2023-2024学年江苏省扬州市高邮市高一下学期4月学情调研数学试题

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】逆用正弦和角公式求出答案.
详解】.
故选：B
2. 已知复数，则的虚部是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先利用复数的除法运算化简复数，再利用复数的概念求解.
【详解】解：因为复数，
所以的虚部是，
故选：D
3. 已知向量，若，则实数的值为（ ）
A B. C. 或D.
【答案】C
【解析】
【分析】由向量平行列出方程，求出答案.
【详解】由题意得，解得或3，经检验，均满足要求.
故选：C
4. 四边形是复平面内的平行四边形，三点对应的复数分别是，则点对应的复数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据已知条件，结合复数的几何意义，以及向量相等的条件，即可求解.
【详解】由已知得，
，设，
因为，，
四边形是复平面内的平行四边形，
所以，解得，
所以点对应的复数为.
故选：A
5. 高邮镇国寺是国家3A级旅游景区．地处高邮市京杭大运河中间，东临高邮市区，西近高邮湖.实属龙地也，今有“运河佛城”之称.某同学想知道镇国寺塔的高度，他在塔的正北方向找到一座建筑物，高约为7.5，在地面上点处（，，三点共线）测得建筑物顶部A，镇国寺塔顶部的仰角分别为15°和60°，在A处测得镇国寺塔顶部的仰角为30°，镇国寺塔的高度约为（ ）
（参考数据：）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先求出AC，再解三角形AMC求出MC即可.
【详解】，
在中，，
在中，，，
，
由正弦定理得：，
（m）；
故选：B.
6. 黄金分割比是指将整体一分为二，较大部分与整体的比值等于较小部分与较大部分的比值，该比值为，这是公认的最能引起美感的比例．黄金分割比的值还可以近似地表示为，则的近似值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由题可得，利用展开化简可得.
【详解】由题可得，
.
故选：D.
7. 已知函数是上的偶函数，当时，有，关于的方程有且仅有四个不同的实数根，若是四个根中的最大根，则=（ ）．
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用三角恒等变化，化简的解析式，再根据 为偶函数，作出函数的图像，结合图像可得当 时，方程 有且仅有四个不同的实数根，从而解得，代入利用诱导公式求解即可.
【详解】由题意可得，
又因为 偶函数，图像关于 y 轴对称，作出函数 的图像，如图所示：

由此可知，当 时，方程有且仅有四个不同的实数根，
又因为 是四个根中的最大根，令，解得 ,所以,
所以 .
故选：D .
8. 已知非零向量，满足，，若的取值范围为，则向量，的夹角的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据得出，再根据，得出，利用的取值范围求出，从而求出的取值范围，即可得出结果.
【详解】因为，
所以，即，
又因为，
所以，
所以，
又的取值范围为，
所以，
解得，
又，
则，
即，
因为的最小值为，最大值为，
所以，
又，所以，
即向量，的夹角的取值范围为.
故选：A
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 下列命题中正确的是（ ）
A. 若，，则B. 若复数为纯虚数，则
C. 若复数，满足，则D. 若是的共轭复数，则
【答案】AD
【解析】
【分析】根据复数的几何意义和运算规则求解.
【详解】由复数表示的唯一性知，A正确；
若z是纯虚数，设，则，B错误；
若，不妨设，则，
但，C错误；
设，则，D正确；
故选：AD.
10. 声音是由物体振动产生的声波，纯音的数学模型是函数，我们听到的声音是由纯音合成的，称之为复合音，若一个复合音的数学模型是函数，则（ ）
A. 函数图像的一个对称中心为
B. 函数图像的一条对称轴为直线
C. 函数在区间上单调递增
D. 将函数的图像向左平移个单位后的图像关于y轴对称
【答案】AC
【解析】
【分析】化简得到，根据对称中心对称轴判断A，B选项，根据单调性判断C选项，根据平移判断D选项.
【详解】
，故A正确；
对选项B：当时，，故的图像不关于对称，B错误；
，函数在区间上单调递增，C正确；
将函数的图像向左平移个单位后得到，D错误.
故选: AC.
11. 已知直角三角形满足，，则下列结论正确的是（ ）
A. 若点为的重心，则；
B. 若点为的外心，则；
C. 若点为的垂心，则；
D. 若点为的内心，则．
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据直角三角形图像特征及重心，外心，垂心，内心的定义结合判断各个选项即可.
【详解】对于A ，设BC 的中点为 D ，则,
点为的重心，，A正确，
对于B ，直角三角形满足,点为的外心，O 为 BC 的中点，
，B正确，
对于C，直角三角形 满足 A =90°, 点为的垂心，的垂心O 与 A 重合，．C错误;
对于D，设直角三角形内切圆的半径为 r ,, 如下图，

