2022-2023学年江苏省徐州市铜山区高一下学期期中数学试题
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这是一份2022-2023学年江苏省徐州市铜山区高一下学期期中数学试题,文件包含江苏省徐州市铜山区高一下学期期中数学试题原卷版docx、江苏省徐州市铜山区高一下学期期中数学试题解析版docx等2份试卷配套教学资源,其中试卷共27页, 欢迎下载使用。
注意事项:
1.答卷前,考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上,将条形码横贴在答题卡“条形码粘贴处”.
2.作答选择题时,选出每小题答案后,用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑;如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案.答案不能答在试卷上.
3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效.
4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后,将试卷和答题卡一并交回.
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1. 已知角的终边过点,则( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据终边上的点,求得三角函数的值,可得答案.
【详解】由题意可得:,,则.
故选:C.
2. 设是虚数单位,则的值为( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用的周期性求解,连续4项的和为0,计算求解即可.
【详解】,取值周期为4,连续4项的和为0,
所以,
故选:D.
3. 已知向量与是两个单位向量,且与的夹角为,若,,则( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】首先求出,再根据平面向量数量积的运算计算可得;
【详解】因为,是夹角为60°的两个单位向量,所以,
因为,,
所以
.
故选:C.
4. 古希腊数学家泰特托斯(Theaetetus,公元前417-公元前369年)详细地讨论了无理数的理论,他通过图来构造无理数,,,….如图,若记,,则( )
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意,利用直角三角形中的边角关系,两角和余弦公式,求得的值,即可求解.
【详解】由题意知,,
所以.
故选:B.
5. 在中,三个内角,,所对的边分别为,,,若,,,则的面积为( )
A. B. C. D. 21
【答案】A
【解析】
【分析】根据已知条件,结合余弦定理,以及三角函数的同角公式,求出,再根据三角形面积公式,即可求解.
【详解】,,,
则,
,
,
的面积为.
故选:.
6. 在中,三个内角,,所对的边分别为,,,若,则的形状为( )
A. 等腰三角形B. 等边三角形
C. 等腰直角三角形D. 等腰或直角三角形
【答案】D
【解析】
【分析】由正弦定理与二倍角公式化简后判断即可.
详解】,由正弦定理化简得,
即,故,,
则或,即或,则的形状为等腰或直角三角形.
故选:D.
7. 已知,则( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由已知利用诱导公式以及二倍角的余弦公式即可求解.
【详解】因为 ,
所以
,
故选:B.
8. 八边形是数学中的一种图形,由八条线段首尾相连围成的封闭图形,它有八条边、八个角.八边形可分为正八边形和非正八边形.如图所示,在边长为2正八边形中,点为正八边形的中心,点是其内部任意一点,则的取值范围是( )
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据正八边形的边长为2,求出外接圆的半径OF和内切圆的半径OM,再根据平面向量的数量积求出的最小值和最大值,即可得出结果.
详解】正八边形中, ,
所以,
连接,过点O作,交、于点、,交于点,
,设,由余弦定理得,
中, ,,
中,,
所以,解得,
,解得,
所以,
当P与M重合时,在上的投影向量为,此时取得最小值为,
当P与N重合时,在上的投影向量为,此时取得最大值为,
因为点P是其内部任意一点,所以的取值范围是.
故选:A.
【点睛】方法点睛:由图形可得,为定值,研究在上的投影向量的大小和方向即可.
二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.
9. 设平面向量,,均为非零向量,则下列命题中正确的是( )
A. 若,则B. 若,则与共线
C. 若,则D. 若,则
【答案】ABD
【解析】
【分析】对于A,根据数量积的运算律,整理方程,求得数量积为零,可得答案;
对于B,利用数量积的定义式,化简方程,求得夹角余弦值,可得答案;
对于C,利用数量积的运算律,结合数量积的结果,可得向量关系,可得答案,
对于D,利用分类讨论的解题思想,解得向量的共线定理,可得答案.
【详解】对于A,因为,所以,则,
即,故A正确;
对于B,因为,且设向量夹角为,所以,
则,即或,即与共线,故B正确;
对于C,因为,所以,则或,故C错误;
对于D,因为,当时,,即,
当时,由共线向量定理可得,故D正确.
