2023-2024学年河南省周口市商水县八年级（上）期末数学试卷-普通用卷

这是一份2023-2024学年河南省周口市商水县八年级（上）期末数学试卷-普通用卷，共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列说法不正确的是( )
A. 0.09的平方根是±0.3B. 19=13
C. 1的立方根是±1D. 0的立方根是0
2.下列命题中，真命题的个数是( )
①对顶角相等；
②两直线平行，同旁内角相等；
③平行于同一条直线的两直线平行；
④若正数a，b满足a2=b2，则a=b．
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
3.将下列多项式分解因式，结果中不含有因式(x+2)的是( )
A. x2−4B. (x−2)2+8(x−2)+16
C. x3−4x2+4xD. x2+2x
4.已知3a=4，3b=5，3c=8，则32a+3b−c的值为( )
A. 250B. 160C. 150D. 133
5.将一块边长为a米的正方形广场进行扩建，扩建后的正方形边长比原来长2米，则扩建后广场面积增大了( )
A. 4米 ​2B. (a2+4)米 ​2C. (2a+4)米 ​2D. (4a+4)米 ​2
6.如图，在△ABC中，∠A=90°，BC的垂直平分线DE交BC于E，交AB于D，若BC=15，AC=9，则△ACD的周长为( )
A. 16
B. 21
C. 24
D. 26
7.勾股定理是历史上第一个把数与形联系起来的定理，其证明是论证几何的发端，下面四幅图中不能证明勾股定理的是( )
A. B.
C. D.
8.已知m2+n2=25，mn=12，则m3n−mn3的值为( )
A. ±300B. ±84C. ±48D. ±12
9.如图，△ABC中，∠ABC，∠EAC的平分线BP，AP交于点P，延长BA，BC，PM⊥BE，PN⊥BF，下列说法：①CP平分∠ACF；②∠ABC+∠MPN=180°；③∠ACB=2∠APB；④∠MPN=2∠APC；⑤AC=AM+CN.其中正确的个数有( )
A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
10.比较大小：−3 3______−2 7(填“<”或“>”)．
11.如图，∠BAC=90°，AB=4，AC=4，BD=7，DC=9，则∠DBA= ______．
12.某次活动中，全班50名同学被分成5个小组，第一组和第二组的频数之和为25，第三组和第四组的频率之和为0.32，则第五组的频率是______．
13.已知x−3y+2=0，则2x+y⋅4y−x=______．
14.如图，在△ABC中，AB=AC=24厘米，BC=16厘米，点D为AB的中点，点P在线段BC上以4厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．当点Q的运动速度为______厘米/秒时，能够在某一时刻使△BPD与△CQP全等．
三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题10分)
先化简，再求值：
(1)(a−b)2−a(a−b)+(a2b+a2b2)÷(ab)，其中a=2，b=−1．
(2)[(2x−12y)2−(−y+2x)(2x+y)+y(x2y−54y)]÷x，其中x=−2，y=1．
16.(本小题8分)
某校随机抽取八年级部分同学接受一次内容为“最适合自己的考前减压方式”的调查活动，从八年级学生中随机抽取部分学生进行问卷调查，整理数据后，将减压方式分为五类：A交流谈心；B体育活动；C享受美食；D听音乐；E其他，并绘制了如图所示两个不完整的统计图．
请根据以上信息，解答下列问题：
(1)这次被调查的学生共有______人；
(2)请将条形统计图补充完整；
(3)计算扇形统计图中表示“D听音乐”的扇形圆心角的度数．
17.(本小题9分)
