2022-2023学年江苏省南京市江浦高级中学等3校高一下学期3月月考数学试题

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一、单项选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上．
1. 命题“”的否定是（ ）
A. B.
C D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据全称命题的否定为特称命题即可求解.
【详解】命题“”的否定是,
故选：D
2. 求值：（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据两角和的正弦公式求得结果.
【详解】.
故选：B.
3. 一个扇形的圆心角为，面积为，则该扇形弧长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由扇形的面积公式求得扇形的半径，进而由弧长公式计算可得.
【详解】设扇形的弧长为，半径为，根据已知的扇形的圆心角，面积，
由扇形的面积公式，得，解得（负值舍去），
由弧长公式，
故选：B
4. 已知角的终边经过点，则的值等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据三角函数的定义求出、，再代入计算可得.
【详解】因为角的终边经过点，所以，
，
所以.
故选：A
5. 已知函数的图象如图所示，则可以为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】观察函数的图像，根据函数的性质，利用排除法可得选项.
【详解】对于A，由函数图像可知，时，，而，当时，，故A错误；
对于B，由函数的图像可以看出，当时，函数有意义，而函数在无定义，故B错误；
对于C，函数图像关于原点对称，即函数为奇函数，由为非奇非偶函数，故C错误；
对于D，是一个奇函数，时，，符合图象，故D正确.
故选：D.
6. 已知，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据指数函数、对数函数的性质判断即可.
【详解】因为，，，
又，所以，即.
故选：C
7. 已知函数的图象在区间上与轴有2024个交点，则的最小值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】求出方程的根，再找到取最小值时的零点,求得结果即可.
【详解】由得，
解得或，
所以或，
令,,,,,
,,当,时，
取最小值，最小值为.
故选：A.
8. 函数的零点为，函数的零点为，则下列结论正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】变换得到，，构造，确定函数单调递增得到，确定，根据均值不等式计算得到答案.
详解】，则，，即，即；
，，则，即.
设，则函数在上单调递增，，
故，即，
，当时，不成立，故，
等号不成立，故，ACD错误B正确.
故选：B
【点睛】关键点睛：本题考查了函数的零点问题，对数运算，均值不等式，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中构造函数确定单调性，变换得到是解题的关键.
二、多项选择题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上．全部选对得5分，部分选对得2分，不选或有选错的得0分．
9. 已知∈R，则下列结论正确是（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，则D. 若，则
【答案】ABD
【解析】
【分析】对于ABC项：根据不等式的性质逐项判断.对于D项，使用作差法比大小.
【详解】对于A：因为，所以，所以，故A正确；
对于B：因为，所以，两边同乘以得，故B正确；
对于C：因，所以，所以，又，两式相乘得 ，故C错误；
对于D：,
因为，所以,所以，所以，故D正确.
故选：ABD
10. 将函数的图像上所有点横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图像，则下列结论正确的是（ ）
A.
B. 函数在上单调递增
C. 点是函数图像的一个对称中心
D. 当时，函数的最大值为2
【答案】BC
【解析】
【分析】先根据伸缩得出新函数判断A选项，再根据单调性判断B选项，代入法验证对称中心判断C选项，根据值域判断D选项.
【详解】函数的图像上所有点横坐标变为原来的2倍，,A选项错误;
,函数在上单调递增,B选项正确;
当,点是函数图像的一个对称中心,C选项正确;
当,,,D选项错误.
故选:BC.
11. 关于平面向量，有下列四个命题，其中说法正确的是（ ）
A. 若，，则
B. 点，与向量同方向的单位向量为
C. 若，则与的夹角为
D. 若向量，，则向量在向量上的投影向量为
【答案】ABD
【解析】
【分析】对于A，利用向量垂直的坐标表示进行判断；对于B，与向量同方向的单位向量为；对于C，利用两向量夹角的余弦坐标公式求解即可；对于D，利用投影向量公式求解即可.
