2022-2023学年江苏省南京市燕子矶中学高一下学期期中数学试题

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一．单项选择题（共8小题，每题5分，共40分，每题只有一个选项最符合题意）
1. 已知复数，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】将复数代入目标式，结合复数的除法和共轭复数求解即可.
【详解】因为，所以．
故选：B．
2. 已知在中，点D为边BC的中点，若，则（ ）
A. 1B. －1C. 2D. －2
【答案】D
【解析】
【分析】结合几何关系，利用向量的线性运算法则即可将用来表示，从而得到答案.
【详解】因为点D为边BC中点，
所以，
所以，，.
故选：D.
3. 某高校大一新生中,来自东部地区的学生有2400人、中部地区学生有1600人、西部地区学生有1000人.从中选取100人作样本调研饮食习惯,为保证调研结果相对准确,下列判断正确的有
①用分层抽样的方法分别抽取东部地区学生48人、中部地区学生32人、西部地区学生20人；
②用简单随机抽样的方法从新生中选出100人；
③西部地区学生小刘被选中的概率为；
④中部地区学生小张被选中的概率为
A. ①④B. ①③C. ②④D. ②③
【答案】B
【解析】
【详解】分析：由题意逐一考查所给的说法是否正确即可.
详解：逐一考查所给的说法：
①由分层抽样的概念可知，取东部地区学生48人、
中部地区学生32人、
西部地区学生20人，题中的说法正确；
②新生的人数较多，不适合用简单随机抽样的方法抽取人数，题中的说法错误；
③西部地区学生小刘被选中的概率为，题中的说法正确；
④中部地区学生小张被选中的概率为，题中的说法错误；
综上可得，正确的说法是①③.
本题选择B选项.
点睛：本题主要考查分层抽样的概念，简单随机抽样的特征，古典概型概率公式等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
4. 已知是两个随机事件，且，则下列选项中一定成立的是（ ）．
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据，可得，再根据并事件和交事件及对立事件的性质即可得解.
【详解】因为，所以，
所以，故A错误；
，故B错误；
，故C正确；
，故D错误.
故选：C.
5. 在中，，点D为边BC上靠近B的三等分点，则的值为（ ）
A. B. C. D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】利用、表示向量、，利用平面向量数量积的运算性质可求得的值.
【详解】如下图所示：
，
由平面向量数量积的定义可得，
因此，
.
故选：B.
6. 已知，，且，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据已知得、，再由及角的范围即可求角的大小.
【详解】由，则，又，故，
所以，而，则，
，
又，则.
故选：D
7. 某滑冰馆统计了2021年11月1日到30日某小区居民在该滑冰馆的锻炼天数，得到如图所示的频率分布直方图（将频率视为概率），则下列说法正确的是（ ）
A. 该小区居民在该滑冰馆的锻炼天数在区间内的最少
B. 估计该小区居民在该滑冰馆的锻炼天数的中位数为16
C. 估计该小区居民在该滑冰馆的锻炼天数的平均值大于14
D. 估计该小区居民在该滑冰馆的锻炼天数超过15天的概率为0.456
【答案】C
【解析】
【分析】由频率分布直方图比较各区间的频率大小，由此确定各区间的频数大小，由此判断A，再计算样本数据的中位数和平均数，判断B，C，再求锻炼天数超过15天的频率，由此估计概率，判断D.
【详解】频率分布直方图中，面积最小的矩形条所在的区间为，即样本中区间内的数据频率最小，频数也最小，故选项错误，
由频率分布直方图可得，前三个小矩形的面积之和为，所以估计该小区居民在该滑冰馆的锻炼天数的中位数小于15，故选项错误；
由频率分布直方图可得，，故选项C正确；
由频率分布直方图可得，该小区居民在该滑冰馆的锻炼天数超过15天的频率为，故锻炼天数超过15天的概率为，
故选项错误.
故选：C.
8. 在一座尖塔的正南方地面某点，测得塔顶的仰角为，又在此尖塔正东方地面某点，测得塔顶的仰角为，且，两点距离为，在线段上的点处测得塔顶的仰角为最大，则点到塔底的距离为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】作出图示，根据正切的二倍角公式和解直角三角形求得塔的高度，再运用等面积法可求得选项.
