2023-2024学年宁夏银川市永宁县重点中学高二（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年宁夏银川市永宁县重点中学高二（上）期末数学试卷（含解析），共16页。试卷主要包含了选择题，非选择题等内容，欢迎下载使用。

1.直线 3x−y+2=0的倾斜角为( )
A. 30°B. 60°C. 120°D. 150°
2.抛物线y2=2x的准线方程是( )
A. y=−12B. y=−1C. x=−12D. x=−1
3.已知等差数列{an}，其前n项和为Sn，a4+a5+a6=12，则S9=( )
A. 24B. 36C. 48D. 64
4.用数学归纳法证明1+2+3+4+⋯+(2n−1)+2n=2n2+n(n∈N∗)，当n=k+1(k∈N∗)时，等式左边应在n=k时的基础上加的项是( )
A. 2k+1B. 2k+2
C. (2k+1)+(2k+2)D. 1
5.“远望嵬嵬塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几碗灯？”源自明代数学家吴敬所著的《九章詳詿比纇算法大全》，通过计算得到的答案是( )
A. 2B. 5C. 4D. 3
6.某堆雪在融化过程中，其体积V(单位：m3)与融化时间t(单位：ℎ)近似满足函数关系：V(t)=H(10−110t)3(H为常数)，其图象如图所示．记此堆雪从融化开始到结束的平均融化速度为v(m3/ℎ).那么瞬时融化速度等于v(m3/ℎ)的时刻是图中的( )
A. t1B. t2C. t3D. t4
7.已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为 5，C的一条渐近线与圆(x−2)2+(y−3)2=1交于A，B两点，则|AB|=( )
A. 4 55B. 3 55C. 2 55D. 55
8.设a=ln22，b=ln33，c=1e，则( )
A. c9.下列有关导数的运算正确的是( )
A. 2Δx→0limf(x0+Δx)−f(x0−Δx)2Δx=f′(x0)
B. (e2x)′=e2x
C. (lg2x)′=1xln2
D. (csxx)′=xsinx+csxx2
10.过点(1,1)作曲线y=x3的切线，则切线方程可能是( )
A. 3x+y−2=0B. 3x−y−2=0C. 3x−4y+1=0D. 3x+4y−1=0
11.已知椭圆E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交椭圆E于A，B两点.若AB的中点坐标为(1,−1)，则( )
A. 直线AB的方程为y=12(x−3)B. a2=2b2
C. 椭圆的标准方程为x29+y23=1D. 椭圆的离心率为 22
12.设等差数列{an}的前n项和为Sn，在同一个坐标系中，an=f(n)及Sn=g(n)的部分图象如图所示，则( )
A. 当n=4时，Sn取得最大值B. 当n=3时，Sn取得最大值
C. 当n=4时，Sn取得最小值D. 当n=3时，Sn取得最小值
二、非选择题
13.若等比数列{an}满足a2a4=a5，a4=8，则公比q= ______．
14.若圆x2+y2−2ax−2by=0(a>0,b>0)被直线x+y=1平分，则ab的最大值为______．
15.不过原点的直线l：y=x−m与抛物线y2=8x交于不同两点P，Q，若OP⊥OQ，则m的值为______．
16.若函数f(x)=ae2x+(a−2)ex−x有两个零点，则a的取值范围为______．
17.已知等差数列{an}满足a8=9，a2+a9=13．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn=1anan+1，求数列{bn}的前n项和Tn．
18.已知函数f(x)=xlnx．
(1)求函数f(x)的单调区间和最小值；
(2)画出函数f(x)的草图并根据草图求函数g(x)=12x2(lnx−12)的单调区间．
19.四棱锥P−ABCD中，PA⊥平面ABCD，PA=CD=1，AB=BC=2，PC=3，AB/​/CD．