如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E、F，且BE=CF．
(1)求证：∠B=∠C；
(2)连接AD，求证：AD⊥BC．
18.(本小题9分)
材料：∵4<6<9，∴ 4< 6< 9，即2< 6<3，∴ 6的整数部分是2，小数部分为 6−2．
问题：已知5a+2的立方根是3，3a+b−1的算术平方根是4，c是 15的整数部分．
(1)求 15的小数部分；
(2)求3a−b+c的平方根．
19.(本小题9分)
如图Rt△ABC中，∠BAC=90°，BD是角平分线．
(1)过点A作AE⊥BC，垂足为点E；(要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)
(2)在(1)的条件下，AE交BD于点F，求证：AF=AD．
20.(本小题9分)
长清的园博园广场视野开阔，阻挡物少，成为不少市民放风筝的最佳场所，某校七年级(1)班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度CE，他们进行了如下操作：①测得水平距离BD的长为15米；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线BC的长为25米；③牵线放风筝的小明的身高为1.6米．
(1)求风筝的垂直高度CE；
(2)如果小明想风筝沿CD方向下降12米，则他应该往回收线多少米？
21.(本小题10分)
【问题背景】
如图，在△ABC中，点D、E分别在AC、BC上，连接BD，DE.已知∠ABC=2∠C，BD=CD．
【问题探究】
(1)若∠A=∠DEC，试说明AB=EC；
(2)若AB=BD，求∠A的度数．
22.(本小题11分)
【知识回顾】我们在学习代数式求值时，遇到这样一类题：代数式ax−y+6+3x−5y−1的值与x的取值无关，求a的值．
通常的解题思路是：把x、y看作字母，a看作系数，合并同类项.因为代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0．
具体解题过程是：原式=(a+3)x−6y+5，
∵代数式的值与x的取值无关，
∴a+3=0，解得a=−3．
【理解应用】(1)若关于x的多项式m(2x−3)+2m2−4x的值与x的取值无关，求m值；
(2)已知A=−2x2−2(2x+1)−x(1−3m)+x，B=−x2−mx+1，且A−2B的值与x的取值无关，求m的值；
【能力提升】(3)7张如图1的小长方形，长为a，宽为b，按照图2方式不重叠地放在大长方形ABCD内，大长方形中未被覆盖的两个部分都是长方形.设右上角的面积为S1，左下角的面积为S2，当AB的长变化时，S1−S2的值始终保持不变，求a与b的等量关系．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：A、0.09的平方根是±0.3，说法正确，故此选项不符合题意；
B、 19=13，计算正确，故此选项不符合题意；
C、1的立方根是1，原说法错误，故此选项符合题意；
D、0的立方根是0，说法正确，故此选项不符合题意；
故选：C．
根据平方根和算术平方根的概念判断A和B，根据立方根的概念判断C和D．
本题考查平方根，立方根，掌握平方根，算术平方根和立方根的概念是解题关键．
2.【答案】C
【解析】解：①对顶角相等，正确，是真命题，符合题意；
②两直线平行，同旁内角互补，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
③平行于同一条直线的两直线平行，正确，是真命题，符合题意；
④若正数a，b满足a2=b2，则a=b，正确，是真命题，符合题意，
真命题有3个．
故选：C．
利用对顶角的性质、平行线的性质及判定及实数的性质分别判断后即可确定正确的选项．
本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解有关的定义及定理，难度不大．
3.【答案】C
