2023-2024学年安徽省亳州市九年级（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年安徽省亳州市九年级（上）期末数学试卷（含解析），共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列二次函数图象开口向下的是( )
A. y=2x2+1B. y=2x2−1C. y=(x−1)2D. y=−(x+1)2
2.下列图形是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
3.如图，D，E两点分别在△ABC的AB，BC边上，DE/​/AC，AB=5，AC=4，DE=3，AD的长为( )
A. 54
B. 65
C. 157
D. 207
4.二次函数y=2(x+3)2−1图象的对称轴是( )
A. 直线x=2B. 直线x=3C. 直线x=−1D. 直线x=−3
5.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，则下列结论正确的是( )
A. sinA=ABBC
B. sinB=ADAC
C. csA=BDBC
D. csB=CDBD
6.如图，直角△ABC的斜边AB为⊙O的一条弦，直角边AC经过圆心O，已知BC=3，AC=4，则OA的长为( )
A. 258
B. 216
C. 165
D. 154
7.在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，反比例函数y=kx的图象经过点P(1,4)，则下列结论错误的是( )
A. 当x<0时，y随x增大而减小B. 当x>0时，y随x增大而减小
C. 当x<1时，y随x增大而减小D. 当x>1时，y随x增大而减小
8.如图，A，B，C，D四点均在⊙O上，已知：∠AOB=30°，∠BCD=80°，OA//BC，则∠D−∠CAD=( )
A. 40°
B. 35°
C. 30°
D. 25°
9.已知关于x的二次函数y=ax2+c的图象与x轴有两个交点，则关于x的一次函数y=ax+c与反比例函数y=ax的图象可能是( )
A. B.
C. D.
10.如图，O为△ABC内一点，延长BO，CO分别交AC于E，交AB于D，连接DE.已知OB=OC，BD=CE，则下列结论错误的是( )
A. ∠CBE=2∠BED
B. ∠A=2∠CBE
C. △OBD∽△ABE
D. △OCE∽△ACD
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
11.反比例函数y=2x中自变量x的取值范围______．
12.在平面直角坐标系中，二次函数y=(x−3)2的图象与y轴交点的纵坐标是______．
13.A，B，C三点均在⊙O上，AB=BC=2，∠ABC=90°，则劣弧AB的长为______．
14.如图，在四边形ABCD中，O为AB边的中点，OC=OD=OA，OC⊥BD于E．
(1)若∠A=70°，则∠CBD= ______°；
(2)若AB=4，则AD+BC的最小值为______．
三、解答题：本题共9小题，共90分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题8分)
计算：2cs30°−(sin45°)2−|1−tan60°|．
16.(本小题8分)
如图，学校植物园是一块边长为5米的正方形ABCD，现将其扩大成矩形AEFD，且使得矩形AEFD∽矩形BCFE，求BE的长．
17.(本小题8分)
如图，二次函数y=2x2与反比例函数y=kx的图象交于A(−1,b)．
(1)求k的值；
(2)根据图象，写出二次函数值大于反比例函数值时x的取值范围．
18.(本小题8分)
如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，△ABC的顶点均为格点(网格线的交点)．
