2022-2023学年黑龙江省哈尔滨市香坊区风华中学八年级（下）开学数学试卷（2月份）（五四学制）（含解析）

这是一份2022-2023学年黑龙江省哈尔滨市香坊区风华中学八年级（下）开学数学试卷（2月份）（五四学制）（含解析），共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列图案是轴对称图形的是( )
A. B.
C. D.
2.下列式子中不是分式的是( )
A. 3xB. a2C. x+yxyD. 14mn
3.下列二次根式中是最简二次根式的是( )
A. 7B. 2.5C. 20D. 212
4.下列因式分解错误的是( )
A. x3+xy=x(x2+y)B. 4x2+4x+1=(2x+1)2
C. x2+y2=(x+y)2D. 9x2−y2=(3x+y)(3x−y)
5.下列计算正确的是( )
A. a2⋅a3=a6B. (b3)2=b5C. (ab2)3=a3b6D. c6÷c2=c3
6.已知a+1a=3，则a2+1a2的值是( )
A. 9B. 7C. 5D. 3
7.一辆列车在最近的铁路大提速后，时速提高了20千米/时，则该列车行驶400千米所用的时间比原来少用了30分钟，若该列车提速前的速度是x千米/时，则可列方程为( )
A. 400x−400x−20=30B. 400x−400x+20=0.5
C. 400x+20−400x=0.5D. 400x−20−400x=0.5
8.如图，已知a/​/b，直线l与直线a、b分别交于点A、B，分别以点A、B为圆心，大于12AB的长为半径画弧，两弧相交于点M、N，作直线MN，交直线b于点C，连接AC，若∠ACB=110°，则∠1的度数是( )
A. 55°
B. 50°
C. 40°
D. 35°
9.下列命题中正确的是( )
A. 形如“ a”的式子叫做二次根式
B. 到三角形的三个顶点距离相等的点是三角形三条角平分线的交点
C. 两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差
D. 等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合
10.如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AC=AB，以AB为边，在△ABC外构造等边△ABD，连接CD，在CD上取一点E，使得∠AEC=45°，DE=2.则下列说法中正确的有个．( )
①∠ACD=15°；②2∠BDC=∠BAC；③EA平分∠BAD；④AE⊥BD；⑤BC=4．
A. 2B. 3C. 4D. 5
二、填空题：本题共10小题，每小题3分，共30分。
11.使代数式 x−1有意义的x的取值范围是 ．
12.将0.000034用科学记数法表示为______．
13.计算： 14÷ 27的结果是______．
14.学习分式运算过程中，老师布置了一个任务：依据如图的流程图，计算aa+b+2aba2−b2时需要经历的路径是______．
15.计算：4xy3z÷(−2x−3y−2)= ______．
16.已知a= b−2+ 2−b+3，则 ab= ______．
17.如图，已知△ABC是等边三角形，点B、C、D、E在同一直线上，且CG=CD，DF=DE，则∠E=______度．
18.在△ABC中，点D在BC边上，∠B=40°，∠C=60°，△ABD是等腰三角形，则∠DAC的度数是 ．
19.如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，AD⊥AC交BC于点D，BD=2，则BC的长是______．
20.在Rt△ABC中，∠ABC=90°，点D在BC边上，点E在AB边上，连接AD、ED，∠ADE=45°，且AE=CD.过点B作BF⊥AD，延长BF交AC于点G，连接DG，若∠DBF=∠CAD，CG+BE=5 2，则AC的长为______．
