冲刺2024年高考数学：复数小专题特训

这是一份冲刺2024年高考数学：复数小专题特训，共7页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知复数，则的虚部为（ ）
A．-1B．C．D．1
2．复数满足为虚数单位，则（ ）
A．B．C．D．
3．已知，其中为虚数单位，（ ）
A．B．C．D．
4．，则的共轭复数等于（ ）
A．B．C．D．
5．已知i为虚数单位，若，则（ ）
A．B．C．1D．
6．若虚数是关于的方程的一个根，且，则（ ）
A．6B．4C．2D．1
7．若，则“”是复数“为纯虚数”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
8．已知，，且，则（ ）
A．B．2C．D．10
二、多选题
9．已知，为复数，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则或
D．若，则
10．已知为虚数单位，以下四个说法中正确的是（ ）
A．
B．复数的模长为
C．若，则复平面内对应的点位于第二象限
D．已知复数满足，则在复平面内对应的点的轨迹为直线
11．下列说法中，错误的是（ ）
A．向量，不能作为平面内所有向量的一组基底
B．若，则在方向上的投影向量的模为
C．z是虚数的一个充要条件是
D．若a，b是两个相等的实数，则是纯虚数
三、填空题
12．已知i为虚数单位，复数的模为 .
13．设复数满足的实部与虚部之比为，其中是虚数单位，，，则的最小值为 .
14．已知复数数列满足，则 .
参考答案：
1．C
【分析】根据复数除法的运算法则、复数乘方的法则，结合共轭复数和复数虚部的定义进行求解即可.
【详解】因为
所以，所以的虚部为，
故选：C.
2．A
【分析】首先化简复数，再根据共轭复数的特征，即可求解.
【详解】，故.
故选：A
3．D
【分析】利用复数的除法运算求出复数，再利用复数相等得，则可求出
【详解】由题意得，，
则，所以.
故选：D．
4．D
【分析】根据复数的乘法运算，然后根据共轭复数的概念求解即可；
【详解】，
故选：D.
5．C
【分析】根据复数的运算法则进行运算，继而直接求模即可.
【详解】因为，
所以，
故选：C．
6．C
【分析】设复数，将其代入方程求得，，然后利用复数即可求解.
【详解】依题意，设（且），
代入方程，得，
整理得．
所以，解得，
因为，即，所以．
故选：C．
7．C
【分析】由复数为纯虚数求出参数的值，再根据充分条件、必要条件的定义判断即可.
【详解】由“”为纯虚数，得，解得，
故“”是复数“为纯虚数”的充要条件.
故选：C.
8．A
【分析】根据复数代数形式的乘法运算及复数相等得到方程组，求出、的值，从而求模.
【详解】因为，即，即，
因为，，所以，解得，
所以.
故选：A
9．AC
【分析】对于选项A可直接利用复数的性质进行判断；对于C，通过取模运算即可判定；对于选项B和D，取特殊复数即可判定.
【详解】对于选项A，若，则和互为共轭复数，所以，故选项A正确；
对于选项B，取，此时，，满足，
但，故选项B错误；
对于选项C，若，则，所以或，可得或，故选项C正确；
对于选项D，取，，可得，故选项D错误.
故选：AC.
10．ABD
【分析】根据复数的运算可直接判断A；计算复数的模可判断B；先化简复数，求出共轭复数，利用复数的几何意义可判断C；根据复数模的几何意义可判断D.
【详解】对于A：，故选项A正确；
对于B：复数的模为，故选项B正确；
对于C：，所以，对应的点位于第三象限，故选项C不正确；
对于D：复数满足，表示复数对应的点到点和点两点的距离相等，所以在复平面内对应的点的轨迹为线段的垂直平分线，故选项D正确；
故选：ABD.
11．CD
【分析】根据向量共线可判断A；计算出在方向上的投影向量的模可判断B；设，根据充要条件的定义可判断C；当时可判断D.
【详解】对于A，因为向量，所以、共线，不能作为平面内所有向量的一组基底，故A正确；
对于B，若，则与同向或者反向，则在方向上的投影向量的模为，故B正确；
对于C，设，若z是虚数，则，且，
因为，可得，但z不一定是虚数，故C错误；
对于D，当时，则不是纯虚数，故D错误.
故选：CD.
12．
【分析】根据复数模的运算公式进行求解即可.
【详解】，
故答案为：
13．
【分析】利用复数的运算法则化简，根据的实部与虚部之比为，可得：；整理，根据直线与圆的位置关系即可得的最小值．
【详解】由于，
于是，
又的实部与虚部之比为，因此，即，
于是复数所对应的点在圆上，圆心的坐标为.
令点的坐标为，如图所示，

于是就有（转化为斜率，代数问题几何化），因此当直线与圆相切时最小，
其最小值为，因此的最小值为.
故答案为：.
14．
【分析】首先求出，则，利用裂项相消法计算可得.
【详解】因为，则，
所以
所以，
所以
.
故答案为：