【详解】对于A，，，，
因为，则，故A正确；
对于B，已知点，，，
与向量同方向的单位向量为，故B正确；
对于C，若，由得.
由，得，
，，
则，
则与的夹角为，故C错误；
对于D，若向量，，，
，则向量在向量上的投影向量为，故D正确.
故选：ABD.
12. 已知函数，则（ ）
A. 是奇函数B. 的图象关于点对称
C. 有唯一一个零点D. 不等式的解集为
【答案】BCD
【解析】
【分析】求解的定义域，可知定义域不关于原点对称，知A错误；根据解析式验证可知，则知B正确；当时，由单调性的性质可确定在上单调递减，结合值域的求法可求得；结合对称性可知在上单调递减；利用零点存在定理可说明在有且仅有一个零点，知C正确；结合C的结论可说明时，时，；利用单调性，分别讨论和在同一单调区间内、两个不同单调区间内的情况，解不等式组可求得结果.
【详解】对于A，由得：，即定义域为，不关于原点对称，
为非奇非偶函数，A错误；
对于B，，，
，图象关于点对称，B正确；
对于C，当时，；
在上单调递增，在上单调递增，
在上单调递增，在上单调递减；
在上单调递增，在上单调递减；
在上单调递减；
由B知：图象关于对称，在上单调递减；
当时，，，，在上无零点；
当时，，，
，使得，则在上有唯一零点；
综上所述：有唯一一个零点，C正确；
对于D，由C知：在和上单调递减，
又时，；
时，；
①当，即时，由得，解得，即；
②当时，不等式组无解，不合题意；
③当，即时，，，不合题意；
④当，即时，，，符合题意；
综上所述：的解集为：，D正确.
故选：BCD.
三、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．请把答案填涂在答题卡相应位置上．
13. 请写出一个满足条件①和②的幂函数，条件：①是偶函数；②为上的减函数．则________．
【答案】(答案不唯一)
【解析】
【分析】根据幂函数的性质即可求解.
【详解】设，根据幂函数为偶函数，则为偶数，又为上单调递减，故 ，故可取，
故答案为：（答案不唯一）
14. 已知函数则________．
【答案】
【解析】
【分析】由及可得：，即可求得：，问题得解.
【详解】因为，所以，
因为，所以，所以.
故答案为：
15. 点P是正方形外接圆圆O上的动点，正方形的边长为2，则的取值范围是________．
【答案】
【解析】
【分析】根据题意求出圆的半径，建立如图平面直角坐标系，设，，利用平面向量线性运算和数量积的坐标表示可得，结合三角函数的有界性即可求解.
【详解】由题意知，圆O的半径为，
建立如图平面直角坐标系，，
得，
设，，则，
所以
，其中，
又，所以，
则，
即的取值范围为.
故答案为：.
16. 已知函数的图象如图所示，图象与轴的交点为，与轴的交点为，最高点，且满足．则________；将的图象向右平移1个单位得到的图象对应的函数为，则________．
【答案】 ①. ## ②. ##
【解析】
【分析】根据图象可求得最小正周期，由此可得，结合五点作图法可求得，将代入解析式可求得点坐标，根据垂直关系可构造方程求得的值，进而得到的解析式，再根据三角函数的变换规则得到的解析式，从而求出.
【详解】由图象可知的最小正周期，，
由五点作图法可知：，解得，
又，，，，
即，，，
，，，又，
，，
将的图象向右平移1个单位得到，
所以.
故答案为：；.
四、解答题：本大题共6个小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．
17. 设，已知集合，集合．
（1）若，求；
（2）求实数的取值范围，使_______成立．
从① ② ③中选择一个填入横线处并解答．
注：若选择多个条件分别作答，按第一个解答计分．
【答案】（1）
（2）或
【解析】
【分析】（1）先解分式不等式求出集合A，根据一元二次不等式的解法求出集合B，结合并集的概念和运算即可得出结果；
（2）①根据集合没有公共元素，列出不等式求得结果；②根据补集的概念和运算求出，利用集合间的包含关系可求出对应条件的参数；③根据补集的概念和运算求出，利用集合间的包含关系可求出对应条件的参数.
