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2023-2024学年陕西省渭南市富平县九年级（上）期末数学试卷（含解析）
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这是一份2023-2024学年陕西省渭南市富平县九年级（上）期末数学试卷（含解析），共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.tan30°的相反数是( )
A. − 3B. − 32C. − 33D. − 22
2.在如图所示的几何体中，主视图和俯视图都为长方形的是( )
A. B. C. D.
3.如图，直线a//b//c，直线AC分别交直线a、b、c于点A、B、C，直线FD分别交直线a，b，c于点F，E，D.若ABAC=13，EF=1.2，则FD的长为( )
A. 3.6
B. 3.0
C. 2.6
D. 2.4
4.在一个不透明的盒子中装有a个球，这些球除颜色外无其他差别，这a个球中只有3个红球，若每次将球充分搅匀后，任意摸出1个球记下颜色再放回盒子，通过大量重复试验后，发现摸到红球的频率稳定在0.2左右，则a的值约为( )
A. 12B. 15C. 18D. 20
5.如图，为测一河两岸相对两电线杆A、B间的距离，在距A点15米处的C点(AC⊥BA)测得∠C=50°，则A、B间的距离应为( )
A. 15sin50°米
B. 15cs50°米
C. 15tan50°米
D. 15tan50∘米
6.在同一平面直角坐标系中，一次函数y=x−1与反比例函数y=mx(m>0)的图象可能是( )
A. B. C. D.
7.如图，在矩形ABCD中，BD为矩形ABCD的对角线，点E、F分别是BC、CD的中点，连接AE交BD于点G，连接BF交AE于点H.连接EF，则GHHE的值是( )
A. 12
B. 32
C. 22
D. 23
8.二次函数y=(x−1)(x−a)(a为常数)图象的对称轴为直线x=2，将该二次函数的图象沿y轴向下平移k个单位，使其经过点(0,−1)，则k的值为( )
A. 3B. 4C. 2D. 6
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
9.如图，某地同一时刻两根木杆的影子是由______形成的投影(在“太阳光”或“灯光”中选择)．
10.关于x的一元二次方程x2−6x+m=0有一个根为2，则m的值为____
11.在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，正方形ABCD的顶点C，D在第二象限，若点A的坐标为(0,2)，点B的坐标为(−3,0)，则点C的坐标为______．
12.已知函数y=4x(x>0)和y=kx(x>0)的图象如图所示，点C在x轴正半轴上一点，过点C作AB//y轴分别交两个图象于点A、B，若AC=2BC，则k= ______．
13.如图，在矩形ABCD中，AB=8cm，BC=6cm，点P和点Q分别为AB边和BC边上的动点且满足AP=2BQ，则当△PBQ的面积最大时，AP的值为______．
三、计算题：本大题共1小题，共5分。
14.解方程：3x2−4x−1=0．
四、解答题：本题共12小题，共76分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题5分)
计算：2cs30°−tan60°+sin45°cs45°．
16.(本小题5分)
如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=8，BC=4，求csA和tanA的值．
17.(本小题5分)
如图，在等腰△ABC中，AB=AC，点D是AC边上一定点．请用尺规作图法在BC上求作一点P，使得△ABC∽△PCD.(保留作图痕迹，不写作法)
18.(本小题5分)
如图，在10×10的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点O和点A1在格点上，△ABC是格点三角形(顶点在网格线交点上)．
(1)画出△ABC以点O为位似中心的位似图形△A1B1C1，点A、B、C的对应点分别为点A1、B1和C1；
(2)△A1B1C1与△ABC的周长之比为______．
19.(本小题5分)
如图，转盘①被均匀地分成6个扇形，转盘②被均匀地分成3个扇形，利用这两个转盘进行“配绿色”游戏(黄色和蓝色配在一起为绿色)，同时转动两个转盘，当转盘停止转动时，用两个转盘指针所指的颜色配色.(若指针指在分割线上，需重新转动，直到指针指向某一扇形为止)
(1)利用画树状图或列表的方法表示所有可能出现的情况；
(2)求能配出绿色的概率．
20.(本小题5分)
已知二次函数y=2x2−4x−6．
(1)求证：该抛物线与x轴一定有两个交点；
(2)若该抛物线与x轴的两个交点分别为A、B，且它的顶点为P，求△ABP的面积．
21.(本小题6分)
在△ABC中，∠BAC=90°，D是BC的中点，过点A作AE//BC，且AE=BD，连结CE．
(1)证明：四边形ADCE是菱形；
(2)若AC=6，AB=8，求菱形ADCE的面积．
22.(本小题7分)
某科技小组进行野外考察，途中遇到一片十几米宽的烂泥湿地为了安全、迅速通过这片湿地，他们沿着前进路线铺了若干块木块，构筑成一条临时近道.木板对地面的压强p(Pa)是木板面积S(m2)的反比例函数，其图象如图所示．
(1)写出压强p(Pa)关于木板面积S(m2)的函数表达式；
(2)当木板面积为3m2时，木板对地面的压强是多少？
23.(本小题7分)
某饮料批发店平均每天可售出某款饮料300瓶，售出1瓶该款饮料的利润是1元.经调查发现、若该款饮料的售价每瓶每降低0.1元，则每天可多售出100瓶.为了使每天获得的利润更多.该批发店决定每瓶降价x元(x<1).当x为多少时，该批发店每天卖出该款饮料的利润为400元？
24.(本小题8分)
晓华和小菲一起合作来测量某建筑物BC顶部广告牌AB的高.如图所示，在阳光下，某一时刻，广告牌顶端A的影子在E处，同时，晓华站在N处的影长NG为2.4m，CE=36m；然后，小菲在D处测得楼房的顶端B的仰角∠BDC为50.2°，ED=21m.晓华的身高MN=1.6m，点G、N、E、D、C在同一水平线上，点B在AC上，MN⊥GC，AC⊥GC，根据以上测量方法和数据请求出广告牌AB的高.(参考数据：sin50.2°=0.77，cs50.2°=0.64，tan50.2°=1.20)
