2022-2023学年江苏省苏州市相城区陆慕高级中学高一下学期3月月考数学试题

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一、选择题（每小题5分，共40分）
1. 函数的最小正周期是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由正弦函数的最小正周期求解即可.
【详解】函数的最小正周期是：.
故选：C.
2. 下列说法错误的是（ ）
A. 若，，则B. 单位向量都相等
C. 零向量的方向是任意的D. 任一向量都与它自身是平行向量
【答案】B
【解析】
【分析】利用相等向量，单位向量，零向量及平行向量的概念即可判断.
【详解】利用相等向量的概念可知，若，，则，故A正确；
单位向量的模长相等，方向不一定相同，故B错误；
由零向量及平行向量的概念可知，零向量的方向是任意的，任一向量都与它自身是平行向量，故CD正确．
故选：B.
3. “”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】D
【解析】
分析】直接举特例判断即可.
【详解】当时，，但，充分性不满足
又当时，，但，必要性不满足，
故“”是“”的既不充分也不必要条件
故选：D.
4. 已知扇形的周长是6cm，面积是，则扇形的中心角的弧度数是（ ）
A. 1B. 4C. 1或4D. 2或4
【答案】C
【解析】
【分析】根据给定条件，利用扇形面积公式求出扇形所在圆半径，再借助弧长公式求解作答.
【详解】设扇形所在圆半径为r，则扇形弧长为，依题意，，解得或，
所以扇形的中心角的弧度数是或.
故选：C
5. 已知，则的值为
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【详解】试题分析：根据题意，由于,两边平方可知1-sin2x=,因此可知=，故选D．
考点：二倍角正弦公式
点评：主要是考查了二倍角公式的运用，属于基础题．
6. 已知向量，且，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由垂直条件得到数量积为0后，再由同角三角比商数关系计算
【详解】由题意得：，而
故选：C
7. 已知函数，下列关于该函数结论错误的是（ ）
A. 的一个周期是B. 的图象关于直线对称
C. 的最大值为2D. 是上的增函数
【答案】C
【解析】
【分析】判断是否成立判断A；判断是否成立判断B；由确定判断C；利用复合函数的单调性判断D作答.
【详解】依题意，，
因此的一个周期是，A正确；
因为
，所以的图象关于直线对称，B正确；
因为，则，于是，C错误；
当时，且单调递增，函数在上单调递增，
因此在 上为增函数，
当时，函数且单调递减，函数在上单调递减，
因此在 上为增函数，
所以函数是上的增函数，D正确.
故选：C
8. 如图，正方形的中心与圆的圆心重合，是圆的动点，则下列叙述不正确的是（ ）
A. 是定值；
B. 是定值；
C. 是定值；
D. 是定值．
【答案】C
【解析】
【分析】建立直角坐标系后，设正方形边长为2a ，圆的半径为， 表示出各点坐标，利用向量的数量积的坐标运算即可判断A.、B、D 选项，举出反例即可判断C，即可得解.
【详解】如图建立直角坐标系,设正方形边长为2a ，圆的半径为，则圆的方程为 ，
设点，则，，，，
，，，，，
对于A：
，故A正确；
对于B：
，故B正确；
对于C：不妨取，取点，，
取点，，故C错误；
对于D：
，故D正确，
故选：C.
【点睛】本题考查了平面向量的应用，考查了圆的方程的应用和运算能力，属于中档题.
二、多选题（每小题5分）
9. 关于函数，其中正确命题是（ ）
A. 的最大值为
B. 是以为最小正周期的周期函数
C. 将函数的图像向左平个单位后，将与已知函数的图像重合
D. 在区间上单调递减
【答案】ABD
【解析】
【分析】先把化为，直接对四个选项一一验证.
