2024年中考数学一次函数常考易错解答题专项训练

这是一份2024年中考数学一次函数常考易错解答题专项训练，共28页。试卷主要包含了“互联网＋”让我国经济更具活力，已知一次函数的图象经过点，两点等内容，欢迎下载使用。
(1)求每月销售量（件）与销售单价（元）之间的函数关系式；
(2)设超市每月销售柠檬即食片获得离利润为（元），当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？最大利润是多少？
(3)若超市想每月销售柠檬即食片所得利润稳定在900元，销售单价应定为多少元？
2．某水果批发市场，有两个水果店销售同一种橙子，在A水果店，不论一次购买数量是多少，价格均为8元/千克．在水果店，一次购买数量不超过50千克时，价格均为10元/千克；一次性购买超过50千克时，其中有50千克的价格仍为10元/千克，超过50千克的部分价格为6元/千克．设在同一个水果店一次购买橙子的数量为千克
(1)在A水果店花费元，在水果店花费元，分别求和关于的函数表达式；
(2)小李在A水果店购买橙子，小王在水果店购买橙子，两人购买橙子的数量相同，且小李比小王少花费50元，求小李购买橙子的数量为多少千克．
3．“互联网＋”让我国经济更具活力．牡丹花会期间，某网店直接从工厂购进A，B两款花会纪念钥匙扣进行销售，进货价和销售价如下表：
(1)网店第一次用元购进A、B两款钥匙扣共件，求两款钥匙扣分别购进的件数；
(2)第一次购进的花会纪念钥匙扣售完后，该网店计划再次购进A、B两款钥匙扣共件（进货价和销售价都不变），且第二次进货总价不高于元．网店这次应如何设计进货方案，才能获得最大销售利润，最大销售利润是多少？
4．A品牌大米远近闻名，深受广大消费者喜爱，开心超市每天购进一批成本价为每千克4元的A品牌大米，以不低于成本价且不超过每千克8元的价格销售．当每千克售价为6元时，每天售出该大米900；当每千克售价为7元时，每天售出该大米850．通过分析销售数据发现：每天销售A品牌大米的质量与每千克售价x（元）满足一次函数关系．
(1)请求出y与x的函数关系式；
(2)当每千克售价定为多少元时，开心超市销售A品牌大米每天获得的利润最大？最大利润为多少元？
5．2024年3月15日是第42个国际消费者权益日（）．目的是在国际范围内更好地保护消费者权益，某商店为了抓住此次活动的商机，提前囤货，决定购进一些纪念品进行销售，若购进A种纪念品5件，B种纪念品4件，需要620元；购进A种纪念品7件，B种纪念品8件，需要1180元．
(1)求购进A、B两种纪念品每件各需多少元？
(2)若每件A种纪念品的售价为56元，每件B种纪念品的售价为160元．考虑到市场需求，商店决定购进这两种纪念品共300件，设购进B种纪念品m件（且），总利润为W元，请写出总利润W（元）与m（件）的函数关系式，根据函数关系式说明利润最高时的进货方案并求出最高利润．
6．“快乐游玩、安全游玩”是各景区游玩的工作宗旨，某风景区上午时开门迎接游客进入，下午禁止游客进入．据工作人员统计，某天上午时该景区已累计进入游客920人，从此时开始陆续有游玩结束的游客离开．累计进入景区游客人数（单位：人）与累计离开景区游客人数（单位：人）随统计时间（单位：）变化的数据如下表所示：
探究发现，与与之间的数量关系可以用我们已学过的函数来描述．
(1)直接写出关于的函数关系式和关于的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；
(2)预计几点钟时，景区内游客人数最多？
(3)当景区内游客人数达到5120人时，将触发人流高峰黄色预警，问什么时间将触发人流高峰黄色预警？直接写出答案．
7．如图，直线与x轴、y轴分别相交于点E、F．点E的坐标为，点A的坐标为．点是第二象限内的直线上的一个动点．
(1)求k的值；
(2)当点P运动过程中，试写出的面积S与x的函数关系式；
(3)当的面积是时，求此时P点的坐标．
8．某超市购进一批20元/千克的绿色食品，如果以30元/千克销售，那么每天可售出400千克．由销售经验知，每天销售量（千克）与销售单价（元）存在如下图所示的一次函数关系．
