2023-2024学年山西省吕梁市孝义市八年级（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年山西省吕梁市孝义市八年级（上）期末数学试卷（含解析），共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.2023年12月22日第78届联合国大会协商一致通过决议，将春节(农历新年)确定为联合国假日，充分展现了中华文明的传播力、影响力，它将有力促进世界不同文明的交流互鉴，积极体现联合国倡导的多元、包容文化价值理念，下图不同字体的“春”字是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.如图，点A是直线l上一点，以直线外一点O为圆心，OA长为半径画弧，交直线l另一点于B，若OA=3cm，则AB的长不可能是( )
A. 2cmB. 3cmC. 5cmD. 6cm
3.下列运算正确的是( )
A. x2⋅x3=x6B. (x4)2=x6
C. (−3xy2)3=−9x3y6D. x9÷x3=x6
4.如图，已知∠AOB，以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB于点C，D；再以点O为圆心，大于OC为半径画弧，分别交OA，OB于点E，F；连接CF，DE，则△EOD≌△FOC，其全等的依据是( )
A. SSS
B. SAS
C. ASA
D. AAS
5.4微米，是病理科制成的病理切片的平均厚度.因具体活体组织大小以及病症情况不一，这层完整、均匀且薄如蝉翼的组织切片，会存在几微米的上下浮动.病理科的工作，就是围绕着这些微小切片展开的.其中4微米用科学记数法表示为(1米=1000000微米)( )
A. 0.4×10−5米B. 4×10−6米C. 0.4×10−7米D. 4×10−7米
6.若一个正多边形的内角和是其外角和的2倍，则这个正多边形的每个内角为( )
A. 60°B. 90°C. 120°D. 150°
7.下列因式分解正确的是( )
A. 2x+6xy=x(2+6y)
B. x2y+6xy2+9y3=y(x2+6xy+9y2)
C. x2+2x−8=x(x+2)−8
D. x2−4y2=(x+2y)(x−2y)
8.分式与分数有很多类似之处，因此我们在学习分式的一些知识时，经常借助分数的有关知识来得出.比如，分式的基本性质是借助分数的基本性质猜想得出的，这里体现的数学思想是( )
A. 方程思想B. 数形结合思想C. 类比思想D. 分类讨论思想
9.如图，将一个边长为a的正方形，剪掉一个边长为b的小正方形后，剩余的部分可以拼成一个长方形，此操作过程能验证的等式是( )
A. (a+b)(a−b)=a2−b2
B. (a−b)2=a2−2ab+b2
C. (a+b)2=a2+2ab+b2
D. (a+b)(a−b)=a2+b2
10.如图，△ABC中，∠ACB=90°，将△ABC沿AD折叠，使点C落在AB边的点C′处.若△ABC的周长是24，△BDC′的周长是12，则AC的长为( )
A. 12
B. 9
C. 6
D. 3
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.计算：(2ab2)3÷(−a2b3)= ______．
12.在平面直角坐标系中，P(1,−2)关于y轴对称点的坐标是______．
13.如图，△ABC和△ABD中，BC=BD，要使△ABC≌△ABD，则还需要补充的一个条件是______．
14.将一副三角尺如图摆放，若∠1=62°，则∠2= ______．
15.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，分别以A，B为圆心，大于12AB的长为半径画弧，两弧交于D，E两点，作直线DE，分别交AB，BC于点F，G，若BC=6，则GF= ______．
三、解答题：本题共7小题，共65分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题8分)
计算
(1)(−2)3−40+(13)−2．
(2)(x+3)(x−3)−(x−3)2．
17.(本小题8分)
