2023-2024学年陕西省西安市碑林区重点学校八年级（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年陕西省西安市碑林区重点学校八年级（上）期末数学试卷（含解析），共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.在 25, 2,1.414,113,−π3，3．2.5.，0中，无理数有( )
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
2.下列式子正确的是( )
A. (−9)2=−9B. 25=±5C. 3(−1)3=−1D. (− 2)2=−2
3.能说明命题“对于任何实数a， a2=a”是假命题的一个反例可以是( )
A. a=0B. a= 2C. a=2021D. a=−2
4.已知 2x−6+ 6−2x+y=3，则 2xy的值为( )
A. 2 3B. 3 2C. 12D. 18
5.在平面直角坐标系中，若将一次函数y=2x+m−1的图象向左平移3个单位后，得到一个正比例函数的图象，则m的值为( )
A. −5B. 5C. −6D. 6
6.如图，已知△ABC，∠1是它的一个外角，点E为边AC上一点，点D在边BC的延长线上，连接DE，则下列结论中不一定正确的是( )
A. ∠1>∠2
B. ∠1>∠3
C. ∠3>∠5
D. ∠4>∠5
7.已知点A(−1,a)，B(1,b)都在一次函数y=−x+2的图象上，则a与b的大小关系是( )
A. a>bB. a8.已知方程组ax−by=4ax+by=2的解为x=2y=1，则2a−3b的值为( )
A. 6B. 4C. −4D. −6
9.如图，△ABC中，∠B=40°，∠C=30°，点D为边BC上一点，将△ADC沿直线AD折叠后，点C落到点E处，若DE/​/AB，则∠ADB的度数为( )
A. 85°
B. 80°
C. 70°
D. 60°
10.如图，矩形纸片ABCD中，AB=4，BC=8，将纸片折叠，使点C与点A重合，折痕为EF，点D的对应点为G，连接DG，则图中阴影部分面积是( )
A. 5
B. 3
C. 365
D. 185
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.3−64的立方根是______； 36的平方根是______．
12.已知点P(a,b)在一次函数y=4x+3的图象上，则代数式4a−b−2的值等于________．
13.实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简： b2−|b−a|= ______．
14.若关于x的方程2x+b=0的解是x=1，则直线y=2x+b一定经过点______．
15.如图，已知AB/​/CD.则角α、β、γ之间关为______．
16.如图，已知CD是△ABC的边AB上的高，若CD= 3，AD=1，AB=2AC，则BC的长为______．
三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题13分)
计算：
(1)( 2− 5)( 5− 2)；
(2)2 75+ 8− 27；
(3)已知x= 2+1，y= 2−1，求x2−2xy+y2的值．
18.(本小题8分)
解下列二元一次方程组：
(1)2x−y=−45x+4y=3；
(2)4(x−y−1)=3(1−y)−2x2+y3=2．
19.(本小题5分)
如图，已知△ABC，点P在△ABC内，利用尺规在BC上找一点Q，使得直线PQ//AC(不写作法，保留作图痕迹)．
20.(本小题7分)
在一次“爱心助学”捐款活动中，全校同学人人拿出自己的零花钱，踊跃捐款，学生捐款有5元、10元、15元、20元四种情况.刘老师在全校范围内随机抽取部分学生捐款数据，并根据统计数据绘制成图①和图②两幅尚不完整的统计图.请你根据统计图提供的信息，回答下列问题：
(1)本次共抽取学生______人，并请将图②的条形统计图补充完整；
(2)学生捐款的众数是______，中位数是______；
(3)若全校共有学生1260人，请你估计此次全校学生的捐款总额．
21.(本小题7分)
