2022-2023学年重庆市联合检测高二（下）期末数学试卷(含详细答案解析)

这是一份2022-2023学年重庆市联合检测高二（下）期末数学试卷(含详细答案解析)，共19页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知随机变量X∼B(9,p)，若E(2X)=6，则p=( )
A. 14B. 13C. 23D. 34
2.下列两个变量中，成正相关的两个变量是( )
A. 汽车自身的重量与行驶每公里的耗油量
B. 每个人体育锻炼的时间与身体的重量
C. 花费在体育活动上面的时间与期末考试数学成绩
D. 期末考试随机编排的准考证号与期末考试成绩总分
3.设f′(x)是函数f(x)的导函数，y=f′(x)的图象如图所示，则下列说法不正确的是( )
A. 函数f(x)有三个零点
B. 函数f(x)有两个极小值点
C. 函数f(x)有一个极大值点
D. 函数f(x)有两个单调递减区间
4.对于线性回归直线y=2x，样本点(4,8.2)的残差为( )
A. 0.2B. 0.1C. −0.1D. −0.2
5.若函数f(x)的满足Δx→0lim f(2+Δx)−f(2)Δx=2，则Δx→0lim f(2−Δx)−f(2)2Δx=( )
A. 2B. 1C. 0D. −1
6.在星期一，某校高二所有班级的三节晚自习都是排的数学、物理、化学、生物，按规定每班每节晚自习只安排一门学科，且每科在每班至多安排一节晚自习，若高二所有班级的晚自习安排都不同，则该校高二班级个数最多为( )
A. 12B. 18C. 24D. 30
7.生物的性状是由遗传因子决定的.每个因子决定着一种特定的性状，其中决定显性性状的为高茎遗传因子，用大写字母(如D)来表示；决定隐性性状的为矮茎遗传因子，用小写字母(如d)来表示.如图，在孟德尔豌豆试验中，F1的基因型为Dd，子二代F2的基因型为DD，Dd，dd，且这三种基因型的比为1：2：1.如果在子二代中任意选取2颗踠豆进行杂交试验，则子三代F3中高茎的概率为( )
A. 14
B. 12
C. 34
D. 56
8.设f′(x)是函数f(x)的导函数，当x∈(−π2,π2)时，cs2x⋅f(x)+sin2x⋅f′(x)>−f(x)，则( )
A. f(π6)<0B. f(π6)+f(−π6)>0
C. 3f(π3)< 2f(π4)D. f(−1)f(1)<0
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.设x为正整数，若C7x=C72x−2，则x=( )
A. 2B. 3C. 4D. 5
10.对于变量x和变量y，已知由(−1,−1)，(1,1)，(x1,y1)，…共20个样本点组成的样本中心为(4.5,9)的一个样本，其线性回归方程是y=b x，若去除前两个已知样本点后得到新的线性回归方程是y=b0 x+a ，则对于新的样本数据( )
A. 新的样本中心为(5,10)
B. 相关变量x与y具有正相关的关系
C. 新的线性回归方程y=b0 x+a 与线性回归方程y=b x是相同的
D. 随着变量x的增加，变量y的增加速度增大
11.已知函数f(x)的导函数是f′(x)=x2−x−2，则下列结论正确的有( )
A. |f(x)|必有一个极大值
B. f(|x|)的单调递减区间为(−∞,−1)和(0,2)
C. 方程f(x+1)=2有三个实数解
D. f(2x−1)的单调递减区间为(0,32)
12.杨辉三角形又称贾宪三角形，因首现于南宋杰出数学家杨辉的《详解九章算法》而得名，它的排列规律如图所示：在第一行的中间写下数字1；在第二行写下两个1，和第一行的1形成三角形；随后的每一行，第一个位置和最后一个位置的数都是1，其他的每个位置的数都是它左上方和右上方的数之和.那么下列说法中正确的是( )
A. 第n行的第r(r≤n)个位置的数是Cnr−1
B. 若从杨辉三角形的第三行起，每行第3个位置的数依次组织一个新的数列{an}，则数列{an}是两项奇数和两项偶数交替呈现的数列
C. 70在杨辉三角中共出现了3次
D. 210在杨辉三角中共出现了6次
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.设事件A，B，且P(A)=0.3，P(B)=0.6，P(B|A)=1，则P(A|B)=______.
