2022-2023学年江苏省无锡市太湖高级中学高一下学期第一次学情调研数学试题

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2023.03
一､单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．
1. 已知向量，，则向量的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由向量减法的坐标表示计算．
【详解】依题意得.
故选：D．
2. 已知平面向量，若，则（ ）
A. B. C. 1D.
【答案】C
【解析】
【分析】由已知条件，有数量积的坐标公式可得，进而求得
【详解】
．
又
，即
故选：C
【点睛】本题考查了向量的数量积坐标公式，利用向量的垂直关系，并应用同角三角函数关系，求正切值
3. 设的内角所对的边分别为，若，则的形状为（ ）
A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 等腰三角形
【答案】B
【解析】
【分析】根据正弦定理把已知等式中的边转化为角的正弦，利用两角和公式化简求得的值进而求得，判断出三角形的形状.
【详解】∵，
由正弦定理得：，
∵，∴，，故三角形为直角三角形，
故选：B.
【点睛】本题主要考查了正弦定理的应用，解题的关键时利用正弦定理把等式中的边转化为角的正弦，属于基本知识的考查.
4. 已知非零向量满足，且，则与的夹角为
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查利用平面向量数量积计算向量长度、夹角与垂直问题，渗透了转化与化归、数学计算等数学素养．先由得出向量的数量积与其模的关系，再利用向量夹角公式即可计算出向量夹角．
【详解】因为，所以=0，所以，所以=，所以与的夹角为，故选B．
【点睛】对向量夹角的计算，先计算出向量的数量积及各个向量的摸，在利用向量夹角公式求出夹角的余弦值，再求出夹角，注意向量夹角范围为．
5. 向量，，，若，，三点共线，则的值为（ ）
A. 或B. 或C. 或-11D. 或
【答案】A
【解析】
【分析】根据共线定理列方程，解方程即可.
【详解】由，，，
得，，
又，，三点共线，
则，
即，解得或，
故选：A.
6. 在平行四边形中，．若点满足，则的值为（ ）
A. 6B. 9C. 20D. 36
【答案】B
【解析】
【分析】先利用平面向量的线性运算求出，再利用平面向量的数量积公式求解.
【详解】由题得，
，
．
故选：B
7. 已知锐角中，，，则的范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用正弦定理结合二倍角公式可转化为三角函数值域问题，即可得解.
【详解】由正弦定理得即，
所以，即，
又是锐角三角形，
所以，即，所以，
所以，
故选：D.
8. 在非直角中，设角，，的对边分别为，，，若，是角的内角平分线，且，则等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先由正弦定理进行边角互化，利用余弦定理可得，再由三角形面积，可得，再利用二倍角公式可得解.
【详解】
由已知，
根据正弦定理得，
则，
为非直角三角形，，，
又，
，
即，
，，
，，
，
故选：D.
二､多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
9. 下列说法中错误是（ ）
A. 向量，不能作为平面内所有向量的一组基底
B. 非零向量和满足，则与的夹角为
C. 若，则在方向上的投影向量的模为
D. 若，，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是
【答案】BD
【解析】
【分析】根据向量基底的概念直接可判断A选项；利用向量模长公式可得向量数量积，在利用夹角公式可判断B选项；根据投影的概念直接可判断C选项；根据向量夹角的坐标表示可判断D选项.
【详解】A选项：由，，，则与共线，不能作为平面向量的基底，A选项正确；
B选项：由，得，即，所以，所以，所以与的夹角为，B选项错误；
C选项：，则或，则在方向上的投影向量的模为，C选项正确；
D选项：由，，则，若与的夹角为锐角，则且与不能同向，则且，D选项错误；
故选：BD.
10. 对于，有如下判断，其中正确的判断是（ ）
A. 若，则
B. 若，则为等腰三角形
C. 若，，，则符合条件的有两个
D. 若，则是锐角三角形
【答案】AC
【解析】
【分析】根据三角函数的单调性可判断A选项，根据正弦函数单调性和对称性可判断B选项，利用正弦定理可判断C选项，利用正弦定理及余弦定理可判断D选项.
【详解】对于A：由，则当时，，当时，由可知，所以，故A选项正确；
对于B：由，，，得：或，即或，所以为等腰三角形或直角三角形，B选项错误；
对于C：由，，，根据正弦定理得：，，且，所以满足条件的三角形有两个，C选项正确；
对于D：由正弦定理可将转化为，则，所以，但无法判断的范围，D选项错误.
故选：AC.
11. 在中，记角所对的边分别为，若，则（ ）
A.
B.
C. 内角的最大值为
D. 面积的最小值为
【答案】BC
【解析】
【分析】先由向量的数量积公式计算判断A选项，再结合余弦定理公式计算判断B选项，再结合基本不等式和余弦函数的单调性判断C选项，最后利用面积公式结合bc的范围判断D选项.
【详解】，故A选项错误；
因为，所以，故B选项正确；
因为，所以，所以，故C选项正确；
因为，所以，故D选项错误.
故选：BC
12. 在中，分别是边中点，下列说法正确的是（ ）
A.
B. 点是边上的点，且，则的面积是面积的
C. 若，则是在的投影向量
D. 若点是线段上的动点，且满足，则的最大值为
【答案】ACD
【解析】
【分析】对选项逐一判断，对选项A，利用平面向量的加减法即可判断，对选项B ，利用向量运算确定M点的位置即可判断，对选项C，首先根据已知得到为的平分线，即，再利用平面向量的投影概念即可判断，对选项D，首先根据三点共线，结合条件可得，再由基本不等式即可判断．
【详解】对选项A，如图所示：
，故选项A正确；
对选项B，因为点是边上的点，且，
所以为边上靠近点的三等分点，
，故B不正确；
对选项C，分别表示平行于的单位向量，
由平面向量加法可知：为的平分线表示的向量，
因为，所以为的平分线，
又因为为的中线，所以，如图所示：
在的投影为，
所以是在的投影向量，故选项C正确；
对选项D，如图所示：
因为在上，即三点共线，
，
，当且仅当时等号成立，
取得最大值为，故选项D正确．
故选：ACD．
三､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 已知，是两个不共线的向量，若与共线，则的值为_________．
【答案】
【解析】
【分析】根据题意得到，列出方程组，即可求解.
