2022-2023学年江苏省如东一中、宿迁一中、徐州中学三校高一下学期3月联考数学试题

这是一份2022-2023学年江苏省如东一中、宿迁一中、徐州中学三校高一下学期3月联考数学试题，文件包含江苏省如东一中宿迁一中徐州中学三校高一下学期3月联考数学试题原卷版docx、江苏省如东一中宿迁一中徐州中学三校高一下学期3月联考数学试题解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共24页， 欢迎下载使用。

考生在答题前请认真阅读本注意事项：
1.本试卷满分150分，考试时间为120分钟.考试结束后，请将答题卡交回.
2.答题前，请将自己的姓名、考试号（智学号）用0.5毫米黑色签字笔填涂在答题卡指定的位置.
3.选择题答案用2B铅笔在答题卡上把对应题目的答案标号涂黑，非选择题用0.5mm的黑色签字笔在每题对应的答题区域内做答，在其他位置作答一律无效.
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知向量，且，则（ ）
A. B. C. 6D. -9
【答案】B
【解析】
【分析】根据平面向量平行的坐标公式计算即可.
【详解】因为向量，且，
所以，解得.
故选：B.
2. 在中，“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
【分析】先考虑充分性，再考虑必要性利用函数的单调性可得解.
【详解】当，因为在内单调递减，所以，所以“”是“”的充分条件；
当时，因为在内单调递减，所以，所以“”是“”的必要条件.
故选：C.
3. 结果为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据利用两角和的正切公式化简，从而可得出答案.
【详解】因为，
所以，
所以.
故选：B.
4. 已知向量、不共线，且，若与共线，则实数的值为（ ）
A. B. C. 或D. 或
【答案】C
【解析】
【分析】根据平面向量共线的基本定理可得关于实数的等式，解之即可.
【详解】因为与共线，则存在，使得，即，
因为向量、不共线，则，整理可得，即，
解得或.
故选：C.
5. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据三角恒等变换公式求解.
【详解】
所以，
所以
故选:B.
6. 如图，在直角梯形中，，，，，是线段上的动点，则的最小值为（ ）
A. B. 6C. D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意，建立直角坐标系，利用坐标法求解即可.
【详解】解：如图，以点为坐标原点，建立平面直角坐标系，设，，
因为，，
所以，
所以，，
所以，
所以，
所以当，即时，的最小值为.
故选：B
7. 在平行四边形ABCD中，已知，，，，则（ ）．
A. B. C. 6D. 9
【答案】A
【解析】
【分析】利用平面向量的线性运算及平面向量的数量积的运算律，可以得所求数量积的值.
【详解】由题意可得：，，
∵，①
，②
①－②得：，即，
∴．
故选：A．
8. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先将已知等式化简得到，再利用角的关系求解即可.
【详解】，因为所以，所以
故选：B
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 设是三个非零向量，且相互不共线，则下列说法正确的是（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，则不与垂直D. 不与垂直
【答案】AB
【解析】
【分析】根据模长公式即可判断A，根据数量积是否为0可判断BCD.
【详解】对于A，由平方可得
，故A正确，
对于B,若则，所以，故B正确，
对于C, 若，则或或（舍去），故可能与垂直，故C错误，
对于D，，所以 ，故D错误，
故选：AB
10. 已知奇函数的最小正周期为，将函数的图象向右平移个单位，得到函数的图象，则下列说法中正确的有（ ）
A. 函数的图象关于直线对称
B. 当时，函数的最小值是
C. 函数在区间上单调递增
D. 当若函数有且仅有2个零点，则所有零点之和为
【答案】ABD
【解析】
【分析】利用辅助角公式化简的解析式，根据其奇偶性和最小正周期以及即可求得的值，再根据图象平移求出的解析式，验证时是否取最值即可判断A；根据，结合的解析式利用整体代换和三角函数性质可求得其最小值，即得B正确；当，由整体代换和三角函数图象的单调性可判断C错误；分别求出函数在上的所有零点，即可得D正确.
【详解】由，
因函数为奇函数，则，所以，
又因为，所以.
由函数的最小正周期为，可得，即；
故；
将函数的图象向右平移个单位，得到函数；
因为，所以是函数的一条对称轴，即A正确；
当，，由正弦函数性质可得，
所以当时，函数的最小值是，即B正确；
当时，，根据三角函数单调性可得，函数在区间上不单调，所以C错误；
当时，令，可得；
此时两零点之和为，即D正确.
故选：ABD
11. 定义两个非零平面向量的一种新运算，其中表示，的夹角，则对于两个非零平面向量，，下列结论一定成立的有（ ）
A. 在方向上投影向量为B.
C. 若D. 若，则与平行
【答案】BD
【解析】
【分析】根据新定义运算，结合向量数量积的运算对选项逐一分析，由此确定正确选项.
【详解】对于A选项，在方向上的投影向量为，A错误.
对于B选项，，B正确
对于C选项，由于，而，所以C错误.
对于D选项，若，则，所以或，则与平行，D正确.
故选：BD
12. 在中，，，，M是BC的中点，则（ ）
A. 线段AM的长度为
B.
C.
D. 在线段AB的延长线上存在点P，使得的最大值为
【答案】ACD
【解析】
【分析】对于A选项，连接AM后利用，结合余弦定理处理.
对于B选项，将转化为.
对于C选项，注意到，则.
对于D选项，做一圆与直线AB相切，且过C，M两点.则点P为相应切点.
【详解】对于选项A，如图连接AM，因C，M，B三点共线，则
有.设，又，，，由余弦定理有：，得，故A正确.