三、解答题：本题共7小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
21.(本小题7分)
计算：
(1)(x+1)(x−3)；
(2)计算： 6÷ 13×( 12+ 50)．
22.(本小题7分)
先化简，再求值：xx2−1÷(1−1x+1)，其中x= 2+1．
23.(本小题8分)
如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点坐标分别是A(0,2)，B(3,1)，C(1,4)．
(1)画出△ABC关于y轴对称的△AB1C1，并写出点B1的坐标；
(2)在x轴上找出一点E使AE+BE的和最小，写出点E的坐标，并画出确定痕迹；
(3)连接B1E、BE，直接写出四边形B1ABE的面积．
24.(本小题8分)
在①AD=AE，②∠ABE=∠ACD，③FB=FC这三个条件中选择其中一个，补充在下面的问题中，并完成问题的解答．
问题：如图，在△ABC中，∠ABC=∠ACB，点D在AB边上(不与点A，点B重合)，点E在AC边上(不与点A，点C重合)，连接BE，CD，BE与CD相交于点F.若______，求证：BE=CD．
注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分．
25.(本小题10分)
某超市准备购进足球和篮球进行销售.每个足球的进价比每个篮球的进价少10元，且用800元购买足球的数量与用1000元购买篮球的数量相同．
(1)求每个足球和篮球的进价分别是多少元；
(2)已知该超市本次购进足球的数量比篮球的数量的2倍少5个，每个足球的销售价是75元，每个篮球的销售价是80元，由于足球的销售量不好，足球售出10个后超市决定将剩余的足球按八折出售，最终将本次购进的足球和篮球全部售出，若使销售的总利润不低于1450元，超市至少购进篮球多少个？
26.(本小题10分)
已知：△ABC中，AB=AC，点D为AC上一点，连接BD并延长至点E，连接AE、CE，使∠BEC=∠BAC．

(1)如图1，当∠BAC=60°时，求证：AE+CE=BE；
(2)如图2，当∠BAC=90°时，(1)中结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请直接写出结论：______；
(3)如图3，在(2)的条件下，在BE上截取BF=CE，连接CF，点G在EF上，连接AG，且∠EAG=75°，∠BAG=∠ACF，CF=4 3，求AG的长．
27.(本小题10分)
已知，在平面直角坐标系中，点A(0,m)在x轴的正半轴上，点B(n,m)在第一象限，且a、b满足等式m2−12m+36+ n−6=0，连接AB、OB．

(1)如图1，求m，n的值；
(2)如图2，点C在x轴负半轴上一点，且其横坐标为t，过点C作CD⊥AC，CD=AC，连接AD、OD.设△OCD的面积为S，求S与t之间的关系式(不需要写出t的取值范围)；
(3)如图3，在(2)的条件下，作AE⊥BD，垂足为点E，连接CE交OB于点F，连接DF，交x轴于点G，当DF/​/y轴时，求△ODF的面积．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：A、不是轴对称，不符合题意；
B、是轴对称图形，符合题意；
C、不是轴对称，不符合题意；
D、不是轴对称，不符合题意；
故选：B．
根据轴对称图形的概念即可求解．在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形为轴对称图形．
本题考查了轴对称图形，能找准对称轴是本题的关键．
2.【答案】B
【解析】解：选项A、C、D的分母中都含有未知数，故它们都是分式；a2是整式．所以不是分式的是B．
故选：B．
根据分式的定义，逐个判断得结论．
本题考查了分式的定义．分式需同时满足三个条件：(1)AB的形式；(2)分子、分母都是整式；(3)分母中含有字母．
3.【答案】A
【解析】解：A、 7是最简二次根式，符合题意；