25.(本小题8分)
为了在体育中考中取得更好的成绩，小明积极训练.如图所示，在某次试投中，实心球经过的路线是抛物线.已知实心球出手处A距离地面的高度AO是169米，当实心球运行的水平距离为3米时，达到最大高度259米的B处，实心球的落地点为C处．
(1)如图，已知AO⊥CO于点O，以O为原点，OC所在直线为x轴建立平面直角坐标系，在图中出坐标系，点B的坐标为______；
(2)求出抛物线的表达式；
(3)已知此次比赛成绩的核定方式为实心球出手处点A至球落地处的水平距离(即OC的长)，则小明此次投掷的成绩是多少米？
26.(本小题10分)
【初步探究】
(1)如图1，在△ABC中，点D、E、F分别在AB、AC、BC上，连接DE、EF.已知四边形BFED是平行四边形，BC=4DE．
①若AB=8，求线段AD的长；
②若△ADE的面积为1，求平行四边形BFED的面积．
【深入探究】
(2)如图2，某工厂有一块形如四边形ABCD的铁皮，其中∠A=∠B=90°，AD=8dm，AB=20dm，BC=24dm.为节约资源，现要从这块铁皮上截取矩形铁皮BEFG(阴影部分)备用，点E、F、G分别在AB、CD、BC上.设矩形铁皮的边FG=x(dm)，矩形BEFG的面积为S，求出S与x之间的函数关系式，并求矩形BEFG面积的最大值．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：∵tan30°= 33，
∴tan30°的相反数为− 33．
故选：C．
利用特殊角的三角函数值得到tan30°= 33，然后根据相反数的定义求解．
本题考查了特殊角的三角函数值：熟练记住特殊角的三角函数值是解决此类问题的关键．
2.【答案】B
【解析】解：A、该圆锥的主视图为等腰三角形、俯视图为圆(带圆心)，故本选项不合题意；
B、该长方体的主视图和俯视图均为矩形，故本选项符合题意；
C、该圆柱的主视图为矩形、俯视图为圆，故本选项不合题意；
D、该几何体的主视图是梯形，俯视图是矩形，故本选项不合题意．
故选：B．
主视图、俯视图是分别从物体正面和上面看，所得到的图形．
本题考查了简单几何体的三视图，熟练掌握常见的几何体的三视图是解题的关键．
3.【答案】A
【解析】解：∵a//b//c，
∴FEFD=ABAC=13，
∵EF=1.2，
∴1.2FD=13，
解得FD=3.6，
故选：A．
由平行线等分线段定理得到FEFD=ABAC=13，解比例式即可求解．
本题考查了平行线等分线段定理，掌握平行线等分线段定理是解题的关键．
4.【答案】B
【解析】解：根据题意得：
3a=0.2，
解得：a=15，
经检验：a=15是原分式方程的解，
答：a的值约为15；
故选：B．
在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，列出方程求解．
本题考查利用频率估计概率，正确列出方程是本题关键．
5.【答案】C
【解析】解：因为AC=15米，∠C=50°，在直角△ABC中tan50°=ABAC，
所以AB=15⋅tan50°米．
故选：C．
利用已知角的正切函数求解即可．
本题考查了解直角三角形的应用，正确记忆三角函数的定义是解决本题的关键．
6.【答案】C
【解析】解：∵一次函数y=x−1中的1>0，−1<0，
∴该函数图象经过第一、三象限，且与y轴交于负半轴，故排除A、D选项．
∵反比例函数y=mx(m>0)，
∴该函数图象经过第一、三象限，
综上所述，选项B不合题意，选项C符合题意．
故选：C．
根据一次函数和反比例函数系数与图象的关系作出选择．
本题主要考查反比例函数和一次函数的图象与性质，熟练掌握根据待定系数判断图象在坐标系中的位置是解题的关键．
7.【答案】D
【解析】解：∵点E、F分别是BC、CD的中点，
∴EF为△BCD的中位线，
∴EF//BD，BD=2EF，
∴△BGH∽△FEH，
∴GHHE=BGEF=2BG2EF=2BGBD，
∵矩形ABCD，
∴AD//BC，AD=BC，
∴△BEG∽△DAG，
∴BGDG=BEAD=BEBC=12，
∴BGBD=13，
∴GHHE=2BGBD=23，
故选：D．
由已知得到EF为△BCD的中位线，进而得到EF//BD，BD=2EF，△BGH∽△FEH，由相似三角形得到GHHE=2BGBD，又由矩形可得△BEG∽△DAG，得到BGBD=13，即可求出GHHE．
本题考查了中位线的判定与性质、矩形的性质、相似三角形的判定与性质，解题的关键在熟练掌握相似三角形的判定与性质．
8.【答案】B
【解析】解：由二次函数y=(x−1)(x−a)(a为常数)知，该抛物线与x轴的交点坐标是(1,0)和(a,0)．
∵对称轴为直线x=2，
∴1+a2=2．
解得a=3．
则该抛物线解析式是：y=x2−4x+3．
∴抛物线向下平移k个单位后经过(0,−1)，
∴−1=3−k．
∴k=4．
故选：B．
根据抛物线解析式得到抛物线与x轴的交点横坐标，结合抛物线的轴对称性质求得a的值，结合抛物线解析式求平移后图象所对应的二次函数的表达式，利用待定系数法求得k的值．
本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数图象上的点的坐标，根据对于函数图象的描述能够理解函数的解析式的特点，是解决本题的关键．
9.【答案】太阳光
【解析】解：由投影中光线是平行的可知它们是由太阳光形成的投影，
故答案为：太阳光．
根据平行投影与中心投影的定义即可判断．
本题主要考查投影，解题的关键是熟练掌握平行投影与中心投影的定义．
10.【答案】8
【解析】解：∵关于x的一元二次方程x2−6x+m=0有一个根为2，
∴22−6×2+m=0，
解得，m=8，
故答案为：8．
根据关于x的一元二次方程x2−6x+m=0有一个根为2，可以求得m的值．
本题考查一元二次方程的解，解题的关键是明确方程的解一定适合方程．
11.【答案】(−5,3)
【解析】解：作CE⊥x轴于点E，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BEC=∠AOB=∠ABC=90°，BC=AB，
∴∠EBC=∠OAB=90°−∠OBA，