14.若函数f(x)=xex的图象都不在直线y=f(x0)的下方，则f(x0)=______.
15.设随机变量X∼N(μ,σ2)(σ>0)，已知P(X>μ+2σ)=0.0228，P(|X−μ|≤σ)=0.6826，则P(μ−2σ16.我国的国宝大熊猫丰腴富态，头圆尾短，头部和身体毛色黑白相间分明，形态可掬，呆萌可爱.现有福多多、滚滚、芝士、芝麻、热干面和蛋烘糕6只大熊猫，其中芝士和芝麻是双胞胎，热干面和蛋烘糕是双胞胎，现要给它们安排山月、秋月、云月三个场馆入住，要求每个场馆至少入住1只大熊猫，双胞胎熊猫要住在同一个场馆，则不同的分配方案有______种(用数字作答).
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
已知二项式( x−2x)n的展开式的二项式系数之和为32.
(1)求展开式中x项的系数；
(2)求展开式中项的系数最大的项.
18.(本小题12分)
设函数f(x)=x3+x2+ax在x=0处取极值，a∈R.
(1)求a的值；
(2)求f(x)的极值，并写出f(x)的单调区间.
19.(本小题12分)
中医药，是包括汉族和少数民族医药在内的我国各民族医药的统称，反映了中华民族对生命、健康和疾病的认识，具有悠久历史传统和独特理论及技术方法的医药学体系，是中华民族的瑰宝.某药材市场的某种中药材2018至2022每年7月每10克的价格y(单位：元)的数据如表：
(1)求y关于t的线性回归方程；
(2)利用(1)中的回归方程，预测2023年该药材市场该种中药材每10克的价格(精确到0.01).
附：参考公式：b =i=1ntiyi−nty−i=1nti2−nt−2，a =y−−b t−参考数据：i=15tiyi=79.9,i=15ti2=55
20.(本小题12分)
重庆某中学为探究高二学生性别与选课的关系，在高二男、女学生中分别随机抽取了50名样本学生来了解选课情况.在女生样本中任取3名学生，记选历史学生人数为X；在男生样本中任取2名学生，记选物理学生人数为Y；已知女生样本中20人选物理，且P(X=1)=9512P(Y=0).
(1)完成如表的2×2列联表；
(2)依据α=0.001的独立性检验，能否认为该中学高二学生性别与选课有关联；
(3)直接写出P(X+Y=0)，P(X=0)，P(Y=0)之间的关系.
附：χ2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d),n=a+b+c+d.
21.(本小题12分)
足球运动是世界上第一运动，它不仅体现了力量和速度的完美结合，还诠释了团队配合的重要性.现甲、乙两队进行一场足球比赛.根据以往数据统计，比赛常规时间内，甲队获胜的概率为12，踢平的概率为14；若常规时间内两队踢平，则进入加时赛，加时赛中，乙队获胜的概率为23，踢平的概率为16；若加时赛中两队踢平，则进入点球大战，点球大战中没有平局，两队获胜的概率均为12.
(1)哪一队获胜的概率大，请用数据说明；
(2)在同一赛季中，甲乙两队相遇3次，且只进行常规比赛，胜一场计3分，平一场计1分，输一场计0分，设甲队三场比赛得分总数为X，求X的分布列及数学期望E(X).
22.(本小题12分)
已知函数f(x)=a−ax+ex，e为自然对数的底数，a∈R.
(1)判断f(x)的零点个数；
(2)设x1，x2是f(x)的两个零点，证明：x1x2答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：根据题意，随机变量X∼B(9,p)，则E(X)=9p，
故E(2X)=2E(X)=18p=6，解可得p=13.
故选：B.