【详解】
显然A、B选项正确
C选项: 将函数的图像向左平个单位得到，图像不会与原图像重合，故C错误；
D选项:当，则，∴在区间上单调递减成立．
故选：ABD
【点睛】(1)三角函数问题通常需要把它化为“一角一名一次”的结构，借助于或的性质解题；
(2)求单调区间，最后的结论务必写成区间形式，不能写成集合或不等式．
10. 某人向正东方向走了x km后向右转了150°，然后沿新方向走了3，结果离出发点恰好，则x的值为（ ）
A. B. 2C. 2D. 3
【答案】AB
【解析】
【分析】根据余弦定理列出方程，即可求解.
【详解】如图所示，在中，，
由余弦定理得，，
整理得，解得或.
故选：AB
11. 已知，，，，，那么（ ）
A.
B. 若，则，
C. 若A是BD中点，则B，C两点重合
D. 若点B，C，D共线，则
【答案】AC
【解析】
【分析】根据向量运算、向量平行（共线）等知识对选项进行分析，从而确定正确选项.
【详解】A选项，
，A选项正确.
B选项，若，则，故可取，B选项错误.
C选项，若是的中点，则，即，
所以，所以两点重合，C选项正确.
D选项，由于三点共线，所以，
，
，
则或，所以D选项错误.
故选：AC
12. 八卦是中国文化中的基本哲学概念，如图①是八卦模型图，其平面图形记为图②中的正八边形ABCDEFGH，其中，则下列结论中正确的是（ ）

A. B. C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】结合正八边形的几何性质对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】，，
在中，
正八面体边长为，
三角形是等腰直角三角形，所以，所以，A选项正确.
由于，所以三角形是直角三角形，所以，B选项错误.
因，，
，D选项正确
由于，，
所以三角形是直角三角形，且，所以C选项正确.
故选：ACD.

三、填空题（每小题5分）
13. 两同学合提一捆书，提起后书保持静止，如图所示，则与大小之比为___________．
【答案】
【解析】
【分析】物体处于平衡状态，所以水平方向的合力为0，然后可算出答案.
【详解】物体处于平衡状态，所以水平方向的合力为0
所以，所以
故答案为：
14. 已知函数与函数在区间上的图象的交点为，过点作轴的垂线，垂足为，与函数的图象交于点，则线段的长为______.
【答案】
【解析】
【分析】
先由题意，设，则，，根据题中条件，得到，再由同角三角函数基本关系，计算出，即可求出结果.
【详解】设，则，，
因为函数与函数在区间上的图象的交点为，
所以，其中，，
由，解得，
因此，所以.
故答案为：
15. 已知对任意平面向量，把B绕其起点沿逆时针方向旋转得到向量叫做把点B绕点A沿逆时针方向旋转得到点P.已知平面内点，点，把点B绕点A沿逆时针后得到点P，向量为向量在向量上的投影向量，则______.
【答案】##
【解析】
【分析】根据题意，计算出 ，再利用投影向量的定义及模长公式即得.
【详解】因为，，所以，
，
所以P点坐标为，
所以，
所以.
故答案为：.
16. 在等腰梯形中，已知，，，，动点E和F分别在线段和上，且，，当__________时，则有最小值为__________．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】先求出，，，，则
，代入结合均值不等式即可求出答案.
【详解】因为在等腰梯形中，已知，，，，可知，
所以， ，
， ，
则
.
当且仅当，即时取等号，即最小值．
故答案为：；.

四、解答题
17. 已知．
（1）求实数的值；
（2）若，求实数的值．
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【详解】试题分析：（1）利用向量，建立关于的方程，即可求解的值；（2）写出向量的坐标，利用得出关于的方程，即可求解实数的值.
试题解析：（1）
（2）由（1）得
所以
考点：向量的坐标运算.
18. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
（1）求角A的大小；
（2）若，，点D在边BC上，且，求线段AD的长．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由正弦定理化边为角，然后由诱导公式、两角和的正弦公式化简可得角；
（2）中由余弦定理求得，再由余弦定理求得，然后在中由余弦定理求得．
【小问1详解】
在中，由正弦定理得
因为，代入得
即．
又，所以．
又，所以．
【小问2详解】
在中，由余弦定理得
所以，．
在中，由余弦定理得．
在中，由余弦定理得，
所以．
19. 某同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：
（1）请根据上表数据，求函数的解析式；
（2）关于的方程区间上有解，求的取值范围；
（3）求满足不等式的最小正整数解．
【答案】（1）；
（2）；
（3）.