在△BEC和△AOB中，
∠BEC=∠AOB∠EBC=∠OABBC=AB，
∴△BEC≌△AOB(AAS)，
∵A(0,2)，B(−3,0)，
∴EB=OA=2，EC=OB=3，
∴OE=OB+EB=5，
∴C(−5,3)，
故答案为：(−5,3)．
作CE⊥x轴于点E，则∠BEC=∠AOB=∠ABC=90°，所以∠EBC=∠OAB=90°−∠OBA，即可根据全等三角形的判定定理“AAS”证明△BEC≌△AOB，因为A(0,2)，B(−3,0)，所以EB=OA=2，EC=OB=3，可得点C的坐标．
此题重点考查图形与坐标、正方形的性质、全等三角形的判定与性质等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
12.【答案】−2
【解析】解：连接OA、OB，如图，
∵AB//y轴，即OC⊥AB，
而AC=2BC，
∴S△OBC=12S△OAC，
∵点A在y=4x(x>0)图象上，
∴S△OAC=12×4=2，
∴S△OBC=12S△OAC=1，
∵12|k|=1，
而k<0，
∴k=−2．
故答案为−2．
由于AB//y轴，AC=2BC，则S△OBC=12S△OAC，根据反比例函数y=kx(k≠0)系数k的几何意义得到S△OAC=12×4=2，所以S△OBC=12S△OAC=1，然后再根据反比例函数y=kx(k≠0)系数k的几何意义得到12|k|=1，由于反比例函数图象过第二象限，所以k=−2．
本题考查了反比例函数y=kx(k≠0)系数k的几何意义：从反比例函数y=kx(k≠0)图象上任意一点向x轴和y轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为|k|．
13.【答案】4
【解析】解：设BQ=x，则AP=2x，BP=8−2x，
∴S△PBQ=12x⋅(8−2x)=−x2+4x=−(x2−4x)=−(x−2)2+4；
此函数为抛物线，开口向下，当x=2时，三角形PBQ面积最大，最大值是4，
此时AP=4．
故答案为：4．
设BQ=x，则AP=2x，BP=8−2x，S△PBQ=12x⋅(8−2x)=−x2+4x=−(x2−4x)=−(x−2)2+4；此函数为抛物线，开口向下，当x=2时，三角形PBQ面积最大，最大值是4，继而求出AP值．
本题考查了二次函数最值，列出抛物线顶点式是解答本题的关键．
14.【答案】解：∵一元二次方程3x2−4x−1=0的二次项系数a=3，一次项系数b=−4，常数项c=−1，
∴Δ=b2−4ac=28>0，
∴x=−b± b2−4ac2a=4± 16+122×3=2± 73，
∴x1=2+ 73，x2=2− 73．
【解析】本题考查了解一元二次方程--公式法．利用求根公式x=−b± b2−4ac2a解方程时，需要弄清楚公式中的字母所表示的含义．
利用求根公式x=−b± b2−4ac2a解方程即可．
15.【答案】解：2cs30°−tan60°+sin45°cs45°
=2× 32− 3+ 22× 22
= 3− 3+12
=12．
【解析】把特殊角的三角函数值代入计算即可．
本题考查的是特殊角是三角函数值，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键．
16.【答案】解：∵∠C=90°，AB=8，BC=4，
∴AC= 82−42=4 3，
∴csA=ACAB=4 38= 32，
tanA=BCAC=44 3= 33．
【解析】先利用勾股定理计算出AC，然后根据余弦和正切的定义求解．
本题考查了锐角三角函数的定义：正确连接正切和余弦的定义是解决问题的关键．
17.【答案】解：如图，点P即为所求．
【解析】作∠CDP=∠B，射线DP交BC于点P，点P即为所求(方法不唯一，作线段CD的垂直平分线也可以)．
本题考查作图−位似变换，等腰三角形的性质，相似三角形的判定等知识，解题关键是熟练掌握五种基本作图，属于中考常考题型．
18.【答案】3：1
【解析】解：(1)如图，△A1B1C1即为所求；
(2)∵OA1：OA=3：1，
∴△A1B1C1与△ABC的位似比为3：1，
∴△A1B1C1与△ABC的周长之比为3：1，
故答案为：3：1．
(1)由点A、A1可得△ABC与△A1B1C1的位似比为1：3，再根据位似图形的性质作图即可；
(2)根据位似图形的性质即可求解．
本题考查了作位似图形，位似图形的性质，掌握位似图形的性质是解题的关键．
19.【答案】解：(1)根据题意画出树状图如下：
(2)由图可得，总共有18种等可能的情况，配出绿色(黄色和蓝色)的情况共有3种，
∴P(配出绿色)=318=16．
【解析】(1)画树状图表示所有可能出现的情况；
(2)找出配成绿色的情况数，最后用概率公式求解即可．
本题考查了列表法和树状图法，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
20.【答案】(1)证明：令y=0，则2x2−4x−6=0，
∵Δ=b2−4ac=(−4)2−4×2×(−6)=64>0，
∴该抛物线一定与x轴有两个交点．
(2)解：当y=0时，2x2−4x−6=0，解得x1=−1，x2=3，
∴A(−1,0)，B(3,0)，
∵y=2(x−1)2−8，
∴顶点P的坐标为(1,−8)，
∴△ABP的面积=12×(3+1)×8=16．
【解析】(1)先计算根的判别式的值得到Δ>0，则根据根的判别式的意义得到结论；
(2)先解方程2x2−4x−6=0得A、B点的坐标，再把一般式配成顶点式y=2(x−1)2−8，则顶点P的坐标为(1,−8)，然后根据三角形面积公式计算△ABP的面积．
本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程；Δ=b2−4ac决定抛物线与x轴的交点个数．也考查了二次函数的性质．
21.【答案】(1)证明：∵∠BAC=90°，且D是BC中点，
∴AD=12BC，BD=CD=12BC，
∵AE=BD，
∴AE=DC，
∵AE//DC，
∴四边形ADCE是平行四边形，
∵AD=DC，
∴平行四边形ADCE是菱形；
(2)解：∵平行四边形ADCE是菱形，
∴S△ADC=S△AEC，
∵D是BC的中点，
∴S△ADC=S△ABD，
∴菱形ADCE的面积=三角形ABC的面积=12×AC⋅AB=12×6×8=24．