(1)化简：x2−9x2−6x+9÷x2+3xx−3+x−1x．
(2)解方程：13x−1+56x−2=32．
18.(本小题8分)
如图，在△ABC中，∠BAC=90°，∠ACB=40°，BD平分∠ABC，CD⊥BD于点D，求∠ACD的度数．
19.(本小题7分)
如图，已知△ABC．
实践操作：
(1)作△ABD，使△ABD≌△ABC.(要求：尺规作图，点D在直线AB的下方，保留作图痕迹，不写作法)．
推理与探究：
(2)点E是BC上一点，AE//BD.探究：线段CE+AE与DB有怎样的数量关系，并说明理由．
20.(本小题10分)
阅读下列材料，完成相应任务．
探究比例的性质
数学活动课上，老师出示了如下问题：找一组都不为0的数a，b，c，d，使得分式ab=cd成立(即a，b，c，d成比例).由这组数值计算下面各组中的两个分式的值，看看它们之间有什么关系.试猜想各组中的两分式之间的关系，并证明．
(1)ac和bd；(2)a+bb和c+dd；(3)a+ba−b和c+dc−d(a≠b,c≠d)
“兴趣小组”找了一组能使分式ab=cd成立的数：a=2，b=3，c=4，d=6.并对(1)(2)进行了探究．
(1)计算：当a=2，b=3，c=4，d=6时，ac=12，bd=12．
猜想：若ab=cd，则ac=bd．
证明：∵ab=cd，∴ab⋅bc=cd⋅bc(依据1)，∴ac=bd
(2)计算：当a=2，b=3，c=4，d=6时，a+bb=53，c+dd=106=53
猜想：若ab=cd，则a+bb=c+dd；
证明：方法一：∵ab=cd，∴ab+1=cd+1(依据2)，∴a+bb=c+dd
方法二(作差法)：∵ab=cd，∴ad=bc，
∴a+bb−c+dd=ad+bdbd−bc+bdbd(依据3)
=ad+bd−bc−bdbd=ad−bcbd=0
∴a+bb=c+dd
任务一：上述材料中，“依据1”“依据2”“依据3”分别指的是：
依据1：______；依据2：______；依据3：______；
任务二：请你对材料中的(3)a+ba−b和c+dc−d(a≠b,c≠d)进行探究．
①请你再写出一组能使分式ab=cd成立的数：a= ______，b= ______，c= ______，d= ______，
②计算：a+ba−b= ______，c+dc−d= ______；
③猜想：______；
④证明：
21.(本小题12分)
坚持体育锻炼，可以引导学生在体育运动中享受乐趣，增强体质，健全人格，锤炼意志.为了提高学生的球类运动能力，学校购回一批篮球和足球.已知每个足球的价格比每个篮球的价格少20元，用2400元购进足球的数量是用2000元购进篮球的数量的32倍.求足球和篮球的单价各是多少元．
22.(本小题12分)
综合与实践
问题情境：
综合实践课上，老师出示如下题目：如图1，△ABC和△DBC是等边三角形，点E是AB上一点，点F是BC延长线上一点，BE=CF.连接DE，DF，DE交BC于点G，试判断DE与DF的数量关系，并说明理由．
数学思考：
(1)请你解决老师提出的问题．
拓展探究：
(2)在图1的基础上，“睿智小组”提出了新的问题：如图2，连接EF，试判断△DEF的形状，并说明理由；请你解决此问题．
(3)在图2的基础上，“奋进小组”提出了新的问题：延长DC，交EF于点P，得到图3，他们认为：EG=PF.请你利用图3判断他们的说法是否正确，并说明理由．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：A.是轴对称图形，故A正确；
B.不是轴对称图形，故B错误；
C.不是轴对称图形，故C错误；
D.不是轴对称图形，故D错误．
故选：A．
如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可．
本题主要考查了轴对称图形的定义，解题的关键是熟练掌握轴对称的定义．
2.【答案】D
【解析】解：如图，连接OB，
则OB=OA=3cm，
∴0cm∴AB的长不可能是6cm．
故选：D．
连接OB，则OB=OA=3cm，根据三角形三边的关系可得0cm本题考查了三角形三边的关系，熟练掌握三角形三边的关系是关键．
3.【答案】D
【解析】解：A、x2⋅x3=x5，原计算错误，不符合题意；
B、(x4)2=x8，原计算错误，不符合题意；