故选:ABD.
10. 已知是复数,是虚数单位,则下列说法正确的是( )
A. 若,则
B. 若,则的虚部为
C. 复数在复平面中对应的点所在象限为第二象限
D. 若复数是纯虚数,则复数的共轭复数为
【答案】ABD
【解析】
【分析】对于A,复数除法求出,结合复数模公式,即可求解;
对于B,结合复数的四则运算,以及虚部的定义,即可求解;
对于C,结合复数的四则运算,以及复数的几何意义,即可求解;
对于D,结合纯虚数和共轭复数的定义,即可求解.
【详解】对于A,,则,故,故A正确;
对于B,,则,,其虚部为,故B正确;
对于C,,故复数z在复平面中对应的点所在象限为第一象限,故C错误;
对于D,复数是纯虚数,则,解得,
故,所以,故D正确.
故选:ABD.
11. 已知函数,则下列说法正确的是( )
A. 的最小正周期为
B. 在上单调递增
C. 若,则
D. 在内使的所有的和为
【答案】AB
【解析】
【分析】运用和差角、二倍角等公式将三角函数解析式化简后利用三角函数的图象和性质,逐一验证.
【详解】.
,故A正确;
当时,,正弦函数在单调递增,故B正确;
若,则和一个为函数的最大值,一个为最小值,,故C错误;
令,,,
在的根分别为:,
则有,
在内使的所有的和为:,故D错误.
故选:AB.
12. 已知三个内角,,的对应边分别为,,,且,,则下列说法正确的是( )
A. 若,则有两解
B. 周长的最大值为12
C. 的取值范围为
D. 的最大值为
【答案】BCD
【解析】
【分析】利用正弦定理判断A;由余弦定理结合基本不等式可判断B;利用三角函数恒等变换的应用可得,根据正切函数的性质即可判断C;根据正弦定理,结合平面向量数量积的运算及三角函数恒等变换的应用可求,进而根据正弦函数的性质可判断D.
【详解】对于A,由正弦定理得,又,
所以,角为唯一锐角,有一解,故A错误;
对于B,由余弦定理得:,
则,所以,
所以周长为,所以周长的最大值为12,故B正确;
对于C,,
因为,则的取值范围为,
所以的取值范围为,故C正确;
对于D,由正弦定理得,则,则,
,
因为,
所以
.
因为,所以,则,
所以当,即时,取得最大值为,故D正确;
故选:BCD
【点睛】方法点睛:三角函数相关的取值范围问题,常常利用正弦定理,将边转化为角,结合三角函数性质及三角恒等变换进行求解,或者将角转化为边,利用基本不等式进行求解.
三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.
13. 已知,向量,,且,则________.
【答案】
【解析】
【分析】由已知条件可得,利用平面向量数量积的坐标运算求出的值,结合角的取值范围可得出角的值.
【详解】因为向量,,且,则,
因为,则,可得,故.
故答案为:.
14. 如图,为了测量河对岸的塔高,选取与塔底在同一水平面内的两个观测点和,测得,,,并在处测得塔顶的仰角为,则塔高________.
【答案】90
【解析】
【分析】利用三角形内角和求得内角,结合正弦定理求得边长,利用直角三角形中的锐角三角函数,可得答案.
【详解】在三角形中,,,
,又,
由正弦定理可得:,,
解得,又在中,由题意可知:,
.
故答案为:.
15. 计算:________.
【答案】
【解析】
【分析】根据两角和的正切公式可得,再结合题意分析求解.
【详解】因为,
整理得,
则,
所以
,
即.
故答案为:
16. 设,为单位向量,满足,,,设,的夹角为,则的最小值为________.
【答案】
【解析】
【分析】由可得的取值范围,再由向量数量积的定义及夹角公式进行求解即可.
【详解】,为单位向量,则,即,
,得,
令,
,
,
,
,
有,
由,则,即,得,
,即.
故答案为:
【点睛】关键点点睛:
本题考查向量的数量积和模等基础知识,解题关键在于令,把表示成关于的函数,由已知求出的取值范围,利用函数思想求的最小值.