【解析】(1)根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得四边形ADCE是平行四边形，然后根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半可得AD=12BC，然后再证明AD=DC，根据邻边相等的平行四边形是菱形可得结论；
(3)根据菱形的性质可得S△ADC=S△AEC，根据D是BC的中点，可得S△ADC=S△ABD，所以菱形ADCE的面积=三角形ABC的面积，进而可以解决问题．
此题主要考查了菱形、平行四边形的判定，以及直角三角形的性质，关键是掌握直角三角形斜边的中线等于斜边的一半．
22.【答案】解：(1)设p=kS，
由图象得：双曲线过点(1.5,400)，在第一象限，
∴400=k1.5，
则k=1.5×400=600，
∴压强p(Pa)关于木板面积S(m2)的函数表达式为p=600S(S>0)；
(2)当S=3时，p=6003=200(Pa)．
即木板对地面的压强是200Pa．
【解析】(1)根据图象，双曲线过点(1.5,400)，待定系数法求出解析式，曲线在第一象限，即可得出自变量取值范围；
(2)把S=3代入解析式求解即可．
本题考查反比例函数的实际应用．正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想求解，是解题的关键．
23.【答案】解：由题意可知，当每瓶降价x元时，每天可售出的瓶数为(300+100x0.1)瓶，售出1瓶该款饮料的利润是(1−x)元，
则(1−x)(300+100x0.1)=400，
整理得：10x2−7x+1=0，
解得x=0.2或x=0.5，
答：当x为0.2元或0.5元时，该批发店每天卖出该款饮料的利润为400元．
【解析】先求出每瓶降价x元时，每天可售出的瓶数为(300+100x0.1)瓶，售出1瓶该款饮料的利润是(1−x)元，再根据利润为400元建立方程，解方程即可得．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出方程是解题关键．
24.【答案】解：∵CE=36m，ED=21m，
∴CD=CE−ED=15(m)，
∴BC=CD⋅tan∠BDC=CD⋅tan50.2°=18m，
∵MN⊥GC，AC⊥GC，
∴∠MNG=∠ACE=90°，
又∵∠MGN=∠AEC，
∴△MGN∽△AEC，
∴MNAC=GNEC，
1.6AB+18=2.436
解得：AB=6m，
答：广告牌AB的高为6m．
【解析】根据已知条件得到CD=CE−ED=15(m)，根据三角函数的定义得到BC=CD⋅tan∠BDC=CD⋅tan50.2°=18m，根据垂直的定义得到∠MNG=∠ACE=90°，根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论．
本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定和性质定理是解题的关键．
25.【答案】(3,259)
【解析】解：(1)如图所示，
∴点B的坐标为(3,259)；
故答案为：(3,259)；
(2)由题可知，抛物线的顶点为(3,259)，
设抛物线的表达式为y=a(x−3)2+259，
∵点A(0,169)在抛物线上，
∴a(0−3)2+259=169，
解得a=−19，
∴抛物线的表达式为y=−19(x−3)2+259；
(3)令y=0，则−19(x−3)2+259=0，
解得x=8或x=−2(不合题意，舍去)，
∴OC=8(米)．
答：小明此次投掷的成绩是8米．
(1)根据题意画出坐标系，即可写出点B坐标；
(2)由抛物线的顶点为(3,259)，设抛物线的表达式为y=a(x−3)2+259，代入A(0,169)即可求出解析式；
(3)令y=0，求出点C的坐标即可得到结果．
本题考查了二次函数的图象，二次函数与实际问题，本题的关键是理解函数的定义解题．
26.【答案】解：(1)①∵四边形BFED是平行四边形，
∴DE//BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴ADAB=DEBC，
∵BC=4DE，
∴AD8=14，
解得AD=2，
∴线段AD的长为2；
②∵△ADE∽△ABC，
∴S△ADES△ABC=(DEBC)2=(14)2=116，
∵△ADE的面积为1，
∴1S△ABC=116，
∴S△ABC=16，
∵AD=2，AB=8，
∴BD=8−2=6
∵四边形BFED是平行四边形，
∴EF=BD=6，EF//AB，
∴△CEF∽△CAB，相似比为EFAB=68=34，
∴S△CEFS△CAB=(34)2=916，
∵S△ABC=16，
∴S△CEF16=916，
∴S△CEF=9，
∴平行四边形BFED的面积=S△ABC−S△ADE−S△CEF=16−1−9=6，
∴平行四边形BFED的面积为6；
(2)过点D作DH⊥BC于点H，交EF于点M，则MH=FG=x，AD=EM=BH=8dm，DH=AB=20dm，
∴DM=DH−MH=(20−x)dm，CH=BC−BH=24−8=16(dm)，
设EF=y dm，则MF=EF−EM=(y−8)dm，
∵矩形BEFG，
∴EF//BC，
∴△DMF∽△DHC，
∴DMDH=MFHC，
即20−x20=y−816，
∴y=−45x+24，
∴S=xy=x(−45x+24)=−45x2+24x=−45(x−15)2+180，
∴当x=15时，矩形BEFG面积最大，最大值为180．
【解析】(1)①证明△ADE∽△ABC即可求解；
②利用相似三角形的性质分别求出△ABC和△CEF的面积，即可求解；
(2)过点D作DH⊥BC于点H，交EF于点M，设EF=ydm，证明△DMF∽△DHC，得到y=−45x+24，根据矩形面积公式即可得到S与x之间的函数关系式，再根据函数的性质即可求出面积的最大值．
本题考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，矩形的性质，二次函数的最值等，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
1.tan30°的相反数是( )
A. − 3B. − 32C. − 33D. − 22
2.在如图所示的几何体中，主视图和俯视图都为长方形的是( )