(1)将线段AB绕点C顺时针旋转90°得到线段A1B1，请画出线段A1B1．
(2)以点C为位似中心，相似比为2，在正方形网格内画出△ABC的位似图形．
19.(本小题10分)
如图，无人机在A点测得大楼CD的顶端D的仰角为63.4°，在B点测得底端C的俯角为53.1°，还测得BC两点间的距离为20米，已知AB/​/CD，AB=12米，求大楼高度CD.参考数据：sin53.1°≈0.80，cs53.1°≈0.60，tan53.1°≈1.33，sin63.4°≈0.89，cs63.4°≈0.84，tan63.4°≈2.00．
20.(本小题10分)
如图，等腰△ABC的底边BC为⊙O的弦，AD与⊙O相切于D点，C，O，D在同一条直线上，AD，CB的延长线相交于E，连接OA.已知tan∠DCE=12．
(1)求证：OA=CE；
(2)若AC= 10，BC=2，求BE的长．
21.(本小题12分)
某超市今年腊月准备销售一种年货，先查看了去年同期内的第x天销售这种年货的有关信息如下：进价未变，仍为20元/盒，销售量p(盒)和销售单价q(元/盒)与x之间的函数关系式分别为：p=−2x+80，q=12x+30．
若其它成本不再考虑，请解答下列问题：
(1)写出去年销售利润w(元)与销售时间x(天)之间的函数关系式；
(2)根据去年的销售经验，估计今年哪一天的销售利润最大？并求出这个最大利润．
22.(本小题12分)
在△ABC中，D为AC边的中点，E为BC边上一点，AE，BD相交于F．
(1)如图1，已知：F为BD的中点，BD2=4AF⋅EF．
①求证：∠ADF=∠BEF；
②若CE=2BE，求BFAF的值；
(2)如图2，延长BD至点G，连接AG，若∠G=∠C，BC=AF，求证：BC2=BD⋅FG．
23.(本小题14分)
在平面直角坐标系中，O为坐标原点，将抛物线l1：y=12x2向左平移32个单位，再向下平移若干个单位，得到抛物线l2，l2与y轴交于C(0,−2)．
(1)求l2的函数表达式；
(2)点D(t,0)在x轴上，t<0，过D作x轴的垂线分别与l1，l2相交于M，N，若MN=3OD，求点D的横坐标t；
(3)若抛物线l2与x轴交于A，B两点(A在B的右侧)，点P在抛物线l2上，且位于第三象限，连接AP交BC于Q，记△BPQ的面积为S1，△ABQ的面积为S2，求S1S2的最大值．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：由选项可知：A、B、C选项开口都是向上的，只有D选项的开口向下；
故选：D．
根据二次函数的性质求解即可．
本题主要考查二次函数的图象与性质，关键是根据二次函数的开口方向由a来决定，当a>0时，二次函数的开口向上；当a<0时，二次函数的开口向下．
2.【答案】C
【解析】解：选项A、B、D的图形都不能找到一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形．
选项C的图形能找到一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形．
故选：C．
根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
本题考查的是中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．
3.【答案】A
【解析】解：∵DE/​/AC，
∴△BDE∽△BAC，
∴BDBA=DEAC，即BD5=34，
解得BD=154，
∴AD=AB−BD=5−154=54．
故选：A．
首先证明出△BDE∽△BAC，然后利用相似三角形的性质代数求解即可．
本题考查相似三角形的判定与性质，平行于三角形一边的直线和其它两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；熟练掌握相似三角形的判定定理是解题关键．
4.【答案】D
