2023-2024学年江苏省盐城市阜宁中学高一下学期第一次综合测试数学试题

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命题人： 时间：120分钟 分值：150分
一、单选题(共40分)
1. 在中，，是，所对的边，已知，则的形状是（ ）
A. 直角三角形B. 等腰三角形
C. 等腰直角三角形D. 等腰三角形或直角三角形
2. 已知，均为单位向量，它们的夹角为，则（ ）
A. B. C. D. 13
3. 复数（i为虚数单位）的共轭复数的虚部等于（ ）
A. 1B. C. D.
4. 已知，，，若，则（ ）
A. B. C. D.
5. 在中，“是钝角三角形”是“”的（ ）
A. 充要条件B. 充分不必要条件
C 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件
6. 在中，有，则的最大值是（ ）
A B. C. D.
7. 圣·索菲亚教堂是哈尔滨的标志性建筑，其中央主体建筑集球、圆柱、棱柱于一体，极具对称之美.犇犇同学为了估算索菲亚教堂的高度，在索菲亚教堂的正东方向找到一座建筑物，高约为，在它们之间的地面上的点（，，三点共线）处测得楼顶、教堂顶的仰角分别是和，在楼顶处测得塔顶的仰角为，则犇犇估算索菲亚教堂的高度约为（结果保留整数）（ ）
A. B. C. D.
8. 自平面上一点引两条射线，，点在上运动，点在上运动且保持为定值（点，不与点重合），已知，，则的取值范围为
A. B. C. D.
二、多选题(共20分)
9. 已知向量，，则（ ）
A.
B. 向量在向量上的投影向量是
C.
D. 与向量共线的单位向量是，
10. 已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列命题中正确的有（ ）
A. 若，则△ABC一定是等边三角形
B. 若，则△ABC一定是等腰三角形
C. 是成立的充要条件
D. 若，则△ABC一定是锐角三角形
11. 设z为复数，则下列命题中正确的是（ ）
A. z2＝|z|2B. C. 若|z|＝1，则|z+i|的最大值为2D. 若|z﹣1|＝1，则0<|z|<2
12. 已知均为第二象限角，且，则可能存在（ ）
A B. C. D.
三、填空题(共20分)
13. 已知非零实数，满足关系式，则的值是______．
14. 赵爽是我国古代数学家，大约在公元222年，他为《周髀算经》一书作序时，介绍了“赵爽弦图”——由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图1所示.类比“赵爽弦图”，可构造如图2所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形.在中，若，则___________.
15. 在复平面内，已知复数满足（为虚数单位），记对应的点为点，z对应的点为点，则点与点之间距离的最小值_________________
16. 已知直角梯形中，，，，，是腰上的动点，则的最小值为______.
四、解答题(共70分)
17 平面内给定三个向量，，.
（1）求；
（2）求；
（3）若，求实数k.
18. 已知
（1）求的值；
（2）已知，，，求的值.
19. 已知的顶点坐标分别为.若虚数是实系数一元二次方程的根，
（1）求点A､C的坐标；
（2）若是钝角，求b的取值范围.
20. 在中，记角的对边分别为，已知，且，点在线段上.
（1）若，求的长；
（2）若的面积为，求的值.
21. 某公司欲生产一款迎春工艺品回馈消费者，工艺品的平面设计如图所示，该工艺品由直角和以为直径的半圆拼接而成，点为半圈上一点（异于，），点在线段上，且满足.已知，，设.
（1）了使工艺礼品达到最佳观赏效果，需满足，且达到最大.当为何值时，工艺礼品达到最佳观赏效果；
（2）为了工艺礼品达到最佳稳定性便于收藏，需满足，且达到最大.当为何值时，取得最大值，并求该最大值.

22. 如图，设中角所对的边分别为为边上的中线，已知且.
（1）求中线的长度；
（2）设点分别为边上的动点，线段交于，且的面积为面积的一半，求的最大值.