2022-2023学年江苏省南京市第一中学实验学校高一下学期期中数学试题

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1. 若复数满足（为虚数单位），则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据复数除法运算可求得，根据共轭复数定义可得结果.
【详解】由得：，.
故选：A.
2
A. B. C. 1D.
【答案】D
【解析】
【详解】 ，故选D.
3. 向量，，若与的夹角为，则的最大值为（ ）
A. 2B. C. 4D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用平面向量加减的三角形法则与正弦定理得到，从而得解.
【详解】由题意，记，则，
故由向量加减的三角形法则可得，与构成三角形，
则与的夹角等于 ，则，
由正弦定理可得，
又，则，
所以，即的最大值为.
故选：C.
4. 《数书九章》中对已知三角形三边长求三角形的面积的求法填补了我国传统数学的一个空白，与著名的海伦公式完全等价，由此可以看出我国古代已具有很高的数学水平，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实．一为从隅，开平方得积．”若把以上这段文字写成公式，即．现有周长为的满足，试用以上给出的公式求得的面积为
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据正弦定理可知三边的比为，又知三角形周长，故可求出三边，代入面积公式即可求出面积.
【详解】因为，所以由正弦定理得，又，所以，，，则，，故．故选C．
【点睛】本题主要考查了正弦定理，及三角形边长的计算，属于中档题.
5. 正方形边长为2，点为边的中点，为边上一点，若，则（ ）
A. 3B. 5C. D.
【答案】D
【解析】
分析】根据，化简可得，建立平面直角坐标系，根据，利用坐标计算可得点坐标，最后计算可得结果.
【详解】由题意，可知，即，
即，
所以，即，
建立如图平面直角坐标系
设，，
所以
由，所以
则，所以
故选：D．
【点睛】本题主要考查了向量的数量积的应用，本题关键在于得到，通过建系便于计算，着重考查了推理与运算能力，属中档题.
6. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用两角差的正弦、余弦公式化简，再利用诱导公式、二倍角公式求解即可.
【详解】

故选：D.
7. 在中，，若，则的最大值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用诱导公式及同角三角函数的基本关系求出，再由正弦定理将边化角，即可得到，，则，利用三角恒等变换公式及辅助角公式计算可得.
【详解】∵在中，，
∴，
∴，即，
∴，
解得或，
即或或（舍去），
又，，∴，
又∵，∴，
∴，，又，
∴
，其中，
所以当时，
∴的最大值为.
故选：A.
8. 在给出的下列命题中，错误的是（ ）
A. 设是同一平面上的四个点，若，则点必共线
B. 若向量是平面上的两个向量，则平面上的任一向量都可以表示为，且表示方法是唯一的
C. 已知平面向量满足，则为等腰三角形
D. 已知平面向量满足，且，则是等边三角形
【答案】B
【解析】
【分析】对A，化简得出，根据向量共线定理可判断；对B，根据平面向量基本定理可判断；对C，根据可得，根据可得为的角平分线即可判断；对D，由平方可求得的夹角，即可判断.
【详解】对A，若，则，即，则，且有公共点，故共线，故A正确；
对B，根据平面向量基本定理可得若共线，则不满足题意，故B错误；
对C，，，即，所以，
又，所以为的角平分线，所以为等腰三角形，故C正确.
对D，若，且，则，
则，即，
则，则的夹角为，同理的夹角为，的夹角为，所以是等边三角形，故D正确.
综上，错误的选项为B.
故选：B.
二、多选题（共4小题，每小题5分，共20分）
9. 已知i为虚数单位，复数z满足z（2-i）= i2020，则下列说法错误的是（ ）
A. 复数z的模为B. 复数z的共轭复数为
C. 复数z的虚部为D. 复数z在复平面内对应的点在第一象限
【答案】ABC
【解析】
【分析】直接利用复数的运算，复数的模，复数的共轭，复数的几何意义判断A、B、C、D的结论．
【详解】解：复数满足，整理得．
对于A：由于，故，故A错误；
对于B：由于，故，故B错误；
对于C：复数的虚部为，故C错误；
对于D：复数在复平面内对应的点为，故该点在第一象限内，故D正确；
故选：ABC．
10. 设向量，则（ ）
A. B.
C. D. 在上的投影向量为（1，0）
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据平面向量的运算法则，向量与向量垂直、平行的坐标表示，平面向量数量积的几何意义判断.
