没有得1分
227Pn−3
得1分
得1分
没有得1分