根据题意，有二项分布的性质可得E(X)=9p，又由E(2X)=6，可得关于p的方程，解可得答案．
本题考查二项分布的性质，涉及随机变量的期望计算，属于基础题．
2.【答案】A
【解析】解：选项A，汽车越重，每公里耗油量越多，成正相关，正确；
选项B，锻炼时间越长，体重越轻，成负相关，错误；
选项C，花费在体育活动上面的时间长，则期末数学成绩有可能会降低，不为正相关，错误；
选项D，两者没有任何关系，错误．
故选：A.
根据正相关的定义，逐一检验选项，得出答案．
本题考查变量间的相关关系的应用，考查学生逻辑推理能力，属于基础题．
3.【答案】A
【解析】解：由f′(x)的图象
在(−∞,x1)上f′(x)<0，f(x)单调递减，
在(x1,x2)上f′(x)>0，f(x)单调递增，
在(x2,x3)上f′(x)<0，f(x)单调递减，
在(x3,+∞)上f′(x)>0，f(x)单调递增，
所以x=x1，x=x3是函数f(x)的两个极小值点，
x=x2是函数f(x)的极大值点，
函数f(x)有两个单调递减区间，
f(x1)，f(x2)，f(x3)的符号无法确定，故f(x)零点个数无法确定，
故选：A.
由f′(x)的图象可得f′(x)的符号，f(x)的单调性，极值，即可得出答案．
本题考查导数的综合应用，解题中需要理清思路，属于中档题．
4.【答案】A
【解析】解：线性回归直线方程为y=2x，
当x=4时，y=2×4=8，
可得样本点(4,8.2)的残差为8.2−8=0.2.
故选：A.
由已知求得x=4时的预测值，再由残差的定义求解．
本题考查线性回归方程的应用，考查残差的求法，是基础题．
5.【答案】D
【解析】解：Δx→0lim f(2+Δx)−f(2)Δx=2，
则f′(2)=2，
故Δx→0lim f(2−Δx)−f(2)2Δx=−12△x→0limf(2−△x)−f(2)−△x=−12f′(2)=−1.
故选：D.
根据已知条件，结合导数的几何意义，即可求解．
本题主要考查导数的几何意义，属于基础题．
6.【答案】C
【解析】解：由题意，问题可等价于从数学、物理、化学、生物4门学科中任选3门的全排列种数，A43=4×3×2=24.
故选：C.
将问题等价于从数学、物理、化学、生物4门学科中任选3门的全排列种数．
本题考查排列组合的应用，属于中档题．
7.【答案】C
【解析】解：子二代基因配型有6种情况，分别记为事件A1，A2，A3，A4，A5，A6，
“子三代基因型为高茎”记为事件B，则：
P(B)=i=16P(Ai)P(B|Ai)=1×116+1×14+1×18+34×14+12×14+0×116=34.
故选：C.
利用列举法，列举出所有的可能结果，再利用全概率公式能求出子三代F3中高茎的概率．
本题考查列举法、全概率公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
8.【答案】B
【解析】解：因为当x∈(−π2,π2)时，cs2x⋅f(x)+sin2x⋅f′(x)>−f(x)，
所以当x∈(−π2,π2)时，(cs2x+1)f(x)+sin2xf′(x)>0，
所以当x∈(−π2,π2)时，(2cs2x−1+1)f(x)+2sinxcsxf′(x)>0，
所以当x∈(−π2,π2)时，2cs2xf(x)+2sinxcsxf′(x)>0，
所以当x∈(−π2,π2)时，csxf(x)+sinxf′(x)>0，
所以当x∈(−π2,π2)时，[sinxf(x)]′>0，
令g(x)=sinx⋅f(x)，则当x∈(−π2,π2)时，g′(x)>0，
所以g(x)在(−π2,π2)单调递增，
对于A：g(π6)>g(0)⇒f(π6)>0，故A错误；
对于B：g(π6)>g(−π6)，则f(π6)+f(−π6)>0，故B正确；
对于C：g(π3)>g(π4)，则 3f(π3)> 2f(π4)，故C错误；
对于D：g(0)>g(−1)，则f(−1)>0，g(1)>g(0)=f(1)>0，
所以f(1)f(−1)>0，故D错误．
故选：B.
