2023-2024学年安徽省合肥市包河区智育联盟校八年级（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年安徽省合肥市包河区智育联盟校八年级（上）期末数学试卷（含解析），共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.以下四家银行的标志图中，不是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.已知三角形两边的长分别是5和9，则此三角形第三边的长可能是( )
A. 1B. 4C. 8D. 14
3.下列可以作为命题“若x>y，则x2>y2”是假命题的反例是( )
A. x=−2，y=−1B. x=2，y=−1
C. x=−1，y=−2D. x=2，y=1
4.若三角形三个内角度数之比为2：3：5，则这个三角形一定是( )
A. 等腰直角三角形B. 锐角三角形C. 直角三角形D. 钝角三角形
5.在平面直角坐标系xOy中，若某个点横、纵坐标均为整数，则称这个点为坐标平面内的整点，若点Px,y是第一象限的整点，且P点的坐标满足x+2y=5，则满足条件的整点P的个数
( )
A. 3B. 2C. 1D. 0
6.关于一次函数y=−x+1的描述，下列说法正确的是( )
A. 图象经过点(−2,1)B. 图象经过第一、二、三象限
C. y随x的增大而增大D. 图象与y轴的交点坐标是(0,1)
7.如图，∠BAD=∠CAD，添加一个条件不能判断△ABD≌△ACD的是( )
A. BD=CD
B. AB=AC
C. ∠B=∠C
D. ∠ADB=∠ADC
8.如图，△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，D在边BC上，DE垂直平分AB，DE=3，则BC=( )
A. 7
B. 8
C. 9
D. 10
9.两个y关于x的一次函数y=ax+b和y=bx+a在同一平面直角坐标系中的图象可能是( )
A. B.
C. D.
10.如图，在一个单位为1的方格纸上，△A1A2A3，△A3A4A5，△A5A6A7，…，是斜边在x轴上，斜边长分别为2，4，6，…的等腰直角三角形.若△A1A2A3的顶点坐标分别为A1(2,0)，A2(1,−1)，A3(0,0)，则依图中所示规律，A2023的横坐标为( )
A. −1010B. 1010C. 1012D. −1012
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.将一次函数y=x−1的图象沿y轴向上平移3个单位长度，所得直线对应的函数表达式为 ．
12.如图，直线y1=−x+a与y2=bx−4相交于点P，已知点P的坐标为(1,−3)，则关于x的不等式−x+a≤bx−4的解集是______．
13.如图，在△ABC中，点M，N为AC边上的两点，AM=NM，BM⊥AC，ND⊥BC于点D，且NM=ND，若∠A=70°，则∠C的度数为：______．
14.已知一次函数y=2x+6−3a(a为常数).当−1≤x≤2时，函数y有最大值−2，则a= ______．
15.定义：等腰三角形的顶角与其一个底角的度数的比值k称为这个等腰三角形的“特征值”.若在等腰△ABC中，∠A=50°，则它的特征值k等于______．
16.如图，△ABC是等边三角形，D是BC延长线上一点，DE⊥AB于点E，EF⊥BC于点F.若CD=3AE，CF=6，则AC的长为______．
三、解答题：本题共6小题，共57分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
如图，在△ABC中，∠B=40°，∠C=70°．
(1)用直尺和圆规按下列要求作图(保留作图痕迹，不写作法)：
①作∠BAC的平分线交BC于点D；
②过点A作△ABC中BC边上的高AE，垂足为点E；
(2)在(1)的基础上，求∠DAE的度数．
18.(本小题8分)
如图，△ABC在平面直角坐标系中，其顶点坐标如下：A(−3,1)，B(−1,−2)，C(1,3)．
(1)作出△ABC关于y轴对称的图形△A1B1C1.其中A1、B1、C1分别和A、B、C对应，则点C1的坐标为：______；线段AA1的长度为______；