A. B. C. D.
3.如图，直线a//b//c，直线AC分别交直线a、b、c于点A、B、C，直线FD分别交直线a，b，c于点F，E，D.若ABAC=13，EF=1.2，则FD的长为( )
A. 3.6
B. 3.0
C. 2.6
D. 2.4
4.在一个不透明的盒子中装有a个球，这些球除颜色外无其他差别，这a个球中只有3个红球，若每次将球充分搅匀后，任意摸出1个球记下颜色再放回盒子，通过大量重复试验后，发现摸到红球的频率稳定在0.2左右，则a的值约为( )
A. 12B. 15C. 18D. 20
5.如图，为测一河两岸相对两电线杆A、B间的距离，在距A点15米处的C点(AC⊥BA)测得∠C=50°，则A、B间的距离应为( )
A. 15sin50°米
B. 15cs50°米
C. 15tan50°米
D. 15tan50∘米
6.在同一平面直角坐标系中，一次函数y=x−1与反比例函数y=mx(m>0)的图象可能是( )
A. B. C. D.
7.如图，在矩形ABCD中，BD为矩形ABCD的对角线，点E、F分别是BC、CD的中点，连接AE交BD于点G，连接BF交AE于点H.连接EF，则GHHE的值是( )
A. 12
B. 32
C. 22
D. 23
8.二次函数y=(x−1)(x−a)(a为常数)图象的对称轴为直线x=2，将该二次函数的图象沿y轴向下平移k个单位，使其经过点(0,−1)，则k的值为( )
A. 3B. 4C. 2D. 6
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
9.如图，某地同一时刻两根木杆的影子是由______形成的投影(在“太阳光”或“灯光”中选择)．
10.关于x的一元二次方程x2−6x+m=0有一个根为2，则m的值为____
11.在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，正方形ABCD的顶点C，D在第二象限，若点A的坐标为(0,2)，点B的坐标为(−3,0)，则点C的坐标为______．
12.已知函数y=4x(x>0)和y=kx(x>0)的图象如图所示，点C在x轴正半轴上一点，过点C作AB//y轴分别交两个图象于点A、B，若AC=2BC，则k= ______．
13.如图，在矩形ABCD中，AB=8cm，BC=6cm，点P和点Q分别为AB边和BC边上的动点且满足AP=2BQ，则当△PBQ的面积最大时，AP的值为______．
三、计算题：本大题共1小题，共5分。
14.解方程：3x2−4x−1=0．
四、解答题：本题共12小题，共76分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题5分)
计算：2cs30°−tan60°+sin45°cs45°．
16.(本小题5分)
如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=8，BC=4，求csA和tanA的值．
17.(本小题5分)
如图，在等腰△ABC中，AB=AC，点D是AC边上一定点．请用尺规作图法在BC上求作一点P，使得△ABC∽△PCD.(保留作图痕迹，不写作法)
18.(本小题5分)
如图，在10×10的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点O和点A1在格点上，△ABC是格点三角形(顶点在网格线交点上)．
(1)画出△ABC以点O为位似中心的位似图形△A1B1C1，点A、B、C的对应点分别为点A1、B1和C1；
(2)△A1B1C1与△ABC的周长之比为______．
19.(本小题5分)
如图，转盘①被均匀地分成6个扇形，转盘②被均匀地分成3个扇形，利用这两个转盘进行“配绿色”游戏(黄色和蓝色配在一起为绿色)，同时转动两个转盘，当转盘停止转动时，用两个转盘指针所指的颜色配色.(若指针指在分割线上，需重新转动，直到指针指向某一扇形为止)
(1)利用画树状图或列表的方法表示所有可能出现的情况；
(2)求能配出绿色的概率．
20.(本小题5分)
已知二次函数y=2x2−4x−6．
(1)求证：该抛物线与x轴一定有两个交点；
(2)若该抛物线与x轴的两个交点分别为A、B，且它的顶点为P，求△ABP的面积．
21.(本小题6分)
在△ABC中，∠BAC=90°，D是BC的中点，过点A作AE//BC，且AE=BD，连结CE．
(1)证明：四边形ADCE是菱形；
(2)若AC=6，AB=8，求菱形ADCE的面积．
22.(本小题7分)
某科技小组进行野外考察，途中遇到一片十几米宽的烂泥湿地为了安全、迅速通过这片湿地，他们沿着前进路线铺了若干块木块，构筑成一条临时近道.木板对地面的压强p(Pa)是木板面积S(m2)的反比例函数，其图象如图所示．
(1)写出压强p(Pa)关于木板面积S(m2)的函数表达式；
(2)当木板面积为3m2时，木板对地面的压强是多少？
23.(本小题7分)
某饮料批发店平均每天可售出某款饮料300瓶，售出1瓶该款饮料的利润是1元.经调查发现、若该款饮料的售价每瓶每降低0.1元，则每天可多售出100瓶.为了使每天获得的利润更多.该批发店决定每瓶降价x元(x<1).当x为多少时，该批发店每天卖出该款饮料的利润为400元？
24.(本小题8分)
晓华和小菲一起合作来测量某建筑物BC顶部广告牌AB的高.如图所示，在阳光下，某一时刻，广告牌顶端A的影子在E处，同时，晓华站在N处的影长NG为2.4m，CE=36m；然后，小菲在D处测得楼房的顶端B的仰角∠BDC为50.2°，ED=21m.晓华的身高MN=1.6m，点G、N、E、D、C在同一水平线上，点B在AC上，MN⊥GC，AC⊥GC，根据以上测量方法和数据请求出广告牌AB的高.(参考数据：sin50.2°=0.77，cs50.2°=0.64，tan50.2°=1.20)
25.(本小题8分)
为了在体育中考中取得更好的成绩，小明积极训练.如图所示，在某次试投中，实心球经过的路线是抛物线.已知实心球出手处A距离地面的高度AO是169米，当实心球运行的水平距离为3米时，达到最大高度259米的B处，实心球的落地点为C处．