B、 2.5= 52= 102，不是最简二次根式，不合题意；
C、 20=2 5，不是最简二次根式，不合题意；
D、 212= 102，不是最简二次根式，不合题意．
故选：A．
直接利用最简二次根式的定义分析得出答案即可．
本题主要考查了最简二次根式，正确把握定义：(1)被开方数不含分母；(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式是解题关键．
4.【答案】C
【解析】解：A、x3+xy=x(x2+y)，因式分解正确，故不符合题意；
B、4x2+4x+1=(2x+1)2，因式分解正确，故不符合题意；
C、x2+y2不能进行因式分解，因式分解不正确，故符合题意；
D、9x2−y2=(3x+y)(3x−y)，因式分解正确，故不符合题意；
故选：C．
根据提公因式法、公式法进行因式分解，逐项判断即可．
本题考查了因式分解；熟练掌握提公因式法和公式法正确进行因式分解是解题的关键．
5.【答案】C
【解析】解：A、a2⋅a3=a5，原式计算错误，故本选项错误；
B、(b3)2=b6，原式计算错误，故本选项错误；
C、(ab2)3=a3b6，计算正确，故本选项正确；
D、c6÷c2=c4，原式计算错误，故本选项错误；
故选：C．
结合选项分别进行同底数幂的乘法和除法、幂的乘方，积的乘方等运算，然后选择正确选项．
本题考查了同底数幂的乘法和除法、幂的乘方，积的乘方等运算，解答本题的关键是掌握各知识点的运算法则．
6.【答案】B
【解析】解：∵a+1a=3，
∴(a+1a)2=9，
∴a2+2+1a2=9，
∴a2+1a2=7，
故选：B．
将题目中的式子完全平方再展开，然后变形即可得到所求式子的结果，本题得以解决．
本题考查完全平方式，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用完全平方式解答．
7.【答案】B
【解析】解：∵该列车提速前的速度是x千米/时，
∴提速后的速度是(x+20)千米/时．
∵该列车行驶400千米所用的时间比原来少用了30分钟，
∴可列方程为400x−400x+20=0.5．
故选：B．
由题意可得出提速后的速度是(x+20)千米/时，进而由该列车行驶400千米所用的时间比原来少用了30分钟，即可列出关于x的分式方程．
本题考查分式方程的实际应用．读懂题意，找出等量关系，列出等式是解题关键．
8.【答案】D
【解析】解：∵a/​/b，∠ACB=110°，
∴∠CAD=180°−110°=70°，
根据作图可知，MN垂直平分线段AB，
∴AC=BC，
∴∠ABC=∠BAC，
∵a/​/b，
∴∠ABC=∠1，
∴∠1=∠CAB，
∵∠1+∠CAB=∠CAD=70°，
∴∠1=12×70°=35°，故D正确．
故选：D．
根据a/​/b，∠ACB=110°，得出∠CAD=180°−110°=70°，根据垂直平分线的性质得出AC=BC，根据等腰三角形的性质，得出∠ABC=∠BAC，根据平行线的性质，得出∠ABC=∠1，从而得出∠1=∠CAB，即可求出∠1=12×70°=35°．
本题主要考查了平行线的性质，垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌握平行线的性质，两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补．
9.【答案】C
【解析】解：A、形如“ a(a≥0)”的式子叫做二次根式，故不符合题意；
B、到三角形的三个顶点距离相等的点是三角形三条垂直平分线的交点，故不符合题意；
C、两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差，故符合题意；
D、等腰三角形底边上的高、底边上的中线、顶角的角平分线互相重合，故不符合题意；
故选：C．
根据二次根式的定义、三角形的外心、平方差、等腰三角形的性质判断求解即可．
本题考查命题与定理，解题的关键是掌握教材上相关的概念和定理．
10.【答案】D