(1)试求出与的函数关系式；
(2)设该超市销售该绿色食品每天获得利润元，当销售单价为何值时，每天可获得最大利润？最大利润是多少？
(3)根据市场调查，该超市经理要求每天利润不得低于4320元，请你帮助该超市确定绿色食品销售单价的范围（直接写出）．
9．A，B两地相距千米，甲、乙两人分别骑自行车和摩托车沿相同路线由A地匀速驶往B地，甲、乙的速度分别为千米/时和千米/时，甲比乙先出发3小时．设甲行驶时间x小时．
(1)分别写出甲、乙两人行驶的路程，与x之间的关系，并在同一直角坐标系内画出它们的图像；
(2)求乙出发多少小时后追上甲？
10．已知一次函数的图象经过点，两点．
(1)求一次函数的表达式；
(2)求这个一次函数与坐标轴围成的三角形面积；
(3)请直接写出当时的x的取值范围．
11．如图，在平面直角坐标系中，直线交x轴于点B，直线分别交x轴y轴于点C和点D，两条直线交于点A．
(1)求点A的坐标；
(2)在直线上求点M，使得．
12．已知，在平面直角坐标系中，直线经过，两点，点C为上一点，横坐标为，直线经过C，两点，交y轴于点E．
(1)求点C坐标．
(2)猜想的度数并说明理由．
(3)若M为直线上一点，N为x轴上一点，以A，M，N为顶点的三角形与全等，直接写出点M的坐标．
13．春节期间，某客运站旅客流量不断增大，旅客往往需要长时间排队等候购票．某一天开始售票时，已有600人排队购票，同时又有新的旅客不断进入售票厅排队等候购票．售票时售票厅每分钟新增购票人数4人，每分钟每个售票窗口出售2张票．已知售票厅排队等候购票的人数y（人）与售票时间x（分钟）的关系如图所示．且售票的前a分钟只开放了四个售票窗口（规定每人只购一张票）．
(1)求a的值．
(2)求售票到第50分钟时，售票厅排队等候购票的旅客人数．
(3)若要在开始售票后半小时内让所有排队的旅客都能购到票，以便后来到站的旅客随到随购，则开始售票时至少需要同时开放几个售票窗口？
14．在平面直角坐标系中，直线与轴交于点A，与轴交于点，点坐标为，过点作轴，且为等腰直角三角形．
(1)如图，当，时，求证：；
(2)当为直角边时，请给出相应图形分别求出所有可能的值，并直接写出点的坐标．
15．某商场将每件进价为元的某种商品按每件元出售，后来经过市场调查，发现这种商品售价x元与其一天的销量y的函数关系是，如图．
(1)求该商场这种商品一天的销量y与售价x元的函数关系式；
(2)若商场经营该商品一天要获利润元，则每件商品售价应是多少元？
16．如图，直线与x轴交于点A，直线（k、b为常数，且）与x轴交于点，直线与交于点．
(1)求点C的坐标及直线的函数表达式；
(2)若点D是线段上一个动点，点D的横坐标是m，的面积是S，请求出S与m之间的函数关系式；
(3)在y轴上是否存在点P，使得的值最小?若存在，求出点P的坐标及这个最小值；若不存在，请说明理由．
价格/类别
A款钥匙扣
B款钥匙扣
进货价（元/件）
销售价（元/件）
统计时间
1
2
3
4
累计进入景区游客人数人
920
1720
2520
3320
…
累计离开景区游客人数人
0
200
400
600
…
参考答案：
1．(1)；
(2)当销售单价定为17元时，每月可获得最大利润；每月获得最大利润为980元．
(3)当销售单价定为15元时，每月获得利润可稳定在900元．
【分析】本题主要考查了二次函数的应用、一元二次方程的应用，熟练掌握并灵活运用是解此题的关键．
（1）设销售单价x元，再由每月销售量，进而计算可以得解；
（2）结合（1）得，超市每月销售柠檬即食片获得利润为，再由二次函数的性质即可求解；
（3）结合（2）所得函数关系式，令，即而计算可以得解．
【详解】（1）由题意得：，，
∴；
（2）由题意，得：
，
∵且对称轴为，
∴当时，最大为980
∴当销售单价定为17元时，每月获得最大利润为980元．
（3）由题意得：
整理得：，
解得：或
∵，
∴，
∴当销售单价定为15元时，每月获得利润可稳定在900元．
2．(1)；
