2022-2023学年湖南省长沙市长郡湘府中学高一下学期期末模拟数学试题

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1. 如图，一个平面图形的斜二测画法的直观图是一个边长为a的正方形，则原平面图形的周长和面积分别为（ ）
A. 2a，B. 8a，C. 8a，D. ，
【答案】B
【解析】
【分析】由直观图还原出原图，在原图中找出对应线段长度进而求出周长和面积．
【详解】由直观图可得原图形，
∴，，，
∴，原图形的周长为，
∴．
故选：B
2. 某学校在校学生有3000人，为了增强学生的体质，学校举行了跑步和登山比赛，每人都参加且只参加其中一项比赛，高一､高二､高三年级参加跑步的人数分别为，且，全校参加登山的人数占总人数的.为了了解学生对本次比赛的满意程度，按分层抽样的方法从中抽取一个容量为300的样本进行调查，则应从高二年级参加跑步的学生中抽取（ ）
A. 15人B. 30人C. 45人D. 60人
【答案】D
【解析】
【分析】先得出全校参加跑步的人数，再由分层抽样的方法求解即可.
【详解】由题意，可知全校参加跑步的人数为，所以.因为，所以.因为按分层抽样的方法从中抽取一个容量为300的样本，所以应从高二年级参加跑步的学生中抽取的人数为.
故选：D
3. 在平行四边形ABCD中，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据平行四边形的性质和向量的线性运算可求得答案.
【详解】解：因为，
所以
，
故选：B.
4. 某大学的“书法”“篮球”“轮滑”三个社团考核挑选新社员，已知大一某新生对这三个社团都很感兴趣，决定三个考核都参加，假设他通过“书法”“篮球”“轮滑”三个社团考核的概率依次为，且他是否通过每个考核相互独立，若三个社团考核他都能通过的概率为，至少通过一个社团考核的概率为，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用相互独立事件的概率公式，对立事件的概率公式列方程组即可求解作答.
【详解】因至少通过一个社团考核的概率为，则三个社团都没有通过的概率为，
依题意，，即，解得，
所以.
故选：B
5. 已知是关于的方程在复数范围内的一个根，则（ ）
A. B. 或C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据一元二次方程在复数域内的两个虚根互为共轭复数及韦达定理即可求解.
【详解】因为是关于的方程在复数范围内的一个根，
所以关于的方程的另一个根为，
由韦达定理，得，解得，或（舍），
所以.
故选：A.
6. 在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，且，则下列命题正确的有（ ）个
① ②角B的取值范围是
③的取值范围是 ④的取值范围是
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】利用正弦定理将边化角，再根据二倍角公式及余弦函数的性质判断即可；
【详解】解：因，由正弦定理可得，
所以或．
因为，所以，
所以，则，故①正确．
因为，所以．
因为是锐角三角形，
所以，
即，解得，
所以，
利用正弦定理：，故②错误，④正确．
因为，所以，
所以，则③正确．
故选：C．
7. 正方体的棱长为1，点E，F，G分别为，、中点，现有下列4个命题：①直线与直线垂直；②直线与平面平行；③点C与点G到平面的距离相等；④平面截正方体所得的截面面积为．其中正确的是（ ）
A. ①③B. ②③C. ②④D. ①④
【答案】C
【解析】
【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法判断①③的正确性；画出平面截正方体所得的截面,由此判断②④的正确性.
【详解】建立如图所示空间直角坐标系，
，，
，所以①错误.
，
设平面的法向量为，
则，故可设.
，所以到平面的距离为，
，所以到平面的距离为，所以③错误.
根据正方体的性质可知，四点共面，
，
所以平面截正方体所得的截面为等腰梯形，
根据正方体的性质可知，由于平面，平面，
所以平面，所以②正确.
等腰梯形的高为，
所以等腰梯形的面积为，④正确.
所以正确的为②④.
故选：C
8. 我国古代数学名著《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱（侧棱垂直于底面的三棱柱）称之为“堑堵”．如图，三棱柱为一个“堑堵”，底面是以为斜边的直角三角形且，，点在棱上，且，当的面积取最小值时，三棱锥的外接球表面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用基本不等式可求的面积最小值为18，再根据几何体的特征可得为外接球的直径，从而可求外接球表面积.