(2)仅用直尺在y轴上确定点P的位置(保留痕迹)：使PA+PB的值最小.此时点P的坐标为：______．
19.(本小题10分)
如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线y=kx+b经过A(−6,0)，B(0,3)两点，点C在直线AB上，C的纵坐标为4．
(1)求k、b的值及点C坐标；
(2)若点D为直线AB上一动点，且△OBC的面积是△OAD面积的一半，试求点D的坐标．
20.(本小题12分)
在河道A，B两个码头之间有客轮和货轮通行.一天，客轮从A码头匀速行驶到B码头，同时货轮从B码头出发，运送一批物资匀速行驶到A码头，两船距B码头的距离y(km)与行驶时间x(min)之间的函数关系如图所示，请根据图象解决下列问题：
(1)A，B两个码头之间的距离是______km；
(2)求客轮距B码头的距离y2(km)与时间x(min)之间的函数表达式；
(3)点P的横坐标是：______；
(4)请问两船出发多久相距35km？
21.(本小题14分)
已知△ABC为等边三角形，D为AC的中点，∠EDF=120°，DE交线段AB于E，DF交直线BC于F．
(1)如图(1)，求证：DE=DF；
(2)如图(2)，若BE=3AE，求证：CF=14BC；
(3)如图(3)，若BE=13AE，则CFBC= ______；
(4)若BE=nAE(n>1)，则CFBC= ______.(用含n的代数式表示)
22.(本小题5分)
若n个等腰三角形的顶角度数分别为α1、α2、…、αn，且α1<α2<α3<⋯<αn，这n个等腰三角形的共同特点是：被一条经过其中一个顶点的直线分得的两个较小三角形也是等腰三角形；则α1= ______．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：A、是轴对称图形，不符合题意；
B、不是轴对称图形，符合题意；
C、是轴对称图形，不符合题意；
D、是轴对称图形，不符合题意．
故选：B．
根据轴对称图形的概念求解．
本题考查了轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．
2.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查的是三角形的三边关系，即任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．
先根据三角形的三边关系求出x的取值范围，再求出符合条件的x的值即可．
【解答】
解：此三角形第三边的长为x，则
9−5只有选项C符合题意．
故选：C．
3.【答案】C
【解析】解：∵当x=−1，y=−2时，(−2)2>(−1)2，而−2<−1，
∴x>y，但是x2∴x=−1，y=−2是假命题的反例．
其他选项不能说明；
故选：C．
此题主要考查了利用举反例说明一个命题错误，要证明一个例题不成立，可以通过举反例：即符合命题条件，但不符合命题结论．
本题考查命题与定理，正确记忆相关知识点是解题关键．
4.【答案】C
【解析】解：设三个内角的度数为2x，3x，5x，
根据三角形的内角和定理，可得2x+3x+5x=180°，
解得x=18°，
∴三个内角的度数为36°，54°，90°，
故三角形是直角三角形，
故选：C．
设三个内角的度数为2x，3x，5x，根据三角形的内角和定理列方程，解出三个内角的度数即可进行判断．
本题考查了三角形的内角和定理，涉及直角三角形的判定，熟练掌握三角形的内角和定理是解题的关键．
5.【答案】B
【解析】解：点P(x,y)是第一象限的整点，且P点的坐标满足x+2y=5，
∴x=5−2y>0，y=5−x2>0，
解得x<5，y<52且x、y均为整数，
∴x=1或2或3或4，y=1或2，
当x=1时，y=2，P(1,2)满足条件；
当x=2时，y=32，P(2,32)不满足条件；
当x=3时，y=1，P(3,1)满足条件；
当x=4时，y=12，P(4,12)不满足条件；
∴满足条件的整点P的个数为2，
故选：B．
根据第一象限内的点横坐标大于零，纵坐标小大于零，可得答案．
本题考查了点的坐标，利用第一象限内的点横坐标大于零，纵坐标大于零得出x的值是解题关键．
6.【答案】D
【解析】解：A.当x=−2时，y=−1×(−2)+1=3，
