2024年中考数学三角形和四边形常考易错解答题专项训练

这是一份2024年中考数学三角形和四边形常考易错解答题专项训练，共34页。
(1)求证：；
(2)求证：．
2．如图，四边形是的内接四边形，且，垂足为为延长线上一点．
(1)求证：平分；
(2)若，求和的半径长．
3．正方形的边长为5，E、F分别是边上的点，且，将绕点D逆时针旋转，得到．
(1)求证：；
(2)若，求的长．
4．如图，是边长为8的等边三角形，点分别在边上运动，满足．
(1)求证：
(2)设长为，的面积为y，求y关于x的函数解析式；
(3)结合（2）所得函数，求当点运动到什么位置时，的面积最小？并求出这个最小值．
5．阅读下面的例题及点拨，并解决问题：
例题：如图①，已知四边形与四边形都是正方形，点B，C，G在同一直线上，连接，点H是的中点，连接，，求证：且．
点拨1：如图②，延长交于点M，由题意可知，易证：，可得，，又因为，，且，所以，所以点H是等腰直角三角形斜边上的中点，所以且．
点拨2：如图③，延长使得，连接、，，可证得四边形是平行四边形，且F、E、M三点共线，所以，又因为，，所以，所以点H是等腰直角三角形斜边的中点，所以且．
问题：如图④，四边形与四边形都是菱形，点B，C，G在同一直线上，且，连接，点H是的中点，连接，，求证：且．
6．如图，直线，点B，A分别在直线，上，连接，在左侧作三角形，其中，且，直线平分交直线于D．

(1)若点C恰在直线上，如图1，求的度数．
(2)将A点向左移动，其它条件不变，如图2，请直接写出的度数（不必说明理由）
(3)若将题目条件“”，改为：“”，点C在直线上方，其它条件不变，求的度数（用含m的式子表示）
7．如图，在葫芦河的右岸边有一高楼，左岸边有一坡度的山坡，点C与点B在同一水平面上，与在同一平面内．某数学兴趣小组为了测量楼的高度，在坡底C处测得楼顶A的仰角为，然后沿坡面上行了米到达点D处，此时在D处测得楼顶A的仰角为．

(1)求的值．
(2)求楼的高度．
8．如图1是一种升降阅读架，由面板、支撑轴和底座构成．图2是其侧面结构示意图，面板固定在支撑轴端点C处，，量得面板长，支撑轴长，，支撑轴与底座所成的角．
(1)求端点C到底座的高度；
(2)为了阅读舒适，将绕点D旋转后，点B恰好落在直线上，问：端点C离底座的高度降低了多少？（结果保留2位小数）
（参考数据：，，，）
9．在中，是上一点，是边上一点，连结，过点作，交于点．

(1)如图1，若，求；
(2)如图2，若点在边上移动，试探究是否为定值，并说明理由；
(3)如图3，若点与点重合，作，垂足为，求证：．
10．如图，四边形内接于，，为直径，E为一动点，连结交于点，交于点，连结．
(1)设为α，请用α表示的度数．
(2)当时，
①求证：．
②当，时，求半径的长．
11．如图，M是正方形的边上一点，E是边的中点，平分．
(1)如图1，写出线段和之间的数量关系_______；
(2)若四边形是长与宽不相等的矩形，其他条件不变，如图2，试判断（1）中的关系式是否成立．若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．
12．如图1，在矩形中，对角线，交于点，点在边上，．
(1)求证：．
(2)如图2，点在线段上，，，求的长．
13．如图，在矩形中，，，对角线，交于点，点，分别是，延长线上的点，且，，连接，点为的中点．连接，交于点，连接．
(1)猜想：是的中点吗？并加以证明；
(2)求的长．
14．如图，△ABC中，点 O 是边 上一个动点，过 O 作直线 ，设 交 的平分线于点 E，交 的外角平分线于点 F．
(1)求证：；
(2)当点 O 在边 上运动到什么位置时，四边形 是矩形？并说明理由．
(3)若 边上存在点 O，使四边形 是正方形，猜想 的形状并证明你的结论．
15．如图1，P为正方形内一点，，求的度数．
小明同学的想法是：不妨设，，，设法把相对集中，于是他将绕点B顺时针旋转得到（如图2），然后连接，问题得以解决．
(1)求出图2中的度数；
请你参考小明同学的方法，解答下列问题：
(2)如图3，P是等边三角形内一点，，求的度数．
16．如图1，在矩形中，点是对角线上的动点，连接，过点作，分别交于点，交于点．

