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2024高考数学基础知识综合复习阶段复习卷4向量解三角形

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这是一份2024高考数学基础知识综合复习阶段复习卷4向量解三角形，共10页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

(时间:80分钟,满分:100分)
一、单项选择题(本大题共12小题,每小题3分,共36分.每小题列出的四个备选项中,只有一个是符合题目要求的,不选、多选、错选均不得分)
1.如图所示,F为平行四边形ABCD对角线BD上一点,,则=( )
A.B.C.D.
2.在△ABC中,若A=105°,C=30°,b=2,则c=( )
A.2B.C.D.1
3.(2023浙江台州八校联盟)如图,在圆C中,AC=5,点A,B在圆上,AB=4,则的值为( )
A.25B.8C.10D.16
4.在△ABC中,角A,B,C所对的边为a,b,c,若a2+c2+ac=12,b=2,B=,则△ABC的面积为( )
A.2B.2C.D.1
5.(2021浙江学考)某简谐运动的图象如图所示,若A,B两点经过x秒后分别运动到图象上E,F两点,则下列结论不一定成立的是( )
A.B.
C.D.
6.(2023浙江A9协作体)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,则下列说法错误的是( )
A.若A>B,一定有sin A>sin B
B.若a2+b2-c2<0,那么△ABC一定是钝角三角形
C.一定有bcs C+ccs B=a成立
D.若acs A=bcs B,那么△ABC一定是等腰三角形
7.已知△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且2A=B+C,a=3,c=2b,则△ABC的面积为( )
A.B.C.D.3
8.(2023浙江精诚联盟)在△ABC中,内角A,B,C所对应的边分别是a,b,c,若△ABC的面积是,则A=( )
A.B.C.D.
9.(2023浙江余姚中学)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,B=,b=2,b2+c2-a2=bc.若∠BAC的平分线与BC交于点E,则AE=( )
A.B.C.2D.3
10.
如图,矩形LMNK,LM=6,sin∠MLN=,圆E半径为1,且E为线段NK的中点,P为圆E上的动点,设=λ+μ,λ,μ∈R,则λ+μ的最小值是( )
A.1B.C.D.5
11.(2023浙江奉化)e1,e2均为单位向量,且它们的夹角为,设向量a,b满足|a+e2|=,b=e1+ke2(k∈R),则|a-b|的最小值为( )
A.B.C.D.
12.(2023浙江北斗联盟)在扇形中,OA=1,∠AOB=90°,M是OB的中点,P是弧AB上的动点,N是线段OA上的动点,则的最小值为( )
A.0B.C.D.1-
二、多项选择题(本大题共4小题,每小题4分,共16分.每小题列出的四个备选项中,有多个是符合题目要求的,全部选对得4分,部分选对且没有错选得2分,不选、错选得0分)
13.(2023浙江学军中学)在△ABC中,根据下列条件解三角形,其中有唯一解的是( )
A.a=9,b=10,c=15B.b=6,c=5,B=45°C.a=3,b=2,B=120°D.b=6,c=6,C=60°
14.(2022浙江绍兴)已知△ABC为锐角三角形,P为此三角形的外心,∠BAC=30°,△PBC,△PAC,△PAB面积分别为,x,y,则以下结论正确的是( )
A.∠BPC=120°B.
C.△ABC的外接圆半径为R=D.x+y的最大值为
15.(2023浙江精诚联盟)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知a=2,B=,则下列结论正确的是( )
A.当b=时,△ABC有两解
B.当b=3时,△ABC有两解
C.当A为钝角时,△ABC的面积的取值范围为0,
D.当△ABC为锐角三角形时,△ABC的周长的取值范围为(3+,2+2)
16.
如图,在平面四边形ABCD中,AB⊥BC,AD⊥CD,∠BAD=120°,AB=AD=1,点F为边AB中点.若点E为边CD上的动点,则( )
A.△EAB面积的最小值为B.当E为边CD中点时,2
C.2||≥||+||D.||·||的最小值为
三、填空题(本大题共4小题,共15分)
17.已知△ABC的重心为G,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若+c=0,则角A为 .
