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2022-2023学年江苏省无锡市四校高一下学期期中联考数学试题
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这是一份2022-2023学年江苏省无锡市四校高一下学期期中联考数学试题，文件包含江苏省无锡市四校高一下学期期中联考数学试题原卷版docx、江苏省无锡市四校高一下学期期中联考数学试题解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共30页， 欢迎下载使用。
考生注意：
客观题请用2B铅笔填涂在答题卡上，主观题用黑色的水笔书写在答题卷上.
一、单选题（本大题共8小题，每小题只有一个正确选项，每题5分，共40分）
1. 已知复数，则（ ）
A. 1B. C. 2D.
2. 一个水平放置的平面图形，用斜二测画法画出了它的直观图，如图所示，此直观图恰好是一个边长为2的正方形，则原平面图形的面积为（ ）
A. B. C. 8D.
3. 一质点在力，的共同作用下，由点移动到，则，的合力对该质点所做的功为（ ）
A. 16B. C. 110D.
4. 在中，，则一定是（ ）
A. 锐角三角形B. 钝角三角形C. 直角三角形D. 等边三角形
5. 中国古代数学家刘徽在《九章算术注》中，称一个正方体内两个互相垂直的内切圆柱所围成的立体为“牟合方盖”，如图（1）（2），刘徽未能求得牟合方盖的体积，直言“欲陋形措意，惧失正理”，不得不说“敢不阙疑，以俟能言者”.约200年后，祖冲之的儿子祖暅提出“幂势既同，则积不容异”，后世称为祖暅原理，即：两等高立体，若在每一等高处的截面积都相等，则两立体体积相等.如图（3）（4），祖暅利用八分之一正方体去掉八分之一牟合方盖后的几何体与长宽高皆为八分之一正方体的边长的倒四棱锥“等幂等积”，计算出牟合方盖的体积，据此可知，牟合方盖的体积与其外切正方体的体积之比为
A. B. C. D.
6. 已知，，则的值为（ ）
A 0B. C. D.
7. 设、、、为平面直角坐标系中两两不同的点，若，，且，则称点、和谐分割点、.已知平面上两两不同的点A、B、C、D，若C、D和谐分割点A、B.则下面说法正确的是（ ）
A. 点C可能是线段AB的中点
B. 点可能是靠近点A的线段AB的三等分点
C. 点C、D可能同时在线段AB上
D. 点C、D可能同时在线段AB的延长线上
8. 已知的内角A，B，C满足，的面积S满足，记a，b，c分别为A，B，C所对的边，则下列不等式一定成立的是（ ）
A. B.
C. D.
二、多选题（本大题共4小题，每小题有多个正确选项，错选得0分，漏选得2分，每题5分，共20分）
9. 下列结论正确的是（ ）
A. 在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，直线BD1与B1C是异面直线
B. 不共面的四点可以确定4个平面
C. 圆锥的侧面展开图是个半圆，则圆锥的母线是底面半径的2倍
D. 有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱
10. （多选）在复平面内，下列说法正确的是（ ）
A. 若复数z满足，则B. 若复数、满足，则
C. 若，且，则D. 若，则的最大值为
11. 下列选项中正确是（ ）
A. 设向量，，若，共线，则
B. 已知点，向量，点是线段的三等分点，则点的坐标是
C. 若，，则在方向上的投影向量的坐标为
D. 若平面向量，满足，则的最大值是5
12. 下列结论正确的是（ ）
A. 若，∠ABC为锐角，则实数m的取值范围是
B. 点O在△ABC所在的平面内，若，则点O为△ABC的重心
C. 点O在△ABC所在平面内，若，，分别表示△AOC，△ABC的面积，则
D. 点O在△ABC所在的平面内，满足且，则点O是且△ABC的外心
三、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分）
13. 已知是关于x的方程的一个根，其中p，，则p＋q＝______．
14. 某校研究性学习小组想要测量某塔的高度，现选取与塔底在同一个水平面内的两个测量基点A与，现测得，，米，在点A处测得塔顶的仰角为，则塔高为_________米．
15. 已知正四棱台中，，若该四棱台的体积为，则这个四棱台的表面积为__________．
16. 在平面内，定点，满足，且，则__________；平面内的动点满足，，则的最大值是__________．
四、解答题（本大题共6小题，作答各题时须有必要的计算和推理过程，共70分）
17. 根据要求完成下列问题：
（1）已知复数在复平面内对应的点在第四象限，，求；
（2）复数为纯虚数，求实数的值．
18. 已知向量满足，，且.