【解析】解：A、原式=(x+2)(x−2)，不符合题意；
B、原式=(x−2+4)2=(x+2)2，不符合题意；
C、原式=x(x2−4x+4)=x(x−2)2，符合题意；
D、原式=x(x+2)，不符合题意．
故选：C．
各式分解因式得到结果，即可作出判断．
此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
4.【答案】A
【解析】解：∵3a=4，3b=5，3c=8，
∴32a+3b−c
=32a×33b÷3c
=(3a)2×(3b)3÷3c
=42×53÷8
=250，
故选：A．
根据幂的乘方的性质，同底数幂相乘、底数不变指数相加，同底数幂相除、底数不变指数相减，把所求算式转化为已知条件的形式，然后代入计算即可．
本题考查幂的乘方的性质以及同底数幂的乘除法的性质的运用，熟记性质把所求算式转化为已知条件的形式是解题的关键．
5.【答案】D
【解析】解：(a+2)2−a2=a2+4a+4−a2=4a+4，
故选：D．
用扩大后的面积减去原来的面积，即可求出答案．
本题考查了整式的混合运算，注意完全平方公式的使用．
6.【答案】B
【解析】解：由勾股定理得，AB= BC2−AC2= 152−92=12，
∵DE是线段BC的垂直平分线，
∴DC=DB，
∴△ACD的周长=AC+AD+DC=AC+AD+DB=AC+AB=21，
故选：B．
根据勾股定理求出AB，根据线段垂直平分线的性质得到DC=DB，根据三角形的周长公式计算即可．
本题考查的是线段垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
7.【答案】A
【解析】解：A.大正方形的面积等于四个矩形的面积的和，
∴(a+b)2=a2+2ab+b2，
以上公式为完全平方公式，
∴A选项不能说明勾股定理；
B.由图可知三个三角形的面积的和等于梯形的面积，
∴12ab+12ab+12c2=12(a+b)(a+b)，
整理得a2+b2=c2，
∴B选项可以证明勾股定理；
C.大正方形的面积等于四个三角形的面积加小正方形的面积，
∴4×12ab+c2=(a+b)2，
整理得a2+b2=c2，
∴C选项可以证明勾股定理；
D.整个图形的面积等于边长为b的正方形的面积+边长为a的正方形面积+2个直角三角形的面积，也等于边长为c的正方形面积+2个直角三角形的面积，
∴b2+a2+2×12ab=c2+2×12ab，
整理得a2+b2=c2，
∴D选项可以证明勾股定理，
故选：A．
先用不同方法表示出图形中各个部分的面积，利用面积不变得到等式，变形再判断即可．
本题主要考查勾股定理的证明，能根据图形中各个部分的面积列出等式是解此题的关键．
8.【答案】B
【解析】解：m3n−mn3=mn(m2−n2)=mn(m+n)(m−n)．
∵m2+n2=25，mn=12，
∴(m+n)2=m2+n2+2mn=25+2×12=49；(m−n)2=m2+n2−2mn=25−2×12=1．
∴m+n=±7；m−n=±1．
①m+n=7，m−n=1.原式=12×7×1=84；
②m+n=7，m−n=−1.原式=12×7×(−1)=−84；
③m+n=−7，m−n=1.原式=12×(−7)×1=−84；
④m+n=−7，m−n=−1.原式=12×(−7)×(−1)=84．
故选：B．
把所给代数式进行因式分解，可得m3n−mn3=mn(m2−n2)=mn(m+n)(m−n)，那么需要计算出m+n，m−n的值．根据m2+n2=25，mn=12，计算出(m+n)2，(m−n)2的值，再计算出m+n，m−n的值，代入求值即可．
本题考查了因式分解的应用．把所给代数式先进行因式分解是解决本题的关键．用到的知识点为：因式分解一定要分解到底；要计算出m+n，m−n的值．需要先计算出(m+n)2，(m−n)2的值．
9.【答案】D
【解析】解：作PG⊥AC于点G，
∵∠ABC，∠EAC的平分线BP，AP交于点P，PM⊥BE，PN⊥BF，
∴PM=PN，PM=PG，∠AMP=∠AGP=∠CGP=∠CNP=90°，