C、(−3xy2)3=−27x3y6，原计算错误，不符合题意；
D、x9÷x3=x6，故本选项正确，符合题意，
故选：D．
根据同底数幂相乘，幂的乘方，积的乘方，同底数幂相除的运算法则，分析每一个选项，只有D选项符合题意，由此选出答案．
本题考查了同底数幂相乘，幂的乘方，积的乘方，同底数幂相除，熟练掌握其运算的法则是解答本题的关键．
4.【答案】B
【解析】解：由作图步骤可知，OC=OD，OE=OF，
在△COF和△DOE中，
OC=OD∠COF=∠DOEOF=OE，
∴△EOD≌△FOC(SAS)，
故选：B．
利用SAS证明△EOD≌△FOC即可．
本题考查了尺规作图，全等三角形的判定等知识，明确题意，找出所求问题需要的条件是解题的关键．
5.【答案】B
【解析】解：4微米=0.000004米=4×10−6米，
故选：B．
科学记数法的表现形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数，由此进行求解即可得到答案．
此题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
6.【答案】C
【解析】解：正多边形的内角和为(n−2)×180°，正多边形的外角和360°，
∵正多边形的内角和是其外角和的2倍，
∴(n−2)×180°=2×360°，解得n=6，
则这个正多边形的每个内角为2×360°6=120°．
故选：C．
根据题意列出方程求得边数，即可求得每个内角度数．
本题主要考查正多边形的内角和和外角和，掌握内角和和外角和的定义是解题的关键．
7.【答案】D
【解析】解：A中2x+6xy=2x(1+3y)，因式分解不彻底，故不符合题意；
B中x2y+6xy2+9y3=y(x2+6xy+9y2)=y(x+3y)2，因式分解不彻底，故不符合题意；
C中x2+2x−8=x(x+2)−8，不是因式分解，故不符合题意；
D中x2−4y2=(x+2y)(x−2y)，因式分解正确，故符合题意；
故选：D．
根据综合提公因式、公式法，提公因式法，运用平方差公式进行因式分解对各选项进行判断作答即可．
本题考查了综合提公因式、公式法，提公因式法，运用平方差公式进行因式分解．熟练掌握综合提公因式、公式法，提公因式法，运用平方差公式进行因式分解的是解题的关键．
8.【答案】C
【解析】解：我们学习了分式的概念，基本性质和运算．回顾学习分式的过程，常常是先回顾分数的概念、分数的基本性质和分数的运算法则，然后推广得到分式的概念、分式的基本性质和分式的运算法则．这种研究方法主要体现的数学思想是类比思想，
故选：C．
根据类比思想的概念判断即可．
本题主要考查分式的混合运算和数学常识，解题的关键是掌握类比思想的概念．
9.【答案】A
【解析】解：将一个边长为a的正方形，剪掉一个边长为b的小正方形后，剩余的部分可以看作两个正方形的面积差，即a2−b2，通过裁剪可以拼成长为a+b，宽为a−b的长方形，因此面积为(a+b)(a−b)，所以有a2−b2=(a+b)(a−b)，
故选：A．
用“算两次”的方法，分别用代数式表示剩余部分的面积即可．
本题考查平方差公式的几何背景，掌握平方差公式的结构特征是正确解答的关键．
10.【答案】C
【解析】解：由折叠得C′D=CD，AC′=AC，
∵△BDC′的周长是12，
∴BC′+BC=BC′+BD+CD=BC′+BD+C′D=12，
∵△ABC的周长是24，
∴AC+AB+BC=AC+AC′+BC′+BC=2AC+BC′+BC=24，
∴2AC+12=24，
∴AC=6，
故选：C．
由折叠得C′D=CD，AC′=AC，则BC′+BC=BC′+BD+CD=BC′+BD+C′D=12，而AC+AB+BC=2AC+BC′+BC=24，所以2AC+12=24，则AC=6，于是得到问题的答案．
此题重点考查轴对称的性质、三角形的周长等知识，求得BC′+BC=12是解题的关键．
11.【答案】−8ab3
【解析】解：(2ab2)3÷(−a2b3)=8a3b6÷(−a2b3)=−8ab3．
故答案为：−8ab3．
根据积的乘方和单项式除以单项式运算法则，准确计算即可．
本题主要考查了整式的运算，解题的关键是熟练掌握积的乘方和单项式除以单项式运算法则，
12.【答案】(−1,−2)
【解析】解：因为点P(1,−2)关于y轴对称，