【解析】解：二次函数y=2(x+3)2−1图象的顶点坐标为(−3,−1)，对称轴是直线x=−3，
故选：D．
根据顶点式y=a(x−h)2+k的顶点坐标为(h,k)，对称轴为直线x=h，即可求解．
本题考查的是二次函数的性质，熟知二次函数的顶点式是解答此题的关键．
5.【答案】B
【解析】解：∵在△ABC中，∠ACB=90°，
∴sinA=BCAB，故A选项错误，不符合题意；
∵∠ACB=90°，CD⊥AB于D，
∴∠ACD+∠BCD=∠B+∠BCD=90°
∴∠ACD=∠B
∴sinB=sin∠ACD=ADAC，故B选项正确，符合题意；
∵∠ACB=90°，CD⊥AB于D，
∴∠ACD+∠A=∠ACD+∠BCD=90°
∴∠A=∠BCD
∴csA=cs∠BCD=CDBC，故C选项错误，不符合题意；
∵CD⊥AB
∴csB=BDBC，故D选项错误，不符合题意．
故选：B．
根据三角函数的定义直接逐个判断即可得到答案．
本题考查解直角三角形，解题的关键是判断不同直角三角形中的直角边与斜边．
6.【答案】A
【解析】解：如图所示，连接OB，
设⊙O的半径OA=OB=x，
∵AC=4，
∴OC=AC−AO=4−x，
∵BC=3，∠C=90°，
∴在Rt△BOC中，OC2+BC2=OB2，
∴(4−x)2+32=x2，
解得x=258，
∴AO=258．
故选：A．
连接OB，设⊙O的半径OA=OB=x，然后在Rt△BOC中，利用勾股定理求解即可．
此题考查了圆的性质，勾股定理，解题的关键是根据勾股定理列出方程．
7.【答案】C
【解析】解：∵反比例函数y=kx的图象经过点P(1,4)，
∴k=4，
∴反比例函数图象经过一、三象限，在每个象限内，y随x增大而减小，
∴当x<0时，y随x增大而减小，当x>0时，y随x增大而减小，当x>1时，y随x增大而减小，
当x<0，0故选：C．
依题意求得k=4，根据反比例函数的性质可得反比例函数图象经过一、三象限，在每个象限内，y随x增大而减小，即可求解．
本题考查了反比例函数的性质，掌握反比例函数的性质是解题的关键．
8.【答案】B
【解析】解：连接OC，如图所示，
∵OA/​/BC，∠AOB=30°，
∴∠OBC=∠AOB=30°，
∵OB=OC
∴∠OCB=∠OBC=30°
∴∠BOC=180°−30°−30°=120°，
∴∠AOC=120°+30°=150°
∴∠D=12∠AOC=75°，
∵∠AOB=30°，
∴∠ACB=12∠AOB=12×30°=15°，
∵∠BCD=80°，
∴∠ACD=∠BCD−∠ACB=80°−15°=65°，
∴∠DAC=180−∠D−∠ACD=180°−75°−65°=40°，
∴∠D−∠CAD=75°−40°=35°，
故选：B．
根据平行线的性质以及三角形内角和定理得出，得出∠BOC=120°进而根据圆周角定理得出∠D=12∠AOC=75°，根据三角形内角和定理得出∠DAC=40°，即可求解．
本题考查了三角形内角和定理，等腰三角形的性质，圆周角定理，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．
9.【答案】C
【解析】解：∵关于x的二次函数y=ax2+c的图象与x轴有两个交点，
∴−4ac>0，
∴ac<0，
∴a、c异号，
当a>0，则一次函数y=ax+c经过第一、三、四象限，反比例函数y=ax的图象在一、三象限；
当a<0，则一次函数y=ax+c经过第一、二、四象限，反比例函数y=ax的图象在二、四象限；
故选项C正确，
故选：C．
由关于x的二次函数y=ax2+c的图象与x轴有两个交点，确定a、c异号，然后根据一次函数和反比例函数的性质即可判断．
本题考查了抛物线与x轴的交点，反比例函数、一次函数的图象和性质，根据二次函数y=ax2+c的图象与x轴有两个交点，得出a、c异号是解题的关键．
10.【答案】A
【解析】解：在OE上截取OF=OD，连接CF，
∵∠BOD=∠COF，OB=OC，
∴△BOD≌△COF(SAS)，
∴BD=CF，∠BDO=∠CFO，