(1)如图，已知AO⊥CO于点O，以O为原点，OC所在直线为x轴建立平面直角坐标系，在图中出坐标系，点B的坐标为______；
(2)求出抛物线的表达式；
(3)已知此次比赛成绩的核定方式为实心球出手处点A至球落地处的水平距离(即OC的长)，则小明此次投掷的成绩是多少米？
26.(本小题10分)
【初步探究】
(1)如图1，在△ABC中，点D、E、F分别在AB、AC、BC上，连接DE、EF.已知四边形BFED是平行四边形，BC=4DE．
①若AB=8，求线段AD的长；
②若△ADE的面积为1，求平行四边形BFED的面积．
【深入探究】
(2)如图2，某工厂有一块形如四边形ABCD的铁皮，其中∠A=∠B=90°，AD=8dm，AB=20dm，BC=24dm.为节约资源，现要从这块铁皮上截取矩形铁皮BEFG(阴影部分)备用，点E、F、G分别在AB、CD、BC上.设矩形铁皮的边FG=x(dm)，矩形BEFG的面积为S，求出S与x之间的函数关系式，并求矩形BEFG面积的最大值．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：∵tan30°= 33，
∴tan30°的相反数为− 33．
故选：C．
利用特殊角的三角函数值得到tan30°= 33，然后根据相反数的定义求解．
本题考查了特殊角的三角函数值：熟练记住特殊角的三角函数值是解决此类问题的关键．
2.【答案】B
【解析】解：A、该圆锥的主视图为等腰三角形、俯视图为圆(带圆心)，故本选项不合题意；
B、该长方体的主视图和俯视图均为矩形，故本选项符合题意；
C、该圆柱的主视图为矩形、俯视图为圆，故本选项不合题意；
D、该几何体的主视图是梯形，俯视图是矩形，故本选项不合题意．
故选：B．
主视图、俯视图是分别从物体正面和上面看，所得到的图形．
本题考查了简单几何体的三视图，熟练掌握常见的几何体的三视图是解题的关键．
3.【答案】A
【解析】解：∵a//b//c，
∴FEFD=ABAC=13，
∵EF=1.2，
∴1.2FD=13，
解得FD=3.6，
故选：A．
由平行线等分线段定理得到FEFD=ABAC=13，解比例式即可求解．
本题考查了平行线等分线段定理，掌握平行线等分线段定理是解题的关键．
4.【答案】B
【解析】解：根据题意得：
3a=0.2，
解得：a=15，
经检验：a=15是原分式方程的解，
答：a的值约为15；
故选：B．
在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，列出方程求解．
本题考查利用频率估计概率，正确列出方程是本题关键．
5.【答案】C
【解析】解：因为AC=15米，∠C=50°，在直角△ABC中tan50°=ABAC，
所以AB=15⋅tan50°米．
故选：C．
利用已知角的正切函数求解即可．
本题考查了解直角三角形的应用，正确记忆三角函数的定义是解决本题的关键．
6.【答案】C
【解析】解：∵一次函数y=x−1中的1>0，−1<0，
∴该函数图象经过第一、三象限，且与y轴交于负半轴，故排除A、D选项．
∵反比例函数y=mx(m>0)，
∴该函数图象经过第一、三象限，
综上所述，选项B不合题意，选项C符合题意．
故选：C．
根据一次函数和反比例函数系数与图象的关系作出选择．
本题主要考查反比例函数和一次函数的图象与性质，熟练掌握根据待定系数判断图象在坐标系中的位置是解题的关键．
7.【答案】D
【解析】解：∵点E、F分别是BC、CD的中点，
∴EF为△BCD的中位线，
∴EF//BD，BD=2EF，
∴△BGH∽△FEH，
∴GHHE=BGEF=2BG2EF=2BGBD，
∵矩形ABCD，
∴AD//BC，AD=BC，
∴△BEG∽△DAG，
∴BGDG=BEAD=BEBC=12，
∴BGBD=13，
∴GHHE=2BGBD=23，
故选：D．
由已知得到EF为△BCD的中位线，进而得到EF//BD，BD=2EF，△BGH∽△FEH，由相似三角形得到GHHE=2BGBD，又由矩形可得△BEG∽△DAG，得到BGBD=13，即可求出GHHE．
本题考查了中位线的判定与性质、矩形的性质、相似三角形的判定与性质，解题的关键在熟练掌握相似三角形的判定与性质．
8.【答案】B
【解析】解：由二次函数y=(x−1)(x−a)(a为常数)知，该抛物线与x轴的交点坐标是(1,0)和(a,0)．
∵对称轴为直线x=2，
∴1+a2=2．
解得a=3．
则该抛物线解析式是：y=x2−4x+3．
∴抛物线向下平移k个单位后经过(0,−1)，
∴−1=3−k．
∴k=4．
故选：B．
根据抛物线解析式得到抛物线与x轴的交点横坐标，结合抛物线的轴对称性质求得a的值，结合抛物线解析式求平移后图象所对应的二次函数的表达式，利用待定系数法求得k的值．
本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数图象上的点的坐标，根据对于函数图象的描述能够理解函数的解析式的特点，是解决本题的关键．
9.【答案】太阳光
【解析】解：由投影中光线是平行的可知它们是由太阳光形成的投影，
故答案为：太阳光．
根据平行投影与中心投影的定义即可判断．
本题主要考查投影，解题的关键是熟练掌握平行投影与中心投影的定义．
10.【答案】8
【解析】解：∵关于x的一元二次方程x2−6x+m=0有一个根为2，
∴22−6×2+m=0，
解得，m=8，
故答案为：8．
根据关于x的一元二次方程x2−6x+m=0有一个根为2，可以求得m的值．
本题考查一元二次方程的解，解题的关键是明确方程的解一定适合方程．
11.【答案】(−5,3)
【解析】解：作CE⊥x轴于点E，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BEC=∠AOB=∠ABC=90°，BC=AB，
∴∠EBC=∠OAB=90°−∠OBA，
在△BEC和△AOB中，
∠BEC=∠AOB∠EBC=∠OABBC=AB，
∴△BEC≌△AOB(AAS)，
∵A(0,2)，B(−3,0)，
∴EB=OA=2，EC=OB=3，
∴OE=OB+EB=5，
∴C(−5,3)，
故答案为：(−5,3)．
