2023-2024学年甘肃省庆阳重点中学高一（上）期末数学试卷（含解析）

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这是一份2023-2024学年甘肃省庆阳重点中学高一（上）期末数学试卷（含解析），共12页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.设集合A={x|x≥1}，B={x|−1A. [1,5)B. (−1,1]C. (1,5)D. (−1,1)
2.cs210°=( )
A. 12B. −12C. 32D. − 32
3.不等式6x2+x−2≤0的解集为( )
A. {x|−23≤x≤12}B. {x|x≤23或x>12}
C. {x|x≥12}D. {x|x≤−23}
4.已知a，b∈R，则“a>b”是“a+2>b+1”的( )
A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分又不必要条件
5.从某校高一新生中随机抽取一个容量为20的身高样本，将数据从小到大排序(单位：cm)：152，155，158，164，164，165，165，165，166，167，168，168，169，170，170，170，171，x，174，175.若样本数据的第90百分位数是173，则x的值为( )
A. 171B. 172C. 173D. 174
6.函数f(x)=lnx+x−2的零点所在区间为( )
A. (−1,0)B. (0,1)C. (1,2)D. (2,3)
7.已知幂函数f(x)的图象过点(9,3)，则函数f(x)的图象是( )
A. B.
C. D.
8.已知函数f(x)=2x+3,x<1,lg3x,x⩾1.则f(f(13))=( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列四个选项中，正确的是( )
A. 极差与方差都反映了数据的集中程度B. 方差是没有单位的统计量
C. 标准差比较小时，数据比较分散D. 只有两个数据时，极差是标准差的2倍
10.已知函数f(x)=sin(x+π3)，则下列结论中正确的是( )
A. f(x)的最小正周期为2π
B. f(π2)是f(x)的最大值
C. 把函数y=sinx的图象上所有点向左平移π3个单位长度，可得到函数y=f(x)的图象
D. x=π6是函数f(x)的零点
11.已知定义在R上的奇函数f(x)在x>0时满足f(x)=(x+1)3，且f(x+m)≤8f(x)在x∈[1,3]有解，则实数m的值可以为( )
A. 2B. 3C. 4D. 5
12.已知函数f(x)=2x,x≤0lg2x,x>0，则下列说法正确的是( )
A. f(x)是R上的增函数
B. f(x)的值域为R
C. “x> 2”是“f(x)>12”的充要条件
D. 若关于x的方程f(x)+x−a=0恰有一个实根，则a>1
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.若命题“∃x0∈R，使得x02+4x0+2k<0”是假命题，则实数k的取值范围是______．
14.若a，b为正实数，且ab=1，则a+2b的最小值为______．
15.已知f(x2−1)=2x+3，则f(6)的值为______．
16.一组数据的方差是4，将这组数据中的每个数据都乘以5，所得到的新数据的标准差是______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
已知函数f(x)=3sin(2x+π6)，x∈R．
(1)求f(0)的值；
(2)求f(x)的最小正周期．
18.(本小题12分)
已知函数f(x)=−ax2−2x，其中a∈R，a≠0．
(1)若f(−1)=0，求实数a的值；
(2)求不等式f(x)>0的解集．
19.(本小题12分)
已知a≠0，函数f(x)=x−aax．
(1)指出f(x)在(0,+∞)上的单调性(不需说明理由)；
(2)若f(x)在[12,b]上的值域是[12,b]，求b的值．
20.(本小题12分)
某幼儿园根据部分同年龄段女童的身高数据绘制了频率分布直方图，其中身高的变化范围是[96,106](单位：厘米)，样本数据分组为[96,98)，[98,100)，[100,102)，[102,104)，[104,106]．
(1)求出x的值；
(2)已知样本中身高小于100厘米的人数是36，求出样本总量N的数值；
(3)根据频率分布直方图提供的数据及(2)中的条件，求出样本中身高大于或等于98厘米并且小于104厘米的人数．
21.(本小题12分)
已知函数f(x)=x+2,x⩽0,lgax,x>0,且点(4,2)在函数f(x)的图象上．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)若方程f(x)−2m=0有两个不相等的实数根，求实数m的取值范围．
22.(本小题12分)
已知函数f(x)=|x2+1x|+|x2−1x|+a(a∈R)．
(1)当a=0时，讨论函数f(x)的奇偶性；
(2)若f(x)≥0对任意的x∈(1,+∞)成立，求实数a的取值范围．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：∵集合A={x|x≥1}，B={x|−1∴A∩B={x|1≤x<5}．
故选：A．
利用交集定义直接求解．
本题考查集合的运算，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
2.【答案】D
【解析】【分析】
此题考查了运用诱导公式化简求值，熟练掌握诱导公式是解本题的关键．
原式中的角度变形后，利用诱导公式及特殊角的三角函数值计算即可得到结果．
【解答】
解：cs210°=cs(180°+30°)=−cs30°=− 32．
故选：D．
3.【答案】A
【解析】解：∵方程6x2+x−2=0的实数根为12和−23，
∴不等式6x2+x−2≤0的解集为{x|−23≤x≤12}.