【详解】如下图所示，设，则，，
则，解得，
，解得，
所以，解得，
所以，，
要使点处测得塔顶的仰角为最大，则需最大，也即需最小，所以，
又，即，
所以点到塔底的距离为，
故选：A.
【点睛】关键点睛：本题考查立体图形的计算实际运用，关键在于依据已知作出图形，明确已知条件中的数据在图形中的表示，再运用解三角形的知识得以解决.
二．多选题（共4小题，每题5分，共20分）
9. 下列统计量中，能度量样本，，…，的离散程度的是（ ）
A. 样本，，…，的极差B. 样本，，…，的中位数
C. 样本，，…，的标准差D. 样本，，，…，的方差
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据极差，中位数，标准差，方差的含义，即可依次求解．
【详解】对于A，极差为一组数据中最大值与最小值的差，极差越大数据越分散，极差越小数据越集中，故该样本的极差能度量该样本的离散程度，故A正确；
对于B，中位数为一组数据中中间的数，故该样本的中位数刻画了该样本的集中趋势，故B错误；
对于C，标准差刻画了数据的离散程度或波动幅度，标准差越大，数据离散程度越大，标准差越小，数据的离散程度越小，故该样本的标准差能度量该样本的离散程度，故C正确；
对于D，在刻画数据的分散程度上，方差和标准差是一样的，又样本，，，…，的方差与样本，，…，的方差是一样的，故样本，，，…，的方差能度量样本，，…，的的离散程度，故D正确．
故选：ACD．
10. 设、为复数，且，下列命题中正确的是（ ）
A. 若，则
B. 若为纯虚数，则为实数
C. 若，则的实部与的虚部互为相反数
D. 若，则、在复平面内对应的点不可能在同一象限
【答案】CD
【解析】
【分析】本题可通过令、得出A错误，通过令、得出B错误。然后设、，、、、均是实数，通过得出，C正确，最后通过得出，根据当、在复平面内对应的点在同一象限时即可得出D正确.
【详解】A项：若，，则满足，不满足，A错误；
B项：若，，则满足为纯虚数，不满足为实数，B错误；
C项：设，，、、、均是实数，
因为，所以，即，，，
故的实部与的虚部互为相反数，C正确；
D项：设，，、、、均是实数，
则，
因为，所以，
若、在复平面内对应的点在同一象限，则，
故、在复平面内对应点不可能在同一象限，D正确，
故选：CD.
11. 甲袋中有个白球，个红球，乙袋中有个白球，个红球，这些小球除颜色外完全相同.从甲、乙两袋中各任取个球，则下列结论正确的是（ ）
A. 个球颜色相同的概率为B. 个球不都是红球的概率为
C. 至少有个红球的概率为D. 个球中恰有个红球的概率为
【答案】ACD
【解析】
【分析】分别计算出从甲袋和乙袋中任取个球，该球为白球或红球的概率，然后利用独立事件、互斥事件以及对立事件的概率公式可判断各选项.
【详解】从甲袋中任取个球，该球为白球概率为，该球为红球的概率为，
从乙袋中任取个球，该球为白球的概率为，该球为红球的概率为.
对于A选项，个球颜色相同的概率为，A对；
对于B选项，个球不都是红球的概率为，B错；
对于C选项，至少有个红球的概率为，C对；
对于D选项，个球中恰有个红球的概率为，D对.
故选：ACD.
12. 已知正八边形的边长为1，是正八边形的中心，是正八边形边上任意一点，则（ ）
A. 与能构成一组基底
B.
C. 在向量上的投影向量的模为
D. 的最大值为
【答案】BCD
【解析】
【分析】A选项，建立平面直角坐标系，写出点的坐标，得到与平行，A错误；B选项，根据平面向量加法法则计算；C选项，利用投影向量公式进行计算；D选项，利用向量线性运算及向量数量积的运算法则结合图形得到的最大值.
【详解】A选项，连接，
，，
，
，
，
以所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系，

则，
，
，
与平行，不能构成一组基底，A错误；
B选项，，，，，
，B正确；
C选项，，，，
在向量上的投影向量的模长为，C正确；
D选项，取的中点，则，，
，，
两式相减得：，
当点与点或重合时，最大，
最大值为，
的最大值为，D正确．
故选：BCD．
三．填空题（共4小题，每题5分，共20分）
13. 给定数5，4，3，5，3，2，2，3，1，2，则这组数据的分位数为________
【答案】
【解析】
【分析】根据求百分位数的步骤求解即可得解.