根据题意可得当x∈(−π2,π2)时，(cs2x+1)f(x)+sin2xf′(x)>0，则当x∈(−π2,π2)时，[sinxf(x)]′>0，令g(x)=sinx⋅f(x)，则g(x)在(−π2,π2)单调递增，逐项判断，即可得出答案．
本题考查导数的综合应用，解题中需要理清思路，属于中档题．
9.【答案】AB
【解析】解：由题意，x=2x−2或x+(2x−2)=7，
解得x=2或3，
检验：当x=2时，C72=C72成立；
当x=3时，C73=C74成立．
故选：AB.
根据组合数的性质列方程，解出x并检验即可．
本题考查组合数的运算，考查学生分类讨论思想，属于基础题．
10.【答案】AB
【解析】解：−1+1+x1+x2+⋯+x18=4.5×20，即x1+x2+⋯+x18=90，
−1+1+y1+y2+⋯+y18=9×20，即y1+y2+⋯+y18=180，
则x1+x2+⋯+x818=5，y1+y2+⋯y1818=10，
所以新的样本中心为(5,10)，故A正确；
又y=b x过点(4.5,9)，即9=4.5b ，解得b =2>0，
即相关变量x与y具有正相关的关系，故B正确；
b =2，即2+i=118xiyi−20×4.5×92+i=118xi2−20×4.52=2，
化简得：i=118xiyi=2i=118xi2+2，
b0 =i=118xiyi−18×5×10i=118xi2−18×52=2+2i=118xi2−450≠b ，
可知新的线性回归方程y=b 0x+a 与线性回归方程y=b x中的b0 与b 不相等，故C错误；
由线性回归方程为直线方程可知随着变量x的增加，变量y的增加速度不变，故D错误．
故选：AB.
由原样本中心点为(4.5,9)，即可求出新样本中心点；由线性回归方程过样本中心点即可求出b =2>0，由此即可判断B选项；由线性回归方程中b 的计算公式即可判断C选项；由直线的性质可判断D选项．
本题考查回归方程的应用，属于中档题．
11.【答案】AD
【解析】解：对于选项A：因为f′(x)=x2−x−2，
不妨设f(x)=13x3−12x2−2x+c，
当x<−1时，f′(x)>0，f(x)单调递增；
当−1当x>2时，f′(x)>0，f(x)单调递增，
所以当x=−1时，函数f(x)取得极大值，极大值f(−1)=76+c，
当x=2时，函数f(x)取得极小值，极小值f(2)=c−103，
①当f(2)=c−103≥0，即c≥103时，
设函数y=f(x)在(−∞,−1)上的零点记为x1，
若x>x1时，|f(x)|=f(x)，
此时函数|f(x)|在(x1,−1)上单调递减，在(−1,2)上单调递增，
当x=−1时，函数|f(x)|取得极大值；
②当c−103<0设函数f(x)有三个零点x1，x2，x3，且x1此时函数|f(x)|在x=−1和x=2处取得极大值；
③当c+76≤0，即c≤−76时，作出函数图象如下所示：
可得函数f(x)在(2,+∞)上存在零点x1，
此时函数|f(x)|在(−1,2)上单调递增，在(2,x1)上单调递减，
所以当x=2时，函数|f(x)|取得极大值，
综上所述，|f(x)|必有一个极大值，故选项A正确；
对于选项B，不妨令g(x)=f(|x|)，函数g(x)的定义域为R，
因为g(−x)=f(|−x|)=f(|x|)=g(x)，且f(x)在[0,2)上单调递减，在(2,+∞)上单调递增，
所以函数g(x)=f(|x|)在(−∞,−2)和(0,2)上单调递减，故选项B错误；
对于选项C：令t=x+1，
此时f(t)=13t3−12t2−2t+c，
因为函数f(t)的极大值为f(−1)=c+76，极小值为f(2)=c−103，
当c−103>2，即c>163时，f(−1)=c+76>2，
因为函数f(t)在(−1,2)上单调递减，在(2,+∞)上单调递增，
所以当t>−1时，f(t)≥f(2)>2，
此时方程f(t)=2在(−1,+∞)上无实数根，
又函数f(t)在(−∞,−1)上单调递增，
所以方程f(t)=2在(−∞,−1)上最多有一个实数根，
即方程f(t)=2不可能有三个实数根，故选项C错误；
对于选项D：因为函数f(x)在(−1,2)上单调递减，
所以−1<2x−1<2，
解得0则f(2x−1)的单调递减区间为(0,32)，故选项D正确．
故选：AD.