(1)求证：BC⊥平面PAB；
(2)求二面角A−PD−C的余弦值．
20.已知数列{an}，其前n项和为Sn=32n2+72n(n∈N∗).数列{bn}满足b1=1，bn=bn−1+2n−1(n≥2)．
(1)求数列{an}、{bn}的通项公式；
(2)若数列{cn}满足cn=an⋅(bn+1)，求数列{cn}前n项和Tn．
21.设函数f(x)=[ax2−(4a+1)x+4a+3]ex．
(1)若曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与x轴平行，求a；
(2)若f(x)在x=2处取得极大值，求a的取值范围．
22.已知焦点在x轴上，中心在原点，离心率为 32的椭圆经过点M(1,12)．
(1)求椭圆G的方程；
(2)若动点A，B(不与定点M重合)均在椭圆上，且直线MA与MB的斜率之和为1，O为坐标原点．
(ⅰ)求证：直线AB经过定点；
(ⅱ)求△ABO的面积S的最大值．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：直线 3x−y+2=0的斜率等于 3，
又因为直线的斜率等于倾斜角的正切值，且倾斜角大于或等于0度小于180度，
故直线的倾斜角为60°，
故选：B．
先求出直线的斜率，再根据倾斜角与斜率的关系及倾斜角的范围，求出倾斜角的大小．
本题考查直线的斜率和倾斜角的关系，以及倾斜角的范围．
2.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查抛物线的准线方程，属于基础题．
利用抛物线y2=2px的准线方程是x=−p2即可得出．
【解答】
解：由抛物线y2=2x，可得准线方程x=−24，
即x=−12．
故选：C．
3.【答案】B
【解析】解：∵{an}是等差数列，
∴a4+a5+a6=3a5=12，则a5=4，
∴S9=92(a1+a9)=9a5=9×4=36．
故选：B．
根据{an}是等差数列可得a4+a5+a6=3a5=12，进一步求出a5后再利用S9=9a5进行求解即可．
本题考查等差数列的前n项和公式，考查学生逻辑推理与运算求解的能力，属于基础题．
4.【答案】C
【解析】解：等号左边加的项是[1+2+3+4+⋯+2k+(2k+1)+(2k+2)]−(1+2+3+4+⋯+2k)，
=(2k+1)+(2k+2)．
故选：C．
分别令n=k+1，n=k，然后作差求解．
本题主要考查数学归纳法的应用，属于基础题．
5.【答案】D
【解析】解：根据题意，设每层的灯数为an，
易得数列{an}为等比数列{an}，且其公比为2，S7=381，
则有S7=381=a1(27−1)2−1，解得a1=3．
故选：D．
根据题意，设每层的灯数为an，分析可得数列{an}为等比数列{an}，由等比数列前n项和公式可得381=a1(27−1)2−1，解可得答案．
本题考查数列求和的实际应用，涉及等比数列的前n项和，属于基础题．
6.【答案】C
【解析】解：平均融化速度为v=V(100)−V(0)100−0，反映的是V(t)图象与坐标轴交点连线的斜率，
观察可知t3处瞬时速度(即切线的斜率)为平均速速一致，
故选：C．
根据题意可知，平均融化速度为v=V(100)−V(0)100−0，反映的是V(t)图象与坐标轴交点连线的斜率，通过观察某一时刻处瞬时速度(即切线的斜率)，即可得到答案
本题考查了图象的识别，关键理解平均速度表示的几何意义(即斜率)，属于基础题
7.【答案】A
【解析】解：双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为 5，
可得c= 5a，所以b=2a，
所以双曲线的渐近线方程为：y=±2x，
一条渐近线与圆(x−2)2+(y−3)2=1交于A，B两点，圆的圆心(2,3)，半径为1，
圆的圆心到直线y=2x的距离为：|4−3| 1+4=1 5，
所以|AB|=2 1−15=4 55．
故选：A．
利用双曲线的离心率，求解渐近线方程，然后求解圆的圆心到直线的距离，转化求解|AB|即可．