【详解】由题意，向量与共线，
可得，即，可得，解得.
故答案为：.
14. 内角的对边分别为，若的面积为，则_________
【答案】
【解析】
【分析】由余弦定理可得，根据条件结合三角形的面积公式可得从而可得答案.
【详解】由余弦定理可得，所以
的面积为
所以 即，由
所以
故答案为：
15. 如图，半径为2扇形的圆心角为，点在上，且，若，则等于__________．
【答案】
【解析】
【分析】建立直角坐标系，求出点的坐标，结合平面向量的基本定理建立方程求解即可.
【详解】
如图所示，以O为原点，OB为x轴，OB的垂线为y轴，建立直角坐标系，
，，即，
，，即，
又，，
，解得，，
故答案为：.
16. 在中，若对任意的实数恒成立，则面积的最小值是__________．
【答案】##
【解析】
【分析】根据恒成立，可得，即可求得,
从而求解面积的最小值.
【详解】解：如图，设，则
若对任意的实数恒成立，
即恒成立，则，
当时，面积取最小值为.
故答案为：.
四､解答题：本大题共6小题，共70分．
17. 已知，，是同一平面内的三个向量，其中．
（1）若，且，求的坐标；
（2）若，且，求与的夹角．
【答案】（1）或
（2）
【解析】
【分析】（1）根据向量共线，可设出的坐标，再利用向量模长可得解；
（2）根据向量垂直的关系，结合向量数量积公式可得解.
【小问1详解】
由已知，则存在实数，使，
又，则，
解得，
所以或；
【小问2详解】
由，得，
又，
所以，
即，
解得，，
所以.
18. 已知的内角所对应的边分别为，且.
（1）求角的大小；
（2）若，，求的面积.
【答案】（1）;（2）.
【解析】
【详解】试题分析：（1）由正弦定理将边角关系转化为角的关系，再根据三角形内角关系以及两角和正弦公式化简得，解得角的大小；（2）由余弦定理得，再根据，解得，最后根据三角形面积公式得结果
试题解析：（1）因为，由正弦定理，得．
因为，所以．
即，
所以．
因为，所以
又因为，所以．
（2）由余弦定理及得，，
即．
又因为，所以，
所以．
19. 如图，已知向量，点A，B分别是的中点．
（1）试用向量，表示向量；
（2）设，，试求与的夹角的取值范围．
【答案】（1）；（2） .
【解析】
【分析】（1）由是的中位线得出，进而得出结果；
（2）先求出，进而求得，由此确定出的取值范围.
【详解】（1）依题意知是的中位线，所以，；
（2）由（1）得，平方得：
所以，由可得，
所以，又，所以.
故与夹角的取值范围是.
20. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为，已知．
（1）求的值；
（2）在边BC上取一点D，使得，求．
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】（1）先由余弦定理求出，再由正弦定理求出；
（2）先由和差角公式求出，再由正弦定理求出.
【详解】（1）在△ABC中,因为，由余弦定理得所以.
在△ABC中,由正弦定理得：，解得：.
（2）在△ADC中,因为，所以∠ADC为钝角,又∠ADC+C+∠CAD=180°,所以C为锐角，故.
因为，所以.
所以.
由正弦定理得：,即，解得：.
21. 设是边长为1的正三角形，点四等分线段（如图所示）．
（1）求的值；
（2）为线段上一点，若，求实数的值；
（3）为边上一动点，当取最小值时，求的值．
【答案】（1）；（2）；（3）．
【解析】
【分析】（1）利用线段的中点向量公式将所求化为，再结合余弦定理求解；
（2）利用平面向量的线性运算进行化简求解；
（3）先讨论的位置，研究的符号，再设，将表示为关于的函数，利用二次函数的最值判定的位置，再利用余弦定理进行求解．
【详解】（1）原式，
在中，由余弦定理，得
，
所以
（2）易知，即，
即，
因为为线段上一点，
设，
所以，解得
所以；
（3）①当在线段上时，；
②当在线段上时，；要使最小，则必在线段上，
设，则
，
当时，即当为时，最小，
则由（1）可知，
则由余弦定理得，
22. 在路边安装路灯，灯柱与地面垂直（满足），灯杆与灯柱所在平面与道路垂直，且，路灯采用锥形灯罩，射出的光线如图中阴影部分所示，已知，路宽．设灯柱高，．
（1）当时，求四边形的面积；
（2）求灯柱的高（用表示）；
（3）若灯杆与灯柱所用材料相同，记此用料长度和为，求关于的函数表达式，并求出的最小值．
【答案】（1）
（2）
（3），最小值为
【解析】
【分析】（1）由三角形角关系结合正弦定理可得各边长，再由可得解；
（2）分别在与中由正弦定理化简即可得解；
（3）根据正弦定理分别表示各边长及，再根据三角函数求值域的方法可得最值.
【小问1详解】
当时，，
所以，
又
所以是等边三角形，所以，
所以在中，，即，
所以；
【小问2详解】
，，，
在中，由正弦定理得，
所以
所以
在中，由正弦定理得，
所以，
所以，所以；
【小问3详解】
在中，由正弦定理得，
所以，
所以
所以
，
因为，所以，
所以当，即时，取最小值，
故关于函数表达式为，最小值为.