(1)当时，求证：；
(2)如图2，是的中点，连接交于点，．

①判断与的数量关系，并说明理由；
②若，求的值．
参考答案：
1．(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质、余角的性质、等腰三角形的性质等知识点，掌握证明三角形全等的方法是解题的关键．
（1）由垂直的性质可得，再根据同角的余角相等可得，然后根据即可证明结论；
（2）由全等三角形的性质可得，再根据等腰三角形的性质以及角的和差可得，然后根据证明，最后根据全等三角形的性质即可解答．
【详解】（1）解：∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴ ，
在和中，
，
∴．
（2）解：∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴ ，
在和中，
，
∴，
∴．
2．(1)见详解
(2)
【分析】本题考查的是圆周角定理，垂径定理及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解题的关键．
（1）先根据得出，再由圆周角定理得出，由圆内接四边形的性质可得出，故，据此得出结论；
（2）根据可得出的长，故可得出的长，在中，利用勾股定理求出的长，同理可得出的长，连接并延长交于点M，交线段于点N，连接，由垂径定理得出，故点N是的中点，利用勾股定理求出的长，设的半径为r，在中利用勾股定理求出r的值即可．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∵与是同弧所对的圆周角，
∴，
∵四边形是圆内接四边形，
∴，
∴，
∴平分；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
在中，
在中，，
连接并延长交于点M，交线段于点N，连接，
∵是的直径，
∴平分圆，
∵，
∴，
∴，
∴点N是的中点，
∴，
在中，，
设的半径为r，则
在中，，
即
解得．
3．(1)证明见解析
(2)
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，旋转的性质，
（1）根据旋转点的性质可得，，再利用边角边证明三角形全等即可；
（2）设，根据正方形的性质，全等三角形的性质和旋转的性质表示出各个边长，再理由勾股定理求解即可；
熟练掌握知识点是解题的关键．
【详解】（1）∵绕点D逆时针旋转，得到，
∴，，
∵，
∴，
在和中，
，
∴；
（2）∵绕点D逆时针旋转，得到，，
∴，
∵正方形的边长为5，
∴，
设，
∵，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得，，
即，
解得，
即．
4．(1)见解析
(2)
(3)当点D移到中点时，最小值为
【分析】（1）由题意易得，，然后根据“”可进行求证；
（2）分别过点C、F作，，垂足分别为点H、G，根据题意可得，，然后可得，由（1）易得，则有，进而问题可求解；
（3）由（2）和二次函数的性质可进行求解．
【详解】（1）证明：∵是边长为8的等边三角形，
∴，，
∵，
∴，
在和中，
，
∴；
（2）解：分别过点C、F作，，垂足分别为点H、G，如图所示：
在等边中，，，
∴，
∴，
设的长为x，则，，
∴，
∴，
同理（1）可知，
∴，
∵的面积为y，
∴；
（3）解：由（2）可知：，
∴，对称轴为直线，
∴当时，y有最小值，即当点D移到中点时，最小值为．
【点睛】本题主要考查锐角三角函数、二次函数的综合、全等三角形的判定和性质及等边三角形的性质，熟练掌握锐角三角函数、二次函数的综合及等边三角形的性质是解题的关键．
5．证明见解析
【分析】延长交于点M，首先证明出，得到，，然后利用线段的和差得到，然后证明出是等边三角形，得到，然后利用等边三角形的性质和勾股定理求解即可．
【详解】如图所示，延长交于点M，
∵四边形与四边形都是菱形，
∴
∴，
又∵点H是的中点，即
∴
∴，
∵，，且，
∴
∵
∴是等边三角形
∵
∴
∴
∴
∵，即
∴解得
∴．
【点睛】此题考查了菱形的性质，全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定，勾股定理知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点．
6．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）本题考查了平行线性质，以及角平分线性质，根据两直线平行，同旁内角互补求出，推出，再根据直线平分，得到，利用，即可求解．
（2）本题考查了平行线性质，以及角平分线性质和三角形的内角和定理，根据两直线平行，内错角相等可得，再根据三角形的内角和定理表示出、、再利用平角等于列式表示出整理即可得解．
（3）根据（2）的结论，即可解题．
【详解】（1）解：，
，，
，
，
，
，
直线平分，
，
．
（2）解：如图，设，即，

