2023-2024学年江苏省镇江中学高一下学期4月期中数学试题

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1. 复数满足，则（ ）
A. B. C. 1D. 2
2. 如图所示的是用斜二测画法画出的的直观图（图中虚线分别与轴，轴平行），则原图形的面积是（ ）
A. 8B. 16C. 32D. 64
3. 已知向量，，若与共线，则实数值为（ ）
A. B. 1C. D. 0
4. 在中，角的对边分别为，若，则（ ）
A B. C. D. 或
5. 在中，（a，b，c分别为角A，B，C的对边），则的形状为
A. 等边三角形B. 直角三角形
C. 等腰三角形或直角三角形D. 等腰直角三角形
6. 若a，b为两条异面直线，，为两个平面，，，，则下列结论中正确的是( )
A. l至少与a，b中一条相交
B. l至多与a，b中一条相交
C. l至少与a，b中一条平行
D. l必与a，b中一条相交，与另一条平行
7. 在中，是边的中点，是线段的中点.若，的面积为，则取最小值时，（ ）
A. 2B. 4C. D.
8. 湖北省第十六届运动会将于2022年10月在宜昌举行，为了方便宜昌市民观看，夷陵广场大屏幕届时会滚动直播赛事，已知大屏幕下端B离地面3.5m，大屏幕高3m，若某位观众眼睛离地面1.5m，则这位观众在距离大屏幕所在的平面多远，可以获得观看的最佳视野?（最佳视野是指看到屏幕上下夹角的最大值）（ ）
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分
9. 下列说法正确是（ ）
A. 棱柱的侧面一定是矩形
B. 三个平面至多将空间分为3个部分
C. 圆台可由直角梯形以高所在直线为旋转轴旋转一周形成
D. 任意五棱锥都可以分成3个三棱锥
10. 设有下面四个命题，其中正确的命题是（ ）
A. 若复数z满足，则；
B. 若复数z满足，则；
C. 若复数满足，则；
D. 若复数，则
11. 给出下列命题中，其中正确选项有（ ）
A. 若非零向量满足：，则与共线且同向
B. 若非零向量满足：，则与的夹角为60°
C. 若单位向量的夹角为60°，则当取得最小值时，
D. 在中，若，则为等腰三角形
12. 在中，角的对边分别为，下列命题正确的是（ ）
A. 若，则
B. 若，则
C. 若满足的恰有一个，则
D. 若为锐角三角形，则
三、填空题；本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 在正方体中，棱的中点分别为E，F，则异面直线EF与所成角的度数为_____．
14. 已知的最大值为，则__________.
15. 如图，为了测量某湿地，两点间的距离，观察者找到在同一直线上的三点，，．从点测得，从点测得，，从点测得．若测得，（单位：百米），则，两点的距离为 ____________.
16. 如图1是1992年第七届国际数学教育大会（）的会徽图案，它是由一串直角三角形演化而成的（如图2），其中，则 __________， __________.
四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
17. 已知复数，.
（1）若复数在复平面内对应的点在第二象限，求实数的取值范围；
（2）若复数为纯虚数，求的虚部.
18. 已知向量，.
（1）求的值；
（2）求及向量在向量上的投影向量的坐标；
（3）若，求实数的值.
19. 在△ABC中，已知．
（1）求∠A的大小；
（2）请从条件①：；条件②：这两个条件中任选一个作为条件，求csB和a的值．
20. 已知，且，．
（1）求的值；
（2）求的值．
21. 在中，为所在平面内的两点，，．
（1）以和作为一组基底表示，并求；
（2）为直线上一点，设，若直线经过的垂心，求．
22 如图：某公园改建一个三角形池塘，，百米，百米，现准备养一批观赏鱼供游客观赏.
（1）若在内部取一点，建造连廊供游客观赏，如图①，使得点是等腰三角形的顶点，且，求连廊的长（单位为百米）；
（2）若分别在，，上取点，，，并连建造连廊，使得变成池中池，放养更名贵的鱼类供游客观赏，如图②，使得为正三角形，或者如图③，使得平行，且垂直，则两种方案的的面积分别设为，，则和哪一个更小？