【解析】解：①∵△ABD为等边三角形，
∴AB=AD=BD，∠ABD=∠ADB=∠BAD=60°，
∵AC=AB，∠BAC=90°，
∴AD=AC，∠DAC=60°+90°=150°，
∴∠ADC=∠ACD=12(180°−150°)=15°，故①正确；
②∵∠BDC=∠BDA−∠ADC=60°−15°=45°，∠BAC=90°，
∴2∠BDC=∠BAC，故②正确；
③∵∠AEC=45°，∠ADC=15°，
∴∠DAE=∠AEC−∠ADC=45°−15°=30°，
∵∠BAD=60°，
∴∠BAE=∠BAD−∠DAE=30°，
∴∠DAE=∠BAE，
∴EA平分∠BAD，故③正确；
④延长AE交BD于点F，如图所示：
∵△ABD是等边三角形，AE平分∠BAD，
∴AE⊥BD，故④正确；
⑤∵∠DFE=90°，∠DEF=∠AEC=45°，
∴∠EDF=90°−45°=45°，
∴∠EDF=∠DEF，
∴DF=EF，
∵DF2+EF2=DE2，
∴2DF2=22，
解得：DF= 2或DF=− 2(舍去)，
∵△ABD是等边三角形，AE平分∠BAD，
∴BD=2DF=2 2，
∴AB=AC=2 2，
∴BC= AB2+AC2=4，故⑤正确；
综上分析可知，正确的有5个，故D正确．
故选：D．
①根据等边三角形的性质和等腰直角三角形的性质，得出∠ACD=15°，可以判定①；
②求出∠BDC=45°，即可得出②正确；
③求出∠DAE=∠BAE，即可得出③正确；
④根据等边三角形的性质，即可得出④正确；
⑤根据勾股定理求出BC=4，即可得出⑤正确．
本题主要考查了等边三角形的性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握等边三角形和等腰三角形的性质．
11.【答案】x≥1
【解析】【分析】
根据二次根式有意义的条件：被开方数为非负数求解即可．
【解答】
解：因为代数式 x−1有意义，
所以x−1≥0，
解得：x≥1．
故答案为：x≥1．
【点评】
本题考查了二次根式有意义的条件，掌握被开方数为非负数是解题关键．
12.【答案】3.4×10−5
【解析】解：0.000034=3.4×10−5，
故答案为：3.4×10−5．
科学记数法的形式是：a×10n，其中1≤|a|<10，n为整数，n取决于原数小数点的移动位数与移动方向，|n|是小数点的移动位数，往左移动，n为正整数，往右移动，n为负整数．
本题考查的知识点是用科学记数法表示绝对值较小的数，关键是在理解科学记数法的基础上确定好a，n的值，同时掌握小数点移动对一个数的影响．
13.【答案】7
【解析】解： 14÷ 27= 14÷27= 14×72=7，
故答案为：7．
根据二次根式的除法进行计算即可求解．
本题考查了二次根式的除法，掌握二次根式的除法运算法则是解题的关键．
14.【答案】②④
【解析】解：aa+b+2aba2−b2
=a(a−b)(a+b)(a−b)+2ab(a+b)(a−b)=a2−ab+2ab(a+b)(a−b)
=a2+ab(a+b)(a−b)
=a(a+b)(a+b)(a−b)
=aa−b，
根据运算可知，需要经历的路径是②④；
故答案为：②④．
根据分式的减法运算法则即可求出答案．
本题考查分式的减法运算，解题的关键是熟练运用分式的减法运算，本题属于基础题型．
15.【答案】−2x4y5z
【解析】解：4xy3z÷(−2x−3y−2)=−2x4y5z，
故答案为：−2x4y5z.
根据单项式除以单项式的法则以及同底数幂的除法法则计算即可．
本题主要考查了整数指数幂的运算，熟记幂的运算法则是解答本题的关键．
16.【答案】 6
【解析】解：由题意可得：
b−2≥02−b≥0，
解得：b=2，
∴a=3，
∴ ab= 2×3= 6．
故答案为： 6．
根据二次根式有意义的条件求出a的值，再求出b的值，最后代入求出 ab的值即可．
本题主要考查不等式组的求解以及二次根式有意义的条件，熟记二次根式有意义的条件是解题关键．
17.【答案】15