由题意，根据所给导函数得到函数f(x)=13x3−12x2−2x+c的单调性，进而可判断选项B；作出函数|f(x)|的图象，对c≥103，−76本题考查利用导数研究函数的单调性和极值，考查了逻辑推理、转化思想、分类讨论和运算能力．
12.【答案】BCD
【解析】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，归纳可得：第n行的第r(r≤n)个位置的数为Cn−1r−1，A错误；
对于B，根据题意，第一个位置和最后一个位置的数都是1，其他的每个位置的数都是它左上方和右上方的数之和，
分析可得an=an−1+Cn1=an−1+n(n≥3)，则数列{an}的奇数项与前一项奇偶性相反，偶数项与前一项奇偶性相同，
又由a1=1为奇数，则a2为奇数，a3为偶数，a4为偶数，a5为奇数，a5是奇数项且为奇数，这与a1情况一致，从而奇偶性产生循环，B正确；
对于C，由于Cnm=Cnn−m，
不妨设m≤n2，令Cnm=70，
当m=1时，n=70，∴C701=C7069=70，
当m=2时，Cn2=n(n−1)2=70，无正整数解，
当m=3时，Cn3=n(n−1)(n−2)6,C83=56<70,C93=84>70，
而Cn3递增，从而无解；当m=4时，Cn4=n(n−1)(n−2)(n−3)24，
当n=8时，C84=70，由于C84是第9行中最中间的数，杨辉三角中以该数为顶点的下方三角形区域中的数都大于70，
当5≤m≤n2时，Cnm≠70，故70共出现3次，C正确；
对于D，类似于前C2101=C210209=210,C212=C2119=210,C104=C106=210，
∴以C104,C106为顶点的下方三角形区域中的数都大于210，D正确．
故选：BCD.
根据题意，结合杨辉三角的性质以及组合数公式，依次分析选项是否正确，综合可得答案．
本题考查合情推理的应用，涉及二项式定理的应用，属于基础题．
13.【答案】12
【解析】解：因为P(A)=0.3，P(B|A)=1，P(B|A)=P(AB)P(A)，
解得P(AB)=0.3，
所以P(A|B)=P(AB)P(B)=
故答案为：12.
由条件概率公式P(B|A)=P(AB)P(A)计算得P(AB)=0.3，再利用条件概率公式P(A|B)=P(AB)P(B)计算得出答案．
本题考查条件概率计算公式，属于基础题．
14.【答案】−1e
【解析】解：函数f(x)=xex的图象都不在直线y=f(x0)的下方，
则y=f(x0)为函数f(x)=xex的最小值，
∵f(x)=xex，
∴f′(x)=ex(x+1)，
令f′(x)>0，解得x>−1，即f(x)在区间(−∞,−1)上单调递减，
令f′(x)<0，解得x<−1，即f(x)在区间(−1,+∞)上单调递增，
故f(x)min=f(−1)=−e−1=−1e.
故答案为：−1e.
由题意可知，y=f(x0)为函数f(x)=xex的最小值，再利用导数研究函数的单调性，即可求解．
本题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查转化能力，属于基础题．
15.【答案】0.8185
【解析】解：因为P(X>μ+2σ)=0.0228，
所以P(μ−2σμ+2σ)=1−2×0.0228=0.9544，
P(|X−μ|≤σ)=P(μ−σ≤X≤μ+σ)=0.6826，
所以P(μ−2σ故答案为：0.8185.
由正态分布曲线的对称性，即可求出答案．
本题考查正态分布的应用，属于基础题．
16.【答案】36
【解析】解：将芝士和芝麻看成一个整体，热干面和蛋烘糕看成一个整体，即相当于四个对象分配给三个场馆，每个场馆至少一个对象，
故必有一个场馆含有两个对象，其余场馆各一个对象，
可先选出有两个对象的场馆进行对象分配，再将其余对象进行分配，
根据分步乘法计数原理可知，共有C31C42A22=36种方案．
故答案为：36.
