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2023-2024学年江苏省镇江市扬中市第二高级中学高一下学期期中数学试题
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这是一份2023-2024学年江苏省镇江市扬中市第二高级中学高一下学期期中数学试题，文件包含江苏省镇江市扬中市第二高级中学高一下学期期中数学试题原卷版docx、江苏省镇江市扬中市第二高级中学高一下学期期中数学试题解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共21页， 欢迎下载使用。
1. 在复平面内，复数对应的点所在的象限是（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】B
【解析】
【分析】由复数的几何意义求解即可
【详解】因为，
所以复数对应的点为，且在第二象限，
故选：B
2. 已知（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由平面向量的坐标的加减运算及数量积公式求解结果.
【详解】，
，
.
故选：A.
3. 已知且都是第二象限角，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先利用三角函数的平方关系求得，再利用余弦函数的和差公式即可得解.
【详解】因为且都是第二象限角，
所以，，
所以.
故选：C.
4. 设是平面内的一组基底，，则（ ）
A. 三点共线B. 三点共线
C. 三点共线D. 三点共线
【答案】C
【解析】
【分析】根据向量共线定理设出方程，若方程无解，则三点不共线，从而得到ABD错误，C正确.
【详解】A选项，设，则，无解，故三点不共线，A错误；
B选项，设，则，无解，故三点不共线，B错误；
C选项，，
，
故，故三点共线，C正确；
D选项，，
设，则，无解，故三点不共线，D错误.
故选：C
5. 函数的最小正周期是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用正弦函数的倍角公式化简题设函数，从而利用最小正周期公式即可得解.
【详解】因为，
所以所求最小正周期.
故选：C.
6. 在中，已知，则形状是（ ）
A. 等腰三角形B. 直角三角形C. 等边三角形D. 等腰或直角三角形
【答案】D
【解析】
【分析】利用余弦定理表示出和，代入已知等式整理可得到或，即可确定三角形的形状.
【详解】由余弦定理的：，，
代入中，
得，
等式两边同乘得：
，
移项合并得：，
整理得：，
即，
可得或，
则三角形为等腰三角形或直角三角形，
故选：D.
【点睛】解决判断三角形的形状问题，一般将条件化为只含角的三角函数的关系式，然后利用三角恒等变换得出内角之间的关系式；或将条件化为只含有边的关系式，然后利用常见的化简变形得出三边的关系．另外，在变形过程中要注意A，B，C的范围对三角函数值的影响．
7. 京西某游乐园摩天轮采用了国内首创的横梁结构，风格更加简约，摩天轮直径88米，最高点A距离地面100米，匀速运行一圈的时间是18分钟.由于受到周边建筑物的影响，乘客与地面的距离超过34米时，可视为最佳观赏位置，在运行的一圈里最佳观赏时长为（ ）
A. 10分钟B. 12分钟C. 14分钟D. 16分钟
【答案】B
【解析】
【分析】由题意可得出第一次距地面34米到第二次距地面34米之间经过的圆周角为，结合即可求解.
【详解】由题意，可得如下图：
由图可知，所以，
所以在运行的一圈里最佳观赏时长为.
故选：B
8. 如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，BD：DC：AD＝2：3：6，则∠BAC的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由题意和直角三角形中正切函数求出tan∠BAD、tan∠CAD，利用两角和的正切函数求出tan∠BAD的值，由∠BAC的范围和特殊角的正切值求出∠BAC；
【详解】解：∵BD：DC：AD＝2：3：6，AD⊥BC，
∴tan∠BAD＝ ＝ ，tan∠CAD＝ ＝ ，
则tan∠BAC＝tan（∠BAD+∠CAD）＝＝1，
又∠BAC∈（0，π），
则∠BAC＝ ；
故选：B．
二､多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 下列命题中，正确的是（ ）
A. 若则B. 若则
C. 若则D. 若则
【答案】BD
【解析】
【分析】利用向量的有关知识即可得出．
【详解】．若，则方向不一定相同，即两向量不一定相等，故不正确；
．，则，正确；
C.，则与不能比较大小；
．，则，因此正确．
故选：．
10. 下列化简正确的是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】由和差角公式，二倍角公式求值逐项判断即可.