∴一次函数y=−x+1的图象不过点(−2,1)，
∴选项A不正确，不符合题意；
B.∵k=−1<0，b=1>0，
∴一次函数y=−x+1的图象经过第一、二、四象限，
∴选项B不正确，不符合题意；
C.∵k=−1<0，
∴y随x的增大而减小，
∴选项C不正确，不符合题意；
D.当x=0时，y=−1×0+1=1，
∴一次函数y=−x+1的图象与y轴的交点坐标是(0,1)，
∴选项D正确，符合题意．
故选：D．
A.利用一次函数图象上点的坐标特征可得出一次函数y=−x+1的图象不过点(−2,1)；B.利用一次函数图象与系数的关系可得出一次函数y=−x+1的图象经过第一、二、四象限；C.利用一次函数的性质可得出y随x的增大而减小；D.利用一次函数图象上点的坐标特征可得出一次函数y=−x+1的图象与y轴的交点坐标是(0,1)．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、一次函数的性质以及一次函数图象与系数的关系，逐一分析各选项的正误是解题的关键．
7.【答案】A
【解析】解：在△ABD与△ACD中，
∵∠BAD=∠CAD，AD=AD，
∴A、若添加BD=CD，则两三角形有两边及一边的对角对应相等，不能判定两三角形全等，故此选项符合题意；
B、若添加AB=AC，则两三角形有两边及其夹角对应相等，可利用SAS判定两三角形全等，故此选项不符合题意；
C、若添加∠B=∠C，则两三角形有两角及一角的对边对应相等，可利用AAS判定两三角形全等，故此选项不符合题意；
D、若添加∠ADB=∠ADC，则两三角形有两角及其夹边对应相等，可利用ASA判定两三角形全等，故此选项不符合题意；
故选：A．
根据全等三角形的判定定理逐项判定即可．
本题考查全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．
8.【答案】C
【解析】解：∵∠C=90°，∠B=30°，
∴∠BAC=90°−30°=60°，
∵DE垂直平分AB，
∴DA=DB，
∴∠DAB=∠B=30°，
∴∠CAD=∠BAC−∠BAD=30°，
∴∠BAD=∠CAD，
∵DC⊥AC，DM⊥AB，
∴DC=DE=3，
∵∠B=30°，∠BED=90°，
∴BD=2DE=2×3=6，
∴BC=BD+CD=6+3=9．
故选：C．
由直角三角形的性质得到∠BAC=90°−30°=60°，由线段垂直平分线的性质推出DA=DB，得到∠DAB=∠B=30°，求出∠CAD=∠BAC−∠BAD=30°，得到∠BAD=∠CAD，由角平分线的性质推出DC=DE=3，由含30度角的直角三角形的性质得到BD=2DE=2×3=6，即可求出BC=BD+CD=9．
本题考查含30度角的直角三角形，线段垂直平分线的性质，角平分线的性质，关键是由角平分线的性质得到CD=DE，由含30度角的直角三角形的性质得到BD=2DE．
9.【答案】B
【解析】【解答】
解：A、对于y=ax+b，当a>0，图象经过第一、三象限，则b>0，y=bx+a也要经过第一、三象限，所以A选项不符合题意；
B、对于y=ax+b，当a>0，图象经过第一、三象限，则b<0，y=bx+a经过第二、四象限，与y轴的交点在x轴上方，所以B选项符合题意；
C、对于y=ax+b，当a>0，图象经过第一、三象限，则b>0，y=bx+a也要经过第一、三象限，所以C选项不符合题意；
D、对于y=ax+b，当a<0，图象经过第二、四象限，若b>0，则y=bx+a经过第一、三象限，所以D选项不符合题意．
故选：B．
【分析】
对于每个选项，先确定一个解析式所对应的图象，根据一次函数图象与系数的关系确定a、b的符号，然后根据此符号看另一个函数图象的位置是否正确．
本题考查了一次函数图象：一次函数y=kx+b(k、b为常数，k≠0)是一条直线，当k>0，图象经过第一、三象限，y随x的增大而增大；当k<0，图象经过第二、四象限，y随x的增大而减小；图象与y轴的交点坐标为(0,b)．
10.【答案】A
【解析】解：∵图中的各三角形都是等腰直角三角形，斜边长分别为2，4，6，…
∴A1(2,0)，A2(1,−1)，A3(0,0)，A4(2,2)，A5(4,0)，A6(1,−3)，A7(−2,0)，A8(2,4)，A9(6,0)，A10(1,−5)，A11(−4,0)，A12(2,6)，...