利用捆绑法，计算即可得出答案．
本题考查排列组合的应用，属于中档题．
17.【答案】解：(1)由二项式( x−2x)n的展开式的二项式系数之和为得2n=32，可得n=5，
则第r+1项为Tr+1=C5r( x)5−r(−2x)r=C5r(−2)rx5−3r2，
令5−3r2=1得r=1，可得展开式中x项的系数为−10.
(2)由(1)知第r+1项的系数为C5r(−2)r,r=0,1,2,3,4,5，
∴当r=1，3，5时，C5r(−2)r<0，故r应该为偶数，而T0+1=x52,T2+1=40x−12,T4+1=80x−72，
∴第4+1项是项的系数最大，该项为80x−72.
【解析】(1)由题意，利用二项式展开式的通项公式，求出展开式中x项的系数．
(2)由题意，利用二项式展开式的通项公式，可得r应该为偶数，检验可的结论．
本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，二项式系数的性质，求展开式的系数和常用的方法是赋值法，属于中档题．
18.【答案】解：(1)因为f(x)=x3+x2+ax，
所以f′(x)=3x2+2x+a，
由题意得f′(0)=0，
所以a=0.
(2)由(1)得f′(x)=3x(x+23)，
令f′(x)=0得x=0或x=−23，
所以在(−∞,−23)上f′(x)>0，f(x)单调递增，
在(−23,0)上f′(x)<0，f(x)单调递减，
在(0,+∞)上f′(x)>0，f(x)单调递增，
所以当x=−23时，f(x)的极大值为f(−23)=427，
当x=0时，f(x)的极小值为f(0)=0，
综上可得，f(x)在(−∞,−23)，(0,+∞)上单调递增，在(−23,0)上单调递减，
f(x)的极大值为427，极小值为0.
【解析】(1)求导得f′(x)=3x2+2x+a，由题意得f′(0)=0，即可解得答案．
(2)由(1)得f′(x)=3x(x+23)，分析f′(x)的符号，f(x)的单调性，极值，即可得出答案．
本题考查导数的综合应用，解题中需要理清思路，属于中档题．
19.【答案】解：(1)根据题意可知，t−=3,y−=8+7.2+5.8+4.9+4.15=6，
i=15tiyi=79.9,i=15ti2=55，
根据公式可知，b =79.9−5×3×655−5×9=−10.110=−1.01,a =6+1.01×3=9.03，
回归方程为y=−1.01t+9.03.
(2)将t=6代入y=−1.01t+9.03，得y=−1.01×6+9.03=2.97，
所以2023年该药材市场该种中药材每10克的价格为2.97元．
【解析】(1)求出t−，y−，利用回归系数公式求出b ，再利用回归直线过样本中心点，求出a ，即可得到线性回归方程；
(2)直接把t=6代入回归方程求解即可．
本题考查回归方程的应用，属于中档题．
20.【答案】解：(1)设男生样本中有m人选择历史，
由题意可得P(X=1)=C202C301C503,P(Y=0)=Cm2C502
又∵P(X=1)=9512P(Y=0)，
∴C202C301C503=9512⋅Cm2C502，
解得m=10，
完成2×2列联表如下：
(2)由(1)中列表得χ2=100×(20×10−40×30)260×40×50×50=503>x0.001=10.828，
∴根据小概率值α=0.001的独立性检验，可以认为高二学生性别与选课的有关联；
(3)P(X+Y=0)=P(X=0)⋅P(Y=0).
【解析】(1)由古典概型的概率公式求出P(X=1)，P(Y=0)，再结合P(X=1)=9512P(Y=0)求出m的值，进而完成2×2列联表；
(2)根据2×2列联表计算X2的值，再与临界值比较即可得出结论；
(3)根据题意直接写出结论P(X+Y=0)=P(X=0)⋅P(Y=0).