【详解】对于A，，
故A正确；
对于B，
，
，故B错误；
对于C，，
故C正确；
对于D，，故D正确；
故选：ACD.
11. 已知为虚数单位，复数，，且，则实数的值可为（ ）
A. B. C. D.
【答案】BC
【解析】
【分析】由向量模长运算可构造方程求得结果.
【详解】，，解得：.
故选：BC.
12. 如图，设Ox，Oy是平面内相交成60°角的两条数轴，，分别是与x轴､y轴正方向同向的单位向量.若向量，则把有序数对叫做向量在坐标系xOy中的坐标.若在坐标系xOy中，，则下列结论正确的是（ ）
A. B. C. D. 与的夹角为
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据对应的坐标是的坐标，进而可得，进而根据数量积的公式即可求解A,C,根据模长公式可求B,根据夹角公式可求D.
【详解】,故A错，C对，，故B对，
，由于，故，故D对.
故选：BCD
三､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上.
13. 已知为虚数单位，复数z满足那么的最小值是______.
【答案】1
【解析】
【分析】用代数形式表示出复数z，然后采用三角代换可得最小值.
【详解】设，代入得，
设，，则，
当时，即取等号. 即的最小值是1.
故答案为：1.
14. 已知，则_____.
【答案】##
【解析】
【分析】由于，然后利用余弦的二倍角公式可求得结果.
【详解】因为，
所以
，
故答案为：
15. 如图，点是线段的三等分点，以为基底表示______.
【答案】##
【解析】
【分析】结合图形，利用平面向量的线性运算即可得解.
【详解】因为点是线段的三等分点，则，
所以.
故答案为：.
16. 已知向量满足，且与的夹角为，与的夹角为，则______.
【答案】
【解析】
【分析】由，可知三个向量首尾相接后，构成一个三角形，且与的夹角为，与的夹角为，可以得到三角形的两个内角和一边的长，利用正弦定理可求出结果.
【详解】因为，
所以三个向量首尾相接后，构成一个三角形，如图，
设，
因为与的夹角为，与的夹角为，
所以，
所以由正弦定理得，得，
所以，解得，
所以，
故答案为：
四､解答题：本大题共6小题，共70分，请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
17. 在复平面内，复数（其中为虚数单位，）．
（1）若复数z为纯虚数，求a的值；
（2）若复数z>0，求a的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据纯虚数的知识列式，从而求得的值.
（2）根据复数能比较大小列式，从而求得的值.
【小问1详解】
由于为纯虚数，
所以，可得．
【小问2详解】
由于与可以比较大小，所以为实数，且，
所以，可得．
18. 已知角θ满足，求下列各式的值：
（1）；
（2）.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】由题设，利用和角正切公式求得，
（1）利用二倍角正余弦公式化简三角函数式，进而化切即可求值.
（2）应用二倍角正余弦公式及同角三角函数的平方关系，并将弦化切，即可求值.
【详解】，解得.
（1）.
（2）.
19. 已知单位向量，，的夹角为，向量，向量.
（1）若，求的值；
（2）若，求
【答案】（1）；（2）．
【解析】
【分析】（1）由，所以存在唯一实数ｔ，使得，建立方程组可得答案；
（2）由已知求得，再由得，可解得，再利用向量的模的计算方法可求得答案.
【详解】（1）因为，所以存在唯一实数ｔ，使得，即，
所以，解得；
（2）由已知得，由得，即，解得，
所以，所以，所以．
【点睛】本题考查向量平行的条件和向量垂直的条件，以及向量的模的计算，属于中档题.