∵BD=CE，
∴CF=CE，
∴∠CFE=∠CEF，
∴∠ADC=∠CEB，
∴∠COE=∠A，
∵OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB，
∴∠EOC=2∠EBC，
∴∠A=2∠EBC；
∵∠ACD=∠ECO，∠CEO=∠ADC，
∴△OCE∽△ACD；
∵∠COE=∠BOD=∠A，∠DBO=∠ABE，
∴△OBD∽△ABE；
不能证明∠CBE=2∠BED，
故选：A．
在OE上截取OF=OD，连接CF，证明△BOD≌△COF(SAS)，得出BD=CF，∠BDO=∠CFO，证出∠EOC=2∠EBC，则∠A=2∠EBC；由相似三角形的判定可得出△OCE∽△ACD及△OBD∽△ABE，则可得出答案．
本题考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键．
11.【答案】x≠0
【解析】解：∵自变量x在分母上，分式的分母不为0，
∴x≠0．
故答案为：x≠0．
根据分母不为0可得x的取值范围．
本题结合分式的意义考查反比例函数自变量的取值范围；用到的知识点为：分式的分母不为0．
12.【答案】9
【解析】解：当x=0时，y=(x−3)2=(0−3)2=9，
∴二次函数y=(x−3)2的图象与y轴交点的纵坐标是9．
故答案为：9．
直接令x=0，即可求出抛物线与y轴交点的纵坐标．
本题考查了二次函数的性质，解题的关键是掌握抛物线与坐标轴的交点问题．
13.【答案】 22π
【解析】解：如图，连接AC、OB，
在Rt△ABC中，AB=BC=2，∠ABC=90°，
则AC= AB2+BC2=2 2，
∵∠ABC=90°，
∴AC是⊙O的直径，
∵AB=BC，O是AC的中点，
∴∠AOB=90°，
∴劣弧AB的长为：90π× 2180= 22π，
故答案为： 22π.
连接AC、OB，根据勾股定理求出AC，根据圆周角定理得到AC是⊙O的直径，根据弧长公式计算，得到答案．
本题考查的是弧长的计算，熟记弧长公式是解题的关键．
14.【答案】35 2 2
【解析】解：(1)如图所示，
∵O为AB边的中点，OC=OD=OA，
∴点A、B、C、D在AB为直径的⊙O上，
∵∠A=70°，
∴∠ABD=20°，
∴∠AOD=2∠ABD=40°，
则∠DOB=140°，
∵OC⊥BD，
∴BC=CD，
∴∠CBD=12∠COD=14∠BOD=14×140°=35°，
故答案为：35．
(2)∵BC=CD，
∴BC=CD，
∴AD+BC=AD+CD≥AC，
∴当A，D重合时AC取得最小值，此时∠ACB=90°，AC=CB= 22AB=2 2，
即AD+BC的最小值为2 2，
故答案为：2 2．
(1)根据题意得出点A、B、C、D在AB为直径的⊙O上，进而根据圆周角定理，垂径定理即可求解；
(2)根据(1)可得BC=CD，则BC=CD，当A，D重合时AC取得最小值，此时∠ACB=90°，根据勾股定理即可求解．
本题考查了圆的性质，垂径定理，圆周角定理，勾股定理的应用，掌握这些定理是解题的关键．
15.【答案】解：2cs30°−(sin45°)2−|1−tan60°|
=2× 32−( 22)2−|1− 3|
= 3−12− 3+1
=12．
【解析】先进行绝对值的化简，代入特殊角的三角函数值运算，然后合并即可．
本题考查了绝对值的性质，特殊角的三角函数值，掌握几个特殊角的三角函数值是关键．
16.【答案】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=5米，
∵矩形AEFD∽矩形BCFE，
∴AEBC=BCBE．
∴5+BE5=5BE，
解得BE=52( 5−1)(舍去负值)，
经检验BE=5 5−52是分式方程的解，
∴BE的长为5 5−52．
【解析】根据相似多边形的性质求解即可．
本题主要考查了正方形的性质，相似多边形的性质，掌握相似多边形的对应边成比例是解决问题的关键．