本题主要考查古典概型的概率公式，考查了独立性检验的应用，属于中档题．
21.【答案】解：(1)设甲队获胜为事件A则P(A)=12+14×16+14×16×12=2748>12，∴甲队获胜的概率大；
(2)比赛常规时间内，甲队获胜的概率为12，踢平的概率为14；
若常规时间内两队踢平，则进入加时赛，
加时赛中，乙队获胜的概率为23，踢平的概率为16；若加时赛中两队踢平，
则进入点球大战，点球大战中没有平局，两队获胜的概率均为12，
由题意，甲队的胜负平场次、积分和概率如下表：
所以，随机变量X的概率分布列为：
故随机变量X的数学期望：
EX=0×164+1×364+2×364+3×764+4×316+5×332+6×316+7×316+9×18
=214.
【解析】(1)根据题意计算出甲队获胜的概率，即可得出答案；
(2)分别计算出甲队3胜，2胜1平，2胜1负，1胜2平，1胜2负，1胜1平1负，0胜3平，0胜3负，0胜2平1负，0胜1平2负时对应的积分与概率，即可列出X的分布列，求出数学期望．
本题考查了离散型随机变量的分布列与期望，属于中档题．
22.【答案】解：(1)∵函数f(x)的定义域为R，f′(x)=ex−a，
∴当a≤0时，f′(x)>0，函数f(x)在R上是增函数；
当a>0时，令f′(x)>0，解得x>lna，令f′(x)<0，解得x故函数f(x)在(−∞,lna)上是减函数，在(lna,+∞)上是增函数，
此时f(x)min=f(lna)=a(2−lna)，
令f(lna)>0，即a(2−lna)>0，解得：a令f(lna)<0，即a(2−lna)<0，解得：a>e2，
故当a>e2时，f(x)有两个零点；
当a<0或a=e2时，f(x)有一个零点；
当0≤a(2)证明：∵x1，x2是f(x)的两个零点，
结合(1)得：a>e2，不妨设x1为了证明x1x22 x1x2，问题转化为证明x1+x2<2lna即可，
即证明2lna−x2>x1，又∵2lna−x2∈(−∞,lna)，x1∈(−∞,lna)，
而f(x)在(−∞,lna)上是减函数，即证明f(2lna−x2)而f(x1)=f(x2)，设g(x)=f(x)−f(2lna−x)，
g′(x)=f′(x)+f′(2lna−x)=ex+e2lna−x−2a，
∴g′(x)=ex+a2ex−2a≥2a−2a=0，∴g(x)在R上是增函数，由lna∴g(lna)0，
∴f(2lna−x2)x1，即x1+x2<2lna，
∴2 x1x2【解析】(1)求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间，判断函数的零点个数即可；
(2)将问题转化为证明f(2lna−x2)本题考查了函数的单调性，最值，零点问题，考查导数的应用以及不等式的证明，考查转化思想，分类讨论思想，是难题．年份
2018
2019
2020
2021
2022
年份代号t
1
2
3
4
5
每10克的价格y
8.0
7.2
5.8
4.9
4.1
选物理
选历史
合计
女生
_____
_____
50
男生
_____
_____
50
合计
_____
_____
100
α
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
xα
2.706
3.841
6.635
7.839
10.828
事件
A1
A2
A3
A
配型
DD×DD
DD×Dd
DD×dd
Dd×Dd
Dd×dd
dd×dd
P(Ai)
116
14
18
14
14
116
P(B|Ai)
1
1
1
34
12
0
选物理
选历史
合计
女生
20
30
50
男生
40
10
50
合计
60
40
100
胜
平
负
积分
概率
3
0
0
9
(12)3=18
2
1
0
7
C32(12)214=316
2
0
1
6
C32(12)214=316
1
2
0
5
C32(14)212=332
1
0
2
3
C32(14)212=332
1
1
1
4
C3112C211414=316
0
0
3
0
(14)3=164
0
3
0
3
(14)3=164
0
2
1
2
C32(14)214=364
0
1
2
1
C32(14)214=364
X
0
1
2
3
4
5
6
7
9
P
164
364
364
764
316
332
316
316
18