【小问1详解】
因为
所以.
因为，
所以.
所以
【小问2详解】
①，又，
或，
或.
②，，又
或，
或.
③，，又
或
或
18. 已知．
（1）若为第一象限角，求；
（2）求的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由诱导公式以及同角平方和关系即可求解，
（2）由弦切互化以及齐次式即可求解.
【小问1详解】
得即
又联立解得或
因为为第一象限角，所以．
【小问2详解】
由（1）知得． ．
．
． ．
19. 已知，．
（1）求；
（2）若，且，求．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用同角三角函数的平方关系及两角差的余弦公式即可求解；
（2）根据（1）的结论及同角三角函数的平方关系，结合两角和的正弦公式及三角函数的特殊值对应特殊角注意角的范围即可求解.
【小问1详解】
由，得．
，


．
【小问2详解】
由，得，
由，得，
．
又
20. 如图，在平行四边形中，，，．
（1）若，求的值；
（2）若，，求边的长．
【答案】（1）
（2）4
【解析】
【分析】（1）根据平面向量线性运算法则及平面向量基本定理求出，，即可得解；
（2）设长为，根据数量积的运算律得到方程，解得即可.
【小问1详解】
在平行四边形中，，,
所以，
又，，，.
【小问2详解】
设长为，
，
，或（舍去），即.
21. 水培植物需要一种植物专用营养液，已知每投放且个单位的营养液，它在水中释放的浓度克/升随着时间天变化的函数关系式近似为，其中，若多次投放，则某一时刻水中的营养液浓度为每次投放的营养液在相应时刻所释放的浓度之和，根据经验，当水中营养液的浓度不低于克/升时，它才能有效．
（1）若只投放一次4个单位的营养液，则有效时间最多可能持续几天？
（2）若先投放2个单位的营养液，6天后再投放个单位的营养液，要使接下来的4天中，营养液能够持续有效，试求的最小值．
【答案】（1）6天 （2）2
【解析】
【分析】（1）根据给定函数，列出不等式求解作答.
（2）求出两次投放营养液在水中释放的浓度，由已知列出恒成立的不等式，分离参数借助均值不等式求出最值作答.
【小问1详解】
因为一次投放4个单位的营养液，所以水中释放的营养液浓度为， ．
当时，，解得； ．
当时，，解得； ．
综上求得，
所以一次投放4个单位的营养液，则有效时间可持续6天． ．
【小问2详解】
设从第一次投放起，经过x（）天后，浓度为 ．
因为，所以，
所以即
所以
当且仅当，即时，等号成立，所以
答：为使接下来的4天中能够持续有效m的最小值为2
22. 已知函数的图象过点，函数，函数．
（1）判断并证明函数的奇偶性；
（2）若存在两不相等的实数，使，且，求实数的取值范围．
【答案】（1）奇函数；证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）根据奇偶性的定义判断的奇偶性；
（2）根据条件知且，原问题等价于不等式在有解，令转化为在有解即可.
【小问1详解】
函数的图象过点，，解得，函数的解析式为；，
，解得，
的定义域为，其定义域关于原点对称，
又，，
故为定义域内的奇函数.
【小问2详解】
函数都是上的增函数，
是定义域内的增函数，
，且为定义在的奇函数，
且，
原问题等价于不等式在有解，
，
令，，则，
令，可知，则，
构造函数，，
设，则
由得，所以，所以在为增函数，
同理可证在为减函数.
由，可得，所以，
所以在上有解，
当时，，因此在有解．
取，则，从而．
因此在上有解．函数在上单调递增，
所以，所以，即
故实数的取值范围为．
【点睛】关键点点睛：对的处理方法是，从而将用表示，换元后将问题转化为二次函数处理.