20. 已知向量设函数
（1）求的单调区间；
（2）若函数其中当函数大于等于恒成立时，求的取值范围.
【答案】（1）单调递增区间为，；单调递减区间为，；
（2）
【解析】
【分析】（1）利用向量数量积公式和三角恒等变换得到，利用整体法求解单调区间；
（2）求出函数在的值域，从而得到的取值范围.
【小问1详解】
∵，
令，，解得，；
令，，解得，；
∴的单调递增区间为，；
∴的单调递减区间为，；
小问2详解】
由，可得，则，
所以函数在的值域为.
，即在上恒成立，
∴.
的取值范围是.
21. 北京2022年冬奥会中，运动员休息区本着环保､舒适､温馨这一出发点，进行精心设计，如图，在四边形休闲区域，四周是步道，中间是花卉种植区域，为减少拥堵，中间穿插了氢能源环保电动步道，且.
（1）求氢能源环保电动步道的长；
（2）若___________；求花卉种植区域总面积.
从①，②这两个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答.
【答案】（1）
（2）答案见解析
【解析】
【分析】（1）利用二倍角公式求出，利用余弦定可求的长；
（2）选①：由正弦定理可求得，利用两角和的正弦公式可求得，可分别求得，，从而可求花卉种植区域总面积．
选②：利用余弦定理求出，利用面积公式可求得，，从而可求花卉种植区域总面积．
【小问1详解】
解：．，，
，，由余弦定理得，
，．
【小问2详解】
解：若选①：，在中，由正弦定理得，．
，由（1）知．代入上式可得，解得，
，
，
，，
故，
花卉种植区域总面积为．
若选②：，在中，由余弦定理得，解得或（舍去），
．，，
，，
故，
花卉种植区域总面积为．
22. 如图，在中，已知为边上的中点，点在线段上，且
（1）求；
（2）设与相交于点，求与的夹角的余弦值
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据平面向量基本定理求解，再结合向量的数量积及模公式求得结果；
（2）利用求与的夹角的余弦值.
【小问1详解】
设，，则，，，，
，
，则，即；
【小问2详解】
，同理可得，，
∴，
∵，∴.
1. 在复平面内，复数对应的点所在的象限是（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】B
【解析】
【分析】由复数的几何意义求解即可
【详解】因为，
所以复数对应的点为，且在第二象限，
故选：B
2. 已知（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由平面向量的坐标的加减运算及数量积公式求解结果.
【详解】，
，
.
故选：A.
3. 已知且都是第二象限角，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先利用三角函数的平方关系求得，再利用余弦函数的和差公式即可得解.
【详解】因为且都是第二象限角，
所以，，
所以.
故选：C.
4. 设是平面内的一组基底，，则（ ）
A. 三点共线B. 三点共线
C. 三点共线D. 三点共线
【答案】C
【解析】
【分析】根据向量共线定理设出方程，若方程无解，则三点不共线，从而得到ABD错误，C正确.
【详解】A选项，设，则，无解，故三点不共线，A错误；
B选项，设，则，无解，故三点不共线，B错误；
C选项，，
，
故，故三点共线，C正确；
D选项，，
设，则，无解，故三点不共线，D错误.
故选：C
5. 函数的最小正周期是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用正弦函数的倍角公式化简题设函数，从而利用最小正周期公式即可得解.
【详解】因为，
所以所求最小正周期.
故选：C.
6. 在中，已知，则形状是（ ）
A. 等腰三角形B. 直角三角形C. 等边三角形D. 等腰或直角三角形
【答案】D
【解析】
【分析】利用余弦定理表示出和，代入已知等式整理可得到或，即可确定三角形的形状.
【详解】由余弦定理的：，，
代入中，
得，
等式两边同乘得：
，
移项合并得：，
整理得：，
即，
可得或，
则三角形为等腰三角形或直角三角形，
故选：D.