所以纵坐标相等相等，横坐标互为相反数，
所以点P(1,−2)关于y轴对称的点的坐标是(−1,−2)，
故答案为(−1,−2)．
根据关于y轴对称的点的纵坐标相等，横坐标互为相反数，可得答案．
本题考查了关于y轴对称的点的坐标，利用关于y轴对称的点的纵坐标相等，横坐标互为相反数是解题关键．
13.【答案】AC=AD(答案不唯一)
【解析】证明：在△ABC和△ABD中，
BC=BDAB=ABAC=AD，
∴△ABC≌△ABD(SSS)．
∴要使△ABC≌△ABD，还需要补充的一个条件是AC=AD(答案不唯一)．
故答案为：AC=AD(答案不唯一)．
由全等三角形的判定定理，即可得到答案．
本题考查全等三角形的判定，关键是掌握全等三角形的判定方法：SAS，ASA，AAS，SSS，HL．
14.【答案】58°
【解析】
解：∠3=180°−∠1−90°
=90°−62°
=28°
∠2=∠3+∠4=28°+30°=58°
故答案为：58°．
利用平角=180°，可求∠3=28°，再根据三角形的外角等于不相邻的两内角的和，求出∠2．
本题考查了平角的定义，三角形的外角的性质，关键是找到三角板中给出的90°，30°．
15.【答案】2
【解析】解：连接AG，
由作图知，DE垂直平分AB，
∴AG=BG，FG⊥AB，
∴∠GAB=∠B=30°，
∵∠C=90°，
∴∠CAB=60°，
∴∠CAG=30°，
∴∠CAG=∠BAG，
∴CG=FG，
∵BC=6，
∴AG=BG=2CG，
∴3CG=BC，
∴CG=2，
∴FG=2，
故答案为：2．
连接AG，由作图知，DE垂直平分AB，求得AG=BG，FG⊥AB，推出∠CAG=∠BAG，根据角平分线的性质得到CG=FG，根据直角三角形的性质即可得到结论．
本题考查了作图−基本作图，线段垂直平分线的性质，直角三角形的性质，正确地作出辅助线是解题的关键．
16.【答案】解：(1)(−2)3−40+(13)−2=−8−1+9=0；
(2)(x+3)(x−3)−(x−3)2=x2−9−(x2−6x+9)=x2−9−x2+6x−9=6x−18．
【解析】(1)分别根据乘方运算，零指数幂，负整数指数幂等知识进行化简，再进行计算即可求解；
(2)根据平方差公式和完全平方公式进行计算，最后进行整式加减运算即可求解．
本题考查了乘方运算，零指数幂，负整数指数幂，整式的混合运算等知识，掌握平方差公式是解题关键．
17.【答案】解：(1)原式=(x+3)(x−3)(x−3)2÷x(x+3)x−3+x−1x
=x+3x−3×x−3x(x+3)+x−1x
=1x+x−1x
=1；
(2)方程两边乘2(3x−1)，得2+5=3(3x−1)，
解得x=109，
检验：当x=109时，2(3x−1)≠0，
∴原分式方程的解为x=109．
【解析】(1)根据分式的加法和除法可以化简题目中的式子即可解答本题；
(2)分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
本题考查分式的混合运算，解分式方程，解答本题的关键是熟练掌握分式的混合运算法则．
18.【答案】解：在△ABC中，∠BAC=90°，∠ACB=40°，
∴∠ABC=90°−∠ACB=50°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠DBC=12∠ABC=25°，
∵CD⊥BD，
∴∠BDC=90°，
在△BCD中，∠BCD=90°−∠DBC=90°−25°=65°，
∴∠ACD=∠BCD−∠ACB=65°−40=25°．
【解析】在△ABC中根据三角形内角和定理求出∠ABC的度数，再根据角平分线的定义求出∠DBC的度数，在△BCD中根据三角形内角和定理求出∠BCD的度数，即可求出∠ACD的度数．
本题考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，熟知三角形三个内角的和是180°是解题的关键．
19.【答案】解：(1)若△ABD≌△ABC，
则AC=AD，BC=BD．
如图，以点A为圆心，线段AC的长为半径画弧，再以点B为圆心，线段BC的长为半径画弧，两弧交于点D，连接AD，BD，
则△ABD即为所求．

(2)CE+AE=DB．
理由：∵△ABD≌△ABC，