17.【答案】解：(1)∵二次函数y=2x2与反比例函数y=kx的图象交于A(−1,b)，
∴b=2×(−1)2=2，
∴k=−1×b=−2；
(2)二次函数值大于反比例函数值时x的取值范围为：x<−1或x>0．
【解析】(1)与二次函数的解析式求得点A的坐标，代入y=kx即可求解k即可；
(2)根据函数图象可直接写出二次函数值大于反比例函数值时x的取值范围．
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求反比例函数的解析式，二次函数与不等式，数形结合是解题的关键．
18.【答案】解：(1)如图，线段A1B1即为所求．
(2)如图，△A′B′C即为所求．

【解析】(1)根据旋转的性质作图即可．
(2)根据位似的性质作图即可．
本题考查作图−位似变换、旋转变换，熟练掌握位似的性质、旋转的性质是解答本题的关键．
19.【答案】解：如图所示，过点A作AE⊥CD于E，作CF⊥BF交BA的延长线于点F，

∵在B点测得底端C的俯角为53.1°，
∴∠BCF=53.1°
∵BC=20，
∴sin53.1°=BFBC≈0.80，
∴BF20≈0.8，解得BF≈16，
∴AF=BF−AB=16−12=4，
∵cs53.1°=FCBC≈0.60，
∴FC20≈0.6，解得FC≈12，
∵∠AFC=∠FCE=∠AEC=90°，
∴四边形AFCE是矩形，
∴AE=FC=12，CE=AF=4，
∵无人机在A点测得大楼CD的顶端D的仰角为63.4°，
∴tan63.4°=DEAE≈2.00，
∴DE12=2，解得DE=24，
∴CD=DE+CE=24+4=28(米)．
【解析】过点A作AE⊥CD，作CF⊥BF交BA的延长线于点F，首先根据三角函数求出BF≈16，FC≈12，然后证明出四边形AFCE是矩形，得到AE=FC=12，CE=AF=4，然后利用三角函数求解即可．
本题主要考查了锐角三角形的实际运用−仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角形的相关知识点并列出等量关系式是解题的关键，属于常考题型．
20.【答案】证明：(1)如图，连接OB，延长AO交BC于点F，
∵OB=OC，AB=AC，
∴AF所在的直线是⊙O，等腰三角形△ABC的对称轴，
∴AF⊥BC，BF=FC=12BC，
∵AD与⊙O相切于D点，C，O，D在同一条直线上，
∴CD⊥AE，
即∠CDE=∠ADC=90°，
∵tan∠DCE=12=DECD，
∴DE=12CD，
又∵OD=12CD，
∴DE=OD，
∵∠DCE+∠DEC=90°=∠FCO+∠FOC=∠AOD+∠OAD，而∠AOD=∠FOC，
∴∠DCE=DAO，
∴△CDE≌△ADO(AAS)，
∴EC=OA；
解：(2)在Rt△AFC中，AC= 10，FC=12BC=1，
∴AF= AC2−BC2=3，
在Rt△COF中，FC=1，tan∠OCF=12=OFFC，
∴OF=12FC=12，
∴OC= OF2+FC2= 52，
∴CD=2OC= 5，DE=OC= 52，
在Rt△CDE中，
EC= DE2+CD2=52，
∴BE=EC−BC=52−2=12．
【解析】(1)根据等腰三角形的性质、轴对称的性质以及三角形全等的判定方法得出△CDE≌△ADO即可；
(2)根据直角三角形的边角关系进行计算即可．
本题考查切线的性质，直角三角形的边角关系以及全等三角形的判定和性质，掌握切线的性质，直角三角形的边角关系以及全等三角形的判定和性质是正确解答的关键．
21.【答案】解：(1)w=(q−20)p
=(12x+30−20)(−2x+80)
=(12x+10)(−2x+80)
=−x2+20x+800，
w=−x2+20x+800；
(2)w=−x2+20x+800
=−(x−10)2+900，
当x=10时，最大利润为900元，
答：第10天的销售利润最大，最大利润为900元．
【解析】(1)销售利润=单件利润×销量，代入即可得出w与x之间的关系式；