【详解】，，，A对.
，所以B错，C对.
向量在向量上的投影为：，投影向量为.所以D对.
故答案为：ACD.
11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ）．
A. 函数的最小正周期为
B. 为函数图像一条对称轴
C. 函数在上单调递减
D. 函数在上有3个零点
【答案】BC
【解析】
【分析】利用两角和的余弦展开式，正余弦二倍角公式以及辅助角公式化简函数，然后根据函数的性质及图像逐项分析.
【详解】由题意得：
，
所以，。
∴的最小正周期，故A错误；
，故B正确；
∵，∴，
∴函数在上单调递减，故C正确；
令，
即，
因为，所以
令，则，所以选项D的问题转化为
与的交点个数问题，
如图所示：
观察可知，有2个零点，故D错误．
故选：BC．
12. 如图，设的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，且.若点D是外一点，，，下列说法中，正确的命题是（ ）
A. 的内角B. 一定是钝角三角形
C. 四边形面积的最大值为D. 四边形面积无最大值
【答案】AC
【解析】
【分析】对于A，利用正弦定理与三角函数和差公式即可判断；对于B，利用余弦定理求得角与的关系即可判断；对于CD，结合选项B中的结论，利用三角形面积公式即可判断.
【详解】∵，
∴由正弦定理得，
即，
∵，∴，
又∵，可得，
∴，故A正确.
∴，
∵在中，，，设，可得，
∴由余弦定理可得：，可得：，
可得，当时，可得，为直角，故B错误；
∴
，
因为，所以，故当，即时，取得最大值，
所以四边形ABCD面积的最大值为，故C正确，D错误.
故选：AC.
三、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）
13. 若复数z在复平面内对应的点在直线上，且，则复数z=________.
【答案】或.
【解析】
【分析】
依题意可设复数，再根据得到方程，解得即可.
【详解】解：依题意可设复数由得，解得，故或
故答案：或.
【点睛】本题考查复数模的计算公式的应用，属于基础题.
14. 设x、，若向量，，满足，，，且向量与互相平行，则的最小值为______．
【答案】
【解析】
【分析】由向量平行的坐标表示可得，在坐标系中，，将按向量平移至，根据轨迹为直线，将问题化为最小，数形结合法求原点到直线距离即可得结果.
【详解】由，又向量与互相平行，
所以，故，
令，，则，
所以，将按向量平移至，
所以是直线上的动点，如下图示，
所以，故，
由图知：要使最小，只需三点共线且到直线距离最短，
故最小值为原点到直线的距离，最小值为，此时题设中的x=2，y=1.
故答案为：
【点睛】关键点点睛：找到的，并将其平移至使，即有，问题化为求点到直线距离.
15. 已知的边，且，则的面积的最大值为_________.
【答案】
【解析】
【分析】首先利用三角函数商的关系以及三角恒等变换得，再利用正弦定理得，从而得到，再利用三角形面积公式结合降幂公式得，最后根据三角函数的图象与性质即可得到最值.
【详解】由题意，设中角A，B，C所对应的边长度分别为a，b，c，则有，
由，可得，
整理得，
∴，
∵，∴，
∴，
由正弦定理可得，
∴，则，
若，则，显然成立，
若，则，则，则有.
综上，
故的面积
.
∵，∴，
当，即时，的面积取得最大值.
故答案为：.
16. 赵爽是我国古代数学家大约在公元222年，他为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成）类比“赵爽弦图”，可构造如图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间一个小等边三角形拼成的一个较大的等边三角形，设，若，则可以推出_________.
【答案】
【解析】
【分析】利用建系的方法，假设，根据，利用余弦定理可得长度，然后计算，可得点坐标，最后根据点坐标，可得结果.
【详解】设，则
如图
由题可知：，
由
所以，则
所以，
又
所以
所以
即
所以
又
所以
所以
故答案为：
【点睛】本题考查考查向量的坐标线性表示，关键在于建系，充分使用条件，考验分析能力，属难题.
四、解答题（共6小题，70分）
17. 已知z是复数，且和都是实数，其中i是虚数单位.
（1）求复数z和；
（2）若复数在复平面内对应的点位于第三象限，求实数m的取值范围.
【答案】（1），；（2）.