总结得出规律：A4n+1(2n+2,0)，A4n+2(1,−2n−1)，A4n+3(−2n,0)，A4n+4(2,2n+2)，
∵2023=4×505+3，
∴点A2023在x轴负半轴上，横坐标为−2×505=−1010．
故选：A．
根据题意可以发现规律，图中的各三角形都是等腰直角三角形，总结得出规律：A4n+1(2n+2,0)，A4n+2(1,−2n−1)，A4n+3(−2n,0)，A4n+4(2,2n+2)；根据2023=4×505+3，然后按照规律即可求解．
本题主要考查规律性：点的坐标，读懂题意，找出点的坐标规律是解答此题的关键．
11.【答案】y=x+2
【解析】解：将一次函数y=x−1的图象沿y轴向上平移3个单位长度，平移后的直线表达式为y=x−1+3=x+2，
∴平移后的直线对应的函数表达式为y=x+2，
故答案为：y=x+2．
根据一次函数图象的平移规律“上加下减”求解即可．
本题考查了一次函数图象与几何变换，熟练掌握一次函数图象的平移规律是解题的关键．
12.【答案】x≥1
【解析】解：∵直线y1=−x+a与y2=bx−4相交于点P，已知点P的坐标为(1,−3)，
∴关于x的不等式−x+a≤bx−4的解集是x≥1．
故答案为：x≥1．
观察图象，得出y1在y2的图象下方的自变量的取值范围，即可解答．
本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系，解决这类题目的关键是找出两个函数图象的交点坐标，再根据图象的位置确定x的取值范围．
13.【答案】50°
【解析】解：∵AM=NM，BM⊥AC，
∴BM平分∠ABN，
∴∠ABM=∠NBM=20°，
∵ND⊥BC，NM=ND，
∴BN平分∠MBD，
∴∠DBN=20°，
∴∠ABC=60°，
∴∠C=180°−70°−60°=50°．
故答案为：50°．
由AM=NM，BM⊥AC可得∠ABM=∠NBM=20°，由ND⊥BC于点D，NM=ND可得BN平分∠MBD，进而得出∠DBN=20°，即可求出∠ABC，再根据三角形的内角和定理即可求出∠C．
本题考查等腰三角形的性质，角平分线的性质，三角形的内角和定理，熟练掌握以上知识是解题关键．
14.【答案】4
【解析】解：∵一次函数y=2x+6−3a(a为常数)中，k=2>0，
∴y随x的增大而增大，
∵当−1≤x≤2时，函数y有最大值−2，
∴当x=2时，y=−2，即2×2+6−3a=−2，
解得a=4．
故答案为：4．
先根据题意判断出函数的增减性，进而可得出结论．
本题考查的是一次函数的性质，先根据题意得出函数的增减性是解题的关键．
15.【答案】1013或85
【解析】解：当∠A为顶角时，∠B=∠C=12(180°−∠A)=65°，
∴它的特征值k=5065=1013；
当∠A为底角时，顶角=180°−2∠A=80°，
∴它的特征值k=8050=85．
故答案为：1013或85．
分∠A为顶角及∠A为底角两种情况考虑，当∠A为顶角时，利用三角形内角和定理可求出底角的度数，结合“特征值”的定义即可求出特征值k的值；当∠A为底角时，利用三角形内角和定理可求出顶角的度数，结合“特征值”的定义即可求出特征值k的值．