对于B选项，==
,故B错误.
对于C选项，，又，则，
因，，则
得，又由外角和定理，，
则=.故C正确.
对于选项D，如图做一圆与直线AB相切，且过C，M两点.为除直线与圆相切切点P外任意一点，由图及三角形外角性质，，则当P为直线与圆相切切点时，最大.由圆幂定理，有，得，又.
由余弦定理有：，则为等腰直角三角形.
又由，有，又，则.
故，又，得.
故在线段AB的延长线上存在点P，使得的最大值为，D正确.
故选：ACD
【点睛】关键点点睛：本题考查解三角形，向量，平面几何等相关知识点.此题难度较大，需注意以下几点:
（1）利用两角互补，则两角余弦值互为相反数，可求三角形中线.
（2）计算数量积时，常转化为已知夹角的数量积.
（3）对于C，D选项的判断，本题利用了相似，辅助圆，圆幂定理等知识.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 已知向量满足，且则与的夹角为 __________.
【答案】
【解析】
【分析】根据，求得，从而可得出答案.
【详解】由，得，
所以，所以，
又因为，
所以与的夹角为.
故答案为：.
14. 已知，满足，，，，则______．
【答案】
【解析】
【分析】根据题意得到的值，然后由正弦的和差角公式，代入计算即可得到结果.
【详解】因为，则，
因为，则，
所以，
，
则
故答案为:
15. ______．
【答案】
【解析】
【详解】
,
,故答案为.
考点：三角函数诱导公式、切割化弦思想
16. 已知是平面上不共线三点，设为线段垂直平分线上的任意一点，若则的值为________
【答案】
【解析】
【分析】设为的中点，结合为线段垂直平分线上的任意一点，则有，再将都用表示，结合数量积的运算律即可得解.
【详解】设为的中点，
则，
因为为线段垂直平分线上的任意一点，
所以，
则
.
故答案为：.
四、解答题：本题共6小题，共70分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 已知向量，.
（1）若，求的值；
（2）若，求的值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据平面向量平行的坐标公式计算即可；
（2）由，平方可得，再根据数量积的坐标运算可求得，再根据二倍角的正余弦公式及平方关系化弦为切即可得解.
【小问1详解】
因为，
所以，即，
所以；
【小问2详解】
因为，
所以，
即，所以，
即，所以，
所以
.
18. 在中，内角所对的边分别为.已知，.
（1）求的值；
（2）求的值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用两次余弦定理即可.
（2）利用，得出，，然后结合两角和差公式即可.
【小问1详解】
在中，
又因为
由余弦定理可得.
【小问2详解】
由（1）可得，
从而，.
故
19. 在①，②，③的面积为，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并加以解答.
在中，角所对的边分别为，且__________.
（1）求角；
（2）若，的内切圆半径为，求的面积.
【答案】（1）条件选择见解析，;
（2）.
【解析】
【分析】（1）选①，直接利用余弦定理即可得解；选②，根据，结合三角形内角和定理可得，化简整理可求得，即可得解；选③，由，结合三角形的面积公式化简，再结合余弦定理即可得解；
（2）利用等面积法可得之间的关系，再利用余弦定理求得，再根据三角形的面积公式即可得解.
【小问1详解】
若选①， 由余弦定理可知：，
，，；
若选②，因为，
所以，
，又，所以，
，；
若选③，，
，，
，；
【小问2详解】
内切圆半径为，
，
，，
且，即，
，
.
20. 如图所示，分别是单位圆与轴、轴正半轴的交点，点在单位圆上，，C点坐标为(－2，0)，平行四边形的面积为S.
（1）求·＋S的最大值；
（2）若，求的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】(1)，向量与圆结合，利用平面向量的数量积运算与三角函数结合；(2)，利用向量平行的关系表达与求解关系式就可以顺利解决问题.
【小问1详解】
由已知得，的坐标分别为，，
因为四边形是平行四边形，
所以，
又因为平行四边形的面积为，
所以+1
又因为，所以当时，的最大值为．
【小问2详解】
由题意知，，
因为，所以，因为，所以．
由，，得，，
所以，
所以．.
21. 已知向量，，其中
（1）若，求函数的最小值及相应的的值；
（2）若与的夹角为，且，求的值．
【答案】（1）最小值为，相应的的值为
（2）或
【解析】
【分析】（1）根据数量积的坐标运算可得，令，再根据平方关系将用表示，再结合二次函数的性质即可得解；
（2）先根据与的夹角为，求得的关系，再根据数量积的坐标运算结合计算即可得解.
【小问1详解】
因为，且，
所以，
令，
因为，由，所以，
所以，则，
因为，
所以，
，
当时，，此时，
即，
，，得，即，
的最小值为，相应的的值为；
【小问2详解】
由已知，，
，，所以，
由，得，
即，
由，得，
，即，
得，
，
，则或，
或.
22. 在平面四边形ABCD中，∠A＝120°，AB＝AD，BC＝2，CD＝3．
（1）若cs∠CBD＝，求；
（2）记四边形ABCD的面积为,求的最大值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意，利用余弦定理，求出，再利用，求出，进而利用正弦定理，即可求得答案.
（2）设，利用余弦定理，解得，再由，利用三角恒等变换，化简得到，，进而利用三角函数的性质，即可求出的最大值.
【小问1详解】
如图，，设，，得
，整理得，，，解得，又由，则有，故，解得，
【小问2详解】
在中，设，由，可得，在中，由余弦定理可得，，可得，，
四边形ABCD的面积为，得
.
当且仅当时，即时，等号成立，此时的最大值为.