18.已知e是单位向量,向量a满足a2-2a·e-3=0,则|a-4e|的取值范围是 .
19.
(2023浙江台州八校联盟)在△ABC中,B=60°,BA=2,CD=3BC,对任意μ∈R,有|-(μ-1)|≥||恒成立,点P在直线BA上,则PC+PD的最小值是 .
20.(2023浙江杭州)在△ABC中,点D在边BC上,B=30°,AD=2,CD=2BD,若BC边上的高与AB边上的高的比为,则b= .
四、解答题(本大题共3小题,共33分)
21.
(11分)(2023浙江杭州S9联盟)在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,bcs=asin B,BC=3,如图所示,点D在线段AC上,满足AB=AD.
(1)求A的值;
(2)若BD=2CD,求的值.
22.(11分)(2023浙江湖州)在△ABC中,设角A,B,C的对边长分别为a,b,c,已知.
(1)求角B的值;
(2)若△ABC为锐角三角形,且c=2,求△ABC的面积S的取值范围.
23.(11分)(2023浙江余姚中学)已知a,b,c分别是△ABC三个内角A,B,C的对边,且acs B+asin B-b-c=0.
(1)求A;
(2)若锐角三角形ABC的面积为,求b的取值范围.
阶段复习卷(四)
1.A 解析如题图所示,由平行四边形ABCD,得,利用平行四边形法则得出,由,则,再利用三角形法则,得)=.故选A.
2.A 解析因为A=105°,C=30°,所以B=45°,
由,即,解得c=2,故选A.
3.B 解析如图所示,在圆C中,过点C作CD⊥AB于点D,则D为AB的中点,
在Rt△ACD中,AD=AB=2,可得csA=,
所以=||||csA=4×5×=8.故选B.
4.C 解析由余弦定理b2=a2+c2-2accsB,得4=a2+c2-ac.又a2+c2+ac=12,所以ac=4,
所以S△ABC=acsinB=×4×.故选C.
5.B 解析由图象可得y=sinx,设Ex1,sinx1,
则Fx1+1,csx1.
因为=(1,1)·(1,0)=1,=1,csx1-sinx1·(1,0)=1,故A成立;
=(1,1)·(0,1)=1,=1,csx1-sinx1·(0,1)=csx1+,故B不一定成立;
=x1,sinx1·(1,0)=x1,=x1,csx1-1·(1,0)=x1,故C成立;
=(1,1)·1,csx1-sinx1=1+csx1-sinx1,=x1,csx1-1·(0,1)=csx1-1,故=2-sinx1>0,故D成立.故选B.
6.D 解析对于A,因为在三角形中,A>B,所以a>b,
根据正弦定理,所以sinA>sinB,所以A正确;
对于B,因为a2+b2-c2<0,所以csC=<0,所以90°对于C,由bcsC+ccsB=a,根据正弦定理,得sinBcsC+sinCcsB=sinA,即sinA=sin(B+C)=sin(180°-A)=sinA,所以C正确;
对于D,acsA=bcsB,即sinAcsA=sinBcsB,sin2A=sin2B,解得A=B或A+B=,所以D错误.故选D.
7.B 解析由2A=B+C,得A=,所以C=-B,由c=2b,得sin-B=2sinB,解得tanB=,
∴B=,C=,由a=3及,得b=,
∴S△ABC=absinC=.故选B.
8.A 解析由余弦定理可得b2+c2-a2=2bccsA,A∈(0,π),由条件及正弦定理可得S=bcsinA=bccsA,所以tanA=,则A=.故选A.
9.A 解析 ∵b2+c2-a2=bc,∴csA=.
∵A∈(0,π),∴A=.
又B=,∴C=,∴,则c==2.
∵AE为∠BAC的平分线,
∴∠AEB=,∴,
∴AE=·sinB=·sin.故选A.
10.