OE = OF =1
四边形 AEOF 为正方形， ,D正确．
故选： ABD .
12. 已知锐角三角形三个内角的对应边分别为，且，，则下列结论正确的是（ ）
A. B. 的取值范围为
C. 的周长最小值为6D. 的取值范围为
【答案】AD
【解析】
【分析】根据已知，利用三角形的性质、正弦定理以及三角函数的性质进行计算求解.
【详解】因为在中，，，设外接圆的半径为，则，
对于A选项，由正弦定理有：,
又，所以，故A正确；
对于B，由正弦定理有：，
因为锐角三角形，且，则，解得，
则，故，即，故B错误；
对于C，的周长
，
又，所以，故，
则，故C错误；
对于D，
，
又，所以，故,即，故D正确.
故选：AD.
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上.
13. 用“二分法”求方程在区间内的实根，首先取区间中点进行判断，那么下一个取的点是_________．
【答案】1.5##
【解析】
【分析】先确定函数单调性，根据二分法求解即可得解.
【详解】设函数，易得函数为严格增函数，
因为，，
所以下一个有根区间是，
那么下一个取的点是．
故答案为：
14. 已知，则向量在向量上的投影向量的坐标为_________．
【答案】
【解析】
【分析】利用投影向量的定义求解.
【详解】解：因为，
所以，
所以向量在向量上的投影向量的坐标为，
故答案为：
15. 海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞，若要测量如图所示的蓝洞的口径两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点，测得，，，，则两点的距离为_______．

【答案】
【解析】
【分析】根据题意在，中，分别计算出其角度值，再利用正弦定理可计算出，由余弦定理可得.
【详解】由题意可知，在中，，
又，所以，
即，所以,
在中，,
又，所以，
由正弦定理可得，即，解得
在中，由余弦定理可得，
所以可得.
故答案为：
16. 已知函数，其中，若函数在处取得最大值，则的取值范围为____________．
【答案】
【解析】
【分析】由三角函数的恒等变换可得函数的解析式，可得函数的最大值时的值与辅助角的关系，再由的正切值的范围，可得的范围，进而求出的范围.
【详解】由函数的对称性，
设，，
且，
所以，
此时，
可得，
所以，
因为，
所以
.
因为递增，所以递增，递减，
且时，，时，，
所以，即.
故答案为：
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸.
17. 已知复数(是虚数单位)，且为纯虚数(是的共轭复数).
（1）求实数的值及复数的模；
（2）若复数在复平面内所对应的点在第四象限，求实数的取值范围.
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）根据复数的乘法运算，由纯虚数的定义即可求解，
（2）由复数除法运算，由复数的几何意义即可列不等式求解.
【小问1详解】
因为 为纯虚数，
所以 ，所以；
此时，所以
【小问2详解】
，.
因为在复平面内所对应的点在第四象限，所以 .
解得 ，所以
18. 已知，为锐角，，
（1）求的值；
（2）求的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据同角关系即可求解，，由正弦的二倍角公式即可求解，
（2）由正切二倍角公式以及同角关系即可求解.
【小问1详解】
因为，，
又因为为锐角，所以，.
所以
【小问2详解】
因为所以 .
又因为均为锐角，所以，
所以 ，
所以
19. 已知的内角A，B，C所对的边分别为．在这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并加以解答．①；②；③.若 ，且．
（1）求角B及a的值；
（2）若内角B的平分线交AC于点D，求的面积．
注：如果选择两个条件分别解答，按第一个解答计分．
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）由已知条件结合正弦定理求出角B，再应用余弦定理求a边即可；
（2）应用面积比得出比列关系，最后应用面积公式求解即可.
【小问1详解】
选条件①：对于，
利用正弦定理得： ，
所以在中，因为，所以，
即，
因为，所以，所以
因为，所以.
选条件②:因为，所以，即，
因为，所以，所以，即，
选条件③：对于，
利用正弦定理得：.
利用余弦定理得：
因为，所以
在中，，
由余弦定理得：，
解得：或（舍去）；
【小问2详解】
在中，，，，
由三角形面积公式可得：.