【详解】解法一：由“堑堵”的定义可知，为直角三角形，
故，
易知，又，，
所以平面，而平面，于是得．
设，，则，
则，，，
由，得，整理得，
所以，
所以
，
当且仅当，即时的面积取得最小值18．
此时．
设三棱锥的外接球半径为，
因为，，故线段为外接球的直径，
故所求外接球的表面积．
故选：D．
解法二：令，则，，，
又因为平面，所以，又．
所以平面，所以．
的面积
当且仅当时，取最小值，
此时，．
在三棱锥中，因为，取中点为，
则，
故为三棱锥的外接球的球心，
所以为外接球直径，．
故选：D．
【点睛】本题考查空间中几何图形面积的计算、几何体外接球的表面积计算，注意根据几何体的特征合理确定球心的位置，本题属于较难题.
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求，全部选对的得4分，选对但不全的得2分，有选错的得0分.
9. 某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如图所示的扇形图．
则下面结论中正确的是（ ）
A. 新农村建设后，种植收入减少
B. 新农村建设后，其他收入增加了一倍以上
C. 新农村建设后，养殖收入增加了一倍
D. 新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半
【答案】BCD
【解析】
【分析】首先设出新农村建设前的经济收入为，根据题意，得到新农村建设后的经济收入为，之后从图中各项收入所占的比例，得到其对应的收入是多少，从而可以比较其大小，并且得到其相应的关系，从而得出正确的选项.
【详解】设新农村建设前农村的经济收入为，则新农村建设后农村的经济收入为，
对A，新农村建设前的种植收入为，新农村建设后的种植收入为，种植收入增加，故A错误；
对B，新农村建设前的其他收入为，新农村建设后的其他收入为，增加了一倍以上，故B正确；
对C，新农村建设前的养殖收入为，新农村建设后的养殖收入为，增加了一倍，故C正确；
对D，新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和为，超过了经济收入的一半，故D正确.
故选：BCD.
10. 关于空间向量，以下说法正确的是（ ）
A. 空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面
B. 若对空间中任意一点O，有，则P，A，B，C四点共面
C. 已知向量是空间的一个基底，若，则也是空间的一个基底
D. 若，则是钝角
【答案】ABC
【解析】
【分析】对于A，根据共线向量的概念理解判断；对于B：根据且P，A，B，C四点共面，分析判断；对于C：基底向量的定义是空间的一个基底不共面，分析判断；对于D：根据数量积的定义可得，结合向量夹角的范围分析判断．
【详解】对于A，根据共线向量的概念，可知空间中的三个向量，若有两个向量共线，
则这三个向量一定共面，所以A正确；
对于B，若对空间中任意一点O，有因为，
根据空间向量的基本定理，可得P，A，B，C四点一定共面，所以B正确；
对于C，由于是空间的一个基底，则向量不共面
∵，则共面
∴可得向量不共面，所以也是空间的一个基底，所以C正确；
对于D，若，即，又，所以，所以D不正确．
故选：ABC．
11. 已知复数（为虚数单位）在复平面内对应的点为，复数满足，则下列结论正确的是（ ）
A. 点在复平面上的坐标为B.
C. 的最大值为D. 的最小值为1
【答案】ABC
【解析】
【分析】复数（为虚数单位）在复平面内对应的点为，可得．复数满足，可得对应的点的轨迹为：以为圆心，1为半径的圆．因此的最大值为；的最小值为．
【详解】复数在复平面内对应的点为，则，．
复数满足，则对应的点的轨迹为以为圆心，1为半径的圆．
∴的最大值为；
最小值为．
综上可得：ABC正确，D不正确．
故选：ABC．
12. 在边长为4的正方形ABCD中，如图1所示，E，F，M分别为BC，CD，BE的中点，分别沿AE，AF及EF所在直线把，和折起，使B，C，D三点重合于点P，得到三棱锥，如图2所示，则下列结论中正确的是（ ）
A.
B. 三棱锥的体积为4
C. 三棱锥外接球的表面积为
D. 过点M的平面截三棱锥的外接球所得截面的面积的取值范围为
【答案】ACD
【解析】
【分析】将三棱锥补形为边长为2,2,4的长方体，对A：由平面即可判断；对B：由即可求解；对C：三棱锥外接球即为补形后长方体的外接球，从而即可求解；对D：由最大截面为过球心O的大圆，最小截面为过点M垂直于球心O与M连线的圆即可求解.
【详解】解：由题意，将三棱锥补形为边长为2,2,4的长方体，如图所示：
对A：因为，，，所以平面，所以，故选项A正确；
对B：因为M为BE的中点，所以，故选项B错误；
对C：三棱锥外接球即为补形后长方体的外接球，所以外接球的直径，所以三棱锥外接球的表面积为，故选项C正确；
对D：过点M的平面截三棱锥的外接球所得截面为圆，其中最大截面为过球心O的大圆，此时截面圆的面积为，最小截面为过点M垂直于球心O与M连线的圆，此时截面圆半径，截面圆的面积为，所以过点M的平面截三棱锥的外接球所得截面的面积的取值范围为，故选项D正确.
