2022-2023学年江苏省无锡外国语学校高一下学期3月第一次月考数学试题

这是一份2022-2023学年江苏省无锡外国语学校高一下学期3月第一次月考数学试题，文件包含江苏省无锡外国语学校高一下学期3月第一次月考数学试题原卷版docx、江苏省无锡外国语学校高一下学期3月第一次月考数学试题解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共25页， 欢迎下载使用。

一、选择题:本题共8小题，每题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有是符合题目要求的.
1. 已知复数，则的虚部为（ ）
A. B. C. 1D. i
【答案】C
【解析】
【分析】根据复数的运算法则直接计算即可.
【详解】，则的虚部为1.
故选：C.
2. 在空间中，下列命题正确的是（ ）
A. 分别在两个平面内的直线叫做异面直线.
B. 三个点可以确定唯一一个平面
C. 过直线外一点有且只有一个平面和这条直线平行
D. 一条直线与平面平行，则它与平面内的无数条直线平行
【答案】D
【解析】
【分析】根据异面直线的定义判断A；
根据平面公理2可以判断B；
根据直线和平面平行的判断可以判断C；
根据直线和平面平行的性质可以判断D.
【详解】解：因为既不相交又不平行的直线才是异面直线，故A错误；
因为不共线的三个点可以确定唯一一个平面，故B错误；
因为过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行，但过这条直线的平面有无数个，
所以过直线外一点有无数个平面和这条直线平行，故C错误；
根据直线和平面平行的性质可知，如果一条直线与平面平行，那和它与平面内的无数条直线平行，故D正确.
故选:D.
3. 在中，，，，则的值等于（ ）
A. 20B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由题意得与的夹角为，由数量积公式直接计算即可得到答案.
【详解】中，，，，与夹角为，
则，
故选：B
【点睛】本题考查两个向量数量积的计算，属于简单题.
4. 在中，，则的值是（ ）
A. B. 1C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据题设条件，利用余弦定理列出方程，即可求解.
【详解】由，可得，
因为，由余弦定理可得，解得.
故选：A.
5. 四棱锥的底面是平行四边形， ，，，则可表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据向量的加法与减法法则计算即可.
【详解】解：如图，因为底面是平行四边形，所以，
所以根据向量加法与减法法则得，
故选：B
6. 向量＝(k，12)，＝(4，5)，＝(10，k)，若A，B，C三点共线，则k的值为（ ）
A. －2B. 11
C. －2或11D. 2或11
【答案】C
【解析】
【分析】求出的坐标即得解.
【详解】由题得＝(4－k，－7)，＝(6，k－5)，
由题知，
故(4－k)(k－5)－(－7)×6＝0，
解得k＝11或k＝－2.
故选：C
【点睛】结论点睛：则.
7. 在中，已知，则的形状是（ ）
A. 等腰三角形B. 直角三角形C. 等边三角形D. 等腰或直角三角形
【答案】D
【解析】
【分析】利用余弦定理表示出和，代入已知等式整理可得到或，即可确定三角形的形状.
【详解】由余弦定理的：，，
代入中，
得，
等式两边同乘得：
，
移项合并得：，
整理得：，
即，
可得或，
则三角形等腰三角形或直角三角形，
故选：D.
【点睛】解决判断三角形的形状问题，一般将条件化为只含角的三角函数的关系式，然后利用三角恒等变换得出内角之间的关系式；或将条件化为只含有边的关系式，然后利用常见的化简变形得出三边的关系．另外，在变形过程中要注意A，B，C的范围对三角函数值的影响．
8. 在正方体中，和的中点分别为M，N.如图，若以A，M，N所确定的平面将正方体截为两个部分，则所得截面的形状为（ ）
A. 六边形B. 五边形C. 四边形D. 三角形
【答案】B
【解析】
【分析】根据平面的性质，延长线段到正方体的表面，找到平面与正方体棱的交点，连接起来即可判断.
【详解】如图，延长相交于点，
连接并延长，与相交于点，与的延长线相交于点，
连接，与相交于点，
连接，则五边形即为截面.
故选：B.
【点睛】本题主要考查平面的基本性质，属于基础题.
二、多选题，本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选时的得5分，有选的得0分.部分逸对的得3分.
9. 如图.正方体ABCD-A1B1C1D1中，若E，F.G分别是BC，CC1，B1C1的中点，O1，O2分别是四边形ADD1A1， A1B1C1D1的中心，则（ ）
A. A，C，O1，D1四点共面B. D，E，C，F四点共面
C. A，E，F，D1四点共面D. E，G，O1，O2四点共面
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据平面的性质的公理及推论进行判断.
【详解】如下图，根据题意可得是的中点，所以点在平面内，故A正确；F在平面外，故B错误；根据题中条件可确定，所以A，E，F，D1四点共面，故C正确；连接并延长交于，连接，可得，所以E，G，O1，O2四点共面，故D正确.
故选：ACD.