在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标A(−1,5)，B(−3,1)，C(−4,3)．
(1)在图中作出△ABC关于y轴对称的图形△A1B1C1；
(2)在y轴上找一个点P，使得△ABP的周长最小，在图中标出点P的位置；
(3)求△ABC的面积．
22.(本小题6分)
如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，BF平分∠ABC交AD于E点，交AC于F点．求证：∠AEF=∠AFE．
23.(本小题7分)
如图，A，B分别是x轴上位于原点左右两侧的两点，点P(2,p)在第一象限内，直线PA交y轴于点C(0,2)，直线PB交y轴于点D，且S△AOP=6．
(1)求S△COP；
(2)求点A的坐标及p的值．
24.(本小题9分)
某车间有50名工人，每人每天可加工16个甲种零件或15个乙种零件，安排其中一部分工人加工甲种零件，其余工人加工乙种零件，已知每加工一个甲种零件可获利20元，每加工一个乙种零件可获利24元．
(1)若该车间某天获利17000元，问这天加工甲种零件的工人多少人？
(2)由于生产需要，每天都需要加工两种零件，设加工甲种零件的人数为m．
①请用含m的式子表示该车间每天的获利w(元)；
②若20≤m≤30，求当m为何值时，该车间一天的获利w最大？最大为多少元？
25.(本小题10分)
将一个直角三角形纸片ABO放置在平面直角坐标系中，点A(2,0)，点B(0,1)，点O(0,0).当P是边AB上的一点(点P不与点A，B重合)，沿着OP折叠该纸片，得点A的对应点A′．
(1)如图①，当点A′在第一象限，且满足A′B⊥OB时，则点A′的坐标为______；
(2)如图②，当A′在y轴上时，求P点坐标______．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：无理数有： 2，−π3共2个．
故选B．
无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．
2.【答案】C
【解析】解：根据二次根式的性质：
A、 (−9)2=9，故A错误；
B、 25=5，故B错误；
C、属于立方根的运算，故C正确；
D、(− 2)2=2，故D错误．
故选：C．
利用开平方的性质和开立方的性质计算．
此题主要考查二次根式的化简，正确理解算术平方根的意义，注意符号的处理．
3.【答案】D
【解析】解：∵a≥0时， a2=a，
∴当a=0时，原命题成立，故A不符合题意，
同理a= 2时，原命题成立，故B不符合题意；
a=2021时，原命题成立，故C不符合题意，
而当a=−2时，原命题不成立，故D符合题意；
故选：D．
根据“a是实数，则 a2=a”成立的条件是a≥0即可得答案．
本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题；错误的命题称为假命题，说明一个命题是假命题只需举一个反例．
4.【答案】B
【解析】解：由题意得：2x−6≥06−2x≥0，
解得x=3，
把x=3代入 2x−6+ 6−2x+y=3，可得y=3，
所以 2xy= 2×3×3=3 2．
故选：B．
根据二次根式的被开方数是非负数，由非负数的性质列式求出x的值；然后将x的值代入求出y的值，最后代入待求式，进行计算即可．
本题考查二次根式有意义的条件，关键是掌握二次根式有意义的条件以及求代数式的值的方法．
5.【答案】A
【解析】解：将一次函数y=2x+m−1的图象向左平移3个单位后，得到y=2(x+3)+m−1，
把(0,0)代入，得到：0=6+m−1，
解得m=−5．
故选：A．
根据平移的规律得到平移后直线的解析式为y=2(x+3)+m−1，然后把原点的坐标代入求值即可．
本题主要考查的是一次函数图象与几何变换，用平移规律“左加右减，上加下减”直接代入函数解析式求得平移后的函数解析式是解题的关键．
6.【答案】D
【解析】解：A、∵∠3>∠2，∠1>∠3，
∴∠1>∠2，故本选项错误；
B、∠1>∠3，故本选项错误；
C、∠3>∠5，故本选项错误；
D、不能比较∠4和∠5的大小，故本选项正确；
故选：D．