作CE⊥x轴于点E，则∠BEC=∠AOB=∠ABC=90°，所以∠EBC=∠OAB=90°−∠OBA，即可根据全等三角形的判定定理“AAS”证明△BEC≌△AOB，因为A(0,2)，B(−3,0)，所以EB=OA=2，EC=OB=3，可得点C的坐标．
此题重点考查图形与坐标、正方形的性质、全等三角形的判定与性质等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
12.【答案】−2
【解析】解：连接OA、OB，如图，
∵AB//y轴，即OC⊥AB，
而AC=2BC，
∴S△OBC=12S△OAC，
∵点A在y=4x(x>0)图象上，
∴S△OAC=12×4=2，
∴S△OBC=12S△OAC=1，
∵12|k|=1，
而k<0，
∴k=−2．
故答案为−2．
由于AB//y轴，AC=2BC，则S△OBC=12S△OAC，根据反比例函数y=kx(k≠0)系数k的几何意义得到S△OAC=12×4=2，所以S△OBC=12S△OAC=1，然后再根据反比例函数y=kx(k≠0)系数k的几何意义得到12|k|=1，由于反比例函数图象过第二象限，所以k=−2．
本题考查了反比例函数y=kx(k≠0)系数k的几何意义：从反比例函数y=kx(k≠0)图象上任意一点向x轴和y轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为|k|．
13.【答案】4
【解析】解：设BQ=x，则AP=2x，BP=8−2x，
∴S△PBQ=12x⋅(8−2x)=−x2+4x=−(x2−4x)=−(x−2)2+4；
此函数为抛物线，开口向下，当x=2时，三角形PBQ面积最大，最大值是4，
此时AP=4．
故答案为：4．
设BQ=x，则AP=2x，BP=8−2x，S△PBQ=12x⋅(8−2x)=−x2+4x=−(x2−4x)=−(x−2)2+4；此函数为抛物线，开口向下，当x=2时，三角形PBQ面积最大，最大值是4，继而求出AP值．
本题考查了二次函数最值，列出抛物线顶点式是解答本题的关键．
14.【答案】解：∵一元二次方程3x2−4x−1=0的二次项系数a=3，一次项系数b=−4，常数项c=−1，
∴Δ=b2−4ac=28>0，
∴x=−b± b2−4ac2a=4± 16+122×3=2± 73，
∴x1=2+ 73，x2=2− 73．
【解析】本题考查了解一元二次方程--公式法．利用求根公式x=−b± b2−4ac2a解方程时，需要弄清楚公式中的字母所表示的含义．
利用求根公式x=−b± b2−4ac2a解方程即可．
15.【答案】解：2cs30°−tan60°+sin45°cs45°
=2× 32− 3+ 22× 22
= 3− 3+12
=12．
【解析】把特殊角的三角函数值代入计算即可．
本题考查的是特殊角是三角函数值，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键．
16.【答案】解：∵∠C=90°，AB=8，BC=4，
∴AC= 82−42=4 3，
∴csA=ACAB=4 38= 32，
tanA=BCAC=44 3= 33．
【解析】先利用勾股定理计算出AC，然后根据余弦和正切的定义求解．
本题考查了锐角三角函数的定义：正确连接正切和余弦的定义是解决问题的关键．
17.【答案】解：如图，点P即为所求．
【解析】作∠CDP=∠B，射线DP交BC于点P，点P即为所求(方法不唯一，作线段CD的垂直平分线也可以)．
本题考查作图−位似变换，等腰三角形的性质，相似三角形的判定等知识，解题关键是熟练掌握五种基本作图，属于中考常考题型．
18.【答案】3：1
【解析】解：(1)如图，△A1B1C1即为所求；
(2)∵OA1：OA=3：1，
∴△A1B1C1与△ABC的位似比为3：1，
∴△A1B1C1与△ABC的周长之比为3：1，
故答案为：3：1．
(1)由点A、A1可得△ABC与△A1B1C1的位似比为1：3，再根据位似图形的性质作图即可；
(2)根据位似图形的性质即可求解．
本题考查了作位似图形，位似图形的性质，掌握位似图形的性质是解题的关键．
19.【答案】解：(1)根据题意画出树状图如下：
(2)由图可得，总共有18种等可能的情况，配出绿色(黄色和蓝色)的情况共有3种，
∴P(配出绿色)=318=16．
【解析】(1)画树状图表示所有可能出现的情况；
(2)找出配成绿色的情况数，最后用概率公式求解即可．
本题考查了列表法和树状图法，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
20.【答案】(1)证明：令y=0，则2x2−4x−6=0，
∵Δ=b2−4ac=(−4)2−4×2×(−6)=64>0，
∴该抛物线一定与x轴有两个交点．
(2)解：当y=0时，2x2−4x−6=0，解得x1=−1，x2=3，
∴A(−1,0)，B(3,0)，
∵y=2(x−1)2−8，
∴顶点P的坐标为(1,−8)，
∴△ABP的面积=12×(3+1)×8=16．
【解析】(1)先计算根的判别式的值得到Δ>0，则根据根的判别式的意义得到结论；
(2)先解方程2x2−4x−6=0得A、B点的坐标，再把一般式配成顶点式y=2(x−1)2−8，则顶点P的坐标为(1,−8)，然后根据三角形面积公式计算△ABP的面积．
本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程；Δ=b2−4ac决定抛物线与x轴的交点个数．也考查了二次函数的性质．
21.【答案】(1)证明：∵∠BAC=90°，且D是BC中点，
∴AD=12BC，BD=CD=12BC，
∵AE=BD，
∴AE=DC，
∵AE//DC，
∴四边形ADCE是平行四边形，
∵AD=DC，
∴平行四边形ADCE是菱形；
(2)解：∵平行四边形ADCE是菱形，
∴S△ADC=S△AEC，
∵D是BC的中点，
∴S△ADC=S△ABD，
∴菱形ADCE的面积=三角形ABC的面积=12×AC⋅AB=12×6×8=24．