故选：A．
先求出方程6x2+x−2=0的实数根为12和−23，再求出它的解集即可．
本题考查了求一元二次不等式的解集的应用问题，是基础题．
4.【答案】A
【解析】解：因为a>b，所以a>b−1，即有a+2>b+1，
当a+2>b+1，即a>b−1，不一定推出a>b，比如：a=b=1，满足a>b−1，但是a>b不成立，
因此“a>b”是“a+2>b+1”的充分而不必要条件．
故选：A．
根据充分条件，必要条件的定义以及不等式性质即可求解．
本题主要考查不等式性质的应用，以及充分条件，必要条件定义的理解和应用，属于容易题．
5.【答案】B
【解析】解：∵20×90%=18，
∴样本数据的第90百分位数是第18项和第19项数据的平均数，
故x+1742=173，解得x=172．
故选：B．
根据百分位数的计算方法求解．
本题考查百分位数的计算，是基础题．
6.【答案】C
【解析】解：由题意得：函数f(x)=lnx+x−2的定义域为(0,+∞)，在定义域上为增函数，
f(2)=ln2>0；f(1)=−1<0；∴f(1)⋅f(2)<0，∴f(x)零点所在区间为(1,2)．
故选：C．
利用函数的零点判断定理，判断选项即可．
本题考查了函数的单调性，考查了函数的零点问题，是一道基础题．
7.【答案】C
【解析】解：设幂函数f(x)=xα(α为常数)，
∵幂函数f(x)的图象过点(9,3)，
∴9α=3，∴α=12，
∴f(x)=x12，定义域为[0,+∞)，在[0,+∞)上单调递增，且增长较慢，
故选：C．
先利用待定系数法求出幂函数f(x)的解析式，再结合函数的定义域和单调性即可选出正确选项．
本题主要考查了幂函数的定义和性质，属于基础题．
8.【答案】B
【解析】解：∵函数f(x)=2x+3,x<1,lg3x,x⩾1.，∴f(13)=6+3=9，
f(f(13))=f(9)=lg39=2，
故选：B．
由题意，先求得f(13)的值，可得要求式子的值．
本题主要考查分段函数的应用，求函数的值，属于基础题．
9.【答案】AD
【解析】解：根据题意，依次分析选项：
对于A：根据极差、方差的定义可知：极差与方差都反映了数据的集中程度，一般来说，极差、方差越大，稳定性越差，故A正确；
对于B：方差的单位是样本数据单位的平方，故B错误；
对于C：标准差比较小时，数据比较集中，故C错误；
对于D：设两个数据分别为x1，x2，则极差等于|x2−x1|，平均数为x1+x22，
标准差等于 12[(x1−x1+x22)2+(x2−x1+x22)2]=12|x2−x1|，
即极差是标准差的2倍，故D正确．
故选：AD．
根据极差、方差以及标准差的定义依次分析选项，综合可得答案．
本题考查数据极差、方差以及标准差定义，注意极差、方差以及标准差的计算公式，属于基础题．
10.【答案】AC
【解析】解：对于A中，根据函数f(x)=sin(x+π3)，可得它的周期T=2πω=2π，所以A正确．
对于B中，由f(π2)=sin(π2+π3)=sin5π6=12≠1，所以B不正确．
对于C中，将函数y=sinx的图象上所有点向左平移π3个单位长度，得到y=sin(x+π3)的图象，所以C正确．
对于D中，由于f(π6)=sinπ2=1≠0，所以D错误．
故选：AC．
根据题意，结合三角函数的图象与性质，逐项判定，即可求解．
本题主要考查函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，正弦函数的图象和性质，属于中档题．
11.【答案】ABC
【解析】解：当x>0时，函数f(x)=(x+1)3单调递增，值域为(1,+∞)，
由f(x)在R上为奇函数，则x<0上函数也递增，值域为(−∞,−1)，且f(0)=0，
综上，f(x)在R上单调递增，
