2022-2023学年湖南省长沙市雅礼中学高一下学期5月第三次月考数学试题

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分值：150分 时量：120分钟
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.
1. 设i为虚数单位，复数z满足，则为（ ）
A. B. 1C. 3D.
2. 在中，已知，则的（ ）条件
A. 充分不必要B. 必要不充分
C 充要D. 既不充分也不必要
3. 在中，D为BC的中点，E为AC边上的点，且，则（ ）
A. B.
C. D.
4. 《九章算术》是中国古代人民智慧的结晶，其卷五“商功”中有如下描述：“今有圆亭，下周三丈，上周二丈，高一丈”，译文为“有一个圆台形状的建筑物，下底面周长为三丈，上底面周长为二丈，高为一丈”，则该圆台的侧面积（单位：平方丈）为（ ）
A. B. C. D.
5 已知，，，，则（ ）
A B. C. D.
6. 12名跳高运动员参加一项校际比赛，成绩分别为1.70，1.65，1.68，1.69，1.72，1.59，1.60，1.67，1.74，1.78，1.55，1.75（单位：m），则比赛成绩的75%分位数是（ ）
A. 1.72B. 1.73C. 1.74D. 1.75
7. 如图，四棱锥的底面是边长为2的正方形， 为的中点，面，且，动点在以为球心半径为1的球面上运动，点在面内运动，且，则长度的最小值为（ ）
A. B. C. D.
8. 已知函数，正数满足，则的最小值（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 有一组样本数据，，…，，由这组数据得到新样本数据，，…，，其中(为非零常数，则（ ）
A. 两组样本数据的样本平均数相同
B. 两组样本数据的样本中位数相同
C. 两组样本数据的样本标准差相同
D. 两组样本数据的样本极差相同
10. 某公司生产甲、乙、丙三种型号的轿车，产量分别为1200辆、6000辆和2000辆，为检验该公司的产品质量，公司质监部门用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取46辆进行检验，则（ ）
A. 在每一种型号的轿车中可采用抽签法抽取
B. 抽样比为
C. 三种型号的轿车依次抽取6辆、30辆、10辆
D. 这三种型号的轿车，每一辆被抽到的概率都是相等的
11. 已知函数，则（ ）
A. 函数的最小正周期为π
B. 函数的图像关于点中心对称
C. 函数在定义域上单调递增
D. 若，则
12. 如图，正方体的棱长为1，点P是棱上的一个动点（包含端点），则下列说法不正确的是（ ）
A. 存在点P，使面
B. 二面角平面角为60°
C. 的最小值是
D. P到平面的距离最大值是
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 已知向量满足，则与的夹角为___．
14. 已知定义在上的函数不是常数函数，且同时具有下列两个性质：①；②．请你写出符合上述条件的一个函数＝___．
15. 复数与复数在复平面上对应点分别是A，B，则____________．
16. 定义：若A，B，C，D为球面上四点，E，F分别是AB，CD的中点，则把以EF为直径的球称为AB，CD的“伴随球”.已知A，B，C，D是半径为2的球面上四点，，则AB，CD的“伴随球”的直径取值范围为____________；若A，B，C，D不共面，则四面体ABCD体积的最大值为______________.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 某市民用水拟实行阶梯水价，每人用水量中不超过立方米的部分按4元/立方米收费，超出立方米的部分按10元/立方米收费，从该市随机调查了10000位居民，获得了他们某月的用水量数据，整理得到如下频率分布直方图：

（1）如果为整数，那么根据此次调查，为使80%以上居民在该月用水价格为4元/立方米，至少定为多少？
（2）假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替，当时，估计该市居民该月的人均水费．
18. 如图，在四棱锥P-ABCD中，已知底面ABCD是菱形，且对角线AC与BD相交于点O.

（1）若PB=PD，求证：平面PBD⊥平面PAC；
（2）设点E为BC的中点，在棱PC上是否存在点F，使得PB∥平面AEF？请说明理由.
19. 已知函数，，的图象相邻两条对称轴间的距离为，是函数的一个零点．
（1）求函数的解析式；
（2）求函数在上的单调递增区间.
20. 的内角、、的对边分别为、、，已知.
（1）求；
（2）若，的面积为，求.
21. 如图，四边形是圆柱的轴截面，是母线，点D在线段BC上，直线//平面.
（1）记三棱锥的体积为，三棱锥的体积为，证明：；
（2）若，，直线到平面的距离为，求直线与平面所成角的正弦值.
22. 如图，中，AD为BC边上的中线，点E，F分别为边上的动点，线段EF交AD于G，且线段AE与线段AF的长度乘积为1．
（1）已知，请用表示；
（2）求的取值范围．