【详解】将数5，4，3，5，3，2，2，3，1，2，按从小到大的顺序排列为：1，2，2，2，3，3，3，4，5，5，
因为不是整数，所以第个数就是这组数据分位数.
故答案为：.
14. 已知复数z满足，则z在复平面上对应的点Z所围成区域的面积为______．
【答案】
【解析】
【分析】解对数不等式得，z在复平面上对应的点Z所围成区域为以为圆心，半径分别为两个圆围成的圆环，计算可得结果.
【详解】，
.
故答案为:
15. 甲、乙两个箱子里各装有2个红球和1个白球，现从两个箱子中随机各取一个球，则至少有一个红球的概率为_____．
【答案】
【解析】
【分析】先求出两个箱子各取一个球全是白球的概率，再利用对立事件的概率公式直接求解.
【详解】两个箱子各取一个球全是白球的概率，
所以至少有一个红球的概率为．
故答案为：
16. 甲、乙两支田径队队员的体重（单位：kg）信息如下：甲队体重的平均数为60，方差为200，乙队体重的平均数为68，方差为300，又已知甲、乙两队的队员人数之比为，则关于甲、乙两队全部队员的体重的平均数和方差分别为_______
参考公式：总体分为2层，分层随机抽样，各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为：记总样本的平均数，样本方差为，
【答案】66；287
【解析】
【分析】根据参考公式计算可得结果.
【详解】根据题意，甲队体重的平均数为60，方差为200，乙队体重的平均数为68，方差为300，
甲队队员在所有队员中所占权重为，乙队队员在所有队员中所占权重为，
则甲、乙两队全部队员的体重的平均数，
方差.
故答案为：66，287.
四．解答题（共6小题，共70分）
17. （1）已知，且，求；
（2）已知是关于的方程的一个根，求实数的值.
【答案】（1）;（2）.
【解析】
【详解】试题分析：（1）把代入，利用复数除法化简，可得，所以.（2）由于是方程的一个根，所以把代入方程，整体成复数的一般形式，根据复数等于0，实部虚部都为0，可得，即
可解得.
试题解析：（1）由，得，所以.
（2）由于是方程一根，则
即：，所以，，
解得，.
【点睛】
对于复数方程根的问题，已知一复数根时，一般把复数代入方程，整体成复数的一般形式，根据复数等于0，实部虚部都为0，可得两个等式，可解参数．对于解复数根问题，我们可以设复数根，代入方程后，同上解法．当然对一元二次形式方程复数根问题，我们也常用韦达定理．
18. 在中，内角所对的边分别为，且
（1）求；
（2）若的面积为，求的周长.
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】（1）利用诱导公式及二倍角公式计算可得；
（2）利用正弦定理将角化边得到，再由余弦定理得到，从而得到，，再根据三角形面积求出，即可得到、，从而得到三角形周长；
【详解】解：（1）因为
所以
所以
所以
所以
所以，因为，所以
（2）因为，由正弦定理可得，即，又由余弦定理可得，即，即，所以，所以，所以，解得
，所以，即，
所以，所以，所以，
所以
19. 如图，在中，，，与的交点为M，过M作动直线l分别交线段、于E、F两点.
（1）用，表示；
（2）设，.①求证：；②求的最小值.
【答案】（1）
（2）①证明过程见详解；②.
【解析】
【分析】（1）利用三点共线列出方程，求解即可；
（2）①利用向量的线性运算即可证明；②利用基本不等式即可求解.
【小问1详解】
由三点共线可得存在实数，使得，
同理由三点共线可得存在实数，使得，
所以，解得，
所以.
【小问2详解】
①设，其中.
所以，则，所以；
②所以，当且仅当时取等号，即时，取得最小值为.
20. 甲乙两人玩卡片游戏：他们手里都拿着分别标有数字1,2,3,4,5,6的6张卡片，各自从自己的卡片中随机抽出1张，规定两人谁抽出的卡片上的数字大，谁就获胜，数字相同则为平局.