10. 以下命题中不正确是（ ）
A. 是共线的充要条件
B. 若，则存在唯一的实数，使得
C. 若，则
D. 若为平面的一组基底，则是构成平面的另外一组基底
【答案】ABC
【解析】
【分析】利用零向量与任意向量共线结合充要条件判断A的正误；利用平面向量的基本定理判断B；举反例可判断C；假设存在实数使得，解方程可判断D.
【详解】对于A，当时，则，则，共线成立，但当，共线时，推不出，所以是，共线的充分不必要条件，故A不正确;
对于B，当时，，不存在唯一的实数，使得，故B不正确;
对于C，已知，若，则，故C不正确；
对于D，假设存在实数使得，则，所以，因为不共线，所以无解，故不共线，故是构成平面的另外一组基底.
故选：ABC.
11. 是虚数单位，下列说法中正确的有（ ）
A. 若复数满足，则
B. 若复数，满足，则
C. 若复数，则可能是纯虚数
D. 若复数满足，则对应的点在第一象限或第三象限
【答案】AD
【解析】
【分析】
A选项，设出复数，根据共轭复数的相关计算，即可求出结果；
B选项，举出反例，根据复数模的计算公式，即可判断出结果；
C选项，根据纯虚数的定义，可判断出结果；
D选项，设出复数，根据题中条件，求出复数，由几何意义，即可判断出结果.
【详解】A选项，设，则其共轭复数为，
则，所以，即；A正确；
B选项，若，，满足，但不为；B错；
C选项，若复数表示纯虚数，需要实部为，即，但此时复数表示实数，故C错；
D选项，设，则，
所以，解得或，则或，
所以其对应的点分别为或，所以对应点的在第一象限或第三象限；D正确.
故选：AD.
12. 已知是边长为2的等边三角形，是上的点，，是的中点，与交于点，那么（ ）
A. B. C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】以为原点，所在的直线为轴，建立平面直角坐标系，写出、、、、的坐标，可得的坐标，从而判断选项；
设，由、、三点共线，可设，解得和的值，进而确定点的坐标，可判断选项和；
由为等边三角形，可判断选项．
【详解】以为原点，所在的直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，
则，，，，，，，
，，
，即选项正确；
设，则点，，
、、三点共线，
不妨设，即，，，
，
解得，，
，，即点为的中点，故选项正确；
为等边三角形，且为的中点，，即，故选项错误；
为的中点，为的中点，
，，
，即选项正确．
故选：．
【点评】本题考查平面向量在几何中的应用，遇到规则图形，一般通过建立坐标系，借助平面向量的坐标运算可简化试题，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
二、填空题：本题4小题，每小题5分，共20分.
13. 在中，，，，则的外接圆半径为___________.
【答案】
【解析】
【分析】
利用余弦定理求出，并求出，再利用正弦定理可求得的外接圆半径.
【详解】由余弦定理可得，
，则为锐角，所以，，
因此，的外接圆半径为.
故答案为：.
【点睛】方法点睛：在解三角形的问题中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”，变换原则如下：
（1）若式子中含有正弦的齐次式，优先考虑正弦定理“角化边”；
（2）若式子中含有、、的齐次式，优先考虑正弦定理“边化角”；
（3）若式子中含有余弦的齐次式，优先考虑余弦定理“角化边”；
（4）代数式变形或者三角恒等变换前置；
（5）含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理求解；
（6）同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到三角形的内角和定理.
14. 下列说法正确的序号有___________
①平面的厚度是5cm；②经过一条直线和一个点确定一个平面
③三条两两相交的直线一定在同一个平面内；
④直线l与平面有两个公共点的，则
【答案】④
【解析】
【分析】根据平面的概念及平面的基本性质的公理及推论可进行判定.
【详解】由平面的概念知平面无宽窄，无厚度，故①错误；根据经过一条直线和这条直线外一点有且只有一个平面知②错误；当三条直线交于一点时，可不在同一平面内，故③错误；根据如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内知④正确.
故答案为：④
15. 如图，在△ABC中，E为边AC上一点，且，P为BE上一点，且满足，则最小值为_______．
【答案】
【解析】
【分析】利用向量共线的推论可得，再由，利用基本不等式即可求解.
【详解】由，所以，
又因为三点共线，
所以，
所以，
当且仅当，时取等号.
故答案为：
【点睛】本题考查了基本不等式求最值、向量共线定理的推论，在利用基本不等式求最值时，需验证等号成立的条件，属于基础题.
16. 设复数2-i和3-i的辐角主值分别为，则 ________
【答案】.
【解析】
【分析】根据题意，得到，结合两角和的正切公式及 的范围，即可求解.
【详解】解：由题意可得：且，，
所以 .
又因为，
所以.
故答案为：.
四、解答题，本题共6小题，共70分.
17. 已知复数，，为虚数单位.
（1）若复数，在复平面上对应的点在第四象限，求实数a的取值范围；
（2）若，求的共轭复数
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】
（1）化简复数，再由复数在复平面上对应的点在第四象限，列出不等式组，即可求解；
（2）由复数的除法运算法则，化简得，再根据共轭复数的概念，即可求解.