因为x∈[1,3]，所以8f(x)=8(x+1)3=[(2x+1)+1]3=f(2x+1)，
所以f(x+m)≤f(2x+1)，所以x+m≤2x+1，即m≤x+1在x∈[1,3]有解，
当x∈[1,3]时(x+1)max=4，所以m≤4．
故选：ABC．
由题设得到8f(x)=f(2x+1)，结合函数单调性得到m≤x+1在x∈[1,3]有解求参数范围，即可得答案．
本题主要考查了函数奇偶性在解析式求解中的应用，还考查了存在性问题与最值关系的转化，属于中档题．
12.【答案】BD
【解析】【分析】
作出f(x)的图象，再进行逐一判断即可．
本题考查了函数的单调性及值域，作出图象是解答本题的关键，属于中档题．
【解答】
解：作出f(x)的图象如图所示：
A.f(x)在(−∞,0]和(0,+∞)上单调递增，但在R上不是增函数，故A错；
B.由图象可知f(x)的值域为R，故B正确；
C.由x> 2可得f(x)>lg2 2=12，所以充分性满足，
由f(x)>12，可得x⩽0且2x>12，
或x>0且lg2x>12，
解得−1 2，必要性不满足，故C错误；
D.令f(x)+x−a=0，则f(x)=−x+a，要使两个图象y=f(x)与y=−x+a只有一个交点，则必有a>1，故D正确；
故选BD．
13.【答案】[2,+∞)
【解析】解：由题意得：“∀x∈R，使得x2+4x+2k≥0”是真命题，
即Δ=16−8k≤0，解得：k≤2，
故实数k的取值范围是[2,+∞)．
故答案为：[2,+∞)
由题意，根据命题的真假关系得到原命题的否定为真命题，即x2+4x+2k≥0恒成立，利用判别式求出实数k的取值范围．
本题主要考查存在量词和特称命题，属于基础题．
14.【答案】2 2
【解析】解：因为a，b为正实数，ab=1，
所以a+2b≥2 2ab=2 2，当且仅当a=2b，即a= 2,b= 22时取等号．
故答案为：2 2．
由已知结合基本不等式即可求解．
本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于基础题．
15.【答案】31
【解析】解：∵f(x2−1)=2x+3，
设x2−1=t，则x=2t+2，
∴f(t)=2(2t+2)+3=4t+7，
∴f(6)=4×6+7=31．
故答案为：31．
设x2−1=t，得f(t)=2(2t+2)+3=4t+7，由此能求出f(6)．
本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．
16.【答案】10
【解析】解：根据题意，一组数据的方差是4，将这组数据中的每个数据都乘以5，
所得到的新数据的方差是S2=52×4=100．
故新数据的标准差为10．
故答案为：10．
根据题意，由方差的性质求出新数据的方差，进而计算可得答案．
本题考查方差的计算，注意方差的性质，属于基础题．
17.【答案】解：(1)由于函数f(x)=3sin(2x+π6)，
所以f(0)=3sinπ6=32；
(2)由于函数f(x)=3sin(2x+π6)，所以函数的最小正周期为T=2π2=π．
【解析】(1)直接利用函数的关系式求出函数的值；
(2)利用正弦型函数的性质的应用求出函数的最小正周期．
本题考查的知识要点：正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
18.【答案】解：(1)由函数f(x)=−ax2−2x，因为f(−1)=0，
可得−a+2=0，
解得a=2；
(2)因为f(x)>0，可得−ax2−2x>0，即x(ax+2)<0，
当a>0时，解得−2a0的解集为(−2a,0)；
当a<0时，解得x>−2a或x<0，所以不等式f(x)>0的解集为(−∞,0)∪(−2a,+∞)，