【点睛】解决判断三角形的形状问题，一般将条件化为只含角的三角函数的关系式，然后利用三角恒等变换得出内角之间的关系式；或将条件化为只含有边的关系式，然后利用常见的化简变形得出三边的关系．另外，在变形过程中要注意A，B，C的范围对三角函数值的影响．
7. 京西某游乐园摩天轮采用了国内首创的横梁结构，风格更加简约，摩天轮直径88米，最高点A距离地面100米，匀速运行一圈的时间是18分钟.由于受到周边建筑物的影响，乘客与地面的距离超过34米时，可视为最佳观赏位置，在运行的一圈里最佳观赏时长为（ ）
A. 10分钟B. 12分钟C. 14分钟D. 16分钟
【答案】B
【解析】
【分析】由题意可得出第一次距地面34米到第二次距地面34米之间经过的圆周角为，结合即可求解.
【详解】由题意，可得如下图：
由图可知，所以，
所以在运行的一圈里最佳观赏时长为.
故选：B
8. 如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，BD：DC：AD＝2：3：6，则∠BAC的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由题意和直角三角形中正切函数求出tan∠BAD、tan∠CAD，利用两角和的正切函数求出tan∠BAD的值，由∠BAC的范围和特殊角的正切值求出∠BAC；
【详解】解：∵BD：DC：AD＝2：3：6，AD⊥BC，
∴tan∠BAD＝ ＝ ，tan∠CAD＝ ＝ ，
则tan∠BAC＝tan（∠BAD+∠CAD）＝＝1，
又∠BAC∈（0，π），
则∠BAC＝ ；
故选：B．
二､多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 下列命题中，正确的是（ ）
A. 若则B. 若则
C. 若则D. 若则
【答案】BD
【解析】
【分析】利用向量的有关知识即可得出．
【详解】．若，则方向不一定相同，即两向量不一定相等，故不正确；
．，则，正确；
C.，则与不能比较大小；
．，则，因此正确．
故选：．
10. 下列化简正确的是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】由和差角公式，二倍角公式求值逐项判断即可.
【详解】对于A，，
故A正确；
对于B，
，
，故B错误；
对于C，，
故C正确；
对于D，，故D正确；
故选：ACD.
11. 已知为虚数单位，复数，，且，则实数的值可为（ ）
A. B. C. D.
【答案】BC
【解析】
【分析】由向量模长运算可构造方程求得结果.
【详解】，，解得：.
故选：BC.
12. 如图，设Ox，Oy是平面内相交成60°角的两条数轴，，分别是与x轴､y轴正方向同向的单位向量.若向量，则把有序数对叫做向量在坐标系xOy中的坐标.若在坐标系xOy中，，则下列结论正确的是（ ）
A. B. C. D. 与的夹角为
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据对应的坐标是的坐标，进而可得，进而根据数量积的公式即可求解A,C,根据模长公式可求B,根据夹角公式可求D.
【详解】,故A错，C对，，故B对，
，由于，故，故D对.
故选：BCD
三､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上.
13. 已知为虚数单位，复数z满足那么的最小值是______.
【答案】1
【解析】
【分析】用代数形式表示出复数z，然后采用三角代换可得最小值.
【详解】设，代入得，
设，，则，
当时，即取等号. 即的最小值是1.
故答案为：1.
14. 已知，则_____.
【答案】##
【解析】
【分析】由于，然后利用余弦的二倍角公式可求得结果.
【详解】因为，
所以
，
故答案为：
15. 如图，点是线段的三等分点，以为基底表示______.
【答案】##
【解析】
【分析】结合图形，利用平面向量的线性运算即可得解.
【详解】因为点是线段的三等分点，则，
所以.
故答案为：.
16. 已知向量满足，且与的夹角为，与的夹角为，则______.
【答案】
【解析】
【分析】由，可知三个向量首尾相接后，构成一个三角形，且与的夹角为，与的夹角为，可以得到三角形的两个内角和一边的长，利用正弦定理可求出结果.