【解析】解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB=60°，∠ACD=120°，
∵CG=CD，
∴∠CDG=30°，∠FDE=150°，
∵DF=DE，
∴∠E=15°．
故答案为15．
根据等边三角形三个角相等，可知∠ACB=60°，根据等腰三角形底角相等即可得出∠E的度数．
本题考查了等边三角形的性质，互补两角和为180°以及等腰三角形的性质，难度适中．
18.【答案】40°或10°
【解析】解：∵∠B=40°，∠C=60°，
∴∠BAC=80°，
如图，当AD=BD，
∴∠BAD=∠B=40°，
∴∠DAC=∠BAC−∠BAD=40°，
当AB=BD时，
∴∠BAD=∠BDA=180°−∠B2=70°，
∴∠DAC=∠BAC−∠BAD=10°，
故答案为：40°或10°．
先求出∠BAC的角度，再分AD=BD，AB=BD，AB=AD三种情况分类讨论，利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可得出答案．
本题考查等腰三角形的性质，三角形内角和定理．能分类讨论是解题关键．
19.【答案】6
【解析】解：∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵∠BAC=120°，∠BAC+∠B+∠C=180°，
∴∠B=∠C=30°，
∵AD⊥AC，
∴∠DAC=90°，
∴DC=2AD，∠BAD=∠BAC−∠DAC=30°，
∴∠BAD=∠B，
∴BD=AD=2，
∴DC=2AD=4，
∴BC=CD+BD=6．
故答案为：6．
在△ABC中，根据等边对等角的性质及三角形内角和定理得出∠B=∠C=30°，证明∠BAD=∠B=30°，那么AD=DB=2，由AD⊥AC，∠C=30°，得出CD=2AD=4，于是BC=CD+BD=6．
本题考查含30度角的直角三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．
20.【答案】10 2
【解析】解：在线段AG上截取GH=BE，连接DH，如图所示：
则CG+GH=CG+BE=5 2，
∴CH=5 2，
∵BF⊥AD，
∴∠AFB=∠DFB=∠AFG=∠DFG=90°，
∵∠ABC=90°，
∴∠DBF+∠ADB=∠BAD+∠ADB=90°，
∴∠BAD=∠DBF，
∵∠DBF=∠CAD，
∴∠BAD=∠CAD，
在△AFB和△AFG中，
∠AFB=∠AFGAF=AF∠BAD=∠CAD，
∴△AFB≌△AFG(ASA)，
∴AB=AG，BF=GF，∠AGD=∠ABD=90°，
∴AD垂直平分BG，
∴BD=GD，
在△BDE和△GDH中，
BE=GH∠EBD=∠HGBBD=GD，
∴△BDE≌△GDH(SAS)，
∴DE=DH，∠BDE=∠GDH，
∵∠ADB+∠BAD=∠ADG+DAG=90°，∠BAD=∠GAD，
∴∠ADB=∠ADG，
∴∠ADB−∠BDE=∠ADG−∠GDH，
即∠ADE=∠ADH，
∵DE=DH，AD=AD，
∴△ADE≌△ADH，
∴∠ADH=∠ADE=45°，AH=AE，
设∠BDE=∠GDH=x，
∴∠ADB=∠ADG=45°+x，
∴∠CDH=180°−∠ADH−∠ADB=180°−45°−45°−x=90°−x，
∵∠DGH=90°，
∴∠DHG=90°−x，
∴∠CDH=∠DHG，
∴CD=CH=5 2，
∵CD=AE，
∴AH=AE=CD=5 2，
∴AC=AH+CH=5 2+5 2=10 2．
在线段AG上截取GH=BE，连接DH，得出CH=5 2，证明△AFB≌△AFG，得出AB=AG，BF=GF，∠AGD=∠ABD=90°，证明△BDE≌△GDH，
得出DE=DH，∠BDE=∠GDH，证明△ADE≌△ADH，得出∠ADH=∠ADE=45°，AH=AE，证明∠CDH=∠DHG，得出CD=CH=5 2，证明AH=AE=CD=5 2，即可得出答案．