三角形的一个外角大于任何一个不相邻的内角，根据以上知识点逐个判断即可．
本题考查了三角形的外角的性质的应用，能熟记知识点是解此题的关键，注意：三角形的一个外角大于任何一个不相邻的内角．
7.【答案】A
【解析】解：因为直线y=−x+2中，k=−1<0，
所以该函数是y的值随x的值增大而减小，
因为1>−1，
所以a>b．
故选：A．
根据一次函数y=kx+b的性质可知．
此题考查一次函数问题，解答此题要熟知一次函数y=kx+b的性质：当k>0时，y随x的增大而增大；当k<0时，y随x的增大而减小．
8.【答案】A
【解析】解：∵方程组ax−by=4ax+by=2的解为x=2y=1，
∴2a−b=4①2a+b=2②，
①+②，可得4a=6，
解得a=1.5，
把a=1.5代入①，可得：2×1.5−b=4，
解得b=−1，
∴原方程组的解是a=1.5b=−1，
∴2a−3b
=2×1.5−3×(−1)
=3+3
=6．
故选：A．
根据题意，可得：2a−b=4①2a+b=2②，应用加减消元法，求出方程组的解即可．
此题主要考查了解二元一次方程组的方法，注意代入消元法和加减消元法的应用．
9.【答案】C
【解析】解：∵∠B=40°，∠C=30°，∠BAC+∠B+∠C=180°，
∴∠BAC=110°，
由折叠的性质得，∠E=∠C=30°，∠EAD=∠CAD，∠ADE=∠ADC，
∵DE//AB，
∴∠BAE=∠E=30°，
∴∠CAD=40°，
∴∠ADB=∠C+∠CAD=70°，
故选：C．
根据三角形的内角和得到∠BAC=110°，由折叠的性质得到∠E=∠C=30°，∠EAD=∠CAD，∠ADC=∠ADE，根据平行线的性质得到∠BAE=∠E=30°，则∠CAD=40°，根据三角形外角性质即可得到结论．
本题考查了翻折变换(折叠问题)，三角形的内角和，平行线的性质，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．
10.【答案】D
【解析】【分析】
本题利用了矩形的性质和翻折的性质、勾股定理、全等三角形的判定和性质求解.由于AF=CF，则在Rt△ABF中由勾股定理求得AF的值，证得△ABF≌△AGE，有AE=AF，即ED=AD−AE，再由直角三角形的面积公式求得Rt△AGE中边AE上的高的值，即可计算阴影部分的面积．
【解答】
解：由题意知，AF=FC，AB=CD=AG=4，BC=AD=8
在Rt△ABF中，由勾股定理知AB2+BF2=AF2，即42+(8−AF)2=AF2，
解得AF=5，
∵∠BAF+∠FAE=∠FAE+∠EAG=90°，
∴∠BAF=∠EAG，
在△BAF和△GAE中，
∠BAF=∠EAGAB=AG∠B=∠AGE=90∘
∴△BAF≌△GAE(ASA)，
∴AE=AF=5，ED=GE=3，
∵S△GAE=12AG⋅GE=12AE⋅AE边上的高，
∴AE边上的高=125，
∴S△GED=12ED⋅AE边上的高=12×3×125=185．
故选D．
11.【答案】−34 ± 6
【解析】解：∵3−64=−4，−4的立方根是−34，而 36=6，6的平方根是± 6，
故答案为：−34；± 6．
本题根据立方根和平方根的定义可知3−64=−4，−4的立方根是−34；而 36=6，6的平方根是± 6，由此就求出．
本题主要考查了平方根和立方根的概念，熟练掌握相关定义是解题的关键．
12.【答案】−5
【解析】【分析】
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，代数式求值，属于基础题．
把点P的坐标代入一次函数解析式可以求得a、b间的数量关系，所以易求代数式4a−b−2的值．
【解答】
解：∵点P(a,b)在一次函数y=4x+3的图象上，
∴b=4a+3，
∴4a−b−2=4a−(4a+3)−2=−5，即代数式4a−b−2的值等于−5．
故答案是：−5．
13.【答案】a
【解析】解：根据数轴图可知b>0，b−a>0，
∴ b2−|b−a|=b−(b−a)=a．
故答案为：a．
根据数轴图可知b>0，b−a>0，再根据 a2=|a|化简式子即可．
本题考查数轴和二次根式及绝对值的化简，关键是掌握 a2=|a|和绝对值的性质．
14.【答案】(1,0)