本题考查双曲线的简单性质的应用，直线与圆的位置关系的应用，属中档题．
8.【答案】C
【解析】解：a=ln22，b=ln33，c=1e=lnee，
令f(x)=lnxx，得f′(x)=1−lnxx2，
∴当x∈(0,e)时，f(x)为增函数，当x∈(e,+∞)时，f(x)为减函数，
则f(e)最大，而f(2)=ln22=ln68，f(3)=ln33=ln69，
∴f(2)∴a故选：C．
构造函数y=lnxx，利用导数研究单调性，可得f(e)最大，再利用对数的运算性质比较a与b的大小，则答案可求．
本题考查对数值的大小比较，考查了利用导数研究函数的单调性，是中档题．
9.【答案】AC
【解析】解：A：2△x→0limf(x0+△x)−f(x0−△x)2△x=f′(x0)，故A正确；
B：(e2x)′=2e2x，故B错误；
C：(lg2x)′=1xln2，故C正确；
D：(csxx)′=−sinx⋅x−csxx2=−xsinx−csxx2，故D错误．
故选：AC．
A：利用极限与导数的几何意义化简即可判断；B，C，D：利用导数的运算性质化简即可判断求解．
本题考查了极限的运算以及导数的运算性质，属于基础题．
10.【答案】BC
【解析】解：①若(1,1)为切点，k=3⋅12=3，
∴切线方程：y−1=3(x−1)即3x−y−2=0
②若(1,1)不是切点，设切点P(x0,x03)，k=3x02=x03−1x0−1⇒2x02−x0−1=0⇒x0=1(舍)或−12．
∴切线方程：y−1=34(x−1)即3x−4y+1=0．
切线方程可能是3x−y−2=0或3x−4y+1=0．
故选：BC．
当①若(1,1)为切点，根据导数的几何意义求出函数f(x)在x=1处的导数，从而求出切线的斜率，再用点斜式写出切线方程，②若不是切点，设出切线方程的切点坐标，把设出的切点的横坐标代入导函数中即可表示出切线方程的斜率，根据设出的切点坐标，通过求解切线的斜率，然后求解切线的方程．
本小题主要考查导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识，考查运算求解能力．属于中档题．
11.【答案】ABD
【解析】解：因为直线AB过点F(3,0)和点(1,−1)，
所以直线AB的方程为y=12(x−3)，代入椭圆方程x2a2+y2b2=1，
得(a24+b2)x2−32a2x+94a2−a2b2=0，
所以AB的中点的横坐标为32a22(a24+b2)=1，即a2=2b2，
又a2=b2+c2，所以b=c=3,a=3 2，离心率为 22，
所以圆E的方程为x218+y29=1．
故选：ABD．
根据直线AB过点F(3,0)和点(1,−1)可得直线AB的方程，与椭圆方程联立，可得AB的中点的横坐标得到a2=2b2可得椭圆标准方程和离心率，从而达到答案．
本题考查椭圆的几何性质，直线与椭圆的位置关系，方程思想，属中档题．
12.【答案】A
【解析】解：根据题意，由图象可知有4种可能：
①，a7=0.7，S7=−0.8，a8=−0.4，由a7=0.7，a8=−0.4，可得d=−1.1，a1=7.3；
分析可得S7=7×(7.3+0.7)2=28>0，与S7=−0.8，矛盾，舍去；
②，a7=0.7，S7=−0.8，S8=−0.4.由S7=−0.8，S8=−0.4，可得a8=0.4，则8(a1+0.4)2═−0.4，
解得a1=−0.5，∴a8=−0.5+7d，解得d=970≠0.4−0.7=−0.3，矛盾，舍去；
③，a7=−0.8，S7=0.7，a8=−0.4.由a7=−0.8，S7=0.7，可得7(a1−0.8)2=0.7，
解得a1=1，∴−0.8=1+6d，解得d=−0.3，而−0.4−(−0.8)=0.4，矛盾，舍去．
④，a7=−0.8，S7=0.7，S8=−0.4，由a7=−0.8，S7=0.7，可得7(a1−0.8)2=0.7，
∴−0.8=1+6d，解得d=−0.3，∴a8=−0.8−0.3=−1.1，∴S8=0.7−1.1=−0.4，满足条件．
∴an=a1+(n−1)d=1−0.3(n−1)=1.3−0.3n≥0，