【解析】
【分析】（1）由表格中的数据可得出的值，根据表格中的数据可得出关于、的方程组，解出这两个量的值，可得出函数的解析式；
（2）利用余弦型函数的基本性质求出函数在上的值域，即可得出实数的取值范围；
（3）分析可得或，分别解这两个不等式，得解集，令，得解集的一部分，由此可得出解集中的最小正整数解.
【小问1详解】
解：由表格数据知，，由，解得，
所以.
【小问2详解】
解：当时，，则，
所以在上的值域为，
因为方程区间上有解，所以的取值范围为.
【小问3详解】
解：因为，，
所以不等式即：，解得或，
由得，所以，
所以，；
由得，所以，
所以，.
令可得不等式解集的一部分为，
因此，解集中最小的正整数为．
20. 如图，在直角梯形中，为上靠近B的三等分点，交于为线段上的一个动点．
（1）用和表示；
（2）求；
（3）设，求的取值范围．
【答案】(1)；(2)3；(3).
【解析】
【分析】(1)根据给定条件及几何图形，利用平面向量的线性运算求解而得；
(2)选定一组基向量，将由这一组基向量的唯一表示出而得解；
(3)由动点P设出，结合平面向量基本定理，建立为x的函数求解.
【详解】(1)依题意，，
，
；
(2)因交于D，
由(1)知，
由共起点的三向量终点共线的充要条件知，，则，，；
(3)由已知，
因P是线段BC上动点，则令，
，
又不共线，则有，
，
在上递增，
所以，
故的取值范围是.
【点睛】由不共线的两个向量为一组基底，用该基底把相关条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．
21. 某公司欲生产一款迎春工艺品回馈消费者，工艺品的平面设计如图所示，该工艺品由直角和以为直径的半圆拼接而成，点为半圈上一点（异于，），点在线段上，且满足.已知，，设.
（1）为了使工艺礼品达到最佳观赏效果，需满足，且达到最大.当为何值时，工艺礼品达到最佳观赏效果；
（2）为了工艺礼品达到最佳稳定性便于收藏，需满足，且达到最大.当为何值时，取得最大值，并求该最大值.
【答案】（1）（2）当，达到最大，最大值为
【解析】
【分析】
（1）设，则在直角中，，，计算得到，计算最值得到答案.
（2）计算，得到，得的最值.
【详解】（1）设，则在直角中，，.
在直角中，，
.
，，
所以当，即，的最大值为.
（2）在直角中，由，
可得.
在直角中，，
所以，，
所以
，
所以当，达到最大值.
【点睛】本题考查了利用三角函数求最值，意在考查学生对于三角函数知识的应用能力.
22. 如图，设Ox，Oy是平面内相交成60°角的两条数轴，，分别是与x轴、y轴同方向的单位向量．若向量＝x+y，则把有序数对（x，y）叫做在坐标系Oxy中的坐标．已知向量在坐标系Oxy中的坐标分别为（2，3）、（4，5）．
（1）求；
（2）是否存在y轴上一点C，使得△ABC是以AB为斜边的直角三角形？若存在，求出C点坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；（2）不存在；理由见解析．
【解析】
【分析】（1）根据向量的线性运算求得，再根据向量的模长的定义计算即可得；
（2）假设y轴存在一点C，设，根据，利用向量的数量积运算，可解此问题.
【详解】（1）∵，
∴，
故的值为．
（2）假设y轴存在一点C，使得△ABC是以AB为斜边的直角三角形．
设，则，
．
根据题意得：，则＝0，
∴．＝0，
得：，
整理得：，
其中，则方程无解．
故在y轴上不存在点C，使得△ABC是以AB为斜边的直角三角形．