本题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，垂直平分线的性质，直角三角形两锐角互余，解题的关键是作出辅助线，构造全等三角形，证明AH=AE=CD=CH=5 2．
21.【答案】解：(1)(x+1)(x−3)
=x2−3x+x−3
=x2−2x−3；
(2) 6÷ 13×( 12+ 50)
= 6÷13×( 12+ 50)
= 18×( 12+ 50)
= 18×12+ 18×50
=6 6+30．
【解析】(1)根据多项式乘多项式运算法则进行计算即可；
(2)根据二次根式混合运算法则进行计算即可．
本题主要考查了多项式乘多项式，二次根式混合运算，解题的关键是熟练掌握运算法则，准确计算．
22.【答案】解：原式=x(x+1)(x−1)÷xx+1=x(x+1)(x−1)⋅x+1x=1x−1，
∵x= 2+1，
∴原式=1 2+1−1=1 2= 22．
【解析】先对分式进行化简，然后再代值求解即可．
本题主要考查分式的化简求值及二次根式的运算，熟练掌握分式的化简求值及二次根式的运算是解题的关键．
23.【答案】解：(1)如图所示，△AB1C1即为所画，B1(−3,1)，

(2)如图所示，点E即为所找的点．

由作图可知，点A与点A′关于x轴对称，则AE=A′E，
∴AE+BE=A′E+BE=A′E
根据两点间线段最短，可得，此时AE+BE的和最小．
∵A(0,2)，点A与点A′关于x轴对称，
∴A′(0,−2)，设直线A′B的解析式为y=kx+b，
把A′(0,−2)，B(3,1)代入y=kx+b，得b=−23k+b=1，
解得：b=−2k=1，
∴y=x−2，
令y=0，则x=2，
∴E(2,0)．
(3)S四边形B1ABE=S△BB1A+S△BB1E=12×6×1+12×6×1=6，
答：四边形B1ABE的面积为6．
【解析】(1)分别作出点B、C关于y轴的对称点B1，C1，再连接AB1，B1C1，AC1即可得△AB1C1，然后根据点B1在平面直角坐标系中的位置，写出坐标即可；
(2)作点A关于x轴的对称点A′，再连接A′E交x轴于E即可，然后根据点E在平面直角坐标系中的位置，写出坐标即可；
(3)根据S四边形B1ABE=S△BB1A+S△BB1C求解即可．
本题考查作轴对称图形，利用轴对称求最短距离问题，三角形面积，利用网求图形面积，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键．
24.【答案】①AD=AE(②∠ABE=∠ACD或③FB=FC)
证明：选择条件①的证明为：
∵∠ABC=∠ACB，
∴AB=AC，
在△ABE和△ACD中，
AB=AC∠A=∠AAE=AD，
∴△ABE≌△ACD(SAS)，
∴BE=CD；
选择条件②的证明为：
∵∠ABC=∠ACB，
∴AB=AC，
在△ABE和△ACD中，
∠ABE=∠ACDAB=AC∠A=∠A，
∴△ABE≌△ACD(ASA)，
∴BE=CD；
选择条件③的证明为：
∵∠ABC=∠ACB，
∴AB=AC，
∵FB=FC，
∴∠FBC=∠FCB，
∴∠ABC−∠FBC=∠ACB−∠FCB，
即∠ABE=∠ACD，
在△ABE和△ACD中，
∠ABE=∠ACDAB=AC∠A=∠A，
∴△ABE≌△ACD(ASA)，
∴BE=CD．
【解析】若选择条件①，利用∠ABC=∠ACB得到AB=AC，则可根据“SAS”可判断△ABE≌△ACD，从而得到BE=CD；
选择条件②，利用∠ABC=∠ACB得到AB=AC，则可根据“ASA”可判断△ABE≌△ACD，从而得到BE=CD；
选择条件③，利用∠ABC=∠ACB得到AB=AC，再证明∠ABE=∠ACD，则可根据“ASA”可判断△ABE≌△ACD，从而得到BE=CD．
本题考查了全等三角形的判定与性质：全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．也考查了等腰三角形的性质．
25.【答案】解：(1)设每个足球的进价为x元，则每个篮球的进价为(x+10)元，
