2022-2023学年江苏省南通市通州区金沙中学高一下学期期中考试前模拟测试数学试卷

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1．若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由复数除法的运算法则求出复数，再根据复数的模长公式即可求解.
【解析】解：因为，所以.
故选：B.
2．下列说法中正确的是（ ）
A．单位向量都相等B．若满足且与同向，则
C．对于任意向量，必有D．平行向量不一定是共线向量
【答案】C
【分析】根据相等向量的定义可判断A；由向量不能比较大小可判断B；由向量加法的几何意义可判断C；由共线向量的定义可判断D.
【解析】A，方向相同，模相等的向量为相等向量，单位向量的方向不一定相同，故A错误；
B，向量模能比较大小，向量不能比较大小，故B错误；
C，根据向量加法的几何意义可得，故C正确；
D，平行向量也是共线向量，故D错误.
故选：C
3．若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
由三角函数的基本关系式和正弦的倍角公式，可得
.
故选：C.
4．在锐角中，角所对的边长分别为.若
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】试题分析：
考点：正弦定理解三角形
5．若，且，则的值为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据已知求出，再根据结合两角差的正弦公式即可得解.
【解析】解：因为，所以，
又，所以，
所以.
故选：C.
6．已知中，分别为角的对边，则根据条件解三角形时有两解的一组条件是（ ）
A. ，，B. ，，
C. ，，D. ，，
【答案】C
【解析】对于A：由得：，所以，无解，A错误；
对于B：由得：，所以，又，故，此时有一个解，B错误；
对于C：由得：，所以，又，故，此时有两个解，C正确；
对于D：由得：，所以，又，故，此时有一个解，D错误；
故选：C
7．在边长为1的正方形ABCD中，M为边BC的中点，点E在线段AB上运动，则的值可以是（ ）
A．B．1C．2D．3
【答案】B
【分析】求出的范围，判断各选项．
【解析】设，，
，
只有B满足．
故选：B．
8．已知在锐角三角形中，角，，所对的边分别为，，，若，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由利用余弦定理，可得，正弦定理边化角，在消去，可得，利用三角形是锐角三角形，结合三角函数的有界限，可得的取值范围．
【解析】由
及余弦定理，可得
正弦定理边化角，得
是锐角三角形，
，即．
，，
那么：
则，
故选：
【点睛】方法点睛：解三角形的基本策略
一是利用正弦定理实现“边化角”，二是利用余弦定理实现“角化变；求三角形面积的最大值也是一种常见类型，主要方法有两类，一是找到边之间的关系，利用基本不等式求最值，二是利用正弦定理，转化为关于某个角的函数，利用函数思想求最值.
二、多选题
9．已知向量和满足，，，下列说法中正确的有（ ）
A．B．
C．与的夹角为D．
【答案】AD
【分析】根据向量运算和向量夹角公式，向量模依次判断每个选项得到答案.
【解析】，
将，的代入，可得故，故正确；
，故错误；
设与的夹角为，则，
故，又，故，错误；
，故，正确.
故选：.
10．对于函数，下列说法正确的有（ ）
A．是的最小正周期B．关于对称
C．在的值域为D．在上递增
【答案】AC
【分析】利用辅助角公式化简，再根据的性质逐个判断即可
【解析】，
对A，周期为，故A正确；
对B，令，得，所以函数不关于对称，故B不正确；
对C，当时，，所以，即的值域为，故C正确；
对D，当时，，所以函数在上单调递减，故D不正确，
故选：AC.
11．以下有关复数的描述中，说法正确的是（ ）
A．若复数（为虚数单位），则的虚部为2
B．的共轭复数为
C．若复数，则
D．设，为复数，
【答案】AD
【分析】通过复数的运算以及虚部的概念可判断A；通过共轭复数的概念可判断BD；通过复数相等可判断C；
【解析】因为，所以的虚部为2，故A正确；
的共轭复数为，故B错误；
当且仅当时，才会有C中的结论，故C错误；
设，
则，，故D正确；
故选：AD.
12．中，边上的中线，则下列说法正确的有（ ）
A． B．
C．D． 为定值
【答案】ABD
【分析】根据三角形的性质和圆的性质，可判定A正确；由，得到，结合余弦定可得，可判定B正确；由余弦定理知得到，结合向量的数量积公式，可得判定D正确；由，得到，求得，可判定C不正确；
【解析】由三角形的性质，可得，
因为，所以点在以为圆心，半径为的圆上，如图所示：
当点与点重合时，可得，
所以，所以，所以A正确.
由题意，可得，所以，
设中，角所对的三边分别为，
根据余弦定理知，即，
整理得，所以B正确；
又由余弦定理知，可得，
所以（定值）所以D正确；
因为，即，所以，所以，所以C不正确；
故选：ABD
三、填空题
13．求值：cs58°sin77°＋sin122°sin13°= _______．
【答案】
【解析】：
，
故答案为：
14．复数，，其中i是虚数单位，则的最大值为___________．
【答案】##
【分析】先求，再运用公式求复数的模即可.