∴PN=PG，
∴点P在∠ACF的平分线上，
∴CP平分∠ACF，
故①正确；
∵∠AMP=∠BNP=90°，
∴∠ABC+∠MPN=360°−∠AMP−∠BNP=180°，
故②正确；
∵∠PAE=12∠CAE，∠PBE=12∠ABC，
∴∠APB=∠PAE−∠PBE=12(∠CAE−∠ABC)=12∠ACB，
∴∠ACB=2∠APB，
故③正确；
在Rt△APG和Rt△APM中，
AP=APPG=PM，
∴Rt△APG≌Rt△APM(HL)，
∴∠APG=∠APM=12∠MPG，AG=AM，
同理Rt△CPG≌Rt△CPN(HL)，
∴∠CPG=∠CPN=12∠NPG，CG=CN，
∴∠APC=∠APG+∠CPG=12(∠MPG+∠NPG)=12∠MPN，
∴∠MPN=2∠APC，AC=AG+CG=AM+AN，
故④正确，⑤正确，
故选：D．
作PG⊥AC于点G，由PM⊥BE，PN⊥BF，根据角平分线的性质得PM=PN，PM=PG，则PN=PG，即可证明CP平分∠ACF，可判断①正确；因为∠AMP=∠BNP=90°，所以∠ABC+∠MPN=360°−∠AMP−∠BNP=180°，可判断②正确；由∠PAE=12∠CAE，∠PBE=12∠ABC，可证明∠APB=12∠ACB，则∠ACB=2∠APB，可判断③正确；由AP=AP，PG=PM，根据“HL”证明Rt△APG≌Rt△APM，得∠APG=∠APM=12∠MPG，AG=AM，同理Rt△CPG≌Rt△CPN，则∠CPG=∠CPN=12∠NPG，CG=CN，即可推导出∠APC=12∠MPN，AC=AG+CG=AM+AN，则∠MPN=2∠APC，可判断④正确，⑤正确，于是得到问题的答案．
此题重点考查角平分线的性质、全等三角形的判定与性质、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和、四边形的内角和等于360°等知识，正确地作出的需要的辅助线是解题的关键．
10.【答案】>
【解析】解：∵3 3= 27，2 7= 28，
∴−3 3>−2 7，
故答案为：>．
先把根号外的因式移入根号内，再判断即可．
本题考查了算术平方根和实数的大小比较，能选择适当的方法比较两个数的大小是解此题的关键，注意：两个负数比较大小，其绝对值大的反而小．
11.【答案】45°
【解析】解：∵∠BAC=90°，AB=4，AC=4，
∴∠ABC=45°，BC=4 2，
∵BD=7，DC=9，
∴BD2+BC2=49+32=81=92=DC2，
∴△DBC是直角三角形，∠DBC=90°，
∴∠DBA=∠DBC−∠ABC=45°，
故答案为：45°．
利用等腰直角三角形的性质以及勾股定理的逆定理即可解答．
本题考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理的逆定理，熟练掌握等腰直角三角形的性质，以及勾股定理的逆定理是解题的关键．
12.【答案】0.18
【解析】解：第一组和第二组的频率为2550=0.5，
故第五组的频率为1−0.5−0.32=0.18，
故答案为：0.18．
先根据第一组和第二组的频数得出频率，再根据频数之和为1计算出第五组的频数．
本题考查了数据收集中的频数与频率的关系，其中对频率之和为1的理解是解题的关键．
13.【答案】4
【解析】解：由x−3y+2=0得x−3y=−2，
∴3y−x=2，
∴2x+y⋅4y−x
=2x+y⋅22y−2x
=2x+y+2y−2x
=23y−x
=22
=4．
故答案为：4
由x−3y+2=0可得x−3y=−2，再根据幂的乘方以及同底数幂的乘法法则解答即可．
本题主要考查了同底数幂的乘法以及幂的乘方与积的乘方，熟记幂的运算法则是解答本题的关键．
14.【答案】4或6
【解析】本题考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定的应用；熟练掌握等腰三角形的性质，根据题意得出方程是解决问题的关键．