解可得n≤133=4+13，
当n=4时，Sn取得最大值；
故选：A．
由图象可知可能：①a7=0.7，S7=−0.8，a8=−0.4.②a7=0.7，S7=−0.8，S8=−0.4.③a7=−0.8，S7=0.7，a8=−0.4.④a7=−0.8，S7=0.7，S8=−0.4.分别利用等差数列的通项公式及其前n项和公式即可判断出．
本题考查了等差数列的通项公式及其前n项和公式，考查了数形结合的思想方法、分类讨论的方法，注意对图象的可能情况进行分类讨论．
13.【答案】2
【解析】解：∵等比数列{an}满足a2a4=a5，a4=8，
∴a1q⋅a1q3=a1q4a1q3=8，
解得a1=1，q=2．
故答案为：2．
利用等比数列通项公式列出方程组，求出首项和公比．
本题考查等比数列的首项和前n项和的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等比数列的性质的合理运用．
14.【答案】14
【解析】解：由圆x2+y2−2ax−2by=0，可得圆心C的坐标(a,b)，
又因为圆x2+y2−2ax−2by=0被直线x+y=1平分，
∴直线x+y=1过圆心(a,b)，∴a+b=1，
∴2 ab≤1，∴ab≤14，当且仅当a=b=12时取等号，
∴ab的最大值为14．
故答案为：14．
利用直线过圆心可得结论．
本题主要考查直线与圆的位置关系，属基础题．
15.【答案】8
【解析】解：联立y=x−my2=8x，
消x可得y2−8y−8m=0，
由题意可得Δ=64+32m>0，
即m>−2且m≠0，
设P(x1,y1)，Q(x2,y2)，
则y1+y2=8，y1y2=−8m，
又OP⊥OQ，
则x1x2+y1y2=0，
即(y1+m)(y2+m)+y1y2=0，
则2y1y2+m(y1+y2)+m2=0，
即m2−8m=0，
又m>−2且m≠0，
则m=8．
故答案为：8．
由直线与抛物线的位置关系，结合向量数量积的运算求解．
本题考查了抛物线的性质，重点考查了直线与抛物线的位置关系，属中档题．
16.【答案】(0,1)
【解析】解：由f(x)=ae2x+(a−2)ex−x=0得到a=2ex+xe2x+ex，
令g(x)=2ex+xe2x+ex，由题意可以看作是y=a与g(x)有两个交点，
g′(x)=ex(2ex+1)(−ex−x+1)(e2x+ex)2，
其中ex>0，2ex+1>0，−ex−x+1是单调递减的，并且x=0时，−ex−x+1=0，
因此函数g′(x)=ex(2ex+1)(−ex−x+1)(e2x+ex)2，存在唯一零点，x=0，
当x>0时，g′(x)<0，
x<0时，g′(x)>0，
g(0)=1，
得如下函数g(x)图象：
显然当0故答案为：(0,1)．
参数分离，将原题改造成为a=2ex+xe2x+ex，求y=a与g(x)=2ex+xe2x+ex有两个交点．
本题考查了利用导数研究函数的单调性，函数的零点问题，属于中档题．
17.【答案】解：(1)由于{an}是等差数列，设公差为d，
由a8=9，a2+a9=13，可得a1+7d=9，a1+d+a1+8d=2a1+9d=13，解得a1=2，d=1，
所以{an}的通项公式an=2+(n−1)×1=n+1，n∈N∗；
(2)由(1)知，an=n+1，n∈N∗，
所以bn=1anan+1=1(n+1)(n+2)=1n+1−1n+2，
所以Tn=(12−13)+(13−14)+⋯+(1n+1−1n+2)=12−1n+2=n2(n+2)．
【解析】(1)由等差数列的通项公式，解方程可得首项和公差，进而得到所求；
(2)由数列的裂项相消求和，化简可得所求和．
本题考查等差数列的通项公式和数列的裂项相消求和，考查方程思想和运算能力，属于基础题．
18.【答案】解：(1)函数f(x)=xlnx的定义域为(0,+∞)，f′(x)=lnx+1，
令f′(x)=lnx+1>0，解得x>1e；令f′(x)<0，解得0所以函数f(x)在(0,1e)上单调递减，在(1e,+∞)上单调递增，
所以f(x)min=f(1e)=−1e；