四、解答题:本题共6小题,共70分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 已知函数的部分图象如图所示.
(1)求函数的解析式;
(2)将图象上所有点先向右平移个单位长度,再将纵坐标变为原来的2倍,得到函数,求在上的值域.
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】(1)由函数图像最大值得,利用周期算,代图像上的点计算,得函数的解析式;
(2)由函数图像的变换求的解析式,由函数定义区间,利用解析式和正弦函数的性质求值域.
【小问1详解】
由图形可得,,解得,
∵过点,∴,即,
∴.又∵,∴.
∴.
【小问2详解】
解:由(1)知,
将图像上所有点向右平移个单位长度,再将纵坐标变为原来的2倍,
得到,
∵,∴,∴
∴
所以的值域为
18. 已知,,,.
(1)求;
(2)求.
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】(1)由,,得到,再由求解;
(2)由求解.
【小问1详解】
∵,,
∴,
∴,
;
【小问2详解】
由(1)知,,
又∵,,
∴,
∵,
所以,
∴,
.
19. 在中,已知,,,点为线段上一动点,设,.
(1)当时,试用,表示向量,并求;
(2)当取最小时,求与夹角余弦值.
【答案】(1),
(2)
【解析】
【分析】(1)利用向量运算法则表示向量,利用向量模的公式求解模长即可;
(2)利用向量运算法则表示向量,利用向量的夹角公式求解即可.
【小问1详解】
∵,
∴,
∴,
∴;
【小问2详解】
设,
则
,
∴,
当时,∴,
此时,∴,∴,
所以与夹角的余弦值为.
20. 已知锐角三个内角、、的对应边分别为、、,.
(1)求;
(2)若,求的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】(1)利用正弦定理结合两角和的正弦公式化简可得出的值,结合角的取值范围可得出角的值;
(2)利用正弦定理结合三角恒等变换可出关于角的函数关系式,求出角的取值范围,利用正弦型函数的基本性质可求得的取值范围.
【小问1详解】
解:因为,
由正弦定理得,
又因为,所以,,
所以,,
即,
所以,,
又因为,则,所以,,
又因为,则,所以,,故.
【小问2详解】
解:由正弦定理知,则,,
所以,
,
因为为锐角三角形,且,则,解得,
所以,,则,
所以,,
因此,的取值范围是.
21. 已知向量,.
(1)如果且,求的值;
(2)令,若,且,,求的大小.
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】(1)利用向量平行的坐标运算,结合同角三角函数的商数关系求出,把要解的算式用两角和的正弦余弦公式展开,利用齐次式转化为求解.
(2)由向量的坐标运算和倍角公式化简,得,可求,由求出,利用倍角公式和两角和的余弦公式,求出,可得的大小.
【小问1详解】
∵,∴,又∵,
∴,∴,
∴
【小问2详解】
∴,
∵,∴,,
∴,
∴,,∴
有,,∴,
∴,
又∵,∴.
22. 某居民小区为缓解业主停车难的问题,拟对小区内一块扇形空地进行改建.如图所示,方案一平行四边形区域为停车场,方案二矩形区域为停车场,其余部分建成绿地,点在围墙弧上,点在道路上,点,,在道路上,且米,,设.
(1)当点为弧的中点时,求的值;
(2)记平行四边形的面积为,矩形的面积为,说明,的大小关系,并求为何值时,停车场面积最大?最大值是多少?
【答案】(1)
(2),当,最大为.
【解析】
【分析】(1)根据点位置,利用正弦定理得到,的长度,利用数量积公式可得.
(2)由面积公式可知,求,都可以利用正弦定理得到边的长度,再根据面积公式,结合三角函数可得最大值.
【小问1详解】
当点为弧的中点时,,
在中,,∴,∴
由正弦定理得
∴
【小问2详解】
因为矩形与平行四边形的底和高都相等,所以
若由平行四边形计算停车场面积
由平行四边形得,在中,,,
则,即,
即,
则停车场面积
,其中
所以,
则时,即时,
若由矩形计算停车场面积
在中,,,
在中,,∴
则停车场面积
,其中.
所以,
则时,即时,
答:不管是方案一还是方案二,当时,停车场面积最大,最大为.
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