根据题意得：800x=1000x+10，
解得：x=40，
经检验x=40是原方程的解，40+10=50(元)，
答：每个足球的进价为40元，每个篮球的进价为50元．
(2)设该超市本次购进篮球的数量为m个，则购买足球的数量为(2m−5)个，
根据题意得：(80−50)m+(75−40)×10+(75×80%−40)(2m−5−10)≥1450，
解得：m≥20，
答：超市至少购进篮球20个．
【解析】(1)设每个足球的进价为x元，则每个篮球的进价为(x+10)元，根据800元购买足球的数量与1000元购买篮球的数量相同，列出方程，解方程即可；
(2)设该超市本次购进篮球的数量为m个，则购买足球的数量为(2m−5)个，根据销售的总利润不低于1450元，列出不等式，解不等式即可．
本题主要考查了分式方程的应用和一元一次不等式的应用，解题的关键是根据题目中的等量关系和不等关系列出方程和不等式．
26.【答案】 2AE+CE=BE
【解析】(1)证明：在BE上截取BH=CE，连接AH，如图1所示：
∵∠BEC=∠BAC，∠ADB=∠CDE，
∴∠ABH=∠ACE，
∵AB=AC，BH=CE，
∴△ABH≌△ACE(SAS)，
∴∠BAH=∠CAE，AH=AE，
∴∠HAE=∠HAC+∠CAE=∠HAC+∠BAH=∠BAC=60°，
∴△HAE为等边三角形，
∴AE=HE，
∴BE=BH+HE=CE+AE，
即AE+CE=BE；
(2)解：(1)中结论不成立； 2AE+CE=BE，理由如下：
在BE上截取BH=CE，连接AH，如图2所示：
∵∠BEC=∠BAC，∠ADB=∠CDE，
∴∠ABH=∠ACE，
∵AB=AC，BH=CE，
∴△ABH≌△ACE(SAS)，
∴∠BAH=∠CAE，AH=AE，
∴∠HAE=∠HAC+∠CAE=∠HAC+∠BAH=∠BAC=90°，
∴△HAE为等腰直角三角形，
∴HE= 2AE，
∴BE=BH+HE=CE+ 2AE，
故答案为： 2AE+CE=BE；
(3)解：连接AF，过点A作AM⊥EF于点M，如图3所示：
∵∠BEC=∠BAC，∠ADB=∠CDE，
∴∠ABF=∠ACE，
∵AB=AC，BF=CE，
∴△ABF≌△ACE(SAS)，
∴∠BAF=∠CAE，AF=AE，
∴∠FAE=∠FAC+∠CAE=∠FAC+∠BAF=∠BAC=90°，
∴△FAE为等腰直角三角形，
∴∠AEF=∠AFE=12×90°=45°，
∵∠EAG=75°，
∴∠AGE=180°−∠EAG−∠AEG=60°，
∴∠ABG=∠ACE，∠BAG=∠ACF，
∴∠ABG+∠BAG=∠ACE+∠ACF，
即∠ABG+∠BAG=∠FCE，
∵∠ABG+∠BAG=∠AGE=60°，
∴∠FCE=60°，
∵∠BFC=∠BAC=90°，
∴∠EFC=90°−60°=30°，
∴CE=12CF=2 3，
∴EF= CF2−CE2=6，
∵△FAE为等腰直角三角形，AM⊥EF，
∴AM=EM=FM=12EF=3，
∵∠AGM=60°，∠AMG=90°，
∴∠GAM=90°−60°=30°，
∴GM=12AG，
∵AG2=AM2+GM2，
∴AG2=32+(12AG)2，
解得：AG=2 3或AG=−2 3(舍去)，
∴AG的长为2 3．
(1)在BE上截取BH=CE，连接AH，证明△ABH≌△ACE(SAS)，得出∠BAH=∠CAE，AH=AE，证明△HAE为等边三角形，得出AE=HE，即可证明结论；
(2)在BE上截取BH=CE，连接AH，证明△ABH≌△ACE(SAS)，得出∠BAH=∠CAE，AH=AE，证明△HAE为等腰直角三角形，得出 2AE=HE，即可证明结论；
(3)连接AF，过点A作AM⊥EF于点M，根据解析(2)的证明得出△ABF≌△ACE(SAS)，∠BAF=∠CAE，AF=AE，证明△FAE为等腰直角三角形，求出∠AGE=180°−∠EAG−∠AEG=60°，∠FCE=60°，根据直角三角形的性质结合勾股定理求出EF= CF2−CE2=6，最后在Rt△AGM中根据含30°角直角三角形的性质和勾股定理求出结果即可．