(2)由(1)知函数f(x)在(0,1e)上单调递减，
在(1e,+∞)上单调递增，并且f(x)min=f(1e)=−1e，
作出草图如图所示，
函数g(x)=12x2(lnx−12)的定义域为(0,+∞)，g′(x)=x(lnx−12)+12x2⋅(1x+0)=xlnx=f(x)，
由f(x)图象知，g′(x)<0⇔00⇔x>1，
所以g(x)在(0,1)单调递减，在(1,+∞)单调递增．
【解析】(1)解导数不等式得函数的单调区间；
(2)利用f(x)的图象判断g′(x)的符号，即可求解．
本题考查了利用导数研究函数的单调性，属于中档题．
19.【答案】(1)证明：连接AC，因为PA⊥平面ABCD，BC，AC⊂平面ABCD，
所以PA⊥BC，PA⊥AC，

又PA=1，AB=BC=2，PC=3，
所以AC= 32−12=2 2，
所以AB2+BC2=AC2，所以AB⊥BC，
又PA∩AB=A，PA，AB⊂平面PAB，
所以BC⊥平面PAB．
(2)解：作Bz//PA，由(1)知，BA，BC，Bz两两垂直，
则以B为坐标原点，以BA，BC，Bz所在直线分别为x轴，y轴，z轴，
建立如图所示空间直角坐标系，

则A(2,0,0)，C(0,2,0)，D(1,2,0)，P(2,0,1)，
所以AP=(0,0,1)，DP=(1,−2,1)，DC=(−1,0,0)，
设平面APD的一个法向量为n=(x,y,z)，
则有AP⋅n=z=0DP⋅n=x−2y+z=0，令x=2，可得n=(2,1,0)，
设平面PDC的一个法向量为m=(a,b,c)，
则有DC⋅m=−a=0DP⋅m=a−2b+c=0，令c=2，可得m=(0,1,2)，
设二面角A−PD−C为θ，由图可得二面角为钝二面角，
所以csθ=−|n⋅m||n|⋅|m|=−1 5× 5=−15，
所以二面角A−PD−C的余弦值为−15．
【解析】(1)由线面垂直的性质得到PA⊥BC，PA⊥AC，从而得到AB⊥BC，即可得证；
(2)建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得．
本题考查线面垂直的判定，考查二面角的余弦值求法，属中档题．
20.【答案】解：(1)由题意，当n=1时，a1=Sn=32×12+72×1=5，
当n≥2时，an=Sn−Sn−1
=32n2+72n−32(n−1)2−72(n−1)
=3n+2，
∵当n=1时，a1=5也满足上式，
∴an=3n+2，n∈N∗，
对于数列{bn}：依题意，当n≥2时，
由bn=bn−1+2n−1，可得bn−bn−1=2n−1，
则b1=1，b2−b1=21，b3−b2=22，…，bn−bn−1=2n−1，
各项相加，
可得bn=1+21+22+…+2n−1
=1−2n1−2
=2n−1，
∵当n=1时，b1=1也满足上式，
∴bn=2n−1，n∈N∗．
(2)由(1)可得，cn=an⋅(bn+1)
=(3n+2)⋅(2n−1+1)
=(3n+2)⋅2n，
∴Tn=c1+c2+…+cn=5⋅21+8⋅22+11⋅23+…+(3n+2)⋅2n，
2Tn=5⋅22+8⋅23+…+(3n−1)⋅2n+(3n+2)⋅2n+1，
两式相减，
可得−Tn=5⋅21+3⋅22+3⋅23+…+3⋅2n−(3n+2)⋅2n+1
=10+3⋅(22+23+…+2n)−(3n+2)⋅2n+1
=10+3⋅22−2n+11−2−(3n+2)⋅2n+1
=−(3n−1)⋅2n+1−2，
∴Tn=(3n−1)⋅2n+1+2．
【解析】(1)对于数列{an}，根据题干已知条件及公式an=S1,n=1Sn−Sn−1,n≥2即可计算出数列{an}的通项公式，对于数列{bn}，先将题干中递推公式进行转化，再运用累加法及等比数列的求和公式即可计算出数列{bn}的通项公式；
(2)先根据第(1)题的结果计算出数列{cn}的通项公式，再运用错位相减法即可计算出前n项和Tn．
本题主要考查数列求通项公式，以及数列求和问题．考查了分类讨论，整体思想，转化与化归思想，错位相减法，等比数列的求和公式的运用，以及逻辑推理能力和数学运算能力，属中档题．