B 解析由已知建立如图所示的平面直角坐标系,由LM=6,sin∠MLN=,解得MN=,则M3,-,N(3,0),L-3,-.
设P(csθ,sinθ).
因为=λ+μ=csθ-3,sinθ+,=(-6,0),=0,,
所以=csθ-3,sinθ+=λ(-6,0)+μ0,,
即解得
所以λ+μ=sinθ-csθ=sin(θ+φ),当sin(θ+φ)=-1时,λ+μ取得最小值,且最小值是.故选B.
11.C 解析设=a,=b,以e1所在的直线为x轴,垂直于e1所在直线为y轴,建立平面直角坐标系Oxy(图略),则e1=(1,0),e2=.
设a=(x1,y1),b=(x2,y2),因为|a+e2|=,所以x1+2+y1+2=,所以向量a的终点A在以-,-为圆心,为半径的圆上.
因为b=e1+ke2,所以(x2,y2)=1+k,k,所以y2=x2-1,所以向量b的终点B在直线y=x-1上.
又因为|a-b|=||=||,所以|a-b|的最小值为直线y=x-1上的点与圆x+2+y+2=上的点的距离的最小值,为.故选C.
12.
D 解析建立如图所示的平面直角坐标系,设P(cst,sint),M0,,N(m,0),
则=-cst,-sint,=(m-cst,-sint),
故=1-sint+mcst.
因为0≤m≤1,所以=1-sint+mcst≥1-sint+cst.
又因为1-sint+cst=1-sin(t+φ)=1-sin(t+φ)(其中tanφ=2),所以1-sint+cst=1-sin(t+φ)≥1-,当且仅当sin(t+φ)=1时,等号成立,故选D.
13.AD 解析对于A,三角形三边确定,三角形唯一,故A正确;
对于B,csinB=5=5,则c>b>csinB,故三角形有两个解,故B错误;
对于C,由余弦定理得csB==-,又a=3,b=2,所以c2+3c+5=0,Δ=9-4×5<0,方程无解,所以无法构成三角形,故C错误;
对于D,由余弦定理得csC=.又b=6,c=6,所以a2-6a-72=0,解得a=12或a=-6(舍去),
所以能确定三角形且三角形唯一,故D正确.故选AD.
14.
BD 解析对于A,由题意画图,由圆的性质可得∠BPC=2∠BAC=60°,故A错误;
对于B,C,设△ABC的外接圆半径为R,因为S△PBC=,∠BPC=60°,故R2sin60°=,解得R2=,故C错误;
易得△BPC为正三角形,故=R2cs60°=,故B正确;
对于D,因为△ABC为锐角三角形,故P在△ABC内部,故S△ABC=x+y+,当S△ABC最大时x+y取得最大值,
易得当A离BC最远时,S△ABC最大,此时AB=AC,x+y=S△PAB+S△PAC=2S△PAB=2××R2sin=,故D正确.故选BD.
15.ACD 解析对于A,asinB=2×=1,故asinB对于B,b>a,且B=,所以△ABC有唯一解,故B错误;
对于C,根据正弦定理,得c=,S△ABC=acsinB=.因为A∈,所以∈(-,0),所以△ABC的面积的取值范围为0,,故C正确;
对于D,,得b=,则△ABC的周长为a+b+c=2+=2+=2+=2+=2+,
因为△ABC是锐角三角形,所以A∈,
所以tan∈,1,所以△ABC周长的取值范围是(3+,2+2),故D正确.故选ACD.
16.AB 解析当E在点D时,S△EAB取得最小值,且最小值为×AB×AD×sin(180°-120°)=×1×,故A项正确;
当E为边CD中点时,,又因为=0,=0,所以2,故B项正确;
当E在D点时,由余弦定理,可得EF=,所以2||=<1+=||+||,故C项错误;
因为,而||min=AD+AF·sin(120°-90°)=1+,所以()min=,又∠AEB∈0,,所以||·||>,故D项错误.故选AB.