（1）若，求实数的值；
（2）求与夹角的余弦值.
19. 从①；②；③的外接圆的半径为2且，这三个条件中选择一个，补充在下面问题中，并解答.
已知的内角的对边分别为，且，__________.
（1）求角的大小；
（2）若，求的面积.
注：若选择多个条件分别解答，按第一个解答给分.
20. 如图，三棱柱的侧棱垂直于底面，其高为，底面三角形的边长分别为，，.
（1）以上、下底面的内切圆为底面，挖去一个圆柱，求剩余部分几何体的体积；
（2）求该三棱柱的外接球的表面积与内切球的体积.
21. 如图所示，在中，在线段BC上，满足，是线段的中点．
（1）延长交于点Q（图1），求的值；
（2）过点的直线与边，分别交于点E，F（图2），设，．
（i）求证定值；
（ii）设的面积为，的面积为，求的最小值．
22. 如图，某公园改建一个三角形池塘，，百米，百米，现准备养一批观赏鱼供游客观赏.
（1）若在内部取一点P，建造连廊供游客观赏，方案一如图①，使得点P是等腰三角形PBC的顶点，且，求连廊的长（单位为百米）；
（2）若分别在AB，BC，CA上取点D，E，F，并建造连廊，使得变成池中池，放养更名贵的鱼类供游客观赏：方案二如图②，使得为正三角形，设为图②中的面积，求的最小值；方案三如图③，使得DE平行于AB，且EF垂直于DE，设为图③中的面积，求的最大值．
考生注意：
客观题请用2B铅笔填涂在答题卡上，主观题用黑色的水笔书写在答题卷上.
一、单选题（本大题共8小题，每小题只有一个正确选项，每题5分，共40分）
1. 已知复数，则（ ）
A. 1B. C. 2D.
2. 一个水平放置的平面图形，用斜二测画法画出了它的直观图，如图所示，此直观图恰好是一个边长为2的正方形，则原平面图形的面积为（ ）
A. B. C. 8D.
3. 一质点在力，的共同作用下，由点移动到，则，的合力对该质点所做的功为（ ）
A. 16B. C. 110D.
4. 在中，，则一定是（ ）
A. 锐角三角形B. 钝角三角形C. 直角三角形D. 等边三角形
5. 中国古代数学家刘徽在《九章算术注》中，称一个正方体内两个互相垂直的内切圆柱所围成的立体为“牟合方盖”，如图（1）（2），刘徽未能求得牟合方盖的体积，直言“欲陋形措意，惧失正理”，不得不说“敢不阙疑，以俟能言者”.约200年后，祖冲之的儿子祖暅提出“幂势既同，则积不容异”，后世称为祖暅原理，即：两等高立体，若在每一等高处的截面积都相等，则两立体体积相等.如图（3）（4），祖暅利用八分之一正方体去掉八分之一牟合方盖后的几何体与长宽高皆为八分之一正方体的边长的倒四棱锥“等幂等积”，计算出牟合方盖的体积，据此可知，牟合方盖的体积与其外切正方体的体积之比为
A. B. C. D.
6. 已知，，则的值为（ ）
A 0B. C. D.