【解析】
【分析】（1）设（a，），由复数的运算法则分别求出和的表达式，再根据二者都为实数进行求解即可；
（2）根据复数的几何意义计算求解即可.
【详解】（1）设（a，），则，
为实数，，即，
，
为实数，，
即，则，；
（2）由（1）得，
依题意得，解得，实数m的取值范围是.
18. 在直角梯形中，已知，对角线交于点，点在上，且．
（1）求的值；
（2）若为线段上任意一点，求的取值范围．
【答案】（1）；（2）．
【解析】
【分析】（1）建立平面直角坐标系，求出相关点的坐标，进而可得到，的坐标，然后利用数量积的坐标表示求解即可；
（2）设出点坐标，有数量积的坐标表示可得，再结合二次函数的图象性质求解即可
【详解】（1）因为，
所以以为坐标原点，分别为轴，建立平面直角坐标系如下图：
因为，
所以．
又因为对角线交于点，
所以由得，即，
因此，
而，所以，解得，
因此．
又因为点在上，所以设，
因此，
而，所以，
解得，即，
因此，而，
所以，
即的值为；
（2）因为为线段上任意一点，
所以由（1）知：可设（包括端点），
因此，
所以．
因为函数的图象开口上，对称轴为，
而，
所以函数的值域为，
即的取值范围是．
19. 如图所示，近日我渔船编队在岛周围海域作业，在岛的南偏西20°方向有一个海面观测站，某时刻观测站发现有不明船只向我渔船编队靠近，现测得与相距31海里的处有一艘海警船巡航，上级指示海警船沿北偏西40°方向，以40海里/小时的速度向岛直线航行以保护我渔船编队，30分钟后到达处，此时观测站测得间的距离为21海里．
(Ⅰ)求的值；
(Ⅱ)试问海警船再向前航行多少分钟方可到岛？
【答案】（Ⅰ）； （Ⅱ）海警船再向前航行22.5分钟即可到达岛.
【解析】
【分析】(Ⅰ) 在中，根据余弦定理求得余弦值，再求正弦值得到答案.
(Ⅱ)首先利用和差公式计算，中，由正弦定理可得长度，最后得到时间.
【详解】(Ⅰ)由已知可得，
中，根据余弦定理求得，
∴．
(Ⅱ)由已知可得，
∴．
中，由正弦定理可得，
∴分钟．
即海警船再向前航行22.5分钟即可到达岛．
【点睛】本题考查了正余弦定理的实际应用，意在考查学生的建模能力，实际应用能力和计算能力.
20. 设函数.
（1）求函数的最小正周期；
（2）求函数在区间上的最大值.
【答案】（1）；（2）最大值.
【解析】
【分析】（1）由题意结合三角恒等变换可得，再由三角函数最小正周期公式即可得解；
（2）由三角恒等变换可得，再由三角函数的图象与性质即可得解．
【详解】（1）由辅助角公式得，
则，
所以该函数的最小正周期；
（2）由题意，
，
由可得，
所以当即时，函数取最大值．
21. 在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并加以解答.
已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若____________.
（1）求角B；
（2）若，求△ABC周长的最小值，并求出此时△ABC的面积.
【答案】（1）
（2）周长的最小值为6，此时的面积
【解析】
【分析】（1）分别选三个条件，结合三角恒等变换，以及边角互化，化简后即可求解；
（2）由余弦定理可得，利用基本不等式可求出的最小值，即可求出周长最小值，再利用面积公式求出面积.
【小问1详解】
选①，由正弦定理得，
∵，∴，即，
∵，∴，
∴，∴
选②，∵，，
由正弦定理可得，
∵，∴，
∵，∴.
选③，∵，
由已知结合正弦定理可得，
∴，∴，
∵，∴.
【小问2详解】
∵，即，
∴，解得，当且仅当时取等号，
∴，周长的最小值为6，此时的面积.
22. 已知，，设函数，其中.
（1）求及其函数的表达式；
（2）若函数的定义域为时值域为，求a，b的值.
【答案】（1），
（2）或.
【解析】
【分析】（1）利用向量坐标化的点乘公式以及二倍角公式、辅助角公式即可得到和的表达式；
（2）求出的范围，再分和讨论即可.
【小问1详解】
∵，，
∴
，
∴；
【小问2详解】
∵，∴，
∴，
当时，可得，解得；
当时，可得，解得.
故或.