首先求出BD的长，要使△BPD与△CQP全等，必须BD=PC或BP=CP，得出方程12=16−4x或4x=16−4x，求出方程的解即可．
解：设经过x秒后，使△BPD与△CQP全等，
∵AB=AC=24厘米，点D为AB的中点，
∴BD=12厘米，∠ABC=∠ACB，
∴要使△BPD与△CQP全等，必须BD=PC或BP=CP，
即12=16−4x或4x=16−4x，
解得：x=1或x=2．
当x=1时，BP=CQ=4，4÷1=4；
当x=2时，BD=CQ=12，12÷2=6；
即点Q的运动速度是4厘米/秒或6厘米/秒．
故答案为：4或6．
15.【答案】解：(1)(a−b)2−a(a−b)+(a2b+a2b2)÷(ab)
=a2−2ab+b2−a2+ab+a+ab
=b2+a，
当a=2，b=−1时，
原式=(−1)2+2
=1+2
=3；
(2)[(2x−12y)2−(−y+2x)(2x+y)+y(x2y−54y)]÷x
=(4x2−2xy+14y2−4x2+y2+x2y2−54y2)÷x
=(x2y2−2xy)÷x
=xy2−2y，
当x=−2，y=1时，
原式=−2×12−2×1
=−2−2
=−4．
【解析】(1)利用整式的相应的法则对式子进行整理，再代入相应的值运算即可；
(2)利用整式的相应的法则对式子进行整理，再代入相应的值运算即可．
本题主要考查整式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
16.【答案】50
【解析】解：(1)一共抽查的学生：15÷30%=50(人)；
答：这次被调查的学生共有50人；
(2)参加“体育活动”的人数为：50−4−15−18−3=10(人)，
补全统计图如图所示：
(3)360°×1850=129.6°，
答：“D听音乐”所对应扇形的圆心角的度数为129.6°．
(1)利用“享受美食”的人数除以所占的百分比计算即可得解；
(2)用总人数减去A、C、D、E类的人数，求出B类的人数即可解答；
(3)用360°乘以“D听音乐”的百分比即可．
本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
17.【答案】(1)证明：∵D是BC的中点，
∴BD=CD，
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠BED=∠CFD=90°，
∴在Rt△BDE和Rt△CDF中，
BD=CDBE=CF，
∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL)
∴∠B=∠C；
(2)
∵∠B=∠C，
∴AB=AC，
∴△ABC是等腰三角形，
∵D是BC的中点，
∴AD是△ABC底边上的中线，
∴AD也是△ABC底边上的高，即AD⊥BC．
【解析】(1)先证明BD=CD，再证明Rt△BDE≌Rt△CDF即可；
(2)先证明AB=AC，再利用等腰三角形的性质可得结论．
本题考查的是全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质；熟记全等三角形的判定方法与等腰三角形的三线合一是解本题的关键．
18.【答案】解：(1)∵9<15<16，
∴3< 15<4，
∴ 15的整数部分是3，小数部分是 15−3；
(2)∵5a+2的立方根是3，3a+b−1的算术平方根是4，c是 15的整数部分，
∴5a+2=33=27，3a+b−1=42=16，c=3，
∴a=5，b=2，c=3，
∴3a−b+c=15−2+3=16，
∴3a−b+c的平方根是±4．
【解析】(1)估算出 15的范围，即可得到 15的小数部分；
(2)根据5a+2的立方根是3，3a+b−1的算术平方根是4，c是 15的整数部分求出a，b，c的值，然后求出3a−b+c的值，再求它的平方根．
本题考查了无理数的估算，立方根，平方根的定义，注意一个正数的平方根有两个，不要漏解．
19.【答案】(1)解：如图1，AE即为所求；