故选：ACD.
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 如图是正方体的平面展开图，在这个正方体中，①平面//平面DE；②//平面AF；③平面//平面AFN；④平面//平面NCF；其中真命题的个数是______．
【答案】4
【解析】
【分析】根据平面展开图还原几何体，结合面面平行，线面平行的判定定理，逐一分析即可判断.
【详解】由正方体的平面展开图还原几何体如下所示：
①：根据正方体的几何特点，平面显然与平面平行，故正确；
②：连接如下所示：
在四边形中，因为//，故四边形为平行四边形，
故//，又面，面，故//面，故正确；
③：连接如下所示：
显然四边形为平行四边形，故//，又面面，故//面，
显然四边形为平行四边形，故//，又面面，故//面，
又面，故面//面，故正确；
④：连接如下所示：
显然四边形为平行四边形，故//，又面面，故//面，
显然四边形为平行四边形，故//，又面面，故//面，
又面，故面//面，故正确.
则真命题的个数是4个.
故答案为：.
14. 已知在同一平面上的3个单位向量，它们相互之间的夹角均为，且，则实数k的取值范围是___________.
【答案】
【解析】
【分析】通过平方将向量的模转化为数量积，解不等式可得.
【详解】因为为单位向量，且相互之间的夹角均为
所以，
因为
所以
即，解得或
即实数k的取值范围是.
故答案为：
15. 如图，四边形为直角梯形，且，为正方形，且平面平面，，，，则______，直线与平面所成角的正弦值为______．
【答案】 ①. . ②. .
【解析】
【分析】以点为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系,根据空间向量的线性运算求得向量的坐标，由此求得，由线面角的空间向量求解方法求得答案.
【详解】解：以点为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系（如下图所示）．
由题意可知，，，．
因为，，所以，故．
设平面的法向量为，则，令，得．
因为，所以直线与平面所成角的正弦值为．
故答案为：；.
16. 我国数学家张益唐在“孪生素数”研究方面所取得的突破性进展．孪生素数就是指相差2的素数对，例如5和7，“孪生素数猜想”正式由希尔伯特在1900年国际数学家大会的报告上第8个问题中提出，可以这样描述：存在无穷多个素数，使得是素数．素数对称为孪生素数．在不超过20的素数中，随机选取两个不同的数，这两个数为孪生素数的概率是______．
【答案】
【解析】
【分析】由题意列举出所有素数以及孪生素数，结合古典概率求随机选取两个不同的数为孪生素数的概率即可.
【详解】由题意分析知：不超过20的素数有，而孪生素数有，
∴两个数为孪生素数的概率是，
故答案为：
【点睛】本题考查了概率，理解素数及孪生素数的概念，并列举样本空间和样本点，应用古典概率求概率.
四、解答题：共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 已知向量，.
（1）若，求；
（2）若，求向量与的夹角.
（3）若夹角为锐角，求的取值范围.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）由向量垂直坐标表示可求得，由向量模长的坐标运算可求得结果；
（2）由向量夹角的坐标运算可直接求得结果；
（3）由向量夹角为锐角可知且不同向，由此可构造不等式组求得的范围.
【小问1详解】
由得：，解得：，，
，.
【小问2详解】
当时，，，
又，.
【小问3详解】
夹角为锐角，且不同向，，
解得：且，的取值范围为.
18. 已知复数．
（1）当复数为纯虚数时，求实数m值；
（2）当复数在复平面内对应的点位于第二象限，求实数m的取值范围．
【答案】（1）
（2）1
【解析】
【分析】（1）根据复数的类型来求参数即可；
（2）结合复数的几何意义，根据所在象限求参即可.
【小问1详解】
当复数为纯虚数时，解得．
【小问2详解】
当复数在复平面内对应的点位于第二象限时，解得1．
19. 如图1，在直角梯形中，，，且，现以为一边向梯形外作正方形，然后沿边将正方形翻折，使，为的中点，如图2．
（1）求证：平面；
（2）求证：平面平面；
【答案】（1）证明见解析
（2）证明见解析
【解析】
【分析】(1)如图取中点，由中位线性质可得，根据题意可得且，则四边形为平行四边形，有，结合线面平行的判定定理即可证明；
(2)根据线面垂直的判定定理与性质可得，由勾股定理的逆定理可得，利用线面垂直的判定定理可得平面，结合面面垂直的判定定理即可证明.