17. 解析 ∵△ABC的重心为G,
∴=0,即=-.
∵+c=0,
∴a-c+b-c=0,
∴a-c=0,b-c=0,即a=c,b=2c,
∴csA=.
∵A∈(0,π),∴A=.
18.
[1,5] 解析由条件a2-2a·e-3e2=(a+e)(a-3e)=0,设=-e,=3e,=a,则点A在以PQ为直径的圆周上,故|a-4e|的取值范围是[1,5].
19. 解析因为|-(μ-1)|≥||,所以|-μ|≥||,由减法与数乘的几何意义,AC为点A到BC的垂线段,所以∠ACB=90°.因为BA=2,B=60°,所以BC=1,AC=,CD=3,所以BD=4,在△ABD中,由余弦定理易得,∠BAD=90°,
设D关于直线AB的对称点为Q,连接BQ,连接CQ交AB于点P,易得此时PC+PD最小,PC+PD=CQ,CQ=
,
即PC+PD的最小值为.
20.2 解析设BC边上的高为AE,AB边上的高为CF,AE=x,
因为B=30°,所以在Rt△ABE中,AB=2AE=2x,
又BC边上的高与AB边上的高之比为,所以,
即CF=x,
所以在Rt△BCF中,BC=2CF=2x,又CD=2BD,所以BD=BC=.
在△ABD中,由余弦定理,得csB=,
即,解得x=,
所以AB=2x=2,BC=2x=6.
在△ABC中,由余弦定理,得csB=,
即,解得AC=2,即b=2.
21.解 (1)由正弦定理得,asinB=bsinA.
又bcs=asinB,所以2bsincs=2asinsinB,
即bsinA=2asinsinB,所以2sin=1,所以sin.
因为0(2)设AB=m,CD=n,则AD=m,BD=2n,在△ABD中,AB=AD=m,∠BAD=,所以△ABD为等边三角形,所以m=2n.
在△ABC中,∠BAC=,AB=2n,AC=m+n=3n,BC=3,由余弦定理,得BC2=AB2+AC2-2AB×ACcs∠BAC,即9=4n2+9n2-2×2n×3n×,整理可得7n2=9,解得n=,所以AC=,AB=.
由余弦定理,得cs∠ABC=.
所以=||||cs∠ABC=×3×.
22.解 (1)∵,∴由正弦定理,得,
即(a-b)(a+b)=c(a-c),即a2-b2=ac-c2,
即a2+c2-b2=ac,由余弦定理,得csB=,
∵B∈(0,π),∴B=.
(2)∵B=,
∴A+C=,即A=-C,又c=2,
∴由正弦定理,得a=+1,
∴S△ABC=acsinB=asin+1.
∵△ABC为锐角三角形,
∴解得从而tanC∈,+∞,
∴S△ABC∈,2.
23.解 (1)因为acsB+asinB-b-c=0,由正弦定理,得sinAcsB+sinAsinB-sinB-sinC=0.①
又因为C=π-A-B,
所以sinC=sin(A+B)=sinAcsB+csAsinB.
代入①得sinAsinB-sinB-csAsinB=0,
即(sinA-1-csA)sinB=0.
因为B∈(0,π),则sinB>0,所以sinA-1-csA=0,
则2sinA-=1,即sinA-=.
因为A∈(0,π),则-则A-,所以A=.
(2)(方法1)由题意得S△ABC=bcsinA=bc=,所以bc=4,在△ABC中,由余弦定理,得b2+c2-a2=2bccsA=2bc×=4.②
又因为△ABC是锐角三角形,
所以
即a2+c2-b2>0,③
且a2+b2-c2>0.④
由②③得c2>2,即c>,即,解得b<2.
由②④得b2>2,即b>.
综上,b的取值范围是(,2).
(方法2)由题意得S△ABC=bcsinA=bc=,
所以bc=4,则b=⇒b2==4=2+,
又因为△ABC是锐角三角形,则⇒C∈,
则tanC>,所以0<,则b2=2+∈(2,8),故