本题主要考查了三角形全等的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，等边三角形的判定和性质，三角形内角和定理的应用，解题的关键是作出辅助线，构造全等三角形，证明△ABH≌△ACE．
27.【答案】解：(1)∵m2−12m+36+ n−6=0，即：(m−6)2+ n−6=0，
∴m−6=0，n−6=0，
∴m=6，n=6；
(2)作DG⊥x轴，则∠AOC=∠CGD=90°，∠DCG+∠CDG=90°，

∵CD⊥AC，
∴∠DCG+∠ACO=90°，
∴∠ACO=∠CDG，
在△AOC与△CGD中，
∠AOC=∠CGD=90°∠ACO=∠CDGAC=CD，
∴△AOC≌△CGD(AAS)，
∴OC=GD，
∵点C在x轴负半轴上一点，且其横坐标为t，
∴OC=GD=−t，
则△OCD的面积S=12OC⋅GD=12t2；
(3)由(1)知，m=n=6，则A(0,6)，B(6,6)，
∴AB=OA=6，且AB⊥y轴，即△BAO为等腰直角三角形，OB=6 2，
∴∠AOB=∠BOx=45°，
过点C作CH⊥CE，延长AE交CH于H，故∠CAH+∠CAE=180°，

∵AE⊥BD，CD⊥AC，即：∠AEB=∠AED=∠ECH=∠ACD=90°，
∴∠CAE+∠CDE=180°，∠ECH=∠ACD=90°，即∠ACH+∠ACE=∠DCE+∠ACE=90°，
∴∠CAH=∠CDE，∠ACH=∠DCE，
又∵CD=CA，
∴△ACH≌△DCE(ASA)，
∴CH=CE，故△CHE为等腰直角三角形，
∴∠AEC=45°，
作AP⊥AE交CE于P，连接OP，过O作OQ⊥OP，交CE于Q，
可知，△AEP为等腰直角三角形，故AP=AE，∠AEC=∠APE=45°，
∵AB⊥y轴，则∠PAE=∠OAB=90°，即：∠PAO+∠OAE=∠EAB+∠OAE=90°，
∴∠PAO=∠EAB，
∴△AOP≌△ABE(SAS)，
∴∠APO=∠AEB=90°，PO=EB，则∠OPQ=∠APO−∠APE=45°，
∴△POQ为等腰直角三角形，故：PO=QO=EB，∠PQO=45°，
∴∠FQO=135°，∠FEB=∠AEP+∠AEB=135°，
∴∠FQO=∠FEB，
又∵∠QFO=∠EFB，
∴△QFO≌△EFB(AAS)，
∴OF=BF，即OF=12OB=3 2，
∵DF//y轴，
∴DF⊥OG，故△FOG为等腰直角三角形，
∴FG=OG=3，
由(2)可知，△AOC≌△CGD(AAS)，则AO=CG=6，CO=DG，
∴CO=CG−OG=3=DG，则DF=6，
∴S△DOF=12DF⋅OG=9．
【解析】(1)由题意得(m−6)2+ n−6=0，由非负性可知m−6=0，n−6=0，进而求得m，n的值；
(2)作DG⊥x轴，易证△AOC≌△CGD(AAS)，可得OC=GD，由点C在x轴负半轴上一点，且其横坐标为t，知OC=GD=−t，根据△OCD的面积S=12OC⋅GD可得关系式；
(3)由(1)知，△BAO为等腰直角三角形，OB=6 2，过点C作CH⊥CE，延长AE交CH于H，利用四边形内角和及同角的补角相等可得∠CAH=∠CDE，进而可得△ACH≌△DCE(ASA)，可知△CHE为等腰直角三角形，即∠AEC=45°，作AP⊥AE交CE于P，连接OP，过O作OQ⊥OP，交CE于Q，可知，△AEP为等腰直角三角形，易证△AOP≌△ABE(SAS)，可得∠APO=∠AEB=90°，PO=EB，进而可知△POQ为等腰直角三角形，可知PO=QO=EB，∠PQO=45°，易知∠FQO=∠FEB，可证△QFO≌△EFB(AAS)，可得OF=BF，即OF=12OB=3 2，易知△FOG为等腰直角三角形，FG=OG=3，由(2)可知AO=CG=6，CO=DG，进而可得DF=6，即可求得△DOF的面积．
本题考查算术平方根的非负性，全等三角形的判定及性质，等腰直角三角形的判定及性质，添加辅助线构造全等三角形和等腰直角三角形证得OF=BF是解决问题的关键．