综上可得：当a>0时，不等式的解集为(−2a,0)；
当a<0时，不等式的解集为(−∞,0)∪(−2a,+∞)．
【解析】(1)根据题意，由f(−1)=0，列出方程，即可求解；
(2)根据题意，得到−ax2−2x>0，结合一元二次不等式不等式的解法，即可求解．
本题考查二次不等式的解法及分类讨论的思想，属于基础题．
19.【答案】解：(1)f(x)=x−aax=1a−1x在(0,+∞)上单调递增；
(2)由(1)可知f(x)在[12,b]上单调递增，b>12，
故f(12)=1a−2=12f(b)=1a−1b=b，
解得a=25，b=2或b=12(舍)，
故b=12．
【解析】(1)结合反比例函数的性质即可求解函数单调性；
(2)结合函数的单调性即可求解．
本题主要考查了函数单调性的判断及利用单调性求解函数的最值，属于基础题．
20.【答案】解：(1)根据频率分布直方图，得；
(0.050+0.100+0.150+0.125+x)×2=1，
解得x=0.075；
(2)设样本容量N，样本中身高小于10厘米的频率为p1，
∴p1=(0.050+0.100)×2=0.30；
又p1=30N，
∴N=30p1=300.30=100；
(3)样本中身高大于或等于98厘米并且小于104厘米的频率为p2，
∴p2=(0.100+0.150+0.125)×2=0.75；
∴身高大于或等于98厘米并且小于104厘米的人数是
n=p2N=100×0.75=75．
【解析】(1)根据频率分布直方图中各小长方形的面积和等于1，求出x的值；
(2)根据频率、频数和样本容量的关系，求出频率和样本容量；
(3)根据频率、频数与样本容量的关系，求出所求的频率与频数．
本题考查了频率分布直方图的应用问题，也考查了频率、频数与样本容量的应用问题，是基础题．
21.【答案】解：(1)函数f(x)=x+2,x⩽0,lgax,x>0,
又点(4,2)在函数f(x)的图象上，
所以lga4=2，解得a=2，
即f(x)=x+2,x⩽0,lg2x,x>0.
(2)将f(x)−2m=0化为f(x)=2m，
因为方程f(x)−2m=0有两个不相等的实数根，
所以直线y=2m与函数y=f(x)的图象有两个公共点，
在同一坐标系中作出直线y=2m与函数y=f(x)的图象(如图所示)．

由图象，得2m⩽2，即m⩽1，即m的取值范围是(−∞,1]．
【解析】(1)根据点(4,2)在函数f(x)的图象上，求出a=2，可得所求解析式；
(2)方程f(x)−2m=0有两个不相等的实数根，转化为f(x)和y=2m有两个不同的交点，数形结合，即可求解m的范围．
本题考查函数的解析式和图象，考查方程思想和运算能力，属于基础题．
22.【答案】解：(1)当a=0时，f(x)=|x2+1x|+|x2−1x|，
且其定义域是{x∈R|x≠0}，关于原点对称，
又对任意的x≠0，有f(−x)=|(−x)2+1−x|+|(−x)2−1−x|=|x2−1x|+|x2+1x|，
所以f(−x)=f(x)，
所以当a=0时，函数f(x)为偶函数；
(2)当x∈(1,+∞)时，x2>1，0<1x<1，
所以f(x)=|x2+1x|+|x2−1x|+a=x2+1x+x2−1x+a=2x2+a，
易知f(x)在(1,+∞)单调递增，
又f(x)≥0对任意的x∈(1,+∞)成立，
所以2×12+a≥0，
所以a≥−2．
即所求a的取值范围是[−2,+∞)．
【解析】(1)先求函数的定义域，再根据奇偶性的定义判断即可；
(2)根据x∈(1,+∞)去绝对值符号得到f(x)=2x2+a，根据函数f(x)的单调性即可求得参数的取值范围．
本题考查了函数的奇偶性、单调性并利用二次函数的单调性解决恒成立问题，属于中档题．