【小问1详解】
取中点，连接，．
在中，，分别为，的中点，所以，且．
由已知，，所以，且．
所以四边形平行四边形．所以．
又因为平面，且平面，
所以平面．
【小问2详解】
在正方形中，，又，，
平面，∴平面，
平面，，
在中，AB=AD=1，所以BD=，，
在中，，
BD=，CD=2，所以BC=，所以，
又因为，平面，
所以平面，又因为平面，
所以平面平面.
20. 2021年秋季学期，某省在高一推进新教材，为此该省某市教育部门组织该市全体高中教师在暑假期间进行相关学科培训，培训后举行测试（满分100分），从该市参加测试的数学老师中抽取了100名老师并统计他们的测试分数，将成绩分成五组，第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，得到如图所示的频率分布直方图．
（1）求a的值以及这100人中测试成绩在的人数；
（2）估计全市老师测试成绩的第50%分数位（保留两位小数）；
（3）若要从第三、四、五组老师中用分层抽样的方法抽取6人作学习心得交流分享，并在这6人中再抽取2人担当分享交流活动的主持人，求第四组至少有1名老师被抽到的概率．
【答案】（1）；这100人中测试成绩在的人数为20人
（2）分
（3）
【解析】
【分析】（1）根据频率之和为1，可求得a的值，根据频数的计算可求得测试成绩在[80，85）的人数；
（2）根据频率分布直方图可计算中位数，即可求得第50%分数位；
（3）列举出所有可能的抽法，再列出第四组至少有1名老师被抽到可能情况，根据古典概型的概率公式求得答案.
【小问1详解】
由题意得：，解得；这100人中测试成绩在的人数为（人）.
【小问2详解】
设中位数m，且，则，解得，故第50%分数位76.67分.
【小问3详解】
第三组频率为，第四组频率为，第五组频率为，
故从第三、四、五组老师中用分层抽样的方法抽取6人作学习心得交流分享，三组人数为3人，2人和1人，记第三组抽取的人为，，，第四组抽取的人为，，第五组抽取的人为，则抽取2人的所有情况如下：，，，，，，，，，，，，，，共15种，其中第四组至少有1名老师被抽到的抽法有，，，，，，，，共9种，故第四组至少有1名老师被抽到的概率为．
21. 在条件①：；条件②：；条件③：，这三个条件中选择一个条件，补充在下面的横线上，并解决以下问题.
问题：在中，内角A，B，C所对的边分别为，且满足若，点D为AC边上的中点.
（1）求角B的大小；
（2）若B为锐角，，且 （从上面三个条件中选择一个条件补充到横线上），求BD的长度.
注：如果选择多种情况分别解答，则按第一种解答给分.
【答案】（1）或；
（2）
【解析】
【分析】（1）由正弦定理化简得，结合辅助角公式即可求得角B；
（2）若选①，由面积求出，余弦定理求得，由平方即可求得；若选②，由求出，余弦定理求得，由平方即可求得；若选③，由求得，即可求出，由即可求出.
【小问1详解】
由正弦定理得，又，则，
即，又，则或；
【小问2详解】
若B为锐角，则，若选①，则，则，又，则；
易得，平方得，即，则；
若选②，，即，又，则；
易得，平方得，即，则；
若选③，，平方得，
则，则，又，则，，.
22. 如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，其中，，，平面，且，点在棱上，点为中点.
（1）证明：若，直线平面；
（2）求二面角的正弦值；
（3）是否存在点，使与平面所成角的正弦值为？若存在求出值；若不存在，说明理由.
【答案】（1）证明见解析
（2）
（3）存在，或
【解析】
【分析】（1）利用面面平行证明线面平行；
（2）利用坐标法求二面角余弦值与正弦值；
（3）设，可表示点与，再根据线面夹角求得的值.
【小问1详解】
如图所示，在线段上取一点，使，连接，，
，
，
又，，
，四边形为平行四边形，
，
又，，
所以平面平面，
平面，
平面；
【小问2详解】
如图所示，以点为坐标原点，以为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，
则，，，，
又是中点，则，
所以，，，
设平面的法向量，
则，令，则，
设平面的法向量，
则，令，则，
所以，
则二面角的正弦值为；
【小问3详解】
存在，或
假设存在点，设，即，，
由（2）得，，，且平面的法向量，
则，，
则，
，
解得或，
故存在点，此时或.