2023-2024学年江苏省泰州市高二（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年江苏省泰州市高二（上）期末数学试卷（含解析），共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.直线 3x−3y−2=0的倾斜角是( )
A. 30°B. 45°C. 60°D. 120°
2.椭圆x26+y2k=1的焦点在x轴上，离心率为 22，则实数k的值是( )
A. 2B. 3C. 4D. 12
3.已知等比数列{an}的各项均为正数，若a2=2，a3+a4=12，则a1=( )
A. 1B. 2C. 12D. 14
4.设a>0，若圆(x−a)2+y2=1与圆x2+y2=25有公共点，则a的取值范围为( )
A. (0,4)B. {4}C. (4,6)D. [4,6]
5.斜拉桥是桥梁建筑的一种形式，在桥梁平面上有多根拉索，所有拉索的合力方向与中央索塔一致.如图，一座斜拉桥共有10对拉索，在索塔两侧对称排列，已知拉索上端相邻两个错的间距|PiPi+1|(i=1,2,3,…,9)均为4m，拉索下端相邻两个锚的间距|AiAi+1|、|BiBi+1|(i=1,2,3,…,9)均为16m，最短拉索P1A1满足|OP1|=60m，|OA1|=96m，若建立如图所示的平面直角坐标系，则最长拉索P10B10所在直线的斜率为( )
A. 15B. 516C. 2564D. 25
6.已知函数f(x)=aex+bx在x=0处取得极小值1，则f′(2)=( )
A. e2−2B. 2−e2C. e2−1D. e2
7.不等式(x−2)(x+1)0)相交于M，N两点，线段MN的中点的横坐标为4，点T为y轴上的动点.若MT+NT的最小值为4 7，则实数b的值为( )
A. −2或2B. −3或3C. −4或2D. −2或6
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列结论正确的是( )
A. 椭圆x216+y27=1上任意一点到两个焦点的距离之和为8
B. 椭圆x216+y27=1上一点到右焦点的距离的最大值为6
C. 双曲线x264−y216=1上一点M到一个焦点的距离为1，则点M到另一个焦点的距离为17
D. 双曲线x264−y216=1上一点M到一个焦点的距离为17，则点M到另一个焦点的距离为1
10.已知点P在圆C：(x−4)2+(y−4)2=9上，点A(4,0)，B(0,2)，则( )
A. 直线AB与圆C相切B. 点P到直线AB的距离小于7
C. 当∠PBA最大时，|PB|= 11D. ∠PBA的最小值小于15°
11.若数列{an}的前n项和Sn=n2，数列{bn}的通项bn=3n−1，则( )
A. an=2n−1
B. 数列{bn}的前n项和Tn=3n−1+12
C. 若cn=1anan+1，则数列{cn}的前n项和Cn0)，则( )
A. 当a=e时，函数f(x)恰有1个零点
B. 当a>e时，函数f(x)恰有2个极值点
C. 当a=e2时，函数f(x)恰有2个零点
D. 当函数f(x)恰有2个零点时，必有一个零点为2
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.直线x− 3y+2 3=0被圆x2+y2=7截得的弦长为______．
14.双曲线y2−x24=1的一条渐近线是曲线y=lnx+a的切线，则a的值为______．
15.设等差数列{an}的前n项和为Sn，数列{Snn}的前n项和为Tn.若S4=12，S8=40，则T11= ______．
16.如图1所示，套娃是一种木制玩具，一般由多个相同结构的空心木娃一个套一个组成，套娃的截面可近似看成由圆和椭圆的一部分组成.建立如图2所示的平面直角坐标系，圆A：x2+(y−4)2=4的圆心是椭圆的上顶点，半径是椭圆的短半轴长，则椭圆的离心率为______；若动直线x=t与圆的上半部分和椭圆的下半部分分别交于B，C两点，则当△ABC的面积最大时，t2的值为______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
已知直线l1：2x+3y−2=0，l2：mx+(2m−1)y+1=0，其中m为实数．
(1)当l1//l2时，求直线l1，l2之间的距离；
(2)当m=1时，求过直线l1，l2的交点，且垂直于直线x−2y+4=0的直线方程．
18.(本小题12分)
已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F，A为抛物线上一点，延长AF交抛物线于点B，抛物线的准线与x轴的交点为K，A(p3,m)(m>0)，|AF|=53．
(1)求抛物线的方程；
(2)求△ABK的面积．
19.(本小题12分)
已知函数f(x)=x3−ax2，曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线l的斜率为1，其中a∈R．
(1)求a的值和l的方程；
(2)证明：当x∈(0,+∞)时，f(x)≥xlnx．
20.(本小题12分)
已知数列{an}是等差数列，数列{bn}是公比大于1的等比数列，{bn}的前n项和为Tn.条件①a1=2；条件②b2=2a1；条件③a2=2b1；条件④an+Tn=2bn.从上面四个条件中选择两个作为已知，使数列{an}、{bn}存在且唯一确定．
(1)求数列{an}、{bn}的通项公式；
(2)求数列{(−1)n(nan+bn)}的前2n项和S2n．
21.(本小题12分)