【详解】因为，
所以三个向量首尾相接后，构成一个三角形，如图，
设，
因为与的夹角为，与的夹角为，
所以，
所以由正弦定理得，得，
所以，解得，
所以，
故答案为：
四､解答题：本大题共6小题，共70分，请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
17. 在复平面内，复数（其中为虚数单位，）．
（1）若复数z为纯虚数，求a的值；
（2）若复数z>0，求a的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据纯虚数的知识列式，从而求得的值.
（2）根据复数能比较大小列式，从而求得的值.
【小问1详解】
由于为纯虚数，
所以，可得．
【小问2详解】
由于与可以比较大小，所以为实数，且，
所以，可得．
18. 已知角θ满足，求下列各式的值：
（1）；
（2）.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】由题设，利用和角正切公式求得，
（1）利用二倍角正余弦公式化简三角函数式，进而化切即可求值.
（2）应用二倍角正余弦公式及同角三角函数的平方关系，并将弦化切，即可求值.
【详解】，解得.
（1）.
（2）.
19. 已知单位向量，，的夹角为，向量，向量.
（1）若，求的值；
（2）若，求
【答案】（1）；（2）．
【解析】
【分析】（1）由，所以存在唯一实数ｔ，使得，建立方程组可得答案；
（2）由已知求得，再由得，可解得，再利用向量的模的计算方法可求得答案.
【详解】（1）因为，所以存在唯一实数ｔ，使得，即，
所以，解得；
（2）由已知得，由得，即，解得，
所以，所以，所以．
【点睛】本题考查向量平行的条件和向量垂直的条件，以及向量的模的计算，属于中档题.
20. 已知向量设函数
（1）求的单调区间；
（2）若函数其中当函数大于等于恒成立时，求的取值范围.
【答案】（1）单调递增区间为，；单调递减区间为，；
（2）
【解析】
【分析】（1）利用向量数量积公式和三角恒等变换得到，利用整体法求解单调区间；
（2）求出函数在的值域，从而得到的取值范围.
【小问1详解】
∵，
令，，解得，；
令，，解得，；
∴的单调递增区间为，；
∴的单调递减区间为，；
小问2详解】
由，可得，则，
所以函数在的值域为.
，即在上恒成立，
∴.
的取值范围是.
21. 北京2022年冬奥会中，运动员休息区本着环保､舒适､温馨这一出发点，进行精心设计，如图，在四边形休闲区域，四周是步道，中间是花卉种植区域，为减少拥堵，中间穿插了氢能源环保电动步道，且.
（1）求氢能源环保电动步道的长；
（2）若___________；求花卉种植区域总面积.
从①，②这两个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答.
【答案】（1）
（2）答案见解析
【解析】
【分析】（1）利用二倍角公式求出，利用余弦定可求的长；
（2）选①：由正弦定理可求得，利用两角和的正弦公式可求得，可分别求得，，从而可求花卉种植区域总面积．
选②：利用余弦定理求出，利用面积公式可求得，，从而可求花卉种植区域总面积．
【小问1详解】
解：．，，
，，由余弦定理得，
，．
【小问2详解】
解：若选①：，在中，由正弦定理得，．
，由（1）知．代入上式可得，解得，
，
，
，，
故，
花卉种植区域总面积为．
若选②：，在中，由余弦定理得，解得或（舍去），
．，，
，，
故，
花卉种植区域总面积为．
22. 如图，在中，已知为边上的中点，点在线段上，且
（1）求；
（2）设与相交于点，求与的夹角的余弦值
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据平面向量基本定理求解，再结合向量的数量积及模公式求得结果；
（2）利用求与的夹角的余弦值.
【小问1详解】
设，，则，，，，
，
，则，即；
【小问2详解】
，同理可得，，
∴，
∵，∴.
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