【详解】（1）由题意，复数，
则
因为复数在复平面上对应的点在第四象限，
所以，解得，
即实数的取值范围.
（2）由，
所以.
【点睛】与复数的几何意义相关问题的一般步骤：
（1）先根据复数的运算法则，将复数化为标准的代数形式；
（2）把复数问题转化为复平面内的点之间的关系，依据复数与复平面上的点一一对应，列出相应的关系求解.
18. 已知向量与的夹角为，，．
（1）求；
（2）若，求实数的值．
【答案】（1）2；（2）．
【解析】
【分析】
（1）根据条件可求出，进而求出，然后根据进行向量数量积的运算即可求出的值；
（2）根据可得出，然后进行数量积的运算即可求出的值．
【详解】（1），，
，
；
（2），
，解得．
19. 如图，在几何体 ABCDEF中，四边形ABCD为平行四边形，G为FC的中点，平面ABFE∩平面CDEF=EF
（1）证明:AF//平面BDG
（2）证明:AB//EF
【答案】（1）证明见解析.
（2）证明见解析.
【解析】
【分析】（1）连接AC交BD于O,连接OG.利用三角形的中位线定理，再利用线面平行的判定定理即可证明AF//平面BDG；
（2）利用线面平行的性质定理即可证明出AB//EF.
【小问1详解】
连接AC交BD于O,连接OG.
因为四边形ABCD为平行四边形，所以AC、BD互相平分.
又G为FC的中点，所以OG为三角形ACF的中位线，所以.
因为面,面,所以AF//平面BDG.
【小问2详解】
因为四边形ABCD为平行四边形，所以AB//CD.
因为面,面,所以AB//平面.
因为面,面面=EF.
所以AB//EF.
20. 在△ABC中，已知b+a，点M是BC中点，
（1）求A的值.
（2）若，求直线AM的最大值
【答案】（1）;
（2）.
【解析】
【分析】（1）利用正弦定理和三角恒等变换化简b＝acs C＋csin A即得解；
（2）由余弦定理和基本不等式得b2＋c2≤6，由已知得＝，平方后利用基本不等式即得解
【小问1详解】
解：因为b+a，
即b－acsC,
所以b＝acs C＋csin A，
根据正弦定理得sin B＝sin Acs C＋sin Csin A，
所以sin（A＋C）＝sin Acs C＋sin Csin A，
所以sin Acs C＋cs Asin C＝sin Acs C＋sin Csin A，
所以cs Asin C＝sin Csin A.
因为sin C≠0，所以tan A＝.
又0＜A＜π，所以A＝
【小问2详解】
解：在△ABC中，由余弦定理得b2＋c2－bc＝3.
因为bc≤，当且仅当b＝c时取等号，
所以b2＋c2≤6.
因为AM是BC边上的中线，
所以＝，两边平方得||2＝（b2＋c2＋bc）≤＝××（b2＋c2），
当且仅当b＝c＝时，中线AM的长度取得最大值.
21. 已知向量，，函数
（1）当m=0时，求的值
（2）若f(x)的最小值为-1，求实数m的值，
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】先把函数解析式化简得到.
（1）直接带入求解；（2）对m分类讨论，分别求出对应的最小值，即可求出m.
【小问1详解】
因为，，所以，，
所以
因为，所以，所以.
所以.
当m=0时，.
【小问2详解】
令，则，则
当时，，无解；
当时，，解得：；
当时，不能取得，无解；
综上所述：.
22. 某农场有一块等腰直角三角形的空地ABC，其中斜边BC的长度为400米，为迎接“五一“观光游，欲在边界BC上选择一点P，修建现赏小径PM，PN，其中M，N分别在边界AB，AC上，小径PM，PN与边界BC的夹角都是60°，区域PMB和区域PNC内种植郁金香，区域AMPN内种植月季花，
（1）探究“赏小径PM，PN的长度之和是否为定值?请说明理由
（2）为深度体验观赏，准备在月季花区域内修建小径MN，当点P在何处时，三条小径（PM，PN，MN）的长度之和最小?
（3）求郁金香区域面积之和的最小值.
【答案】（1）400;
（2）P点是MN的中点，；
（3）.
【解析】
【分析】(1)在和中分别利用正弦定理即可求得PM与PN的长度之和；
(2)在中利用MN边的余弦定理，再根据两边的积与和的基本不等式求解即可；
(3) 由（1）可知PM＝，，进而表达出与，并利用PB+PC=BC为定值，利用基本不等式求解即可.
【小问1详解】
解：在中，＝180°－60°－45°＝75°，
由正弦定理可得：，
即＝＝，
同理可得，
所以＝为定值；
【小问2详解】
解：在中，由余弦定理可得：
，
即，
所以，，
又由（1）有＝，
故，当且仅当时等号成立.
故当P点是MN的中点时，三条小径（PM，PN，MN）的长度之和最小，最小为；
【小问3详解】
解：由（1）可知PM＝，
故＝，
同理可得：，
所以＝＝＝＝＝.
当且仅当PB=PC=200时取得最小值.