(1)求甲获胜的概率.
(2)现已知他们都抽出了标有数字6的卡片，为了分出胜负，他们决定从手里剩下的卡片中再各自随机抽出1张，若他们这次抽出的卡片上数字之和为偶数，则甲获胜，否则乙获胜.请问：这个规则公平吗，为什么 ？
【答案】（1）；（2）见解析
【解析】
【详解】分析：(1)由题意列出所有可能的事件，结合古典概型计算公式可知甲获胜的概率为.
(2)由古典概型计算公式可知甲获胜的概率为，则乙获胜的概率为，则这个规则不公平.
详解：(1)两人各自从自己的卡片中随机抽出一张，所有可能的结果为：
，，
，共36种，
其中事件“甲获胜”包含的结果为：
，
有15种.
所以甲获胜的概率为.
(2)两人各自从于里剩下的卡片中随机抽出一张，所有可能的结果为：
，共25种.
其中卡片上的数字之和为偶数的结果为：
，共13种.
根据规则，甲获胜的概率为，则乙获胜的概率为，所以这个规则不公平.
点睛：本题主要考查古典概型计算公式及其应用，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
21. 某高校为了制定培养学生阅读习惯，指导学生提高阅读能力的方案，需了解全校学生的阅读情况，现随机调查了200名学生每周阅读时间（单位：小时）并绘制如图所示的频率分布直方图.
（1）求这200名学生每周阅读时间的中位数（的值精确到0.01）；
（2）为查找影响学生阅读时间的因素，学校团委决定从每周阅读时间为，的学生中抽取6名参加座谈会.
你认为6个名额应该怎么分配？并说明理由；
从这6名学生中随机抽取2人，求至多有一人每周读书时间在的概率.
【答案】（1）；（2）按照进行名额分配，理由见解析；.
【解析】
【分析】（1）利用频率分布直方图能求出值；
（2）每周阅读时间为，的学生中抽取2名，每周阅读时间为，的学生中抽取4名．每周阅读时间为，与每周阅读时间为，是差异明显的两层，采用分层抽样的方法抽取样本，按照进行名额分配；设从分组区间，抽到的学生为，两人，从分组区间，抽到学生为，，，四人，从这6人中抽出2人，利用列举法能求出至多有一人每周读书时间在，的概率．
【详解】（1），
中位数，，
由，
解得．
（2） 每周阅读时间为，的学生中抽取2名，每周阅读时间为，的学生中抽取4名．
理由：每周阅读时间为，与每周阅读时间为，是差异明显的两层，为保持样本结构与总体结构的一致性，提高样本的代表性，宜采用分层抽样的方法抽取样本，
两者频率分别为0.1，0.2，按照进行名额分配．
设从分组区间，抽到的学生为，两人，从分组区间，抽到学生为，，，四人，从这6人中抽出2人的所有可能结果有15个，分别为：
，，，，，，，，，，，，，，，，
，，，，，，，，，，，，，，
设“至多有一人每周读书时间在，”为事件，则中有9个基本元素，
至多有一人每周读书时间在，的概率为（）．
【点睛】本题主要考查利用频率分布直方图求中位数，考查分层抽样和古典概型的概率的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
22. 在锐角中，已知，若点是线段上一点（不含端点），过作于，于．

（1）若外接圆的直径长为，求的值；
（2）求的取值范围；
（3）问点在何处时，的面积最大？最大值为多少？
【答案】（1）3 （2）；
（3）当为的中点时，的面积最大，最大值为
【解析】
【分析】（1）先由求出，再由可得，在中利用正弦定理可求得结果，
（2）在中，利用余弦定理结合基本不等式可求得结果，
（3）设，则，则可得，所以，再结合可求出的面积最大值.
【小问1详解】
在锐角中，，，
∵
，
外接圆的直径长为，
由正弦定理可得，，
；
【小问2详解】
在中，由余弦定理得，
，
当且仅当时取等号，
；
即取值范围为；
【小问3详解】
设，则，
∵，∴，
∵于，于，
∴，，
∴，
∴
当时，的最大值为．
当时，三角形与三角形面积相等
为的中点，
当为的中点时，的面积最大，最大值为