(2)小李购买橙子的数量为25千克
【分析】本题主要考查了列函数解析式、一元一次方程的应用等知识点，审清题意、列出相关函数解析式是解题的关键．
（1）根据A、B两点销售方案列函数解析式即可；
（2）分和两种情况分别求解，然后检验即可解答．
【详解】（1）解：由题意可得：
A水果店花费；
B水果店:当时，花费；当时，花费，即．
（2）解：小李购买橙子的数量为a千克，
当，由题意可得：，解得：，符合题意；
当，由题意可得：，解得：，不符合题意．
所以小李购买橙子的数量为25千克．
3．(1)购进A款钥匙扣件，B款钥匙扣件
(2)当购进件A款钥匙扣，件B款钥匙扣时，才能获得最大销售利润，最大销售利润是元
【分析】（1）设购进A款钥匙扣x件，B款钥匙扣y件，根据“用元购进A、B两款钥匙扣共件”列二元一次方程组计算求解；
（2）设购进m件A款钥匙扣，则购进件B款钥匙扣，根据“第二次进货总价不高于元”列不等式计算求解，然后结合一次函数的性质分析求最值．
【详解】（1）解：设购进A款钥匙扣x件，B款钥匙扣y件，根据题意得：
，解得：
答：购进A款钥匙扣件，B款钥匙扣件；
（2）解：设购进m件A款钥匙扣，则购进件B款钥匙扣，
根据题意得：，
解得：，
设再次购进的A、B两款钥匙扣全部售出后获得的总利润为w元，则：
．
∵，
∴w随m的增大而减小，
∴当时，w取得最大值，最大值，
此时．
答：当购进件A款钥匙扣，件B款钥匙扣时，才能获得最大销售利润，最大销售利润是元．
【点睛】本题考查了二元一次方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用，列出正确的等量关系和不等关系是解题的关键．
4．(1)
(2)当每千克售价定为8元时，开心超市销售A品牌大米每天获得的利润最大，最大利润为3200元
【分析】本题考查了二次函数以及一次函数的应用；
（1）根据题意利用待定系数法求函数关系式即可；
（2）设开心超市销售A品牌大米每天获利W元，根据题意列出W关于x的函数关系式；再根据自变量的取值确定函数的最值即可；
准确列出函数关系式以及掌握函数的性质是解题的关键．
【详解】（1）解：设，
由题意得，
解得：
则y与x的函数关系式；，
（2）设开心超市销售A品牌大米每天获利W元
根据题意可得：，
即，
，对称轴为直线，
当时，W随x的增大而增大，
又，
时，（元）
答：当每千克售价定为8元时，开心超市销售A品牌大米每天获得的利润最大，最大利润为3200元．
5．(1)A种纪念品每件20元，B种纪念品每件130元
(2)A种纪念品购买270件，B种纪念品购买30件时利润最高，最高利润为10620元
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用以及一次函数的应用；
（1）设A种纪念品每件x元，B种纪念品每件y元，根据题意得出关于x和y的二元一次方程组，解方程组即可得出结论；
（2）求出总利润关于购买B种纪念品m件的函数关系式，由函数的性质确定总利润取最值时m的值，从而得出结论．
【详解】（1）设A种纪念品每件x元，B种纪念品每件y元．
由题意得：，
解得：，
答：A种纪念品每件20元，B种纪念品每件130元；
（2）
∵，
∴W随着x的增大而减小
又∵，
∴当时，W有最大值，
此时（件），元
答：A种纪念品购买270件，B种纪念品购买30件时利润最高．最高利润为10620元．
6．(1)；
(2)下午景区内游客人数最多
(3)下午会触发人流高峰黄色预警
【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数图象及性质，熟练掌握求函数解析式的方法及一次函数的性质是解题的关键．
（1）设，，用表格中的数据代入即可利用待定系数法求解；
（2）设剩余人数为，则，即可得到剩余人数与时间的新函数关系，运用一次函数性质计算即可求解；
（3）根据题意可得当，解一元一次方程即可求解．
【详解】（1）解：设，将，代入得：，
解得：，
∴与的解析式为：；
设，将，代入得：，
解得：，
∴关于解析式为：．