本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理，分∠A为顶角及∠A为底角两种情况求出“特征值”k是解题的关键．
16.【答案】10
【解析】解：AC与DE相交于G，如图，
∵△ABC为等边三角形，
∴AB=BC=AC，∠A=∠B=∠ACB=60°，
∵DE⊥AE，
∴∠AGE=30°，
∴∠CGD=30°，
∵∠ACB=∠CGD+∠D，
∴∠D=30°，
∴CG=CD，
设AE=x，则CD=3x，CG=3x，
在Rt△AEG中，AG=2AE=2x，
∴AB=BC=AC=5x，
∴BE=4x，BF=5x−6，
在Rt△BEF中，BE=2BF，
即4x=2(5x−6)，解得x=2，
∴AC=5x=10．
故答案为10．
AC与DE相交于G，如图，利用等边三角形的性质得到AB=BC=AC，∠A=∠B=∠ACB=60°，再证明CG=CD，设AE=x，则CD=3x，CG=3x，利用含30度的直角三角形三边的关系得到AG=2AE=2x，所以AB=BC=AC=5x，则BE=4x，BF=5x−6，然后在Rt△BEF中利用BE=2BF得到4x=2(5x−6)，解方程求出x后计算5x即可．
本题考查了含30度角的直角三角形的性质：在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．也考查了等边三角形的性质．
17.【答案】解：(1)①如图，射线AD即为所求；
②如图，线段AE即为所求．
(2)∵AD平分∠BAC，
∴∠CAD=12∠BAC，
∵∠BAC=180°−∠B−∠C=180°−40°−70°=70°，
∴∠CAD=35°，
∵AE⊥BC，
∴∠CAE=90°−∠C=20°，
∴∠DAE=35°−20°=15°．
【解析】(1)①利用尺规根据要求作出图形即可；
②利用尺规根据要求作出图形即可；
(2)求出∠CAD，∠CAE，再根据角的和差定义求解即可．
本题考查作图−复杂作图，三角形的角平分线，三角形的高等知识，解题的关键是熟练掌握五种基本作图，属于中考常考题型．
18.【答案】(−1,3) 6 (0,−54)
【解析】解：(1)如图所示，△A1B1C1即为所求，C1(−1,3)，AA1=6，
故答案为：(−1,3)；6；
(2)如图所示，点P即为所求，
设直线AB1的解析式为y=kx+b，
则−3k+b=1k+b=−2
∴k=−34b=−54，
∴y=−34x−54，
当x=0时，y=−54，
即P(0,−54)，
故答案为：(0,−54).
(1)根据轴对称变换的性质找出对应点即可求解；
(2)连接AB1交y轴于点P则点P即为所求，设直线AB1的解析式为y=kx+b，将点A与点B1代入求出解析式即可求解．
本题考查了作图−轴对称变换，轴对称−最短路径问题，熟记轴对称变换的性质是解题的关键．
19.【答案】解：(1)根据题意得−6k+b=0b=3，
解得k=12，b=3，
∴一次函数解析式为y=12x+3，
当y=4时，12x+3=4，
解得x=2，
∴C点坐标为(2,4)；
(2)设D(t,12t+3)，
∵△OBC的面积是△OAD面积的一半，
∴12×6×|12t+3|=12×12×3×2，
解得t=−5或t=−7，
∴D点坐标为(−5,12)或(−7,−12).