已知双曲线：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)过点P(2,2 3)，离心率为 5．
(1)求C的方程；
(2)过点P且斜率为k1(k1≠0)的直线l交双曲线左支于点Q，平行于l的直线交双曲线的渐近线于A，B两点，点A在第一象限，直线AP的斜率为k2.若四边形ABQP为平行四边形，证明：k1k2为定值．
22.(本小题12分)
已知函数f(x)=ex，g(x)=csx，x∈[0,π2]，
(1)若函数F(x)=f(x)−kg(x)在[0,π2]上单调递增，求k的取值范围；
(2)若关于x的方程f(x)⋅g(x)=m有两个实根x1，x2(x11，
∴g(x)在(0,1)上是减函数，在(1,+∞)上是增函数，
∴g(x)≥g(1)⇒x2−x−lnx≥0⇒x2−x≥lnx，
∴x3−x2≥xlnx⇒f(x)≥xlnx．
【解析】(1)先求函数f(x)的导数，再根据导数的几何意义列式求出a值，最后再根据直线的方程写出切线的方程即可．
(2)对函数求导，讨论函数的单调性，即可得到f(x)的极小值．
本题主要考查了利用函数的导数判断函数的单调性，导数的几何意义在切线的求解中的应用，属于中档题．
20.【答案】解：(1)若选①②，选①③，选②③，{an}、{bn}不唯一确定；故必须选④，
若选①④，可得n=1时，a1+T1=a1+b1=2b1，解得b1=a1=2．
设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q，q>1，
由an+Tn=2bn，可得n≥2时，an−1+Tn−1=2bn−1，相减可得an−an−1+bn=2bn−2bn−1，化为d=bn−2bn−1，可得d=0，即an=2，
则bn=2n；
若选②④，an=a1，bn=a1⋅2n−1，{an}、{bn}不唯一确定；
若选③④，a1=b1，a2=2b1，可得d=b1=0，则an=bn=0，等比数列{bn}不存在．
综上，可得an=2，bn=2n；
(2)(−1)n(nan+bn)=(−1)n(2n+2n)=(−1)n(2n)+(−2)n，
前2n项和S2n=[(−2+4)+(−6+8)+(−10+12)+...+(−2n+2+2n)]+[−2+4+...+(−2)2n−1+(−2)2n]
=2n+−2[1−(−2)2n]1−(−2)=2n−23+22n+13．
【解析】(1)考虑选①②，①③，②③，可得{an}、{bn}不唯一确定；故必须选④，考虑选①④，②④，③④，结合等比数列的定义和通项公式，可得结论；
(2)由数列的分组求和与等差数列和等比数列的求和公式，计算可得所求和．
本题考查等差数列和等比数列的通项公式、求和公式，以及数列的递推式与数列的分组求和，考查方程思想和运算能力、推理能力，属于中档题．
21.【答案】解：(1)根据题意可得4a2−12b2=1e=ca= 5c2=a2+b2，
解得a2=1，b2=4，c2=5，
所以双曲线的方程为x2−y24=1．
(2)证明：设直线l的方程为y=k1x+m，直线AB的方程为y=k1x+n，(m≠n)，
将P(2,2 3)代入直线l得2 3=2k1+m，
即m=2 3−2k1，
联立y=k1x+mx2−y24=1，得(4−k12)x2−2k1mx−(m2+4)=0，
得4−k12≠0(−2k1m)2−4(4−k12)[−(m2+4)]>0xP+x1=2k1m4−k12，即m2+4>k12，
因为A在第一象限，双曲线渐近线方程为y=±2x，
联立y=2xy=k1x+n，得x=n2−k1，y=2n2−k1，
即A(n2−k1,2n2−k1)，
联立y=−2xy=k1x+n，得x=n−2−k1，y=−2n−2−k1，
即B(n2−k1,2n2−k1)，
所以AB=(−4n4−k12,−4nk14−k12)，
因为l/​/AB，|AB|=|PQ|，
所以AB=PQ，
所以x1−xP=−4n4−k12②，
又xP+x1=2k1m4−k12①，
②−①得，−2xP=−4n4−k12−2k1n4−k12=−4，
所以−4n−2k1m+4(4−k12)=0，
所以2n=8−2k12−k1m=8−2k12−k1(2 3−2k1)=8−2 3k1，
因为k2=yA−yPxA−xP=2n2−k1−2 3n2−k1−2=2n−2 3(2−k1)n−2(2−k1)=2n−4 3+2 3k1n−4+2k1
=8−2 3k1−4 3+2 3k14− 3k1−4+2k1=8−4 3(2− 3)k1，
所以k1k2=4，为定值．
【解析】(1)根据题意可得4a2−12b2=1e=ca= 5c2=a2+b2，解得a2，b2，c2，即可得出答案．
(2)设直线l的方程为y=k1x+m，直线AB的方程为y=k1x+n，(m≠n)，将P(2,2 3)代入直线l得m=2 3−2k1，联立直线l与双曲线的方程得(4−k12)x2−2k1mx−(m2+4)=0，得4−k12≠0(−2k1m)2−4(4−k12)[−(m2+4)]>0xP+x1=2k1m4−k12，联立y=2xy=k1x+n，得A点坐标，联立y=−2xy=k1x+n，得B点坐标系，进而可得AB的坐标，由l/​/AB，|AB|=|PQ|，得AB=PQ，
则x1−xP=−4n4−k12②，又xP+x1=2k1m4−k12①，可得2n=8−2 3k1，计算k2，即可得出答案．
本题考查双曲线的方程，直线与双曲线的位置关系，解题中需要一定的计算能力，属于中档题．
22.【答案】解：(1)∵F(x)=ex−kcsx在[0,π2]上单调递增，
∴F′(x)=ex+ksinx≥0对∀x∈[0,π2]成立，
当x=0时，F′(x)=0，
∴k≥−exsinx对∀x∈(0,π2]成立，
令h(x)=−exsinx(00⇒0