【解析】由题意，，
所以故答案为：
15．某中学数学兴趣小组为了测量校园旗杆的高度，如图所示，在操场上选择了C､D两点，在C､D处测得旗杆的仰角分别为，在水平面上测得且C，D的距离为15米，则旗杆的高度为__________米．
【答案】15
【分析】设旗杆的高度为，在中，利用余弦定理求解.
【解析】解：如图所示：

设旗杆的高度为，
所以，
在中，由余弦定理得，
即，
即，
解得或（舍去）.
故答案为：15
16．如图，在中，已知，点D，E分别在边AB，AC上，且 ，点F为线段DE上的动点，则的取值范围是________．
【答案】
【分析】设，以为基底，将分别用表示，再结合数量积的运算律把用表示，再结合二次函数的性质即可得解.
【解析】因为，
所以，
设，
则
，
，
则
，
对于，其开口向上，对称轴为，
所以在上单调递减，在上单调递增，
当时，取得最大值，
当时，取得最小值，
所以的取值范围是.
故答案为：.
【点睛】关键点睛：本题考查了平面向量的线性运算及数量积的运算，以为基底，将分别用表示，是解决本题的关键.
四、解答题
17．设复数（其中），．
(1)若是纯虚数，求；
(2)求满足的复数在复平面上对应的点构成的图形的面积．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）将化成复数的一般形式，则实部为，虚部不为，即可求解（2）复数在复平面上对应的点构成的图形是以为圆心，半径为的圆及其内部，代圆的面积公式即可求解
(1)
依题意且，
所以
(2)
设，则
故复数在复平面上对应的点构成的图形是以为圆心，半径为的圆及其内部
所以
18．已知向量，，在同一平面上，且，．
(1)若与与垂直，求k的值；
(2)若（其中，当取最小值时，求与的数量积的大小．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）运用平面向量垂直的充要条件的坐标形式列式即可求解（2）求出的坐标之后代模长公式，通过配方，可以判断取何值时，最小，然后代数量积的坐标计算公式即可求解
(1)
因为与垂直
所以
所以
(2)
所以
当时，取得最小值
此时
所以
19．北京2022年冬奥会中，运动员休息区本着环保､舒适､温馨这一出发点，进行精心设计，如图，在四边形休闲区域，四周是步道，中间是花卉种植区域，为减少拥堵，中间穿插了氢能源环保电动步道，且.
(1)求氢能源环保电动步道的长；
(2)若，求花卉种植区域总面积.
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）利用二倍角公式求出，利用余弦定可求的长；
（2）由正弦定理可求得，利用两角和的正弦公式可求得，可分别求得，，从而可求花卉种植区域总面积．
【解析】（1）解：．，，
，，由余弦定理得，
，．
（2）解：若，在中，由正弦定理得，．
，由（1）知．代入上式可得，解得，
，
，
，，
故，
花卉种植区域总面积为．
20．已知中，角A，B，C的对边为a，b，c，且．
(1)求B；
(2)若，D为AC边上的一点，，且 ，求的面积．
①BD是B的平分线；②D为线段AC的中点．（从①，②两个条件中任选一个，补充在上面的横线上并作答）
注：如果选择多个方案进行解答，按第一个方案解答计分．
【答案】(1)
(2)选①，的面积为；选②，的面积为
【分析】（1）由正弦定理及正弦两角和、诱导公式可求解；
（2）若选①，由及余弦定理、三角形面积公式可求解；若选②，由D为线段AC的中点得，从而可得，再结合余弦定理及三角形面积公式可求解.
（1）
因为，
在中由正弦定理得：，
即，
由，知，则有，
所以.
（2）
由（1）知且，在中由余弦定理得，
即（*）．
若选①：
由BD平分ABC得，
则有，
即，
则，即，
将（*）式代入得，
即或（舍），
故．
若选②：
由D为线段AC的中点得，
即，
则，即，
又，解得
故．
21．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足．
（1）求角A的大小；
（2）若，点D满足，求a．
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）由正弦定理的边化角公式结合三角恒等变换得出角A的大小；
（2）过点D作交于点E，由余弦定理得出，，再由余弦定理得出.
【解析】解：（1）由已知，得
由正弦定理，得
整理，得
即．
又，所以，因为，所以．
（2）如图，过点D作交于点E
又，所以．
由余弦定理可知，，得
解得，则．
又
所以在中，由余弦定理
得．
【点睛】关键点睛：解决本题的关键在于正弦定理的边角互化以及余弦定理解三角形.
22．若已知向量，，设函数.
(1)若且，求的值；
(2)若函数在上的最大值为2，求实数a的值.
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1），由得，设，求出，，利用二倍角公式得出，，代入计算可得答案.
（2）求出，设，令，
分、、讨论，配方求值可答案.
(1)
由题意，
，
所以，，
设，则，因为，所以，，
所以，，
.
(2)
，
设，，得，
则，则，
①当，时，在处，，得；
②当，即时，在处，，得（舍去）；
③当，即时，在处，，得；
综上，或.