【解析】(1)利用待定系数法求出一次函数解析式，从而得到k、b的值，然后计算函数值为4所对应的自变量的值得到C点坐标；
(2)设D(t,12t+3)，利用三角形面积公式得到12×6×|12t+3|=12×12×3×2，然后解方程求出t，从而得到D点坐标．
本题考查了待定系数法求一次函数解析式：求一次函数y=kx+b，则需要两组x，y的值．也考查了一次函数图象上点的坐标特征和三角形面积公式．
20.【答案】80 (32,16)
【解析】解：(1)根据函数图象可知，A，B两个码头之间的距离是80km，
故答案为：80．
(2)根据题意可知，DE为客轮行驶的函数图象．
设y2=k2x+b2，将坐标D(0,80)和E(40,0)代入，
得80=b10=40k1+b1，
解得k1=−2b1=80．
∴y2与x之间的函数表达式为y2=−2x+80(0≤x≤40)．
(3)OC为货轮行驶的函数图象，其函数表达式设y1=k1x，将坐标C(160,80)代入，
得80=160k1，
解得k1=12．
∴y2与x之间的函数表达式为y1=12x(0≤x≤160)．
当两船相遇时，12x=y2=−2x+80，
解得x=32，此时y1=y2=16，
∴P点坐标为(32,16)
故答案为：(32,16)；
(4)若两船相距35km：①当0≤x≤40时，|y1−y2|=35，即|52x−80|=35，
解得x=18或46(不符合题意，舍去)；
②当40解得x=70．
综上，两船出发18min或70min时相距35km．
(1)根据函数图象即可解答；
(2)利用待定系数法求解即可；
(3)利用待定系数法求出货轮距B码头的距离y1(km)与时间x(min)之间的函数表达式．当两船相遇时，x的值为横坐标，y的值为纵坐标；
(4)由(2)得，按照自变量的取值范围，分别令|y1−y2|=35，求出对应x的值即可．
本题考查一次函数的应用，熟练掌握待定系数法求函数的表达式是解题的关键．
21.【答案】14 n−22n−2
【解析】(1)证明：如图(1)，连接BD，过点D作DM⊥AB于点M，DN⊥BC于点N，
则∠DMB=∠DNB=∠DNF=90°，
∵△ABC是等边三角形，D为AC的中点，
∴∠ABC=60°，BD平分∠ABC，
∴DM=DN，∠MDN=360°−∠DMB−∠DNB−∠ABC=360°−90°−90°−60°=120°，
∴∠MDN=∠EDF，
即∠MDE+∠EDN=∠NDF+∠EDN，
∴∠MDE=∠NDF，
在△DME和△DNF中，
∠DME=∠DNFDM=DN∠MDE=∠NDF，
∴△DME≌△DNF(ASA)，
∴DE=DF；
(2)证明：如图(2)，取AB的中点K，连接DK，
则AK=12AB，
∵D为AC的中点，
∴AD=CD=12AC，DK是△ABC的中位线，
∴DK=12BC，
设AE=a，则BE=3a，
∴AB=AE+BE=a+3a=4a，
∴AK=BK=2a，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠B=∠C=60°，AB=AC=BC=4a，
∴DK=AD=AK=CD=2a，
∴AE=EK=a，
∴DE⊥AK，
∴∠BED=90°，
∵∠BED+∠BFD=360°−∠B−∠EDF=360°−60°−120°=180°，
∴∠BFD=90°，
∴∠CFD=90°，
在Rt△CFD中，∠C=60°，
∴∠CDF=90°−60°=30°，
∴CF=12CD=12×2a=a，
∴CF=14BC；
(3)解：如图(3)，取AB的中点K，连接DK，
则AK=BK=12AB，
∵D为AC的中点，
∴AD=CD=12AC，DK是△ABC的中位线，
∴DK=12BC，
设BE=a，则AE=3a，
∴AB=AE+BE=3a+a=4a，
∴AK=BK=12×4A=2a，
∴BE=EK=a，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB=60°，AB=AC=BC=4a，
∴∠DCF=180°−60°=120°，AK=AD=DK=CD，
∴△ADK是等边三角形，
∴∠ADK=∠AKD=60°，
∴∠DKE=∠KDC=180°−60°=120°，
∴∠DKE=∠DCF，∠EDF=∠KDC，
即∠CDE+∠CDF=∠CDE+∠KDE，
∴∠KDE=∠CDF，
在△EDK和△FDC中，