因为为角的平分线，所以，
而，，
所以.
所以.
20. 在平行四边形中，，，，动点、分别在线段和上，且，，．

（1）若，且，求的值；
（2）若，求的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）建立平面直角坐标系，利用向量的坐标运算即可列方程组求解，
（2）利用数量积运算律化简，结合二次函数的单调性即可求解.
【小问1详解】
以为原点，所在直线为轴，过点且与垂直的直线为轴，建立平面直角坐标系 ,
则，，，,
当时，，,
所以，，,
因为，
则 ，解得 ,
所以， ,所以.
【小问2详解】
由，，可得，
所以，,则，
结合得
因为，由二次函数的对称轴为，开口向下，
故 在单调递减，
故当 时，取最大值6，当 时，取最小值，
故 的取值范围为 ，
21. 高邮某公司欲生产一款迎春工艺品回馈消费者，工艺品的平面设计如图所示，该工艺品由直角三角形和以为直径的半圆拼接而成，点为半圆上一点（异于），点在线段上，且满足.已知，，设，

（1）为了使工艺礼品达到最佳观赏效果，需满足，达到最大.当为何值时，工艺礼品达到最佳观赏效果；
（2）为了工艺礼品达到最佳稳定性便于收藏，需满足，且达到最大.当为何值时，取得最大值，并求该最大值.
【答案】（1）时，达最大值
（2）当时，达到最大值
【解析】
【分析】（1）由三角形为直角三角形，，得到，在直角中，易得，再由点为半圆上一点，得到，，从而得到然后求解；
（2）在直角中，利用等面积法得到，再在直角中，得到，从而求解.
【小问1详解】
因为三角形为直角三角形，，
所以，
在直角中，因为，所以.
因为点为半圆上一点，所以，又因为，
所以，
所以
，
因为，
所以当，即时，达最大值；
【小问2详解】
在直角中，因为，
所以，
因为，所以，
又因为所以，
在直角中，，
所以，
，，
所以当即时，达到最大值，
答：当时，达到最大值.
22. 已知函数的最小正周期为．
（1）求证：函数在上至少有两个零点；
（2）若关于的方程在上恰有三个根，求实数的取值范围．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）根据零点存在性定理判断上零点的个数；
（2）令，则方程可化为，先研究函数在区间上单调性及取值情况，判断出方程的根所在区间，列出不等式组求解.
【小问1详解】
证明：，
∵函数的最小正周期为，∴ ，解得，
∴，
由于图象在上连续，且，， ，
所以在上至少1个零点，在上至少1个零点，
即函数在上至少有两个零点；
【小问2详解】
令，则方程可化为．
先研究函数在区间上单调性：
当时，，所以单调递减，函数值由递减至，
当时，，所以单调递增，函数值由递增至，

可知，在区间上，当或时，方程有且仅有1实根，
当时，方程有且仅有2实根，
当或时，方程无实根．
所以要使方程在上恰有三个根，
则需关于的方程一个根为，另一个根在区间内，
或者一个根在区间内，另一个根在区间内
①若方程一根为，代入方程解得，所以该方程另一个根为，不合题意；
②若方程一个根在区间内，另一个根在区间内，
若为方程的根，代入方程解得，
所以该方程另一个根为，满足题意；
若方程一个根在区间内，另一个根在区间内，
则，解得，
综上，实数的取值范围为