21.【答案】解：(1)因为f(x)=[ax2−(4a+1)x+4a+3]ex，
所以f′(x)=[ax2−(2a+1)x+2]ex，则f′(1)=(1−a)e．
因为曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与x轴平行，
所以f′(1)=0，即(1−a)e=0，解得a=1．
此时f(1)=3e≠0，所以a的值为1．
(1)由(1)，得f′(x)=[ax2−(2a+1)x+2]ex=(ax−1)(x−2)ex．
若a>12，则当x∈(1a,2)时，f′(x)<0；
当x∈(2,+∞)时，f′(x)>0，所以f(x)<0在x=2处取得极小值．
若a≤12，则当x∈(0,2)时，x−2<0,ax−1≤12x−1<0，
所以f′(x)>0，所以2不是f(x)的极小值点．
综上，a的取值范围是(12,+∞)．
【解析】(1)先求导数，再根据f′(1)=0，求出a；
(2)先求导数的零点，再分类讨论，根据是否满足f(x)在x=2处取得极小值，再求出a的取值范围．
本题考查了利用导数研究函数的切线方程，利用导数研究函数的单调性与极值，考查了方程思想、分类讨论思想和转化思想，属中档题．
22.【答案】解：(1)设椭圆G：x2a2+y2b2=1(a>b>0)，
因为离心率为 32，
所以ca= 32，c2a2=34，
所以c2=34a2，b2=a2−c2=14a2，
所以椭圆方程为：x2a2+4y2a2=1，
又因为椭圆过点M(1,12)，
所以1a2+1a2=1，
解得a2=2，
所以椭圆方程为：x22+2y2=1；
(2)(ⅰ)证明：当直线AB与x轴垂直时，
设A(s,t)(s≠1)，则B(s,−t)，
由题意得：t−12s−1+−t−12s−1=1，即s=0，
所以直线AB的方程为x=0；
当直线AB不与x轴垂直时，
设直线AB为y=kx+m，A(x1,y1)，B(x2,y2)，
将y=kx+m代入x2+4y2=2得(1+4k2)x2+8kmx+4m2−2=0．
所以x1+x2=−8km1+4k2，x1⋅x2=−4m2−21+4k2，
由直线MA与MB的斜率之和为1可得y1−12x1−1+y2−12x2−1=1①，
将y1=kx1+m和y2=kx2+m代入①，
并整理得(2k−1)x1x2+(m−k+12)(x1+x2)−2m=0②，
将x1+x2=−8km1+4k2，x1⋅x2=−4m2−21+4k2代入②
并整理得2km+2m2+2k+m−1=0，
分解因式可得(2k+2m+1)(m+1)=0，
因为直线AB：y=kx+m不经过点M(1,12)，
所以2k+2m+1≠0，故m=−1．
所以直线AB的方程为y=kx−1，经过定点(0,−1)．
综上所述，直线AB经过定点(0,−1)；

(ⅱ)由(ⅰ)可得：Δ=32k2−8>0，k2>14．|AB|= 1+k2|x1−x2|= 1+k2⋅ (x1+x2)2−4x1x2= 1+k2⋅2 2⋅ 4k2−14k2+1．
因为坐标原点O到直线AB的距离为1 1+k2，
所以△ABO的面积S= 2⋅ 4k2−14k2+1(k2>14).
令 4k2−1=t，则t>0，且S= 2tt2+2= 2t+2t≤ 22 2=12，
当且仅当t= 2，即k=± 32时，△ABO的面积S取得最大值12．
【解析】(1)由已知可知ca= 32，结合a2=b2+c2，及点M(1,12)在椭圆上可求a，b进而可求椭圆方程；
(2)(ⅰ)分类讨论：当直线AB与x轴垂直时，易求直线AB的方程；当直线AB不与x轴垂直时，设直线AB为y=kx+m，A(x1,y1)，B(x2,y2)，联立y=kx+m与x2+4y2=2，根据方程的根与系数关系可求x1+x2，x1x2，然后结合已知斜率关系即可求直线AB的方程，即可求解；
(ⅱ)由(ⅰ)整理方程可求k的范围，结合弦长公式可求AB，然后利用点到直线的距离公式求出点O到直线AB的距离，代入可求△ABO的面积，利用基本不等式可求面积的最大值．
本题考查了椭圆的几何性质，直线与椭圆位置关系的综合应用，考查了基本不等式的应用及数形合思想，属于中档题．