(2)证明：如图2，

∵Rt△ABC中，∠BAC=90°，
∴∠ABC+∠C=90°，
∵AE⊥BC，
∴∠ABC+∠BAE=90°，
∴∠BAE=∠C，
∵BD是角平分线，
∴∠ABD=∠CBD，
∵∠ADF=∠C+∠CBD，∠AFD=∠BAE+∠ABD，
∴∠ADF=∠AFD，
∴AD=AF．
【解析】(1)以A为圆心，适当长为半径画弧交BC于M，N，以M，N为圆心，大于12MN长为半径画弧，交于点G，连接AG，交BC于E，则AG是线段MN的垂直平分线，AE即为所求；
(2)由题意知，∠ABC+∠C=90°，由AE⊥BC，可得∠ABC+∠BAE=90°，则∠BAE=∠C，由BD是角平分线，可得∠ABD=∠CBD，由三角形外角的性质可得∠ADF=∠C+∠CBD，∠AFD=∠BAE+∠ABD，则∠ADF=∠AFD，AD=AF．
本题考查了尺规作垂线，角平分线的定义，三角形内角和定理，三角形外角的性质，等角对等边．正确的作垂线，熟练掌握等角对等边是解题的关键．
20.【答案】解：(1)在Rt△CDB中，
由勾股定理得，CD2=BC2−BD2=252−152=400，
所以，CD=20(负值舍去)，
所以，CE=CD+DE=20+1.6=21.6(米)，
答：风筝的高度CE为21.6米；
(2)由题意得，CM=12米，
所以DM=8米，
所以BM= DM2+BD2= 82+152=17(米)，
所以BC−BM=25−17=8(米)，
所以他应该往回收线8米．
【解析】(1)利用勾股定理求出CD的长，再加上DE的长度，即可求出CE的高度；
(2)根据勾股定理即可得到结论．
本题考查了勾股定理的应用，熟悉勾股定理，能从实际问题中抽象出勾股定理是解题的关键．
21.【答案】解：(1)∵BD=CD，
∴∠C=∠DBC，
∵∠ABC=∠ABD+∠DBC=2∠C，
∴∠ABD=∠C，
在△ABD和△ECD中，
∠A=∠DEC ∠ABD=∠C BD=CD ，
∴△ABD≌△ECD(AAS)，
∴AB=EC；
(2)∵AB=BD，
∴∠A=∠BDA，
由(1)知，∠ABD=∠DBC=∠C，
∵∠ADB=∠DBC+∠C，
∴∠A=∠ADB=2∠ABD，
∵∠A+∠ABD+∠ADB=180°，
∴∠A+∠A+12∠A=180°，
∴∠A=72°．
【解析】(1)根据等腰三角形的性质及角的和差求出∠ABD=∠C，利用AAS证明△ABD≌△ECD，根据全等三角形的性质即可得解；
(2)根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理求解即可．
此题考查了全等三角形的判定与性质，利用AAS证明△ABD≌△ECD是解题的关键．
22.【答案】解：(1)m(2x−3)+2m2−4x
=2mx−3m+2m2−4x
=(2m−4)x+2m2−3m，
∵其值与x的取值无关，
∴2m−4=0，
∴m=2；
(2)∵A=−2x2−2(2x+1)−x(1−3m)+x，B=−x2−mx+1，
∴A−2B，
=−2x2−2(2x+1)−x(1−3m)+x−2(−x2−mx+1)
=−2x2−4x−2−x+3mx+x+2x2+2mx−2
=(5m−4)x−4
∵A−2B的值与x无关，
∴5m−4=0，即m=45；
(3)设AB=x，由图可知S1=a(x−3b)，S2=2b(x−2a)，
∴S1−S2=a(x−3b)−2b(x−2a)=(a−2b)x+ab，
∵当AB的长变化时，S1−S2的值始终保持不变．
∴S1−S2取值与x无关，
∴a−2b=0，
∴a=2b．
【解析】(1)将多项式整理为(2m−4)x+2m2−3m，令x系数为0，即可求出m；
(2)根据整式的混合运算顺序和法则化简A−2B可得(5m−4)x−4，根据其值与x无关得出5m−4=0，即可得出答案；
(3)设AB=x，由图可知S1=a(x−3b)，S2=2b(x−2a)，即可得到S1−S2关于x的代数式，根据取值与x可得a=2b．
本题主要考查了多项式乘多项式，整式的化简求值，熟练掌握整式的混合运算顺序和法则是解题的关键．