，
，
在中，，
直线平分，
，
，
，
．
（3）解：由（2）可知，时，
有．
7．(1)；
(2)楼AB的高度为米．
【分析】本题考查了解三角形的应用，勾股定理，矩形的判定与性质．
（1）由，，解得；
（2）过点D作于G，过点C作于H，则四边形、四边形、四边形都是矩形， ，设，则，，在中，，代入即可得出结果．
【详解】（1）解：在中，
∵，，，
∴，
解得：.
（2）解：如图，过点D作于G，过点C作于H，

∵，
∴，
∵，，
∴，
设，
则，，
在中，
∵，
∴，
解得：，
经检验，是方程的解．
答：楼AB的高度为米．
8．(1)cm
(2)cm
【分析】本题主要考查含的直角三角形的性质，勾股定理，三角函数值求高等，熟练掌握这些性质是解题的关键．
（1）利用所对的直角边等于斜边的一半即可求得C到的高度；
（2）利用三角函数值求出旋转后点C离底座的高度，即可求出降低了多少．
【详解】（1）解：如图设点C到底座的高度为；
∵，；
∴；
∴端点C到底座的高度为：．
（2）如图为旋转后的图形；
∵，；
∴；
∵，；
在中；
；
∵；
∴；
∴旋转后端点C离底座的高度；
∴端点C离底座的高度降低了．
9．(1)
(2)为定值，理由见解析
(3)见解析
【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，等腰直角的判定和性质，平行线分线段成比例：
（1）先证明四边形是矩形，可得，再证得，然后根据平行线分线段成比例，即可求解；
（2）分别过E，F作，垂足分别为G，H，证明，可得，由（1）得：，即可求解；
（3）过点C作于点M，由（2）得：，证明，可得，再根据等腰直角三角形的性质，可得，即可求证．
【详解】（1）解：∵，，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴；
（2）解：为定值，理由如下：
如图，分别过E，F作，垂足分别为G，H，

∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
由（1）得：，
∴；
（3）解：如图，过点C作于点M，