∠KDE=∠CDFDK=CD∠DKE=∠DCF，
∴△EDK≌△FDC(ASA)，
∴EK=CF=a，
∴CFBC=a4aC=14，
故答案为：14；
(4)解：如图(4)，连接BD，过点D作DM⊥AB于点M，DN⊥BC于点N，
∴∠DMA=∠DNC=90°，
同(1)得：DM=DN，△DME≌△DNF(ASA)，
∴EM=NF，
∵D为AC的中点，
∴AD=CD=12AC，
在Rt△DMA和Rt△DNC中，
AD=CDDM=DN，
∴Rt△DMA≌Rt△DNC(HL)，
∴AM=CN，
设AE=a，则BE=na，
∴AB=AE+BE=a+na=(n+1)a，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=60°，AB=BC=AC=(n+1)a，
∴∠ADM=30°，
∴AM=CN=12AD=14AC=n+14a，
∴EM=FN=AE−AM=a−n+14a=3−n4a，
∴CF=CN−FN=n+14a−3−n4a=n−22a，
∴CFBC=n−22a(n+1)a=n−22n−2，
故答案为：n−22n−2．
(1)连接BD，过点D作DM⊥AB于点M，DN⊥BC于点N，证△DME≌△DNF(ASA)，即可得出结论；
(2)取AB的中点K，连接DK，证DK是△ABC的中位线，得DK=12BC，设AE=a，则BE=3a，则AB=AE+BE=4a，再证∠CFD=90°，然后由含30°角的直角三角形的性质得CF=12CD=a，即可得出结论；
(3)取AB的中点K，连接DK，证DK是△ABC的中位线，得DK=12BC，设BE=a，则AE=3a，则AB=AE+BE=4a，再证△ADK是等边三角形，得∠ADK=∠AKD=60°，然后证△EDK≌△FDC(ASA)，得EK=CF=a，即可得出结论；
(4)连接BD，过点D作DM⊥AB于点M，DN⊥BC于点N，同(1)得DM=DN，△DME≌△DNF(ASA)，则EM=NF，再证Rt△DMA≌Rt△DNC(HL)，得AM=CN，设AE=a，则BE=na，则AB=(n+1)a，然后由含30°角的直角三角形的性质得AM=CN=n+14a，即可解决问题．
本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、含30°角的直角三角形的性质、三角形中位线定理以及角平分线的性质等知识，本题综合性强，熟练掌握等边三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键，属于中考常考题型．
22.【答案】180°7
【解析】解：根据题意，符合条件的等腰三角形只有4个：
(1)如图，ABC中，AB=AC，BD=AD，AC=CD，求∠BAC的度数．
∵AB=AC，BD=AD，AC=CD，
∴∠B=∠C=∠BAD，∠CDA=∠CAD，
∴∠CAD=∠CDA=∠B+∠BAD=2∠B，
∴∠CAB=3∠B，
∵∠BAC+∠B+∠C=180°，
∴5∠B=180°，
∴∠B=36°，
∴∠BAC=108°．
(2)如图，△ABC中，AB=AC，AD=BD=CD，求∠BAC的度数．
∵AB=AC，AD=BD=CD，
∴∠B=∠C=∠DAC=∠DAB，
∴∠BAC=2∠B，
∵∠BAC+∠B+∠C=180°，
∴4∠B=180°，
∴∠B=45°，
∴∠BAC=90°．
(3)如图，△ABC中，AB=AC，BD=AD=BC，求∠BAC的度数．
∵AB=AC，BD=AD=BC，
∴∠ABC=∠C，∠A=∠ABD，∠BDC=∠C
∴∠BDC=∠A+∠ABD=2∠A，
∴∠C=2∠A=∠ABC，
∵∠A+∠ABC+∠C=180°，
∴5∠A=180°，
∴∠A=36°．
(4)如图，△ABC中，AB=AC，BD=AD，CD=BC，求∠BAC的度数．
假设∠A=x，
∵AD=BD，
∴∠DBA=x，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C=180−x2，
∵CD=BC，
∴∠BDC=∠A+∠DBA=2x=∠DBC=180−x2−x，
∴2x=180−x2−x，
解得：x=180°7．
∵180°7<36°<90°<108°，
∴α1=180°7．
故答案为：180°7．
根据题意画出图形分别计算即可．
此题考查等腰三角形的性质，需分类讨论和计算，根据题意画出图形是解决本题的关键，难度较大．