∴∠CBA=∠DBA，CB=DB．
∵AE/​/BD，
∴∠EAB=∠ABD，
∴∠CBA=∠EAB，
∴EA=EB．
∵CB=CE+EB，
∴DB=CE+AE．
【解析】(1)结合全等三角形的判定与性质，以点A为圆心，线段AC的长为半径画弧，再以点B为圆心，线段BC的长为半径画弧，两弧交于点D，连接AD，BD即可．
(2)由全等三角形的性质可得∠CBA=∠DBA，CB=DB.由平行线的性质可得∠EAB=∠ABD，进而可得∠CBA=∠EAB，即EA=EB，根据CB=CE+EB，可得DB=CE+AE．
本题考查作图—复杂作图、全等三角形的判定与性质、平行线的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质、平行线的性质是解答本题的关键．
20.【答案】等式的性质2 等式的性质1 分式的基本性质 2 5 4 10 −73 −73 若ab=cd，则a+ba−b=c+dc−d
【解析】解：任务一：依据1：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等．(或等式的性质2)
依据2：等式两边加(或减)同一个数(或式子)，结果仍相等(或等式的性质1)
依据3：分式的分子与分母乘(或除以)同一个不为0的整式，分式的值不变．(或分式的基本性质)．
故答案为：等式的性质2，等式的性质1，分式的基本性质；
任务二：①a=2，b=5，c=4，d=10；(答案不唯一)．
②计算：−73，−73；(答案不唯一)．
故答案为：−73，−73；(答案不唯一)；
③猜想：若ab=cd，则a+ba−b=c+dc−d．
故答案为：若ab=cd，则a+ba−b=c+dc−d；
④证明：∵ab=cd，
∴ad=bc，
∵a+ba−b−c+dc−d=(a+b)(c−d)(a−b)(c−d)−(a−b)(c+d)(a−b)(c−d)
=ac+bc−ad−bd−ac+bc−ad+bd(a−b)(c−d)
=2bc−2adbd=0，
∴a+ba−b=c+dc−d．
任务一：根据等式的性质可解答依据1和依据2，根据分式的性质可解答依据3；
任务二：①任举符合题意的3个数，求出第4个数即可；
②把①中的数代入计算即可；
③根据②的计算猜想即可；
④用作差法根据异分母分式的加减法法则计算即可．
本题考查了等式的性质，分式的性质，异分母分式的加减法，熟练掌握分式的性质是解答本题的关键．
21.【答案】解：设篮球每个是x元，则足球的价格为(x−20)元，
根据题意得，2400x−20=32×2000x，
化简，得24x−20=30x，
方程两边乘x(x−20)，
得24x=30(x−20)，
解得x=100，
检验：当x=100时，x(x−20)≠0，
所以原分式方程的解为x=100．
则x−20=100−20=80(元)，
答：足球和篮球的单价分别是80元和100元．
【解析】设篮球每个是x元，则足球的价格为(x−20)元，根据题意列出方程求解即可．
本题主要考查分式方程的应用，关键是根据题意找到等量关系式．
22.【答案】解：(1)DE=DF，理由如下：
∵△ABC和△DBC是等边三角形，
∴BD=DC，∠ABC=∠DBC=∠DCB=60°，
∴∠DBE=∠DCF=120°，
又∵BE=CF，
∴△BDE≌△CDF(SAS)，
∴DE=DF；
(2)△DEF是等边三角形，理由如下：
∵△BDE≌△CDF，
∴∠BDE=∠CDF，DE=DF，
∴∠EDF=∠BDC=60°，
∴△DEF是等边三角形；
(3)判断正确，理由如下：
∵△DEF是等边三角形，
∴ED=DF=EF，∠FED=∠EDF=60°，
∴∠BCD=∠EDF=60°，
∴∠EDC+∠CDF=∠CDF+∠CFD，
∴∠EDC=∠CFD，
∴△DGF≌△EPD(ASA)，
∴DG=EP，
∴DE−DG=EF−EP，
∴EG=PF．
【解析】(1)由“SAS”可证△BDE≌△CDF，可得DE=DF；
(2)由全等三角形的性质可得∠BDE=∠CDF，DE=DF，可得∠EDF=∠BDC=60°，即可求解；
(3)由“ASA”可证△DGF≌△EPD，可得DG=EP，即可求解．
本题是三角形综合题，考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．