由（2）得：，
∵，
∴，
∴，
∵，即，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
10．(1)
(2)①见解析；②
【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角得出，进而证明，根据全等三角形的性质以及同弧所对的圆周角相等得出，即可求解．
（2）①连接．证明，，根据全等三角形的性质即可求解；
②过点作，垂足为．根据，同弧所对的圆周角相等得出，则，，进而求得，，．由可得，由勾股定理得．
【详解】（1）为直径，
，
又，，
．
，
，
．
（2）①连接．
，，，
，
，．
，
，
又，，
，
，，
．
②过点作，垂足为．
，，
，，
，，
．
由，得．
．
，
，
∵
∴．
由勾股定理得．
【点睛】本题考查了圆周角定理，勾股定理，全等三角形的性质与判定，解直角三角形，综合运用以上知识是解题的关键．
11．(1)
(2)结论仍然成立，证明见解析
【分析】本题是四边形综合题，主要考查了正方形及矩形的性质、全等三角形的性质和判定、等腰三角形的判定等知识，考查了基本模型的构造(平行加中点构造全等三角形)，综合性比较强，添加辅助线，构造全等三角形是解决这道题的关键．
（1）从平行线和中点这两个条件出发，延长、交于点，如图，证，从而有，只需证明即可．
（2）延长、交于点，证，再证即可．
【详解】（1）解：延长、交于点，如图，
∵四边形是正方形，
∴．
∴．
∵平分，
∴．
∴．
∵E是的中点，
∴
在和中，
故；
（2）结论仍然成立．
证明：延长、交于点，如图
∵四边形是矩形，
平分
在和中，
12．(1)证明见解析
(2)
【分析】本题主要考查矩形的性质、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质等知识，关键是会利用相似三角形的性质求解．
（1）根据矩形性质和等腰三角形的性质，结合平行线的性质证得，进而根据相似三角形的判定定理可得结论；
（2）证明得到，再由得到，进而得到，然后根据求解即可．
【详解】（1）证明：在矩形中，
，，
，，
又，
，
．
（2），，
，
，，
，
，
，
，
在矩形中，，
．
13．(1)H是的中点，证明详见解析
(2)
【分析】（1）如图，取中点，连接，根据矩形性质，可证得是的中位线，再由中位线性质，可得，， 由平行线性质可得，，，已知的值，可求出与长度相等，根据全等三角形判定，证得，可得，即可证得结论；
（2）如图，连接，由矩形性质可得，由已知条件，求出的值，即可利用勾股定理求出的值，由是中点，是中点，根据中位线定义得是的中位线，根据中位线性质，可得，即可求出的值．
【详解】（1）解：是的中点，
证明：如图，取中点，连接，
四边形是矩形，对角线，相交于点，
是中点，，，
是中点，
是的中位线，
，，
，，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
是的中点．
（2）解：如图，连接，
四边形是矩形，
．
，
，
，是中点，
，
，
，
在中，，，，
是中点，是中点，
是的中位线，
．
【点睛】本题考查了矩形的性质，中位线的性质，平行线的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理解三角形，掌握相关性质，合理添加辅助线，证得及构造直角三角形求出的值是解题关键．
14．(1)见解析；
(2)当点 O 在边 上运动到中点时，四边形 是矩形．见解析；
(3)是直角三角形，理由见解析．
【分析】此题考查了正方形的判断和矩形的判定，需要知道平行线的特征和角平分线的性质是解题的关键．
（1）根据平行线的性质以及角平分线的性质得出，，进而得出答案；
（2）根据，可得四边形平行四边形，再证明利用矩形的判定得出即可；
（3）利用正方形的性质得出，再利用平行线的性质得出，即可得出答案；
【详解】（1）∵ 交的平分线于点 E，交的外角平分线于点 F，
∴，，
∵，
∴，，
∴，，
∴，，
∴；
（2）当点 O 在边 上运动到中点时，四边形是矩形．
证明：当 O 为的中点时，，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵是的平分线，是的平分线，
∴，
∴平行四边形 是矩形．
（3）△ABC是直角三角形，
理由：∵四边形 是正方形，
∴，故，
∵，
∴，
∴，
∴ 是直角三角形．
15．(1)的度数是；
(2)的度数是
【分析】本题考查的是正方形的性质、旋转的性质及勾股定理逆定理的应用，牢记相关知识是解题关键，
（1）设，，，证明为直角三角形，进而求出结论；
（2）将绕点B顺时针旋转得到，连接，设，，，证明为直角三角形，且，进而求出结论．
【详解】（1）解：根据旋转的性质可知，，，且，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴，
在中，∵，
∴为直角三角形，且，
∴，
∴的度数是；
（2）解：如图，将绕点B顺时针旋转得到，连接．
根据旋转的性质知，，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴设，，，
∴，，，
∴，
∴为直角三角形，且，
∴，
即的度数是．
16．(1)见解析
(2)①，理由见解析；②
【分析】（1）利用等角的余角相等证明，即可证明；
（2）①过点作，交于，利用平行线分线段成比例定理即可求解；
②延长交于点，，得到，再证明，得到，据此求解即可．
【详解】（1）证明：，
．
四边形是矩形，
．
．
，
．
．
，
；
（2）解：①，理由如下：
过点作，交于，如图．

∴，
∴，
是的中点，
是的中点．
，
．
，
．
；
②延长交于点，如图．

四边形是矩形，
．
．
，
．
．
．
．
，
，
．
，
，
．
，
是的中点，
．
，
．
．
．
【点睛】本题考查相似三角形的综合问题，涉及相似三角形的性质与判定，矩形的性质，平行线分线段成比例定理等知识，综合程度较高，需要学生灵活运用所学知识．