7. 设、、、为平面直角坐标系中两两不同的点，若，，且，则称点、和谐分割点、.已知平面上两两不同的点A、B、C、D，若C、D和谐分割点A、B.则下面说法正确的是（ ）
A. 点C可能是线段AB的中点
B. 点可能是靠近点A的线段AB的三等分点
C. 点C、D可能同时在线段AB上
D. 点C、D可能同时在线段AB的延长线上
8. 已知的内角A，B，C满足，的面积S满足，记a，b，c分别为A，B，C所对的边，则下列不等式一定成立的是（ ）
A. B.
C. D.
二、多选题（本大题共4小题，每小题有多个正确选项，错选得0分，漏选得2分，每题5分，共20分）
9. 下列结论正确的是（ ）
A. 在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，直线BD1与B1C是异面直线
B. 不共面的四点可以确定4个平面
C. 圆锥的侧面展开图是个半圆，则圆锥的母线是底面半径的2倍
D. 有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱
10. （多选）在复平面内，下列说法正确的是（ ）
A. 若复数z满足，则B. 若复数、满足，则
C. 若，且，则D. 若，则的最大值为
11. 下列选项中正确是（ ）
A. 设向量，，若，共线，则
B. 已知点，向量，点是线段的三等分点，则点的坐标是
C. 若，，则在方向上的投影向量的坐标为
D. 若平面向量，满足，则的最大值是5
12. 下列结论正确的是（ ）
A. 若，∠ABC为锐角，则实数m的取值范围是
B. 点O在△ABC所在的平面内，若，则点O为△ABC的重心
C. 点O在△ABC所在平面内，若，，分别表示△AOC，△ABC的面积，则
D. 点O在△ABC所在的平面内，满足且，则点O是且△ABC的外心
三、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分）
13. 已知是关于x的方程的一个根，其中p，，则p＋q＝______．
14. 某校研究性学习小组想要测量某塔的高度，现选取与塔底在同一个水平面内的两个测量基点A与，现测得，，米，在点A处测得塔顶的仰角为，则塔高为_________米．
15. 已知正四棱台中，，若该四棱台的体积为，则这个四棱台的表面积为__________．
16. 在平面内，定点，满足，且，则__________；平面内的动点满足，，则的最大值是__________．
四、解答题（本大题共6小题，作答各题时须有必要的计算和推理过程，共70分）
17. 根据要求完成下列问题：
（1）已知复数在复平面内对应的点在第四象限，，求；
（2）复数为纯虚数，求实数的值．
18. 已知向量满足，，且.
（1）若，求实数的值；
（2）求与夹角的余弦值.
19. 从①；②；③的外接圆的半径为2且，这三个条件中选择一个，补充在下面问题中，并解答.
已知的内角的对边分别为，且，__________.
（1）求角的大小；
（2）若，求的面积.
注：若选择多个条件分别解答，按第一个解答给分.
20. 如图，三棱柱的侧棱垂直于底面，其高为，底面三角形的边长分别为，，.
（1）以上、下底面的内切圆为底面，挖去一个圆柱，求剩余部分几何体的体积；
（2）求该三棱柱的外接球的表面积与内切球的体积.
21. 如图所示，在中，在线段BC上，满足，是线段的中点．
（1）延长交于点Q（图1），求的值；
（2）过点的直线与边，分别交于点E，F（图2），设，．
（i）求证定值；
（ii）设的面积为，的面积为，求的最小值．
22. 如图，某公园改建一个三角形池塘，，百米，百米，现准备养一批观赏鱼供游客观赏.
（1）若在内部取一点P，建造连廊供游客观赏，方案一如图①，使得点P是等腰三角形PBC的顶点，且，求连廊的长（单位为百米）；
（2）若分别在AB，BC，CA上取点D，E，F，并建造连廊，使得变成池中池，放养更名贵的鱼类供游客观赏：方案二如图②，使得为正三角形，设为图②中的面积，求的最小值；方案三如图③，使得DE平行于AB，且EF垂直于DE，设为图③中的面积，求的最大值．
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