（2）解：设剩余人数为，
则，
当时，即开始统计，时，下午禁止游客进入，即，
∵，
∴当时，w最大，
∴下午景区内游客人数最多．
（3）解：∵，
∴当时，，
解得：，
∵当时，即开始统计，
∴当时，即下午会触发人流高峰黄色预警．
7．(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查了一次函数解析式，一元一次方程的应用．熟练掌握一次函数解析式，一元一次方程的应用是解题的关键．
（1）将代入，得，计算求解即可；
（2）由（1）得：直线的解析式为，则，，根据，计算求解即可；
（3）当时，则，解得，，进而可P点的坐标．
【详解】（1）将代入，得，
解得，；
（2）解：由（1）得：直线的解析式为，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（3）解：当时，则，
解得，，
∴，
∴P点的坐标为．
8．(1)
(2)当销售单价为35元/千克时，每天可获得最大利润，最大利润是4500元
(3)
【分析】本题主要考查了一次函数的应用，二次函数的实际应用：
（1）由图象过点和易求直线解析式；
（2）每天利润每千克的利润销售量．据此列出表达式，运用函数性质解答；
（3）求出当时，x的直即可得到答案．
【详解】（1）解：设，由图象可知
解得
，
与的函数关系式为：；
（2）解：由题意得
．
，
有最大值．
∴当时，P有最大值，最大值为．
∴当销售单价为35元千克时，每天可获得最大利润，最大利润是4500元．
（3）解：当时，则，
整理得，
解得，，
，
抛物线的开口向下，
∴当每天利润不得低于4320元时，销售单价的范围为．
9．(1)，，图像见解析
(2)1小时
【分析】本题考查了一次函数的应用，一次函数的图像，一元一次方程的应用．熟练掌握一次函数的应用，一次函数的图像，一元一次方程的应用是解题的关键．
（1）由路程、速度、时间的关系可得，，，然后画图像即可；
（2）由题意知，，计算求解，然后作答即可．
【详解】（1）解：由题意知，，，
图像如下：
（2）解：由题意知，，
解得，，
∴，
∴乙出发1小时后追上甲．
10．(1)
(2)8
(3)
【分析】本题考查一次函数的综合应用．
（1）待定系数法求出函数解析式即可；
（2）求出直线与轴的坐标，进而利用三角形的面积公式求解即可；
（3）根据一次函数的特点解不等式即可．
【详解】（1）解：一次函数的图象经过点，两点，
，解得，
∴函数解析式为：；
（2）∵，当时，，
∴直线与轴的交点为；
∵直线与轴的交点为，
∴一次函数与坐标轴围成的三角形面积为；
（3）∵，
∴随的增大而增大，
∵直线与轴的交点为，
∴的取值范围为：．
11．(1)点A的坐标为
(2)点M的坐标为或
【分析】本题主要考查了直线围成的图形面积，求两直线的交点坐标：
（1）联立两直线解析式求出对应的x、y的值即可得到答案；
（2）分当点M在点A下方时，当点M在点A上方时，两种情况求出与的关系进而得到与的关系，从而求出，进而求出点M的坐标即可．
【详解】（1）解；联立，解得，
∴点A的坐标为；
（2）解：如图，当点M在点A下方时，
∵，
∴，
∵，，
∴
∴，
∵，
∴，
在中，当时，，
∴点M的坐标为；
如图，当点M在点A上方时，
∵，
∴，
∵，，
∴
∴，
∵，
∴，
在中，当时，，
∴点M的坐标为；
综上所述，点M的坐标为或．
12．(1)点C的坐标为
(2)，理由见解析
(3)点M的坐标为或
【分析】（1）利用待定系数法求得直线的解析式，再求得横坐标为时，纵坐标的值，即可求解；
（2）利用勾股定理分别求得，和，利用勾股定理的逆定理即可求解；
（3）分两种情况讨论，当与重合时，可求得点M的坐标；作交轴于点，过点作于点，此时与全等，据此求解即可．
【详解】（1）解：∵直线经过，两点，
∴设直线的解析式为，
∴，
解得，
∴直线的解析式为，
∵点C为上一点，横坐标为，
∴，
∴点C的坐标为；
（2）解：∵，
∴，，，
∵，
∴，
∴是直角三角形，且；
（3）解：当与重合时，即点与点C重合，此时点M的坐标为；