【解析】解：由方程的解可知：当x=1时，2x+b=0，即当x=1，y=0，
∴直线y=2x+b的图象一定经过点(1,0)，
故答案为：(1,0)．
根据方程可知当x=1，y=0，从而可判断直线y=2x+b经过点(1,0)．
本题主要考查的是一次函数与一元一次方程的关系，掌握一次函数与一元一次方程的关系是解题的关键．
15.【答案】α+β+γ=180°
【解析】解：∵AB/​/CD，
∴∠1=γ，
∵∠1+β+α=180°，
∴α+β+γ=180°，
利用平行线的性质，三角形的内角和定理即可解决问题．
本题考查平行线的性质，三角形的内角和定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
16.【答案】2 7
【解析】解：∵CD是△ABC的边AB上的高，
∴△ADC，△BDC是直角三角形，
在Rt△ADC中，由勾股定理得：AC= AD2+CD2= 12+( 3)2=2，
∵AB=2AC，
∴AB=4，
∴BD=AB+AD=4+1=5，
在Rt△BDC中，由勾股定理得：BC= BD2+CD2= 52+( 3)2=2 7．
故答案为：2 7．
本题可由勾股定理算出AC的长度，再由AB=2AC得AB的长度，最后再通过勾股定理得BC的长度．
本题考查了直角三角形的勾股定理．熟记勾股定理的内容是解决本题的关键．
17.【答案】解：(1)原式= 10−2−5+ 10
=2 10−7；
(2)原式=10 3+2 2−3 3
=7 3+2 2；
(3)∵x= 2+1，y= 2−1，
∴x2−2xy+y2
=(x−y)2
=( 2+1− 2+1)2
=22
=4．
【解析】(1)先根据多项式乘多项式法则进行计算，再进行实数的加减即可；
(2)先化简二次根式，再计算加减即可；
(3)利用完全平方公式计算即可．
本题考查的是二次根式的化简求值，熟练掌握运算法则和公式是解决此题的关键．
18.【答案】解：2x−y=−4①5x+4y=3②，
①×4得：8x−4y=−16③，
②+③得：13x=−13，
解得：x=−1，
把x=−1代入①得：−2−y=−4，
解得：y=2，
故原方程组的解是：x=−1y=2；
(2)4(x−y−1)=3(1−y)−2x2+y3=2，
整理得：4x−y=5①3x+2y=12②，
①×2得：8x−2y=10③，
②+③得：11x=22，
解得：x=2，
把x=2代入①得：8−y=5，
解得：y=3，
故原方程组的解是：x=2y=3．
【解析】(1)利用加减消元法进行求解即可；
(2)先整理方程组，再利用加减消元法进行求解即可．
本题主要考查解二元一次方程组，解答的关键是熟练掌握解二元一次方程组的方法．
19.【答案】解：如图，直线PQ即为所求．

【解析】过点P作直线TM交AC于点T，作∠QPM=∠CTM，PQ交BC于点Q，直线PQ即为所求．
本题考查作图−复杂作图，平行线的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
20.【答案】50 10 15
【解析】解：(1)由于捐20元的有10人，所占比例为20%，故抽取学生人数=10÷20%=50(人)，
∴捐10元的人数=50−6−16−10=18(人)，
补充条形统计图如图：
故答案为：50；
(2)捐款的众数为10元，中位数15元，
故答案为：10，15；
(3)平均数=5×6+10×18+15×16+20×1050=13；
因此平均捐款为13元，
则估计此次全校学生的捐款总额为1260×13=16380(元)．
答：估计此次全校学生的捐款总额为16380元．
(1)根据捐款20元的人数及其百分比可得抽取学生人数，抽取学生人数减去其余捐款数的人数可得捐款10元的人数，补全图形即可；
(2)根据众数和中位数的定义求解即可；
(3)先求出样本的平均数，再用总人数乘以平均每人的捐款钱数即可．
本题考查了条形统计运用、扇形统计图的运用．对众数的理解，平均数的运用．在解答时要认真观察两个条件图得关系，找到解决问题的突破口是解答的关键．
21.【答案】解：(1)如图所示，△A1B1C1即为所求；
(2)如图所示，点P即为所求；

(3)S△ABC=3×4−3×2×12−2×1×12−2×4×12=4；
