河南省南阳市宛城区宛城区官庄镇第一初级中学2023-2024学年八年级上学期1月月考数学试题（原卷+解析）

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一、选择题（30分）
1. 有下列命题，其中是真命题的是（ ）
A. 无理数都是无限不循环小数B. 数轴上的点和有理数一一对应
C. 无限循环小数都是无理数D. 两个无理数和还是无理数
2. 下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
3. 小明在纸上写下一组数字“”这组数字中2出现的频率为（ ）
A. B. C. D.
4. 一天课间，顽皮的小明同学拿着老师的等腰三角板玩，不小心将三角板掉到两根柱子之间，如图所示，这一幕恰巧被数学老师看见了，于是有了下面这道题．如果每块砖的厚度，则的长为（ ）
A. B. C. D.
5. 在数学课上，老师给出三边分别为a，b，c的，三个角的度数在图中标出，要求同学们画出与全等的三角形，下面是同学们用不同的方法画出的三角形，并把画三角形的已知条件在图中标出，则下列图形中，不一定与全等的是（ ）

A. B. C. D.
6. 两把相同的长方形直尺按如图所示方式摆放，记两把直尺的接触点为，其中一把直尺边缘和射线重合，另一把直尺的下边缘与射线重合，连接并延长．若，则的度数为（ ）
A. 6B. 5C. 5D. 4
7. 如图方格纸中，每一个小方格都是边长为1的正方形，找出格点C，使成为等腰三角形，这样的格点C的个数有（ ）
A. 8个B. 9个C. 10个D. 11个
8. 如图，在中，，．在上取一点C，延长到点，使，连结；在上取一点D，延长到点，使，连结；……，按此操作进行下去，在以点为顶角顶点的等腰三角形的底角的度数为（ ）

A. B. C. D.
9. 如图，某市的三个城镇中心A、B、C构成△ABC，该市政府打算修建一个大型体育中心P，使得该体育中心到三个城镇中心A、B、C的距离相等，则P点应设计在（ ）
A. 三个角的角平分线的交点B. 三角形三条高的交点
C. 三条边的垂直平分线的交点D. 三角形三条中线的交点
10. 勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是数形结合的重要细带．数学家欧几里得利用如图验证了勾股定理．以直角三角形的三条边为边长向外作正方形，正方形，正方形，连接，，具中正方形面积为1，正方形面积为5，则以为边长的正方形面积为（ ）
A. 4B. 5C. 6D.
二、填空题（15分）
11 比较大小：﹣3_____．
12. 如图，在中，，观察尺规作图的痕迹，则的度数为___________．
13. 如图，学校要测量旗杆的高度，同学们发现系在旗杆顶端A的绳子垂到地面C并多出一段（如图1），同学们测量多出的绳长为1米；再将绳子拉直至地面B，并测得绳子末端与旗杆底端的距离为5米（如图2）,则旗杆的高度是_______米．

14. 有一个面积为1的正方形，经过一次“生长”后，在它的左右肩上生出两个小正方形（如图1），其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，生出了个正方形（如图2），如果按此规律继续“生长”下去，那么它将变得“枝繁叶茂”．在“生长”了次后形成的图形中所有正方形的面积和是__________.
15. 如图所示，等腰三角形ABC的底边为8cm，腰长为5cm ，一动点P（与B、C不重合）在底边上从B向C以1cm/s的速度移动，当P运动____________秒时，△ACP是直角三角形
三、解答题（75分）
16. 因式分解：
（1）；
（2）.
17. 先化简，再求值：，其中.
18. 第24届冬季奥林匹克运动会在中国北京和张家口市联合举行．某校为了解九年级学生对冬季奥林匹克运动会相关知识的掌握情况，从九年级学生中随机抽取部分学生进行测试，并对成绩（百分制）进行整理、描述和分析．部分信息如下：
a．测试成绩等级标准如下：
b．九年级学生成绩频数分布直方图和各等级人数的扇形统计图（如图）：
请根据以上信息回答下面问题：
（1）本次调查中“E”等级有______人；
（2）本次共调查了______人，成绩在分的有______人；
（3）求扇形统计图中“D”对应扇形的圆心角的大小为______．
19. 在如图正方形网格中作图：
（1）在图1中画出，使，且；
（2）在图2中画出，使，且；
（3）在图3中画出，使，且非直角三角形，该的面积为______．
20. 在中，，为边上一点．
（1）用尺规完成作图：作线段的垂直平分线交于点，交于，连接，；（注意：保留作图痕迹，不写作法，不下结论）
（2）若，求证：．
21. 如图1，油纸伞是中国传统工艺品之一，起源于中国一种纸制或布制伞，油纸伞的制作工艺十分巧妙，如图2，伞圈D沿着伞柄AP滑动时，总有伞骨，，从而使得伞柄AP始终平分同一平面内两条伞骨所成的．为了说明这一制作方法的正确性，需要对其进行证明．如下给出了不完整的“已知”和“求证”，请补充完整，并写出“证明”过程.
已知：如图，点，，，在同一平面内，__________，__________.求证：__________.
22. 如图，在中，．延长到点，使；过点作的垂线并在垂线上截取，连结和．求证：
（1）．
（2）利用此图面积表示式证明．
23. 如图，在中，，，，点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿折线运动.设点的运动时间为秒.
（1）求斜边上的高线长；
（2）当在上时，的长为__________，的取值范围是__________.（用含的代数式表示）；
若点在角平分线上，则的值为__________；
（3）在整个运动过程中，当是等腰三角形时的值为__________.
等级
A
B
C
D
E
分数x的范围