2022-2023学年湖南省长沙市周南中学高一下学期分班考试数学试题

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一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.）
1 设全集，集合，，则集合（ ）
A. B.
C. D.
2. “”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
3. 已知，其中，分别是轴、轴正方向上的单位向量，若，共同作用于一物体，使物体从点移到点，则合力所做的功为（ ）
A. B. 5C. D. 13
4. 已知，，且，则的最小值为（ ）
A. 8B. C. 9D.
5. 投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次，记“硬币正面向上”为事件A，“骰子向上一面的点数小于3”为事件B，则事件A，B中至少有一个发生的概率是（ ）
A. B. C. D.
6. 若样本的平均值是5，方差是3，样本的平均值是9，标准差是b，则（ ）
A. B. C. D.
7. 已知边长为2的菱形ABCD中，点F为BD上一动点，点E满足，，则的最小值为（ ）
A 0B. C. D. 2
8. 已知函数，若方程有4个不同的根，，，，且，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）
9. (多选题)如果，那么下列不等式中不正确的是（ ）
A. B.
C D.
10. 掷一枚骰子，记事件A表示事件“出现奇数点”，事件B表示事件“出现4点或5点”，事件C表示事件“点数不超过3”，事件D表示事件“点数大于4”，则（ ）
A. 事件A与B是独立事件B. 事件B与C是互斥事件
C. 事件C与D是对立事件D.
11. 正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为1，E，F，G分别为BC，CC1，BB1的中点.则（ ）
A. 直线D1D与直线AF垂直B. 直线A1G与平面AEF平行
C. 平面AEF截正方体所得的截面面积为D. 点C与点G到平面AEF的距离相等
12. 已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A. 的图像关于直线对称B. 的图像关于点（，0）对称
C. 有2个零点D. 是奇函数
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分.第16题第一空2分，第二空3分）
13. 复数（为虚数单位），则___________.
14. 已知函数，将图象上所有的点向左平行移动个单位长度，所得图象对应的函数为，若的图象过原点，且，则___________.
15. 如图，在四棱锥中，底面为矩形，，点P是以为直径的半圆弧上的动点（不含A，D点），面面，经研究发现，四棱锥的外接球始终保持不变，则该外接球的表面积为______________．
16. 已知函数.
（1）________；
（2）若函数在（，10）上有8个零点（i=1，2，3，…，8），则的取值范围为________.
四、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17. 已知函数的最大值为.
（1）求函数的单调递减区间；
（2）若，求函数的值域.
18. 从某学校的800名男生中随机抽取50名测量身高，被测学生身高全部介于155cm和195cm之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组[155，160），第二组[160，165），…，第八组[190，195），下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分，已知第一组与第八组人数相同，第六组的人数为4人.
（1）估计该校的800名男生的身高的平均数和中位数；
（2）若从身高属于第六组和第八组的所有男生中随机抽取两名男生，记他们的身高分别为x，y，事件，求.
19. 在①；②这两个条件中任选一个作为已知条件，补充到下面的横线上并作答．
问题：在中，内角、、的对边分别为，，，已知______．
（1）求角；
（2）若，的面积为，求的周长．
20. 如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，AB=BC=1，，E，F为线段BB1，AC1的中点.
（1）证明：平面AEF⊥平面A1ACC1；
（2）若直线EA与平面ABC所成的角大小为，求点C到平面AEC1的距离.
21. 已知函数（）.
（1）当时，求单调增区间；
（2）当时，的最大值为，求实数a的取值范围.
22. 定义在D上的函数，如果满足：对任意，存在常数，都有成立，则称是D上的有界函数，其中M称为函数的一个上界，已知函数，奇函数；
（1）求函数在区间上的所有上界构成的集合；
（2）若函数在上是以5为上界的有界函数，求实数a的取值范围.