(2)根据(1)的关系式，利用配方法可求出w的最大值．
本题考查了二次函数的应用，掌握二次函数的性质是解题的关键．
22.【答案】(1)①证明：∵F为BD的中点，
∴BF=DF=12BD，
∵BD2=4AF⋅EF，
∴12BDEF=AF12BD，即BFEF=AFDF，
又∵∠AFD=∠EFB，
∴△AFD∽△BFE，
∴∠ADF=∠BEF；
②解：∵△AFD∽△BFE，
∴∠DAF=∠EBF，BFAF=BEAD，
又∠BCD=∠ACE，
∴△BCD∽△ACE，
∴BCAC=CDEC，
∵CE=2BE，设CE=2a，则BE=a，设CD=AD=b，则AC=2b，
∴3a2b=b2a，
∴3a2=b2即ab= 33(负值舍去)，
∴BFAF=BEAD=ab= 33；
(2)如图所示，过点A，C分别作BG的垂线，垂足分别为N，M，

∴∠AND=∠CMD=90°，
又∵∠ADN=∠CDM，AD=DC，
∴△ADN≌△CDM(AAS)，
∴AN=CM；
在Rt△ANF和Rt△CMB中，
AN=CMBC=AF，
∴Rt△ANF≌Rt△CMB(HL)，
∴∠AFG=∠CBF，
又∠G=∠BCD，
∴△AFG∽△DBC，
∴AFDB=FGBC，
又BC=AF，
∴BC2=BD⋅FG．
【解析】(1)①根据已知条件可得BFEF=AFDF，∠AFD=∠EFB，即可证明△AFD∽△BFE，根据相似三角形的性质即可得证；
②证明△BCD∽△ACE，得出BCAC=CDEC，根据CE=2BE，设CE=2a，则BE=a，设CD=AD=b，则AC=2b，得出ab= 33，根据△AFD∽△BFE，得出BFAF=BEAD，即可求解；
(2)过点A，C分别作BG的垂线，垂足分别为N，M，证明△ADN≌△CDM(AAS)得出AN=CM，进而证明Rt△ANF≌Rt△CMB，得出∠AFG=∠CBF，即可证明△AFG∽△DBC，结合已知就条件，即可得证．
本题考查了三角形的综合，相似三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．
23.【答案】解：(1)设向下平移a个单位，则y=12(x+32)2−a，
∴y=12x2+32x+98−a，
当x=0时，98−a=−2，
解得：a=258，
∴函数l2的解析式为y=12x2+32x−2；
(2)∵点D(t,0)，
∴M(t,12t2)，N(t,12t2+32t−2)，
∴MN=|32t−2|，OD=|t|，
∵MN=3OD，
∴|32t−2|=3|t|，
解得t=−43或t=49(舍)，
∴点D的横坐标为−43；
(3)如图，

作PD//AB，交BC于D，
∴△DPQ∽△BAQ，
∴PQAQ=PDAB，
由12x2+32x−2=0得，
∴x1=−4，x2=1，
∴B(−4,0).A(1,0)，
∵C(0,−2)，
∴直线BC的解析式为：y=−12x−2，
设P(m,12m2+32m−2)，
由−12x−2=12m2+32m−2得，
x=−m2−3m，
∴PD=−m2−4m，
∴S1S2=PQAQ=PDAB=−m2−4m5=−(m+2)2+45，
∴当m=−2时，(S1S2)最大=45．
【解析】(1)设向下平移a个单位，则y=12(x+32)2−a，当x=0时，98−a=−2，求出a的值即可确定函数解析式；
(2)表示出点M和点N坐标，从而表示出MN和OD，进而根据MN=3OD列出方程，进一步得出结果；
(3)作PD//AB，交BC于D，可得出△DPQ∽△BAQ，从而得出PQAQ=PDAB，求出A，B，C三点坐标，求得BC的函数表达式，设P(m,12m2+32m−2)，进而表示出D(m2−3m,12m2+32m−2)，从而得出PD的长，从而得出S1S2=PQAQ=PDAB=−m2−4m5=−(m+2)2+45，进一步得出结果．
本题考查了二次函数图象的性质，相似三角形的判定和性质，求一次函数的解析式等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造相似三角形．