【解析】(1)根据关于y轴对称的点横坐标互为相反数，纵坐标相同找到A、B、C对应点A1、B1、C1的位置，然后顺次连接A1、B1、C1即可；
(2)根据轴对称的性质，连接A1B，交y轴于点P，点P即为所求；
(3)利用割补法求解即可．
本题主要考查了坐标与图形变化—轴对称，轴对称最短路径问题，网格中求三角形面积，解题的关键是理解题意，正确作出图形．
22.【答案】证明：∵在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC，
∴∠BAD+∠CAD=90°，∠CAD+∠C=90°，
∴∠BAD=∠C，
∵BF平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBF，
∵∠AEF=∠ABE+∠BAD，∠AFE=∠CBF+∠C，
∴∠AEF=∠AFE，
【解析】由在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC，易得∠BAD=∠C，又由BF平分∠ABC，∠AEF=∠ABE+∠BAD，∠AFE=∠CBF+∠C，即可证得∠AEF=∠AFE，继而证得△AEF为等腰三角形．
此题考查了等腰三角形的判定、直角三角形的性质以及三角形外角的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．
23.【答案】解：(1)作PE⊥y轴于E，

∵P的横坐标是2，则PE=2．
∴S△COP=12OC⋅PE=12×2×2=2；
(2)∴S△AOC=S△AOP−S△COP=6−2=4，
∴S△AOC=12OA⋅OC=4，即12×OA×2=4，
∴OA=4，
∴A的坐标是(−4,0)．
设直线AP的解析式是y=kx+b，则
−4k+b=0b=2，
解得：k=12b=2．
则直线的解析式是y=12x+2．
当x=2时，y=3，即p=3．
【解析】(1)已知P的横坐标，即可知道△OCP的边OC上的高，利用三角形的面积公式即可求解；
(2)求得△AOC的面积，即可求得A的坐标，利用待定系数法即可求得AP的解析式，把x=2代入解析式即可求得p的值．
本题考查了三角形的面积与一次函数，待定系数求函数解析式的综合应用，正确求得A的坐标是解答本题的关键．
24.【答案】解：(1)设这天加工甲种零件的工人有x人，则加工乙种零件的工人有(50−x)人，
根据题意可得，20×16x+24×15×(50−x)=17000，
解得x=25，
∴这天加工甲种零件的工人有25人；
(2)①∵加工甲种零件的人数为m，
∴加工乙种零件的人数为(50−m)，
∴根据题意可得，w=20×16m+24×15×(50−m)=−40m+18000；
②∵w=−40m+18000，−40<0，
∴w随m的增大而减小，
∵20≤m≤30，
∴当m=20时，w最大，此时w=−40×20+18000=17200．
【解析】(1)设这天加工甲种零件的工人有x人，则加工乙种零件的工人有(50−x)人，根据题意列出一元一次方程求解即可；
(2)①根据利润的表示方法求解即可；
②根据①中求出的表达式，结合一次函数的性质和20≤m≤30求解即可．
此题考查了一元一次方程的实际应用，一次函数的实际应用，解题的关键是熟练掌握以上知识点．
25.【答案】( 3,1) P(23,23)
【解析】解：(1)∵A(2,0)，B(0,1)，
∵OA=2，OB=1，
∵BA′⊥OB，．
∴∠OBA′=90°，
∵OA=OA′=2，
∴BA′= OA′2−OB2= 22−12= 3，
∴A′( 3,1)，
故答案为：( 3,1)；
(2)如图，过点P作PM⊥OA于点M，PN⊥OB于点N，
由翻折的性质可知，∠POA=∠POA′，
∵PM⊥OA，PN⊥OB，
∴PM=PN，
设PM=PN=m，
∵S△AOB=12⋅OA⋅OB=12⋅OA⋅PM+12⋅OB⋅PN，
∴12×1×2=12×2×m+12×1×m，
m=23，
∴P(23,23)，
故答案为：P(23,23).
(1)利用勾股定理求出BA′，可得结论；
(2)如图，过点P作PM⊥OA于点M，PN⊥OB于点N，利用角平分线的性质定理证明PM=PN，再利用面积法求出PM，PN，可得结论；
本题考查了折叠的性质、坐标与图形性质、勾股定理，掌握折叠的性质是解题的关键．