作交轴于点，过点作于点，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
设点M的坐标为，
∴，即，
解得，
∴点M的坐标为．
【点睛】本题主要考查了待定系数法求函数解析式，勾股定理及其逆定理，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，数形结合是解本题的关键．
13．(1)25
(2)250人
(3)12个
【分析】本题考查了一次函数和一元一次不等式在排队问题中的应用，待定系数法；
（1）由图象得，即可求解；
（2）设的解析式为，将，代入，求出解析式，当时，即可求解；
（3）设同时开放z个售票窗口，不等关系式：半小时售出的票数半小时新增的买票人数，据此列出不等式，求解即可；
理解图象中、的实际意义，掌握待定系数法，找出不等关系式是解题的关键．
【详解】（1）解：由题意得
；
故a的值为．
（2）解：设的解析式为，将，代入得：
，
解得，
的解析式为，
当时，
；
故第50分钟时，等候购票的旅客为人；
（3）解：设同时开放z个售票窗口，由题意得：
，
解得：，
故即至少需同时开放12个售票窗口．
14．(1)见解析
(2)当为直角边时,所有可能的b值为或3或．
【分析】本题考查一次函数的图像性质、三角形全等的判定和性质、等腰三角形的定义等知识点，掌握三角形全等的判定和性质是解题的关键．
（1）通过题意可得，再根据互余的性质求出，然后利用即可证明结论；
（2）根据点A、B、C的位置分分三类情况，分别运用全等三角形的性质以及坐标与图形进行分析解答即可．
【详解】（1）证明：∵,
∴,
∵轴,
∴,
∴,
∴,
∵,
∴，
在和中,,
∴．
（2）解：①如图1：当B在y轴负半轴上，A在x正半轴上时，
∵直线与x轴交于点A,与y轴交于点B,
∴,
∴,
∵点P坐标为,
∴,
∵,
∴,
∴,
∴；
②如图2：当B在y轴正半轴上，A在x负半轴上时，作轴于M,则,
∵,
∴,
∴；
③如图3：当B在y轴负半轴上，A在x正半轴上且P在的延长线上时，
∵,
∴,
∵,
∴,
∴．
综上所述,当为直角边时,所有可能的b值为或3或．
15．(1)
(2)每件商品售价应是或元
【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及一次函数的应用，解题的关键是正确理解题意，找出等量关系．
（1）将代入即可求解；
（2）利用总利润每件商品的销售利润日销售量，可列出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论．
【详解】（1）解：将代入得：
解得：，
∴该商场这种商品一天的销量y与售价x元的函数关系式为，
当时，
解得：，
又∵该商品的进价为元，
∴该商场这种商品一天的销量y与售价x元的函数关系式为：
（2）解：根据题意得：，
整理得：，
解得：，
答：每件商品售价应是或元．
16．(1)；直线的函数表达式为
(2)
(3)在y轴上存在点使得的值最小，最小值为
【分析】本题主要考查直线相交或平行问题，待定系数法求一次函数解析式，轴对称-最短路线问题：
（1）把点代入，求得点C的坐标，然后根据待定系数法即可求得k，b的值；
（2）求出点A的坐标，得出，根据点D在直线上可得，再根据三角形面积公式可得结论；
（3）如图，作点B关于y轴的对称点，连接，与y轴的交点即为P点，此时，的值最小；由勾股定理可求出的最小值为，再运用待定系数法求出直线的函数表达式为，令，求出，从而得出点P的坐标．
【详解】（1）解：直线过点
，
．
直线过，
解得，
直线的函数表达式为．
（2）解：直线与x轴交于点A，
令，则，
，
∵，
．
点D在线段上．
．
．
（3）解：在y轴上存在点P，使得的值最小，理由如下：
如图，作点B关于y轴的对称点，连接，
与y轴的交点即为P点，此时，的值最小，
，则，
，
即的最小值为．
设直线的函数表达式为，
，
解得
直线的函数表达式为．
令，则，
．
故在y轴上存在点使得的值最小，最小值为．