【解析】(1)根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得四边形ADCE是平行四边形，然后根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半可得AD=12BC，然后再证明AD=DC，根据邻边相等的平行四边形是菱形可得结论；
(3)根据菱形的性质可得S△ADC=S△AEC，根据D是BC的中点，可得S△ADC=S△ABD，所以菱形ADCE的面积=三角形ABC的面积，进而可以解决问题．
此题主要考查了菱形、平行四边形的判定，以及直角三角形的性质，关键是掌握直角三角形斜边的中线等于斜边的一半．
22.【答案】解：(1)设p=kS，
由图象得：双曲线过点(1.5,400)，在第一象限，
∴400=k1.5，
则k=1.5×400=600，
∴压强p(Pa)关于木板面积S(m2)的函数表达式为p=600S(S>0)；
(2)当S=3时，p=6003=200(Pa)．
即木板对地面的压强是200Pa．
【解析】(1)根据图象，双曲线过点(1.5,400)，待定系数法求出解析式，曲线在第一象限，即可得出自变量取值范围；
(2)把S=3代入解析式求解即可．
本题考查反比例函数的实际应用．正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想求解，是解题的关键．
23.【答案】解：由题意可知，当每瓶降价x元时，每天可售出的瓶数为(300+100x0.1)瓶，售出1瓶该款饮料的利润是(1−x)元，
则(1−x)(300+100x0.1)=400，
整理得：10x2−7x+1=0，
解得x=0.2或x=0.5，
答：当x为0.2元或0.5元时，该批发店每天卖出该款饮料的利润为400元．
【解析】先求出每瓶降价x元时，每天可售出的瓶数为(300+100x0.1)瓶，售出1瓶该款饮料的利润是(1−x)元，再根据利润为400元建立方程，解方程即可得．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出方程是解题关键．
24.【答案】解：∵CE=36m，ED=21m，
∴CD=CE−ED=15(m)，
∴BC=CD⋅tan∠BDC=CD⋅tan50.2°=18m，
∵MN⊥GC，AC⊥GC，
∴∠MNG=∠ACE=90°，
又∵∠MGN=∠AEC，
∴△MGN∽△AEC，
∴MNAC=GNEC，
1.6AB+18=2.436
解得：AB=6m，
答：广告牌AB的高为6m．
【解析】根据已知条件得到CD=CE−ED=15(m)，根据三角函数的定义得到BC=CD⋅tan∠BDC=CD⋅tan50.2°=18m，根据垂直的定义得到∠MNG=∠ACE=90°，根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论．
本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定和性质定理是解题的关键．
25.【答案】(3,259)
【解析】解：(1)如图所示，
∴点B的坐标为(3,259)；
故答案为：(3,259)；
(2)由题可知，抛物线的顶点为(3,259)，
设抛物线的表达式为y=a(x−3)2+259，
∵点A(0,169)在抛物线上，
∴a(0−3)2+259=169，
解得a=−19，
∴抛物线的表达式为y=−19(x−3)2+259；
(3)令y=0，则−19(x−3)2+259=0，
解得x=8或x=−2(不合题意，舍去)，
∴OC=8(米)．
答：小明此次投掷的成绩是8米．
(1)根据题意画出坐标系，即可写出点B坐标；
(2)由抛物线的顶点为(3,259)，设抛物线的表达式为y=a(x−3)2+259，代入A(0,169)即可求出解析式；
(3)令y=0，求出点C的坐标即可得到结果．
本题考查了二次函数的图象，二次函数与实际问题，本题的关键是理解函数的定义解题．
26.【答案】解：(1)①∵四边形BFED是平行四边形，
∴DE//BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴ADAB=DEBC，
∵BC=4DE，
∴AD8=14，
解得AD=2，
∴线段AD的长为2；
②∵△ADE∽△ABC，
∴S△ADES△ABC=(DEBC)2=(14)2=116，
∵△ADE的面积为1，
∴1S△ABC=116，
∴S△ABC=16，
∵AD=2，AB=8，
∴BD=8−2=6
∵四边形BFED是平行四边形，
∴EF=BD=6，EF//AB，
∴△CEF∽△CAB，相似比为EFAB=68=34，
∴S△CEFS△CAB=(34)2=916，
∵S△ABC=16，
∴S△CEF16=916，
∴S△CEF=9，
∴平行四边形BFED的面积=S△ABC−S△ADE−S△CEF=16−1−9=6，
∴平行四边形BFED的面积为6；
(2)过点D作DH⊥BC于点H，交EF于点M，则MH=FG=x，AD=EM=BH=8dm，DH=AB=20dm，
∴DM=DH−MH=(20−x)dm，CH=BC−BH=24−8=16(dm)，
设EF=y dm，则MF=EF−EM=(y−8)dm，
∵矩形BEFG，
∴EF//BC，
∴△DMF∽△DHC，
∴DMDH=MFHC，
即20−x20=y−816，
∴y=−45x+24，
∴S=xy=x(−45x+24)=−45x2+24x=−45(x−15)2+180，
∴当x=15时，矩形BEFG面积最大，最大值为180．
【解析】(1)①证明△ADE∽△ABC即可求解；
②利用相似三角形的性质分别求出△ABC和△CEF的面积，即可求解；
(2)过点D作DH⊥BC于点H，交EF于点M，设EF=ydm，证明△DMF∽△DHC，得到y=−45x+24，根据矩形面积公式即可得到S与x之间的函数关系式，再根据函数的性质即可求出面积的最大值．
本题考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，矩形的性质，二次函数的最值等，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
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